18.1分式及其基本性質(zhì)第十八章

分式18.1.1從分數(shù)到分式第十八章

分式通過類比分數(shù)的概念，了解分式的概念，能識別整式、分式.能夠通過分式的概念理解和掌握分式有無意義和值為零時字母的取值范圍.通過分數(shù)與分式的類比，使學生親身經(jīng)歷探究整式擴充到分式的過程，初步學會運用類比、轉(zhuǎn)化的思想方法研究數(shù)學問題.

一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，(1)若它以最大航速沿江順流航行90km，則所用的時間為多少？(2)若以最大航速逆流航行60km，則所用的時間為多少？解：設(shè)江水流速為

vkm/h，(1)輪船順流航行90km所用時間[90÷(30+v)]h.兩個數(shù)相除可以表示成分數(shù)的形式，整式的除法也可以類似表示.

1.(1)長方形的面積為

10cm2，長為

7cm，則寬為_______cm；(2)長方形的面積為

S

，長為

a

，則寬為_____.知識點一：

分式的概念探究：思考下列問題并填空：(2)若他在上坡滑行

akm比在平地滑行同樣的距離多用

ch，則他的平均速度為

km/h.2.(1)在越野滑雪比賽中，若一名滑雪運動員在平地滑行

akm用時

b

h，則他的平均速度為

km/h；

分式的定義

注意：①分式是不同于整式的另一類代數(shù)式，分母中含有字母是分式的一大特點；②分數(shù)是分式中的字母取某些值的結(jié)果，分式比分數(shù)更具有一般性.

判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的代數(shù)式是分式.π不是字母要看化簡前形式整數(shù)分數(shù)整式分式有理數(shù)有理式數(shù)、式通性思考2：既然分式是不同于整式的另一類式子，那么它們統(tǒng)稱為什么呢？數(shù)的擴充式的擴充探究：從下列4個整式中任選兩個分別作為分子和分母，你能構(gòu)造多少個分式？8，x，x2－1，x－1.知識點二：分式有意義、值為0的條件

x的值···－2－1012···

······

······

······問題1：你能給選幾個適當?shù)闹?，并求出各分式的值?/p>

－4－1無意義－800無意義無意義1無意義8

43當_______時，分式有意義；當_______時，分式無意義.分式有（無）意義的條件

分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為

0，所以分式的分母不能為

0.B≠0B=0問題2：我們知道，要使分數(shù)有意義，分數(shù)中的分母不能為0.要使分式有意義，分式中的分母應滿足什么條件?注意：分式的值為零是分式有意義的一種特殊情況.前提：分式有意義

B≠0

A=0

例1下列分式中的字母滿足什么條件時，分式有意義？解析：要使分式有意義，必須使分母不等于零.

分式概念

分式有意義的條件分式值為0的條件B≠0.A=0且B≠0.1.下列式子是分式的是(

B

)A.

B.

C.

＋yD.

A.x＞－1B.x≠－1C.x≥－1D.x≤－1BB

…

012…

…0**無意義*…C

18.1.2課時1分式的基本性質(zhì)第十八章

分式通過類比分數(shù)的基本性質(zhì)，經(jīng)歷分式的基本性質(zhì)的探究過程，體會類比的數(shù)學思想.通過運用分式的基本性質(zhì)進行分式的恒等變形，理解分式變形中的符號法則，提高運算能力.問題：下列分數(shù)哪兩個之間是相等的？并說出理由.

理由：分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子與分母同時乘(或除以)一個不等于零的數(shù)，分數(shù)的值不變.＝那分式有類似的性質(zhì)嗎？想一想.(1)

一列勻速行駛的火車，如果

t

(h)

行駛了

s

(km)，那么火車的速度是多少?(2)

如果

2t

(h)行駛了

2s

(km)，那么火車的速度是多少?探究：思考下列問題：(3)

如果

nt

(h)

(n

≠0)

行駛了ns

km，那么火車的速度是多少?思考1：上述結(jié)果有什么特點？思考2：類比分數(shù)的基本性質(zhì)，你能猜想分式有什么性質(zhì)嗎？

分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變．

例2下列等式，從左到右是如何運用分式的基本性質(zhì)變形的?

例3

填空：

÷x2÷x2x3x(x

+y)÷3x÷3x×a×aa×b×b2ab－b2

2x看分母如何變化，想分子如何變化.看分子如何變化，想分母如何變化.想一想：運用分式的基本性質(zhì)應注意什么?(1)“都”：分子和分母是同時乘或除以某個整式，而不是只有分子或分母單獨進行.(2)“同一個”：分子和分母都乘或除以同一個整式，該整式是同一個.(3)“不為0”：時刻注意分母不等于零.

a2-abx2x(m-n)2

相等.相等.分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身這三處的符號，同時改變兩處，分式的值不變.

分式的基本性質(zhì)內(nèi)容分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變．分式的符號法則分式的分子、分母與分式本身這三處的符號，同時改變兩處，分式的值不變.注意(1)“都”；(2)“同一個”；(3)“不為0”.

A

A3.判斷正誤.

××√√4.填空：

5yb+12abx2-1

18.1.2分式的基本性質(zhì)課時2分式的約分和通分第十八章

分式通過類比分數(shù)的約分與通分，理解分式的約分、最簡分式、分式的通分、最簡公分母的概念.能夠準確確定分式的公因式和最簡公分母，再運用分式的基本性質(zhì)進行分式的約分和通分.學會運用類比轉(zhuǎn)化的思想方法研究數(shù)學問題.

約分通分

分數(shù)的約分和通分在分數(shù)的運算中起著非常重要的作用.類似地，在分式的運算中，分式如何進行約分和通分？思考：聯(lián)想分數(shù)的約分，由例3(1)(2)，你能想出如何對分式進行約分嗎？約去分子分母的公因式.知識點一：約分及最簡分式

÷x2÷x2÷3x÷3x

像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫作分式的約分.

分式的約分例4

約分：分析：約分要先找出分子和分母的公因式：_______①找系數(shù)：最大公約數(shù)：___②找相同的最低次冪因式：___abc5abc5

分析：分子或分母若是多項式，能分解則必須先進行因式分解.

再找出分子和分母的公因式進行約分.原式原式分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結(jié)果成為最簡分式或整式.討論1：結(jié)合上面的例題，你認為約分有哪些基本步驟？(1)若分子、分母都是單項式，則約去系數(shù)的最大公因數(shù)，并約去相同字母的最低次冪；(2)若分子、分母含有多項式，則先將多項式分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式.討論2：由例題中約分后的結(jié)果，你認為約分要達到怎樣的程度？1.下列分式是最簡分式的個數(shù)為().A.1個

B.2個

C.3個

D.4個B知識點二：分式的最簡公分母與通分

公分母為

23×32×52.

公分母為

23x2y2.思考：聯(lián)想分數(shù)的通分，由例3(3)(4)，你能想出如何對分式進行通分嗎？將分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把兩個分式化成分母相同的分式.

×a×a×b×b

像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.

分式的通分，關(guān)鍵是確定幾個分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的分母叫作最簡公分母.分式的通分

2z最簡公分母思考：如何確定最簡公分母呢？x3y2例5

通分：解：(1)最簡公分母是6a2b2c.

(x

+5)·(x

-

5)2·(x+5)解：(2)最簡公分母是2(x－5)(x＋5).

a2b2x2－y2abc想一想：分數(shù)和分式在約分和通分的做法上有什么特點？這些做法的根據(jù)是什么？將答案填入下表中：約分通分分數(shù)分式依據(jù)找分子與分母的最大公約數(shù)找分子與分母的公因式找所有分母的最小公倍數(shù)找所有分母的最簡公分母分數(shù)