第1頁(yè)：封面標(biāo)題：1.2第2課時(shí)

二次函數(shù)\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的圖象與性質(zhì)副標(biāo)題：湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)配圖：\(y=-x^2\)、\(y=-2x^2\)、\(y=-\frac{1}{2}x^2\)拋物線疊加圖（標(biāo)注\(a\)值，與\(a＞0\)時(shí)圖象對(duì)比呈現(xiàn)）落款：授課教師/日期第2頁(yè)：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的圖象，識(shí)別其拋物線形態(tài)掌握\(chéng)(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的圖象特征（開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)等）及函數(shù)性質(zhì)（增減性、最值）能對(duì)比\(a＞0\)與\(a＜0\)時(shí)二次函數(shù)的異同，形成完整認(rèn)知過(guò)程與方法通過(guò)“對(duì)比舊知→自主畫(huà)圖→分析特征→歸納性質(zhì)”，提升邏輯推理與數(shù)形結(jié)合能力經(jīng)歷從具體實(shí)例到抽象規(guī)律的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究思維情感態(tài)度體會(huì)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)美與規(guī)律美，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性與連貫性第3頁(yè)：復(fù)習(xí)對(duì)比——銜接舊知回顧提問(wèn)（\(a＞0\)時(shí)）二次函數(shù)\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）的圖象開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？（開(kāi)口向上，頂點(diǎn)\((0,0)\)）當(dāng)\(a＞0\)時(shí)，函數(shù)的增減性如何？（\(x＜0\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而減小，\(x＞0\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而增大）提出猜想（\(a＜0\)時(shí)）若\(a\)取負(fù)數(shù)（如\(a=-1\)、\(a=-2\)），\(y=ax^2\)的圖象開(kāi)口方向會(huì)改變嗎？頂點(diǎn)、增減性又會(huì)有怎樣的變化？今天我們共同驗(yàn)證。第4頁(yè)：探究1——用描點(diǎn)法畫(huà)\(y=-x^2\)的圖象操作步驟列表：選取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，計(jì)算對(duì)應(yīng)\(y\)值：\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(y=-x^2\)\(-9\)\(-4\)\(-1\)\(0\)\(-1\)\(-4\)\(-9\)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，標(biāo)記\((-3,-9)\)、\((-2,-4)\)等坐標(biāo)點(diǎn)（強(qiáng)調(diào)與\(y=x^2\)描點(diǎn)位置的對(duì)稱(chēng)關(guān)系）連線：用平滑曲線依次連接各點(diǎn)，觀察圖象“開(kāi)口向下”的特征學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立畫(huà)圖，對(duì)比\(y=x^2\)的圖象，記錄兩者的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)第5頁(yè)：探究2——畫(huà)\(y=-2x^2\)與\(y=-\frac{1}{2}x^2\)的圖象分組任務(wù)第一組：列表并繪制\(y=-2x^2\)的圖象（\(x\)取值同前）\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(y=-2x^2\)\(-18\)\(-8\)\(-2\)\(0\)\(-2\)\(-8\)\(-18\)第二組：列表并繪制\(y=-\frac{1}{2}x^2\)的圖象（\(x\)取值同前）\(x\)\(-3\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(y=-\frac{1}{2}x^2\)\(-4.5\)\(-2\)\(-0.5\)\(0\)\(-0.5\)\(-2\)\(-4.5\)課件展示：動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)三個(gè)函數(shù)圖象疊加效果，同時(shí)對(duì)比\(a＞0\)時(shí)的圖象，直觀展示差異第6頁(yè)：圖象特征分析（\(a＜0\)時(shí)）共同特征開(kāi)口方向：均向下（類(lèi)比“碗口朝下”）對(duì)稱(chēng)軸：都關(guān)于\(y\)軸（直線\(x=0\)）對(duì)稱(chēng)（與\(a＞0\)時(shí)相同）頂點(diǎn)：都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)\((0,0)\)，且是圖象的最高點(diǎn)（函數(shù)值最大處，與\(a＞0\)時(shí)“最低點(diǎn)”相反）差異特征（\(a\)值影響）對(duì)比\(y=-x^2\)（\(a=-1\)）、\(y=-2x^2\)（\(a=-2\)）、\(y=-\frac{1}{2}x^2\)（\(a=-\frac{1}{2}\)）：\(|a|\)越大，拋物線開(kāi)口越“窄”（下降越陡峭）；\(|a|\)越小，開(kāi)口越“寬”（下降越平緩）（與\(a＞0\)時(shí)規(guī)律一致）課件動(dòng)畫(huà)：拖動(dòng)\(a\)的滑塊（\(a＜0\)），展示開(kāi)口寬窄變化，同時(shí)對(duì)比\(a＞0\)時(shí)的動(dòng)畫(huà)效果第7頁(yè)：函數(shù)性質(zhì)總結(jié)（\(y=ax^2\)，\(a＜0\)）性質(zhì)類(lèi)別具體內(nèi)容與\(a＞0\)時(shí)對(duì)比圖象形狀拋物線，開(kāi)口向下開(kāi)口方向相反對(duì)稱(chēng)軸直線\(x=0\)（\(y\)軸）相同頂點(diǎn)坐標(biāo)\((0,0)\)（最高點(diǎn)）頂點(diǎn)位置相同，“高低”屬性相反最值當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y\)有最大值\(0\)，無(wú)最小值最值類(lèi)型相反（最大值vs最小值）增減性當(dāng)\(x＜0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；當(dāng)\(x＞0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小增減性完全相反\(a\)的影響$a口訣輔助記憶：負(fù)開(kāi)口下，軸過(guò)原點(diǎn)；頂點(diǎn)最高，值為零；左增右減，寬窄看\(|a|\)。第8頁(yè)：典例精析例題1：利用性質(zhì)判斷大小已知函數(shù)\(y=-2x^2\)，比較下列各組中函數(shù)值的大小：（1）\(x_1=-3\)，\(x_2=-1\)時(shí)，\(y_1\)與\(y_2\)；（2）\(x_1=2\)，\(x_2=3\)時(shí)，\(y_1\)與\(y_2\)。解答：（1）∵\(yùn)(a=-2＜0\)，\(x＜0\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而增大，且\(-3＜-1\)，∴\(y_1＜y_2\)；（2）∵\(yùn)(a=-2＜0\)，\(x＞0\)時(shí)\(y\)隨\(x\)增大而減小，且\(2＜3\)，∴\(y_1＞y_2\)。例題2：求最值與函數(shù)值已知\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((2,-8)\)，求：（1）\(a\)的值；（2）函數(shù)的最大值；（3）當(dāng)\(x=-1\)時(shí)的函數(shù)值。解答：（1）將\((2,-8)\)代入得\(-8=a×2^2\)，解得\(a=-2\)；（2）∵\(yùn)(a=-2＜0\)，∴當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y\)有最大值\(0\)；（3）當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(y=-2×(-1)^2=-2\)。第9頁(yè)：課堂練習(xí)基礎(chǔ)題：判斷下列關(guān)于\(y=-3x^2\)的說(shuō)法是否正確：（1）圖象開(kāi)口向下；（√）（2）對(duì)稱(chēng)軸是\(x=0\)；（√）（3）當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y\)取得最小值\(0\)；（×）（4）當(dāng)\(x＜0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)增大而增大。（√）提升題：已知函數(shù)\(y=ax^2\)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((-2,-4)\)，判斷點(diǎn)\((3,-9)\)是否在該圖象上，并說(shuō)明理由。（答案：\(a=-1\)，將\(x=3\)代入得\(y=-9\)，故點(diǎn)\((3,-9)\)在圖象上）第10頁(yè)：課堂小結(jié)知識(shí)梳理（對(duì)比表格）：對(duì)比維度\(y=ax^2\)（\(a＞0\)）\(y=ax^2\)（\(a＜0\)）開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)屬性最低點(diǎn)最高點(diǎn)最值最小值\(0\)最大值\(0\)增減性（\(x＜0\)）減小增大增減性（\(x＞0\)）增大減小核心結(jié)論：\(a\)的符號(hào)決定拋物線開(kāi)口方向與最值類(lèi)型，\(|a|\)決定開(kāi)口寬窄；研究二次函數(shù)性質(zhì)需結(jié)合圖象，通過(guò)對(duì)比加深理解。第11頁(yè)：作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：教材P15第3、4題（畫(huà)圖+性質(zhì)應(yīng)用）提升作業(yè)：已知\(y=ax^2\)（\(a≠0\)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((1,k)\)和\((-2,4k)\)，求\(a\)與\(k\)的關(guān)系，并判斷當(dāng)\(a＜0\)時(shí)，\(x=3\)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與\(k\)的大小關(guān)系實(shí)踐作業(yè)：觀察生活中開(kāi)口向下的拋物線物體（如噴泉下落軌跡、傘面輪廓），用坐標(biāo)大致描述其形狀，并分析對(duì)應(yīng)的\(a\)值特征2025-2026學(xué)年湘教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)【示范課精品課件】授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

1.2第2課時(shí)

二次函數(shù)y=ax2(a＜0)的圖象與性質(zhì)第1章

二次函數(shù)aiTujmiaNg復(fù)習(xí)引入列表；描點(diǎn)；連線.你還記得如何畫(huà)的圖象嗎？x01234084.520.5xyO

-222464-48我們已經(jīng)畫(huà)出了的圖象，能不能從它得出二次函數(shù)的圖象呢？合作探究拋物線

y=ax2(a<0)的圖象1.在的圖象上任取一點(diǎn)

P(

)，

它關(guān)于

x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

Q的坐標(biāo)是(

).2.點(diǎn)

Q的坐標(biāo)是否在的圖象上？

yxOPQ3.

由此推測(cè) 的圖象與 的圖象是否關(guān)于

x軸對(duì)稱(chēng)？在

是關(guān)于

x軸對(duì)稱(chēng).

4.你怎樣得到的圖象？因此只要把 的圖象沿著x軸翻折將圖象“復(fù)制”出來(lái)，就得到

的圖象.yxOPQ例1

函數(shù)

y=﹣a（x+a）與

y=﹣ax2（a≠0）在同一坐標(biāo)系上的圖象是（）典例精析A．B．C．D．

解析：函數(shù)

y=﹣a(x+a)=﹣ax﹣a2的常數(shù)項(xiàng)﹣a2一定小于零，函數(shù)

y=﹣a(x+a)與

y軸一定相交于負(fù)軸．故選D．B.由一次函數(shù)的圖象可知

a＜0，由二次函數(shù)的圖象可知

a＞0，兩者相矛盾；C.由一次函數(shù)的圖象可知

a＞0，由二次函數(shù)的圖象可知

a＜0，兩者相矛盾；A．B．C．D．

說(shuō)說(shuō)二次函數(shù)的圖象有哪些性質(zhì)，與同伴交流.oxy1.是一條曲線；2.圖象開(kāi)口向下；3.圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱(chēng)；4.與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為(

0，0)；5.“左升”，“右降”；6.x=0時(shí)，函數(shù)值最大，且為0.議一議拋物線

y=ax2(a＜

0)的性質(zhì)解：（1）根據(jù)題意得

m－3

≠

0

且

m2－2m－6

=

2，解得

m1

=

－2，m2

=

4．所以滿足條件的

m

的值為－2

或

4；（2）∵當(dāng)

m－3

＞

0

時(shí)，圖象有最低點(diǎn)，∴

m

=

4，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為

y

=

x2，∴當(dāng)

x

＞

0

時(shí)，y

隨

x

的增大而增大.例2已知函數(shù)

是關(guān)于

x

的二次函數(shù)．（1）求滿足條件的

m

的值；（2）當(dāng)

m

為何值時(shí)，它的圖象有最低點(diǎn)？此時(shí)當(dāng)

x

為

何值時(shí)，y

隨

x

的增大而增大？（3）∵當(dāng)

m－3

＜

0

時(shí)，圖象有最高點(diǎn)，∴

m

=

－2，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為

y

=

－5x2，∴當(dāng)

x

＞

0

時(shí)，y

隨

x

的增大而減?。?）當(dāng)

m

為何值時(shí)，它的圖象有最高點(diǎn)？此時(shí)當(dāng)x

為何值時(shí)，y

隨

x

的增大而減?。繂?wèn)題1畫(huà)二次函數(shù) 的圖象.x012340－1－4列表合作探究描點(diǎn)和連線：畫(huà)出圖象在

y軸右邊的部分，再利用對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出

y軸左邊的部分.這樣我們得到了 的圖象，如圖.y－2－424－2－4xo問(wèn)題2觀察圖 的圖象跟實(shí)際生活中的什么相像？的圖象很像擲鉛球時(shí)，鉛球在空中經(jīng)過(guò)的路線xOy－2－424－2－4以鉛球在空中經(jīng)過(guò)的路線的最高點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出鉛球在空中經(jīng)過(guò)的路線是形式為的圖象的一段.xOy-2－-424-2-4這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，y軸就是它的對(duì)稱(chēng)軸.

對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).受此啟發(fā)，把二次函數(shù)

y=ax2的圖象這樣的曲線叫做拋物線.歸納總結(jié)xyO－22－2－4－64－4－8相同點(diǎn)：開(kāi)口都向下，頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，增減性相同.不同點(diǎn)：a越小，即|a|越大，拋物線的開(kāi)口越小．問(wèn)題3在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)

y=-x2,y=-2x2,

的圖象，并考慮這些拋物線有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)．對(duì)于二次函數(shù)

y=

ax2,|a|

越大，拋物線的開(kāi)口越小.系數(shù)

a

對(duì)圖象的影響1.下列函數(shù)中，當(dāng)

x

＞

0

時(shí)，y

值隨

x

值增大而減小的是（）A.y=B.y=x-

1C.D.y=-3x2D2.拋物線

y＝

－4x2不具有的性質(zhì)是(

)A．開(kāi)口向上B．對(duì)稱(chēng)軸是y軸C．在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨

x的增大而增大D．最高點(diǎn)是原點(diǎn)A

3.函數(shù)

y=-3x2的圖象的開(kāi)口

，對(duì)稱(chēng)軸

，頂點(diǎn)是

；在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，

y隨x的增大而

，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，

y隨x的增大而

.向下y軸(0,0)減小增大yOx4.當(dāng)

ab>0時(shí)，拋物線

y＝

ax2與直線

y＝

ax＋

b在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是(

)解析：根據(jù)

a、b的符號(hào)來(lái)確定．當(dāng)

a>0時(shí)，拋物線

y＝

ax2的開(kāi)口向上．∵ab>0，∴b>0.

∴直線

y＝

ax＋b過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線

y＝

ax2的開(kāi)口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直線

y＝

ax＋b過(guò)第二、三、四象限．

故選D.D5.如圖，四個(gè)二次函數(shù)圖象中，分別對(duì)應(yīng)：①y＝ax2；②y＝

bx2；③y＝

cx2；④y＝

dx2，則

a、b、c、d的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)>b>c>dB．a(chǎn)>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c解析：∵拋物線

y＝

ax2中，|a|越大，拋物線的開(kāi)口越小.

∴a>b>0，|d|>|c|>0，∴d<c<0，∴a>b>0>c>d．A返回A1.小湘用軟件繪制拋物線y＝－0.3x2時(shí)，將“－0.3”按成了“0.3”，和原圖象相比，發(fā)生改變的是(

)A．開(kāi)口方向

B．開(kāi)口大小C．對(duì)稱(chēng)軸

D．頂點(diǎn)坐標(biāo)返回C返回A4.當(dāng)ab＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2與y＝ax＋b的圖象可能是(

)D返回5.

已知(x1，y1)，(x2，y2)是二次函數(shù)y＝(a＋1)x2的圖象上的兩點(diǎn)，且當(dāng)0<x1<x2時(shí)，有y1>y2，試寫(xiě)出不等式ax＜a的一個(gè)解x＝______________.返回2(答案不唯一)6．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以正方形的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，作出函數(shù)y＝2x2與y＝－2x2的圖象，則陰影部分的面積是________．8返回【點(diǎn)撥】∵函數(shù)y＝2x2與y＝－2x2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴陰影部分的面積是正方形面積的一半．∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴正方形的面積為16.∴陰影部分的面積是8.7．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函數(shù)，且函數(shù)圖象開(kāi)口向下．(1)求k的值，并畫(huà)出它的圖象；(2)該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________，若點(diǎn)(a，－9)在其圖象上，則a的值是________；(0，0)±3(3)如果點(diǎn)P(m，n)是此二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，若－2≤m≤1，求n的取值范圍．【解】∵點(diǎn)P(m，n)是此二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，且－2≤m≤1，∴當(dāng)m＝－2時(shí)，n＝－(－2)2＝－4；當(dāng)m＝1時(shí)，n＝－12＝－1；當(dāng)m＝0時(shí)，n取最大值，為0.∴當(dāng)－2≤m≤1時(shí)，－4≤n≤0.返回8.定義新運(yùn)算：a?b＝

例如：4?5＝4×52，4?(－5)＝－4×(－5)2，則函數(shù)y＝2?x的圖象大致為(

)D返回返回【答案】B10．如圖，直線y＝kx＋b(k≠0)與拋物線y＝ax2(a≠0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是－2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論中，正確的有(

)①拋物線y＝ax2(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn)；②當(dāng)x>0時(shí)，直線y＝kx＋b(k≠0)與拋物線y＝ax2(a≠0)的函數(shù)值都隨著x的增大而減?。虎跘B的長(zhǎng)度可以等于5；④△OAB有可能成為等邊三角形；⑤當(dāng)－2<x<3時(shí)，ax2－kx>b.A．①②B．①②⑤

C．②③④D．①②④⑤【點(diǎn)撥】①拋物線y＝ax2(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，故①說(shuō)法正確；②由題圖可知，k<0，a<0，二次函