專題8.7獨立性檢驗的綜合應用大題專項訓練（30道）

【人教A版2019選擇性必修第三冊】

姓名：班級：考號：

I.（2023?貴州?統(tǒng)考?模）自限性疾病是指在發(fā)展到?定階段后會自行恢復的疾病.已知某種自限性疾病

在不用藥物的情況卜一般10天后就可康復.現(xiàn)在只有A藥物是針對該自限性疾病的藥物，為了解人藥物對

該自限性疾病的作用，研究者在患過該自限性疾病凡康復的群體中隨機選取r110人作為樣本進行調(diào)查，

并統(tǒng)計相關數(shù)據(jù)后得到如下的2x2列聯(lián)表.已知在選取的110人中隨機抽取1人，此人為小于10天康復者

的概率為《，此人為未用藥物者的概率為今

康復情況

小于10天康復10天后康復合計

用藥情況

患病期用A藥物30

患病期未用藥物

合計110

（I）請完成上面的列聯(lián)表:

（2）依據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有99%的把握認為患病期用A藥物與小于10天康復有關.

n(ad-bc)2

附：K2=

(n+b)(r4-d)(n+r)(b+rf)'7?=a+b+c+d.

P(K?>心)0.1000.0500.0100.0050.001

ko2.7063.8416.6357.87910.828

【解題思路】（1）根據(jù)小于10天康復者的概率為高，分得到小于10天康復者和10天后康復者人數(shù)，由未

用藥物者的概率為持，得到未用藥物者和用藥物者的人數(shù)，完成2x2列聯(lián)表：

（2）由（1）求得小的值，再與臨界值表對照卜.結論.

【解答過程】（1）解：因為在選取的110人中隨機抽取1人，此人為G于10天康復者的概率為《，所以小

于10天康復者為高乂110=50人，則1（）天后康復者為60人：

又此人為未用藥物者的概率為卷，所以未用藥物者為卷x110=60人，則用藥物者為50人,

則2x2列聯(lián)表如卜表：

康復情況

小于10天康復10天后康復合計

用藥情況

患病期用A藥物302050

患病期未用藥物204060

合計5060110

（2）由（1）知：-2=110X（30X40-20X2?！币?？.82>6.635,

50X60X50X60

所以有99%的把握認為患病期用A藥物與小于10天康復有關.

2.（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考一?模）2022年9月3日至2022年10月8日，因為疫情，貴陽市部分高中學生只

能居家學習，為了監(jiān)測居家學習效果，某校在恢復正常教學后舉行了一次考試，在考試中，發(fā)現(xiàn)學生總體

成績相較疫情前的成績有明顯下降.為了解學生成績下降的原因，學校進行了問卷調(diào)查，從問卷中隨機抽

取了200份學生問卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學生成績下降，在這些成績下降的學生中有54名學生屬于“長時間

使用手機娛樂”（每天使用手機娛樂2個小時以上）的學生.

（1）根據(jù)以上信息，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認為“成績下降”與“長時間使用手機娛

樂”有關？

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計

成績下降

成績未下降

合計90200

⑵在被抽取的200名學生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未卜降''的女生有12人，現(xiàn)從“長時間使用手機娛

樂”且“成績未下降”的學生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進一步訪談，求被訪談

的兩人為一男一女的概率.

參考公式：依一(仲，二(“》其中n-a+"c+d.

尸(小>心)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解題思路】(1)根據(jù)題意完成2x2列聯(lián)表，計算K2,并與臨界值對比分析;

(2)根據(jù)分層抽樣求抽取的人數(shù)，利用列舉法結合古典概型運算求解.

【解答過程】(1)根基題意可得：2x2列聯(lián)表如下：

長時間使用手機娛樂非常時間使用手機娛樂合計

學習成績下降544296

學習成績未下降3668104

合計90110200

_n(ad-bc)2_200X(54X68-42X36)2

?9.44>7.879,

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-90x110x96x104

??.有.99.5%把握認為學習成績下降與噥時間使用手機娛樂”有關.

(2)在抽取的6人中，女生有6x裝=2人，男生有6x2=4人，

3636

設女生為1,2,男生為小b,c,d,從訪談的6人中抽取2人的基本事件共有15種：

(1,2),(1,d),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,h),(2,c),(2,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),

設“被訪談的兩人中一男一女生”為事件A,共有8種，則p(n)=￡.

3.(2023秋?遼寧遼陽?高二期末)某甜品屋店慶當天為酬謝顧客，當天顧客每消費滿一百元獲得一次抽獎

機會，獎品分別為價值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽獎，抽到價值為5元，10元，15元的甜品

的概率分別為g&且每次抽獎的結果相互獨立.

(1)若某人當天共獲得兩次抽獎機會，設這兩次抽獎所獲甜品價值之和為X元，求X的分布列與期望.

(2)某大學“愛牙協(xié)會”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關系，隨機對200名青少年展開了調(diào)查，

得知這200個人中共有120個人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不愛吃甜食“且“無蛀

牙”的也有35人.

有蛀牙無蛀牙

愛吃甜食

不愛吃甜食

完成上面的列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析“愛吃甜食”是否更容易導致青少年“蛀牙”.

(2

附:2_MuU-i/c)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a^b+c+d.

a

0.050.010.005

=P(x2>ko)

k3.8416.6357.879

【解題思路】(1)由題意計得X的所有可能取值為10,15,20,25,30,分別求出對應的概率，即可的X的分布

列，從而求得數(shù)學期望；

(2)由已知填充列聯(lián)表，根據(jù)公式計算出才2,比較臨界值即可.

【解答過程】(1)由題意可得X的所有可能取值為10,15,20,25,30,

P(X=10)=(3=

P(X=15)=2xlxi=l,

/?5?5

P(X=20)=2xlxl+(l)Z=4

P(X=25)=2xix1

P(X=30)=G)2=。

則X的分布列為

X1015202530

11511

P

4318936

故E(X)=10xi+15xi+20x^+25x1+30x^=y.

(2)由題意可得列聯(lián)表如下:

有蛀牙無蛀牙

愛吃甜食8545

不愛吃甜食3535

尸

所有f=200(45*35-85,35=4.487,

120x80x70x130

查表可得P(/2>3.841)=5%,

因為/>3.841,

所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，可以認為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關.

4.(2023春?廣西柳州?高三階段練習)攜號轉網(wǎng)，也稱作號碼攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機

號碼，就能轉換運營商，并享受其提供的各種服務.2019年II月27日，工信部宣布攜號轉網(wǎng)在全國范圍

正式啟動.某運營商為提質(zhì)量保客戶，從運營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務水平和服務水平的評價進行

統(tǒng)計，其中業(yè)務水平的滿意率為服務水平的滿意率為|,對業(yè)務水平和服務水平都滿意的客戶有180人.

(1)完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否行99%的把握認為業(yè)務水平與服務水平有關：

對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務水平滿意人數(shù)

對業(yè)務水平不滿意人數(shù)

合計

(2)為進一步提高服務質(zhì)量在選出的對服務水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進意見，用X表示對業(yè)務

水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望.

附：K?-…(笈:2n-a\b\c\d.

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解題思路】（I）利用題意可完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求出K2,再對照臨界值表即可得出結論;

（2）根據(jù)題意結合超幾何分布求分布列和期望

【解答過程】（1）有題可得對業(yè)務水平滿意的有300乂卷=260人，對服務水平滿意的有300x|=200人,

得2x2列聯(lián)表

對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務水平滿意人數(shù)18080260

對業(yè)務水平不滿意人數(shù)202040

合計20010()30()

經(jīng)計算得爛=鴛?鷺v=5769<6.635,

200x100x260x4013

所以沒有99%的把握認為業(yè)務水平滿意與服務水平滿意有關；

（2）X的可能值為0,1,2,

P（X=0）=^=普，P（X=1）=%^=^.2（乂=2）=尋=焉

<-100VjQQ"Joo1力

所以X的分布列如下

X012

3163219

P

49S99495

則X的期望E(X)=Ox費+1X^+2X住.

5.（2023?全國?模擬預測）某足球協(xié)會統(tǒng)計了以往甲是否擔任某球隊的主教練時該球隊參賽勝與輸?shù)拇螖?shù),

得到數(shù)據(jù)如表所示：

該球隊勝的次數(shù)該球隊輸?shù)拇螖?shù)

甲擔任主教練3030

甲不擔任主教練3010

(I)根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為該球隊參賽的勝與輸與甲是否擔任主教練有關？

(2)根據(jù)以往甲擔任主教練的經(jīng)驗，在某場比賽中，甲在上半場、卜半場與補時階段用完3個換人名額(每

支球隊在比賽中只有3個換人名額)的概率分別為0.4,0.5,0.1,相應該球隊輸?shù)母怕史謩e為0.6,0.2,0.2,

若在某場比賽中甲擔任主教練，且該場比賽進行了補時賽，則在該球隊輸?shù)臈l件下，求甲在下半場用完換

人名額的概率.

附：產(chǎn)-(a+b)(L)3+)c)3+?其中九-。?匕。乙

a0.100.050.010.005

2.7063.8416.6357.879

Xa

【解題思路】(1)提出零假設，利用公式計算比較其與臨界值的大小關系，是否接受假設.

(2)由條件結合全概率公式求P(B),再由條件概率公式求在該球隊輸?shù)臈l件下，甲在下半場用完換人名額的

概率.

【解答過程】(1)零假設為%：該球隊參賽的勝與輸與甲是否擔任主教練無關聯(lián).

根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)，得才2=典謂言附慧敏=6.25>3.841=x0.05.

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，推斷％不成立，

即認為該球隊參賽的勝與輸與甲是否擔任主教練有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.

(2)設事件為表示“甲在上半場用完換人名額”，事件必表示“甲在下半場用完換人名額''，事件｛3表示“甲

在補時階段用完換人名額”，事件8表示“該球隊輸”，

則P(4)=0.4,P(A2)=0.5,P(i43)=0.1,P(8|4)=0.6,P(B\A2)=0.2,P(B&)=0.2,

所以P(B)=P(4B)+P(A2B)+P(4B)=P(4)?P(BMi)4-P(A2)P(B\A2)+P(X3)P(B|43)P(8)=

0.4x0.6+0.5x0.2+0.1x0.2=0.36

所以所求概率PI&IB)=端=甯=*

r(u)U.OOlo

6.(2023?廣西柳州?高三階段練習)攜號轉網(wǎng)，也稱作號攜帶、移機不改號，即無需改變自己的手機號碼,

就能轉換運營商，并享受其提供的各種服務2019年11月27日，工信部宣布攜號轉網(wǎng)在全國范圍正式啟動.某

運營商為提質(zhì)量?？蛻簦瑥倪\營系統(tǒng)中運出300名客戶，對業(yè)務水平和服務水平的評價進行統(tǒng)計，其中業(yè)

務水平的滿意率為黃，服務水平的滿意率為會對業(yè)務水平和服務水平都滿意的客戶有180人.

(1)完成下面2x2列聯(lián)表，并分折是否有99%的把握認為業(yè)務水平與服務水平有關:

對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務水平滿意人數(shù)

對業(yè)務水平不滿意人數(shù)

合計

(2)已知在被調(diào)查的對業(yè)務水平和服務水平不滿意的客戶中有6名男性，其中3名是大學生，現(xiàn)在從這6名

男性中隨機抽取3人，求至少有2名大學生的概率

附:K?一("b)(W("d)'"°+>+c+d.

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解題思路】(1)填寫列聯(lián)表，求出卡方，與6.635比較后得到結論:

(2)列舉法求解古典概型的概率.

【解答過程】(I)

對服務水平滿意人數(shù)對服務水平不滿意人數(shù)合計

對業(yè)務水平滿意人數(shù)18080260

對業(yè)務水平不滿意人數(shù)202040

合計20010030()

“2300X(180X20-80X20)275-,

?=--------------------------=-x5.769<6.635,

260x40x200x10013

沒有99%的把握認為業(yè)務水平與服務水平有關；

(2)設3名大學生分別為a,b,c,另外3名男性為4B,C,

則從這6名男性中隨機抽取3人，共有以下情況：

(a,b,c),(a,b,4),(a,b,B),(a,b,C),(a,c,A),(a,c,B),(a,c,C),(a,A,B),(a,A,C),(a,B,C),

(b,c,A),(b,c,8),(比c,C),(瓦4AC),(b,B,C),(c,A,B),(c,A,C),(c,8,C),(4BtC),

共20種情況，

其中至少有2名大學生的情況有:

(a,be),(a,b,A),(Q,b,B),(a,b,C),(a,c,力),(a,c,B),(a,c,C),(b,c,A),(b,c,B),(b,c,C),

共有10種情況，

故從這6名男性中隨機抽取3人，至少有2名大學生的概率為

7.(2022?廣西梧州??？家荒?第二十二屆世界杯足球賽于2022年在々塔爾舉行，中國觀眾可以通過中央

電視臺體育頻道觀看比賽實況.某機構對某社區(qū)群眾觀看足球比賽的情況進行調(diào)查，將觀看過本次世界杯足

球賽至少10場的人稱為“足球迷”，否QU稱為“非足球迷”.從調(diào)查結果中隨機抽取50份進行分析，得到數(shù)據(jù)如

下表所示:

足球迷非足球迷總計

男2026

女14

總計50

(I)補全2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為是否為“足球迷”與性別有關？

(2)現(xiàn)從抽取的“足球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中隨機抽取2人，求抽取

的2人都為“男足球迷”的概率.

_____n(ad-bc)2_____

附：2)

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'?i=a+/+c+d

P(K2>k。)0.050.010.001

ko3.8416.63510.823

【解題思路】(1)由2x2列聯(lián)表，求K?即可得解；

(2)利用分層抽取的6人中，列出從6人中抽取2人的種數(shù)和抽取的2人都為男足球迷的種數(shù)，即可解答.

【解答過程】(1)列聯(lián)表如下：

足球迷非足球迷總計

男20626

女101424

總計30205C

“2SOX(2OX14-1OX6)2....,工二”

"=——-----------X6.464<6.635,

26X24X30X20

沒有99%的把握認為是否為“足球迷”與性別有關.

（2）從抽取的“足球迷”人群中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人,

這6人中男“足球迷用4人（設為a,b,c,d）,女”足球迷*2人（設為4B）,

從6人中抽取2人有4B,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,cib,QC,ad,be,bd,cd共15種,

記事件M為“抽取的2人都為男足球迷”,

則M包含有ab,ac,ad,be,bd,cd共6種情況,

所以P（M）=捺

8.12023?高二單元測試）從某學校獲取了容量為200的有放同簡單隨機樣本，將所得數(shù)學和語文期末考試

成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如卜.:

語文成績

數(shù)學成績合計

不優(yōu)秀優(yōu)秀

不優(yōu)秀8040120

優(yōu)秀404080

合計12080200

（I）依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗能否認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián)？

（2）從200個樣本中任取3個，記這3人中語文數(shù)學成績至少一門優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

附：

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

_____n(ad-bc)2_____

參考公式：X2=其中九=Q+b+C+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【解題思路】（1）計兜出公，比較臨界值可得;

（2）確定X的取值可能為0,1,2,3,求巴語文數(shù)學成績至少?門優(yōu)秀的概率P,然后由獨立重復試驗的概率公

式計算概率得分布列，再由期望公式計算期望.

【解答過程】（1）根據(jù)表格計算可得:

,200x(80x40-40x40)2

X2=-----7^7：———~—-----?5.556>3,841=X

4120x80x120x80Q00055

所以依據(jù)。=0.05的獨立性檢驗，即認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián):

（2）語文數(shù)學成績至少一門優(yōu)秀的概率為P=1-^=1,

因為X的取值可能為0,1,2,3,

P。=。)=C?(/=哉,P(X=1)=洸)(丁=券

P(X=2)=陽丁(|)=蔑,P(X=3)=?(丁=急

所以X的分布列為:

X0123

8365427

P

12512512512S

于是，E(X)=0X￡+1X^+2'栽+3x急屋.

9.（2023?四川?校聯(lián)考一模）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某學校對學生是否經(jīng)常鍛煉的

情況進行了調(diào)查.從本校學生中隨機選取了800名學生進行調(diào)杳了解，并將調(diào)查結果（“經(jīng)?！被颉安唤?jīng)常”）

制成下表所示的列聯(lián)表：

性別不經(jīng)常經(jīng)營合計

女生200300500

男生150150300

合計350450800

（I）通過計算判斷，有沒有99%的把握認為性別因素與學生鍛煉的經(jīng)常性有關？

（2）將頻率視作概率.若該學校有4000名學生，估計?該校經(jīng)常鍛煉的學生人數(shù).

附表及公式：

P(K?>ko)0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

______n(ad-bc)2______

其中H=?i=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【解題思路】（1）計和K2的值，與附表中的值比較，可得結論:

（2）求出樣本數(shù)據(jù)中經(jīng)常鍛煉的學生的頻率，將頻率視為概率，即可求得該校經(jīng)常鍛煉的學生人數(shù)的估計

值.

【解答過程】⑴由題，有Y=皿黑黑黑藍黑了=署，7.619>6.635,

因此，有99%的把握認為性別因素與學生鍛煉的經(jīng)常性有美系.

（2）由圖表可知，樣本數(shù)據(jù)中，經(jīng)常鍛煉的學生人數(shù)為450,頻率為黑=白，

oOU16

將頻率視為概率，則在該校隨機抽取一名學生，抽取到經(jīng)常鍛煉的學生的概率為白,

16

則該校4000名學生中，經(jīng)常鍛煉的學生人數(shù)的估計值為!x4000=2250.

16

10.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模）第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開序幕，這是歷史上首次在北半

球冬季舉行的世界杯足球賽.某市為了解高中生是否關注世界杯足球賽與性別的關系，隨機對該市50名高中

生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.

關注不關注合計

男高中生4

女高中生14

合計

已知在這50名高中生中隨機抽取】人，抽到關注世界杯足球賽的高中生的概率為:

（I）完成上面的2x2列聯(lián)表;

（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認為該市高中生是否關注世界杯足球賽與性別有關.

______n(ad-bc)2______

其中n

(a+b)(c+d)(a+c)(b+a)'=a+b+c+cl.

PG>k0)0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

【解題思路】（1）根據(jù)己知得出四界杯足球賽的高中生人數(shù)，不關注U界杯足球賽的高中生人數(shù)，即可完

成列聯(lián)表：

（2）根據(jù)已知公式得出％2,查表即可得出答案.

【解答過程】（1）由題可知，關注世界杯足球賽的高中生有50x^=40人，

不關注世界杯足球賽的高中生有50-40=10人.

故完成的列聯(lián)表如下：

關注不關注合計

男高中生26430

女高中生14620

合計401050

n(ad-bc)z_50x(26x6-14x4).

⑵/=x2.083,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)30x20x40x10

因為2.083<2.706,

所以沒有90%的把握認為該市高中生是否關注世界杯足球賽與性別有關.

II.（2023春?河南?高三階段練習）某品牌手機廠商為對比48兩款手機屏幕的抗跌性，分別對4,B兩

款各50部手機進行手機跌落測試，屏幕損壞情況如下表：

屏幕無損壞屏幕損壞

A款4010

8款3020

(I)判斷是否有95%的把握認為手機屏幕的抗跌性與手機款式有關？

(2)為方便手機用戶，手機廠商針對4,8兩款手機推出碎屏險服務，在保修期內(nèi)，如果手機屏幕意外損壞，

手機用戶可以享受1次免費更換服務.某人為A,8款各一部手機購買了碎屏險，已知兩部手機在保修期內(nèi)

屏幕意外損壞的概率分別為0.05,0.08,手機屏幕意外損壞相互獨立.：由兩部手機在保修期內(nèi)免費更換屏幕

的次數(shù)一共為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

____"(ad-")z____其中

參考公式：2a+匕+C+d.

K=(a+ft)(c+d)(a+c)(d+d)穴'

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.10.050.010.005

k2.7063.8416.6357.879

【解題思路】(1)利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算K2,對照臨界值表即可判斷：

(2)由X可能的取值計算對應的概率，得到X的分布列，由公式計算數(shù)學期望.

【解答過程】(1)由列聯(lián)表可得，黑泮！=詈、4.76>3.841,

所以有95%的把握認為手機屏幕的抗跌性與手機款式有關.

(2)X可能的取值分別為0,I,2,則

P(X=0)=(1-0.05)x(1-0.08)=0.874,

P(X=1)=0.05x(l-0.08)4-(1-0.05)x0.08=0.122,

P(X=2)=0.05x0.08=0.004.

所以X的分布列為：

X012

P0.874().1220.004

E(X)=1x0.122+2x0.004=0.13.

所以免費更換屏幕的次數(shù)X的期望為0.13.

12.(2023?全國?模擬預測)某校團委針對“學生性別和喜歡課外閱讀”是否有關做了一次不記名調(diào)查，其中

被調(diào)查的全體學生中，女生人數(shù)占總人數(shù)的：調(diào)查結果顯示，男生中有：的人喜歡課外閱讀，女生中有:的

363

人喜歡課外閱讀.

（I）以頻率視為概率，若從該校全體學生中隨機抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜歡課外閱讀的

概率；

（2）若有95%的把握認為喜歡課外閱讀和性別有關，求被調(diào)查的男生至少有多少人？

附：

P(x2>30.0500.010

k。3.8416.635

_____n(ad-bc)2_____

Z27l=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(&+d)'

【解題思路】（1）由相互獨立事件同時發(fā)生的概率，可得結論;

（2）設出男生人數(shù)，列出2x2列聯(lián)表，根據(jù)fz3.841及均為整數(shù)即可求解.

Z36

【解答過程】（1）從該校全體學生中隨機抽取2名男生和2名女生，；，己其中恰有2人喜歡課外閱讀為事件

A,

則P⑷=（期＞?+$畀WWx號急

（2）設被調(diào)查的男生人數(shù)為七則被調(diào)查的女生.人數(shù)為：，則2x2列聯(lián)表為:

喜歡課外閱讀不喜歡課外閱讀合計

X5x

男生X

6~6

XXX

女生

362

X3x

合計X

2~2

若有95%的把握認為喜歡課外閱讀和性別有關，則＞2＞3.841,

即410.243,

因為均為整數(shù)，所以被調(diào)查的男生至少有12人.

236

13.（2023春?寧夏銀川?高三階段練習）人類命運共同體的提法將中國夢融入世界夢，充分展現(xiàn)/中國的大

國擔當.在第75屆聯(lián)合國大會上中國承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳

的排放達到峰值，努力爭取2060年之前實現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標”），此舉展現(xiàn)了我國應對氣候變化的

堅定決心，預示著中國經(jīng)濟結構和經(jīng)濟社會運轉方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠

色化.新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)“雙碳目標”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電

動汽車銷售情況，?機構根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽乍銷量y（單位：萬臺）關于“（年份）

的線性回歸方程為y=4.7%-9459.2,旦銷量y的方差為中=等，年份工的方差為4=2.

（1）求y與4的相關系數(shù)r,并據(jù)此判斷電動汽車銷量y與年份x的相關性強弱；

（2）該機構還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

性別購買非電動汽車購買電動汽車總計

男性39645

女性301545

總計692190

依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為購買電動汽車與車主性別有關：

①參考數(shù)據(jù)：，5乂127=、詬。25：

②參考公式：（i）線性回歸方程：y=Bx+a,其中5=維帛聲舒,a二9一5后

（"）相關系數(shù)：r=?幻（M--，則可判斷y與％線性相關較強.

/②（*「幻2￡%（%一夕）2

③參考臨界值衣:

P?>跖）0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

【解題思路】⑴利用相關系數(shù)r的求解公式，并轉化為5和方差之間的關系，代入計算即可：

（2）直接利用獨立性檢驗公式求出公，根據(jù)零點假設定理判斷購買電動汽車與車主性別是否有關；

【解答過程】（1）相關系數(shù)為r=,（所幻5-霜=：=積?卡，a-4:八里二6.

止匕（々一幻2￡%⑶廠爐工=15T）加匕5一夕）2啊

退

我

=4?x德=忌焉=凝喘=0.94>0.9故y與%線性相關較強.

(2)零假設為%：購頭電動汽車與車主性別相互獨立，

即購買電動汽車與車.主性別無關.

2

X=------2---------------=90X(39X15-30X6)2之5Q3I>3.841,

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)45x45x69x21

所以依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷先不成立，

即認為購買電動汽車與車主性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

14.(2023春?河南新鄉(xiāng)?高三開學考試)在數(shù)字化時代，電子書閱讀給人們的閱讀方式、認知模式與思維習

慣帶來了改變，電子書閱讀的快速增長也再次引發(fā)人們對相關問題的思考.某地對本地群眾(中老年人與年

輕人)的年齡與閱讀習慣(經(jīng)常電子閱讀與經(jīng)常紙質(zhì)閱讀)進行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：

年輕人中老年人合計

經(jīng)常電子閱讀503585

經(jīng)常紙質(zhì)閱讀X)'115

合計MN200

設從經(jīng)常電子閱讀的人中任取1人，記抽取的中老年人數(shù)為《：從經(jīng)常紙質(zhì)閱讀的人中任取1人，記抽取的

中老年人數(shù)為小已知P(f=0)=那何=0).

(I)求列聯(lián)衣中x,y,M,N的值，并判斷是否有95%的把握認為閱讀習慣與年齡有關；

⑵從年輕人中按閱讀習慣用分層抽樣的方法抽出6人，再從抽出的6人中用簡單隨機抽樣的方法抽取4人,

若其中經(jīng)常電子閱讀的人數(shù)為X,求P(X=2).

參考公式及參考數(shù)據(jù)：

K?=…黑蒜…)，其中…+HC+&

P(K2>k0)0.100.050.0100.005

ko2.7063.8416.6357.879

【解題思路】(I)根據(jù)題意，分析表格中的數(shù)據(jù)求出工、)，、M、N的值，結合卡方公式計算和獨立性檢驗

的思想即可下結論：

(2)利用列舉法寫出所有的基本事件，結合古典概型的概率計算公式計算即可求解.

【解答過程】⑴因為=O)=^PS=O),所以卷=^x&,

1fob171lo

解得T=50,y=65,M=100,/V=100.

因為代=200X(50X65-35X50)2=180046Q4>3541,

100x100x115x85391

所以有95%的把握認為閱讀習慣與年齡有關.

(2)由題意可知，抽出的6人中，經(jīng)常電子閱讀的有3人，分別記為A,B,C,經(jīng)常紙質(zhì)閱讀的有3人，

分別記為小b,c,

從中抽取4人，貝IJ基本事件有ABCa,ABCb,ABCc,ACab,ACac,ACbc,BCab,BCac,BCbc,

ABab,ABbc,ABac,Aabc,Babe,Cabc,共15種，

其中X=2的基本事件有ACac,ACbc,BCab,BCac,BCbc,ABab,ABbe,ABac,共9種

所以P(X=2)=於.

15.(2023?全國?模擬預測)2020年，教育部啟動實施強基計劃.強基計劃聚焦國家重大戰(zhàn)略需求，突出基

礎學科的支撐引領作用.三年來，強基計劃共錄取新生1.8萬余人.為響應國家號召，某校2022年7月成

立了“強基培優(yōu)”拓展培訓班，從高一入校時中考數(shù)學成績前100名的學生中選取了50名對數(shù)學學科研究有

志向、有興趣、有天賦的學生進行拓展培訓.為了解數(shù)學“強基培優(yōu)''拓展培訓的效果，在高二時舉辦了?次

數(shù)學競賽，這100名學生的成績(滿分為150分)情況如下表所示.

成績不低于135分成績低于135分總計

參加過培訓401050

未參加過培訓203050

總計6040100

(I)能否有99%的把握認為學生的數(shù)學競賽成績與是否參加“強基培優(yōu)”拓展培訓有關？

(2)從成績不低于135分的這60名學生中，按是否參加過“強基培優(yōu)”拓展培訓采用分層抽樣，隨機抽取了6

人，再從這6人中隨機抽取2人代表學校參加區(qū)里的數(shù)學素養(yǎng)大賽，求這2人中至少有一人未參加過培訓

的概率.

參考公式：K2_g+b)(L)(a±)(b+d)，其中…+b+c+d.

P(K2

0.100.050.0250.0100.001

Nk。)

ko2.7063.8415.0246.63510.828

【解題思路】（1）根據(jù)技中數(shù)據(jù)和參考公式代入計算并與6.635比較即可得出結論；（2）由分層抽樣可知

參加過培訓的有4人，未參加過的有2人，列舉出6人中隨機抽取2人的所有基本事件，再選出符合條件

的事件數(shù)即可求得結果.

【解答過程】（1））根據(jù)列聯(lián)表代入計算可得：

Y=】?！阋?。'3—。）2=*]6.667>6,635,

60x40x50x503

所以有99%的把握認為學生的數(shù)學競賽成績與是否參加“強基培優(yōu)”拓展培訓有關.

（2）山題意可知，所抽取的6名學生中參加過,?強基培優(yōu)”拓展培訓的有4人，記為①，A2,A3,A.,

未參加過“強基培優(yōu)”拓展培訓的有2人，設為甲、乙.

從這6人中隨機抽取2人的所有基本事件有｛/1，4｝，｛4,&｝，｛4,4｝，｛41，甲｝，｛&，乙｝，｛42，/｝，｛力2,4｝，

｛%，甲｝，｛/，乙｝，｛勺，4｝，｛&，甲｝，｛勺，乙｝，飽，甲｝，｛4,乙｝，｛甲,乙｝，共15個,

其中至少有一人未參加過培訓的基本事件有｛4,甲｝,｛&，甲｝，｛/，甲｝，｛4,甲｝，｛甲,乙｝，｛&，乙｝，｛/，乙｝，

｛心,乙｝，｛人4，乙｝，共9個.

故至少有一人未參加過培訓的概率P=V=1?

16.（2023?全國?模擬預測）2022年9月23日，以“慶豐收同心共富，迎盛會齊向未來”為主題的第五個中

國農(nóng)民豐收節(jié)開幕式在鹽城市射陽縣海河鎮(zhèn)舉行.射陽縣政府同步開展以“濕地綠城慶豐收、向海圖強迎盛

會”為主題的農(nóng)民豐收節(jié)系列活動，現(xiàn)從某活動現(xiàn)場的觀眾中隨機抽取200名（其中男性120名），了解他

們對該活動的滿意情況，得到卜.表.

不滿意滿意總計

男性75

女性50

總計200

（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值。=0.001的獨立性檢驗，能否認為性別與對活動的滿意

度有關？

（2）該活動現(xiàn)場還舉行了有獎促銷活動，凡當天消費每滿500元，可抽獎一次.抽獎方案是：從裝有3個紅

球和3個白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎箱里一次性摸出2個球，若摸出2個紅球，則可獲得

80元現(xiàn)金的返現(xiàn):若摸出1個紅球，則可獲得40元現(xiàn)金的返現(xiàn):若沒摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn).若

某觀眾當天消費1000元，記該觀眾參加抽獎獲得的返現(xiàn)金額為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

_____n(ad-bc)2_____

其中九=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.1000.0500.0100.001

xa2.7063.8416.63510.828

【解題思路】（1）寫出零假設，補全2x2列聯(lián)表，計算f的值，并與臨界值比較，得出結論；

（2）分別求出一次摸球摸出0,1,2個紅球的概率，寫出X的所有可能取值及對應取值的概率，寫出X

的分布列并計算其數(shù)學期望

【解答過程】（1）設為〃“：性別與對活動的滿意度無關.

由題意，抽取的200名觀眾中男性有120名，女性有80名，

補全的2x2列聯(lián)表如下：

不滿意滿意總計

男性4575120

女性503080

總計95105200

200X(45X30-75X50)2

則/=?12.03>10.828

95x105x80x120

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，我們推斷也不成立，即認為性別與對活動的滿意度有關，此推斷犯

錯誤的概率不大于0.001.

（2）設一次摸球摸出2個紅球的事件為A,摸出1個紅球的事件為8,沒摸出紅球的事件為C,

則PG4)=胃=，，P(B)=^=￡P(C)=、=m

由題意，X可取160,120,80,40,0.

P(X=160)=1x1=^,

P(X=120)=2x|x1=^,

P(X=80)=|x|+2x|xi=||,

P(X=40)=2xgx”另

P(X=o)=,xg=表,

所以X的分布列為

X16012080400

161161

P

2525252525

F（X：=160x^+120x^+80x1|+40x^+0x^=80.

17.（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預測）2022年9月3口至2022年10月8口，因為疫情，貴陽市部分高中學

生只能居家學習，為了監(jiān)測居家學習效果，某校在恢復正常教學后舉行了一次考試，在考試中，發(fā)現(xiàn)學生

總體成績相較疫情前的成績有明顯下降，為了解學生成績下降的原因，學校進行了問卷調(diào)查，從問卷中隨

機抽取了200份學生問卷，發(fā)現(xiàn)其中有96名學生成績下降，在這些成績下降的學生中有54名學生屬尸，長

時間使用手機娛樂”（每天使用手機娛樂2個小時以上）的學生.

（1）根據(jù)以上信息，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%把握認為“成績下降”與“長時間使用手機娛

樂”有關？

長時間使用手機娛樂非長時間使用手機娛樂合計

成績下降

成績未下降

合計90200

(2)在被抽取的200名學生中“長時間使用手機娛樂”且“成績未下降”的女生有12人，現(xiàn)從“長時間使用手機娛

樂''且"成績未卜降”的學生中按性別分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人訪該，記被抽取