第二十五章

概率初步25.3用頻率估算概率問(wèn)題1拋擲一枚均勻硬幣，硬幣落地后，會(huì)出現(xiàn)哪些可能的結(jié)果呢？問(wèn)題2

它們的概率是多少呢？出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種情況.都是問(wèn)題3在實(shí)際擲硬幣時(shí)，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

在學(xué)完用列舉法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率這節(jié)內(nèi)容后，小明同學(xué)提出一個(gè)問(wèn)題.他拋擲一枚硬幣10次，其正面朝上的次數(shù)為5次，是否可以說(shuō)明“正面向上”這一事件發(fā)生的概率為0.5？

用列舉法可以求一些事件的概率.實(shí)際上，我們還可以利用多次重復(fù)試驗(yàn)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果估計(jì)概率.1.理解試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)試驗(yàn)頻率趨于穩(wěn)定這一規(guī)律.2.結(jié)合具體情境掌握如何用頻率估計(jì)概率.3.通過(guò)概率計(jì)算進(jìn)一步比較概率與頻率之間的關(guān)系．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：結(jié)合具體情境掌握如何用頻率估計(jì)概率.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：用頻率估計(jì)概率并解決實(shí)際問(wèn)題.試驗(yàn)探究擲硬幣試驗(yàn)(1)拋擲一枚均勻硬幣400次，每隔50次記錄“正面朝上”的次數(shù)，并算出“正面朝上”的頻率，完成下表：累計(jì)拋擲次數(shù)50100150200250300350400“正面朝上”的頻數(shù)“正面朝上”的頻率2346781021231501752000.450.460.520.510.490.500.500.50知識(shí)點(diǎn)1

用頻率估計(jì)概率(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，在下圖中畫統(tǒng)計(jì)圖表示“正面朝上”的頻率.頻率試驗(yàn)次數(shù)(3)在上圖中，用紅筆畫出表示頻率為的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？試驗(yàn)次數(shù)越多頻率越接近0.5，即頻率穩(wěn)定于概率.頻率試驗(yàn)次數(shù)(4)下表是歷史上一些數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)支持你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？試驗(yàn)者拋擲次數(shù)n“正面向上”次數(shù)m“正面向上”頻率(

)棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005支持思考

拋擲硬幣試驗(yàn)的特點(diǎn)：

1.可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)__________;2.每種可能結(jié)果的可能性__________.相等有限問(wèn)題如果某一隨機(jī)事件，可能出現(xiàn)的結(jié)果是無(wú)限個(gè)，或每種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不一致，那么我們無(wú)法用列舉法求其概率，這時(shí)我們能夠用頻率來(lái)估計(jì)概率嗎？從一定高度落下的圖釘，著地時(shí)會(huì)有哪些可能的結(jié)果？其中頂帽著地的可能性大嗎？通過(guò)試驗(yàn)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.試驗(yàn)探究圖釘落地的試驗(yàn)試驗(yàn)累計(jì)次數(shù)20406080100120140160180200釘帽著地的次數(shù)(頻數(shù))91936506168778495109釘帽著地的頻率(%)4547.56062.561575552.55354.5試驗(yàn)累計(jì)次數(shù)220240260280300320340360380400釘帽著地的次數(shù)(頻數(shù))122135143155162177194203215224釘帽著地的頻率(%)5556.25555554555756.456.656(1)選取20名同學(xué)，每位學(xué)生依次使圖釘從高處落下20次，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果填寫下表.56.5(%)(2)根據(jù)上表畫出統(tǒng)計(jì)圖表示“頂帽著地”的頻率.(3)這個(gè)試驗(yàn)說(shuō)明了什么問(wèn)題？

在圖釘落地試驗(yàn)中，“頂帽著地”的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，穩(wěn)定在常數(shù)56.5%附近.結(jié)論

通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)該事件發(fā)生的概率.歸納總結(jié)

人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),在隨機(jī)試驗(yàn)中,由于眾多微小的偶然因素的影響,每次測(cè)得的結(jié)果雖不盡相同,但大量重復(fù)試驗(yàn)所得結(jié)果卻能反應(yīng)客觀規(guī)律.這稱為大數(shù)法則,亦稱大數(shù)定律.頻率穩(wěn)定性定理雅各布·伯努利

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率(這里n是實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，它必須相當(dāng)大，m是在n次試驗(yàn)中隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)）會(huì)穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)P.于是，我們用P這個(gè)常數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，即

P（A）=P.（1）連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻硬幣10次，結(jié)果10次全部是正面，則正面向上的概率是1.（2）小明擲硬幣10000次，則正面向上的頻率在0.5附近.（3）設(shè)一大批燈泡的次品率為0.01，那么從中抽取1000只燈泡，一定有10只次品.錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確練一練：判斷正誤例1

某籃球隊(duì)教練記錄該隊(duì)一名主力前鋒練習(xí)罰籃的結(jié)果如下：（1）填表（精確到0.001）；（2）比賽中該前鋒隊(duì)員上籃得分并造成對(duì)手犯規(guī)，罰籃一次，你能估計(jì)這次他能罰中的概率是多少嗎？練習(xí)罰籃次數(shù)306090150200300400500罰中次數(shù)274578118161239322401罰中頻率0.9000.7500.8670.7870.8050.7970.8050.802解：從表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，隨著練習(xí)次數(shù)的增加，該前鋒罰籃命中的頻率穩(wěn)定在0.8左右，所以估計(jì)他這次能罰中的概率約為0.8.利用頻率估計(jì)概率素養(yǎng)考點(diǎn)1某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是()A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球D.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4D例2

瓷磚生產(chǎn)受燒制時(shí)間、溫度、材質(zhì)的影響，一塊磚坯放在爐中燒制，可能成為合格品，也可能成為次品或廢品，究竟發(fā)生那種結(jié)果，在燒制前無(wú)法預(yù)知，所以這是一種隨機(jī)現(xiàn)象.而燒制的結(jié)果是“合格品”是一個(gè)隨機(jī)事件，這個(gè)事件的概率稱為“合格品率”.

由于燒制結(jié)果不是等可能的，我們常用“合格品”的頻率作為“合格品率”的估計(jì).用頻率估計(jì)概率的合格率素養(yǎng)考點(diǎn)2

某瓷磚廠對(duì)最近出爐的一大批某型號(hào)瓷磚進(jìn)行質(zhì)量抽檢，結(jié)果如下：抽取瓷磚數(shù)n10020030040050060080010002000合格品數(shù)m951922873854815777709611924

合格品率(1)計(jì)算上表中合格品率的各頻率(精確到0.001);(2)估計(jì)這種瓷磚的合格品率(精確到0.01);(3)若該廠本月生產(chǎn)該型號(hào)瓷磚500000塊，試估計(jì)合格品數(shù).(1)逐項(xiàng)計(jì)算，填表如下：抽取瓷磚數(shù)n10020030040050060080010002000合格品數(shù)m951922873854815777709611924

合格品率0.9500.9600.9570.9630.9620.9620.9630.9610.962(2)觀察上表，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)抽取的瓷磚數(shù)n≥400時(shí)，合格品率穩(wěn)定在0.962的附近，所以我們可取P=0.96作為該型號(hào)瓷磚的合格品率的估計(jì).(3)500000×96%=480000(塊)，可以估計(jì)該型號(hào)合格品數(shù)為480000塊.解:頻率與概率的關(guān)系聯(lián)系：頻率

概率事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性大小

在實(shí)際問(wèn)題中，若事件的概率未知，常用頻率作為它的估計(jì)值.區(qū)別：頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)或不同次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事件的頻率都可能不同，而概率是一個(gè)確定數(shù)，是客觀存在的，與試驗(yàn)無(wú)關(guān).穩(wěn)定性大量重復(fù)試驗(yàn)歸納總結(jié)某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下：(1)計(jì)算表中相應(yīng)的“射中9環(huán)以上”的頻率(精確到0.01)；(2)這些頻率具有什么樣的穩(wěn)定性？(3)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中9環(huán)以上”的概率(精確到0.1)射擊次數(shù)20401002004001000“射中九環(huán)以上”的次數(shù)153378158321801“射中九環(huán)以上”的頻率穩(wěn)定在0.8附近0.80.750.830.780.790.800.80某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（

）A．袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中隨機(jī)取一個(gè)，取到紅球B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)C．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面D．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是7或超過(guò)9D解析：由圖知試驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，因此概率約等于0.33.取到紅球概率為0.6，故A錯(cuò)；骰子向上的面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率為0.5，故B錯(cuò)；兩次都出現(xiàn)反面的概率為0.25，故C錯(cuò)，骰子兩次向上的面點(diǎn)數(shù)之和是7或超過(guò)9的概率為≈0.33，故D正確.1.一水塘里有鯉魚、鯽魚、鰱魚共1000尾，一漁民通過(guò)多次捕獲實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)：鯉魚、鯽魚出現(xiàn)的頻率是31%和42%，則這個(gè)水塘里有鯉魚

尾,鰱魚

尾.310270基礎(chǔ)鞏固題2.拋擲硬幣“正面向上”的概率是0.5.如果連續(xù)拋擲100次，而結(jié)果并不一定是出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”各50次，這是為什么？答：這是因?yàn)轭l數(shù)和頻率的隨機(jī)性以及一定的規(guī)律性.或者說(shuō)概率是針對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)而言的，大量重復(fù)試驗(yàn)反映的規(guī)律并非在每一次試驗(yàn)中都發(fā)生.3.在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色不同其余均相同的黑、白兩種球，其中白球24個(gè)，黑球若干.小兵將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是試驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：(1)請(qǐng)估計(jì):當(dāng)n很大時(shí),摸到白球的頻率將會(huì)接近

（精確到0.1）；(2)假如你摸一次，估計(jì)你摸到白球的概率P（白球）=

.0.60.6摸球的次數(shù)n10020030050080010003000摸到白球次數(shù)m651241783024815991803

摸到白球概率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601填表：由上表可知：柑橘損壞率是

，完好率是

.能力提升題柑橘損壞的頻率（）損壞柑橘質(zhì)量（m）/千克柑橘總質(zhì)量（n）/千克5004504003503002502001501005051.5444.5739.2435.3230.9324.2519.4215.1510.55.500.1050.1100.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103nm0.100.90某水果公司以2元/千克的成本新進(jìn)了10000千克柑橘，如果公司希望這些柑橘能夠獲得利潤(rùn)5000元，那么在出售柑橘（已去掉損壞的柑橘）時(shí)，每千克大約定價(jià)為多少元比較合適？分析

根據(jù)上表估計(jì)柑橘損壞的概率為0.1，則柑橘完好的概率為0.9.解：根據(jù)估計(jì)的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為10000×0.9=9000千克，完好柑橘的實(shí)際成本為設(shè)每千克柑橘的銷價(jià)為x元，則應(yīng)有（x-2.22）×9000=5000，解得x≈2.8.因此，出售柑橘時(shí)每千克大約定價(jià)為2.8元可獲利潤(rùn)5000元.某池塘里養(yǎng)了魚苗10萬(wàn)條，根據(jù)這幾年的經(jīng)驗(yàn)知道，魚苗成活率為95%，一段時(shí)間準(zhǔn)備打撈出售，第一網(wǎng)撈出40條，稱得平均每條魚重2.5千克，第二網(wǎng)撈出25條，稱得平均每條魚重2.2千克，第三網(wǎng)撈出35條，稱得平均每條魚重2.8千克，試估計(jì)這池塘中魚的重量.

解：先計(jì)算每條魚的平均重量是：（2.5×40+2.2×25+2.8×35）÷（40+25+35）

=2.53（千克）；所以這池塘中魚的重量是

2.53×100000×95%=240350（千克）.拓廣探索題頻率估計(jì)概率大量重復(fù)試驗(yàn)求非等可能性事件概率列舉法不能適應(yīng)頻率穩(wěn)定常數(shù)附近統(tǒng)計(jì)思想用樣本(頻率)估計(jì)總體(概率)一種關(guān)系頻率與概率的關(guān)系頻率穩(wěn)定時(shí)可看作是概率但概率與頻率無(wú)關(guān)1.從長(zhǎng)期實(shí)踐中,人們觀察到,對(duì)一般的隨機(jī)事件,在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率,總在一個(gè)

的附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性.因此,我們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn),用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的

.

2.盒子中有白色乒乓球8個(gè)和黃色乒乓球若干個(gè),為求得盒中黃色乒乓球的個(gè)數(shù),某同學(xué)進(jìn)行了如下試驗(yàn):每次摸出一個(gè)乒乓球記下它的顏色后放回,如此重復(fù)360次,摸出白色乒乓球90次,則黃色乒乓球的個(gè)數(shù)估計(jì)為(

)A.90 B.24 C.70 D.323.關(guān)于頻率和概率的關(guān)系,下列說(shuō)法正確的是

(

)A.頻率等于概率B.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),頻率穩(wěn)定在概率附近C.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),概率穩(wěn)定在頻率附近D.試驗(yàn)得到的頻率與概率不可能相等固定數(shù)

概率

BB利用頻率估計(jì)概率【例】

在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20個(gè),某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn),將球攪勻后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復(fù).下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):(1)請(qǐng)估計(jì):當(dāng)n很大時(shí),摸到白球的頻率將會(huì)接近

;

(2)假如你去摸一次,摸到白球的概率是

,摸到黑球的概率是

;

(3)試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少個(gè);(4)解決了上面的問(wèn)題,小明同學(xué)猛然頓悟,過(guò)去一個(gè)懸而未決的問(wèn)題有辦法了.這個(gè)問(wèn)題是:在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球,在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下,如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)(可以借助其他工具及用品)?請(qǐng)你應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率的思想和方法解決這個(gè)問(wèn)題,寫出解決這個(gè)問(wèn)題的主要步驟及估算方法.解:(1)0.60

(2)0.6

0.4(3)白球有20×0.6=12(個(gè)),黑球有20-12=8(個(gè)).(4)將30個(gè)只有顏色不同的黑球放入口袋中,與原來(lái)口袋中的球攪勻,從口袋中隨機(jī)摸出一球,記錄球的顏色,再放回口袋,連續(xù)摸500次(或1000次),看摸出黑球的頻率,通過(guò)這個(gè)頻率估計(jì)摸出黑球的概率,再計(jì)算出黑球占總球數(shù)的比例,進(jìn)而求出白球的數(shù)量.點(diǎn)撥:利用頻率估計(jì)概率,要通過(guò)多次試驗(yàn)才能得出結(jié)果,不能憑簡(jiǎn)單的幾次試驗(yàn)來(lái)估計(jì),否則結(jié)果不準(zhǔn)確.頻率是通過(guò)多次試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù),而概率是理論上事件發(fā)生的可能性.頻率的估計(jì)值不一定等同于概率的準(zhǔn)確值.67123451.綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn),結(jié)果如下表所示:則綠豆發(fā)芽的概率估計(jì)值是(

)A.0.96 B.0.95C.0.94 D.0.90答案答案關(guān)閉B67123452.甲、乙兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是(

)

A.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體的骰子,出現(xiàn)1點(diǎn)的概率B.從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的袋子中任取一球,這3個(gè)球除顏色外無(wú)其他差異,取到紅球的概率C.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率D.任意寫一個(gè)整數(shù),它能被2整除的概率答案答案關(guān)閉B67123453.在一次質(zhì)檢抽測(cè)中,隨機(jī)抽取某攤位20袋食鹽,測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位:g):492

496

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