第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩平面向量的夾角數(shù)學(xué)運(yùn)算2．能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|

兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．?dāng)?shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等于__________________________，即：a·b＝____________向量垂直a⊥b?________________它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝0

【預(yù)習(xí)自測(cè)】已知a＝(－1,3)，b＝(2,4)，則a·b的值是________．【答案】10【解析】a·b＝(－1)×2＋3×4＝10．(1)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式適用于任何兩個(gè)向量嗎？(2)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式的作用是什么？【提示】(1)適用．無(wú)論是零向量，還是非零向量，均可使用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式．(2)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式簡(jiǎn)化了數(shù)量積的計(jì)算．向量的模與兩向量夾角的坐標(biāo)表示【預(yù)習(xí)自測(cè)】(1)已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，則

x＝

.(2)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為

.|課堂互動(dòng)|【答案】(1)C

(2)2平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：(1)先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算．(2)先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算．【答案】(1)B

(2)3求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題．2．(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，則|c|取最小值時(shí)，λ＝________．(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______．3．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定系數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．易錯(cuò)警示用坐標(biāo)表示時(shí)忽視兩向量夾角的范圍致誤已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若〈a，b〉為銳角，求x的取值范圍．錯(cuò)解：若〈a，b〉為銳角，則a·b＞0且a，b不同向．a(chǎn)·b＝x＋2＞0，∴x＞－2．易錯(cuò)防范：利用向量夾角公式即可得出，注意去掉同方向的情況．|素養(yǎng)達(dá)成|1．(題型1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則

k＝ (

)A．－12

B．－6C．6

D．12【答案】D【解析】2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．2．(題型2)已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于

(

)A．0

B．1C．－2

D．2【答案】D【解析】2a－b＝(3，n)，由2a－b與b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2．【答案】D4．(題型3)(2022年運(yùn)城期末)設(shè)向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________．【答案】±3【解析】(a＋λb)⊥(a－λb)?(a＋λb)·(a－λb)＝a