2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第73煉求參數(shù)

的取值范圍合答案第73煉求參數(shù)的取值范圍

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

求參數(shù)的取值范圍宏觀上有兩種思路：一個(gè)是通過(guò)解不等式求解，一個(gè)是利用函數(shù)，通

過(guò)解函數(shù)的值域求得參數(shù)范圍

1、解不等式：通過(guò)題目條件建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而通過(guò)解不等式進(jìn)行求解。常見(jiàn)的

不等關(guān)系如下：

（1）圓錐曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍

①橢圓（以—+士~=1(?>/?>0)為例)，則xe[-a,a],ye[-b,h]

a~b~

②雙曲線：（以；?一方■二1（4,0）為例），貝（左支）U[c7,*o）（右支）

ywR

③拋物線：（以y?為例，則XW[0,~HX））

（2）直線與圓錐曲線位置關(guān)系：若直線與圓錐曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則聯(lián)立消元后的一元二

次方程△>0

22

（3）點(diǎn)與橢圓（以'+營(yíng)=1（〃>〃>0）為例）位置關(guān)系：若點(diǎn)（%,%）在橢圓內(nèi)，則

^0.501

r+不<<1

crb-

（4）題目條件中的不等美系，有時(shí)是解決參數(shù)取值范圍的關(guān)鍵條件

2、利用函數(shù)關(guān)系求得值域：題目中除了所求變量，還存在一個(gè)（或兩個(gè)）輔助變量，通過(guò)

條件可建立起變量間的等式，進(jìn)而可將等式變形為所求變量關(guān)丁輔助變量的函數(shù)，確定輔助

變量的范圍后，則可求解函數(shù)的值域，即為參數(shù)取值范圍

（1）一元函數(shù)：建立.所求變量與某個(gè)輔助變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)

的值域，常見(jiàn)的函數(shù)有：①二次函數(shù)；②“對(duì)勾函數(shù)"y=x+@（a>0）；③反比例函

X'

數(shù)；④分式函數(shù)。若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過(guò)換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用

導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決。

（2）二元函數(shù)：若題目中涉及變量較多，通過(guò)代換消元最后得到所求參數(shù)與兩個(gè)變量的表

達(dá)式，則可通過(guò)均值不等式，放縮消元或數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決。

3、兩種方法的選擇與決策：通常與題目所給的條件相關(guān)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

（1）若題目中含有某個(gè)變量的范圍，則可以優(yōu)先考慮函數(shù)的方向，將該變量視為自變量，

建立所求變量與自變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得值域

（2）若題目中含有某個(gè)表達(dá)式的范圍（或不等式），一方面可以考慮將表達(dá)式視為整體，看

能否轉(zhuǎn)為（I）的問(wèn)題進(jìn)行處理，或者將該表達(dá)式中的項(xiàng)用所求變量進(jìn)行表示，從而建立起

關(guān)于該變量的不等式，解不等式即可

二、典型例題：

例1：已知橢圓。：二+4=1（。＞人＞（））,耳、乃是其左右焦點(diǎn)，離心率為如，且經(jīng)

crb3

過(guò)點(diǎn)（3,1）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若4,4分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，。為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AQ斜率為％,且

求直線A?Q斜率的取值范圍；

解：（1）e=—==

a3

二.橢圓方程為：=十[=1代入（3,1）可得：6=4

3b~b~

22

：.a2=3b2=\2橢圓方程為：—+^-=1

124

⑵由（1）可得：A（-273,0）,^（2Ao）設(shè)Q（Y,y）,

則k=7=k=7=

x+26AQ9x-26

?k-k二_________

“x+26x-2g_=1r2

???Q在橢圓上—+^-=1^/=-!-（12-X2）

13

例2：已知橢圓。：二十==1（4>〃>0）的離心率為衛(wèi)，其左，右焦點(diǎn)分別是R，K，

a~b~2

過(guò)點(diǎn)匕的直線/交橢圓。于E,G兩點(diǎn)，且^EG鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為4夜

（1）求橢圓C的方程

（2）若過(guò)點(diǎn)M（2,0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A8,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足

OA^OB=tOP（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)好-麗卜三二時(shí)，求實(shí)數(shù)f的取值范圍

解：（1）e=—=:.a:b:c=>/2:1:1

a2

△EG"的周長(zhǎng)。=4。=40=。=應(yīng)

/.Z?=1

2

橢圓方程為：y+/=l

（2）設(shè)直線48的方程為丫=k（%—2）,人（入〕,,）,4（工2，%），P（%y）

—.—.—.[x.+x-,=tx

OA+OB=tOP12

?i+%=（y

聯(lián)立直線與橢圓方程：|了一—2）=（1+2抬_sk2x+弘2_2=0

x2+2,y2=l'7

A=[Sk2）2-4（1+2k:）（Sk2-2）>0,解得：k2<-

2

8k28/4k

x.1+x2,=--——,y.+y.=K（X.+x,）-4左=-----4k=----；——

2/+1'力幾V12/2k2+]2二+1

8-

“3+1）

如?24k

代入彳+），2=1可得:J（2/+1）J+「02+1）,

_44

由條件I西一麗卜手可得：I麗卜半

2

：.\AB\=\J\+k|xt-x2\<

）看］<￡，代入西8k2_2

+%2_4$可得:

2公+1

=（4-一1）04火2+13）>0

16k2I,1哈4

-------7=16--------

皿4+2

k2

2/辿/

?ttG—2,3嚴(yán)13,"2

X2V2=l（4>b>0）的離心率為白，且在所

例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：r+=

a“l(fā)r

有過(guò)焦點(diǎn)的弦中，弦長(zhǎng)的展小值為百

（1）求橢圓方程

（2）若過(guò)點(diǎn)8（0,2）的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)及尸（E在8,產(chǎn)之間），求三角形

OBE與三角形OBF面積比值的范圍

解：（I）e=3=立~:.a:b:c=j2:\:\

ci2

由橢圓性質(zhì)可得，焦點(diǎn)弦的最小值為子=J5

/.b=1,67=5/2

.,?橢圓方程為三+V=]

⑵設(shè)/:>=辰+2,￡（不，），1）,/（工2，）’2）

SRBE=J?|。卻?岡=㈤，2。"=；?|。如岡=國(guó)

聯(lián)立直線與橢圓方程:

y=kx+2/,、，

,,=1+2代卜2+8履+6=()

x2+2y2=2v)

.?.△=(8%)2-24(l+2M)>0n公

2

8攵6

X+X=-------7，X.X2=-----r>0工[,々同號(hào)

1一i+2k2Jl+2k2

'3k、

2

(%i+-^2)_<1+2k",32k=土+三+2

中263(1+2^)王

1+2F

?「732y321(16

---------e4,——

2.?3(1+24)32+3I3

k2

4〈±+工+2<3

x2X13

設(shè)，二五>0,所解不等式為：

?11

%++2<16n<*<3

-一1

/3?

-3

“△OBE心」）U（1，3）

q

?△OBF

22/個(gè)

例4：已知橢圓G：=+=的離心率為組，直線/:y=x+2與以原點(diǎn)為

a~b~3

圓心，橢圓c的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切

（1）求橢圓G的方程

（2）設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為E，右焦點(diǎn)為鳥(niǎo)，直線4過(guò)點(diǎn)g且垂百于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線

垂直于直線小垂足為點(diǎn)線段的垂直平分線交4于點(diǎn)加，求點(diǎn)”的軌跡。2的方

程

（3）設(shè)G與X軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)4S在。2上，且滿足QR-R?=O,求|。司的取

值范圍

解：（1〉e=—=—a=\/3cy二八十2與圓人2十#二〃2相切

a3

2

do_f=-^==b：.b=\[l

?「a=\[3cb1=a2-c2=2c2即c2=1,解得c=1

a=>/3

,￡：《+J

132

（2）由（1）可得4：x=-l?.?線段P用的垂直平分線交，2于點(diǎn)M

尸M|=|M國(guó)即4l=|M國(guó)

.?.M的軌跡為以乙為焦點(diǎn)，乙為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)為）/=2/沈（〃>0）

2

Vp=2：.C2:y=4x

/2\/2、

（3）思路：由已知可得。（0,0）,設(shè)R,S&,為，則所求司為關(guān)于力的函數(shù)，

只需確定為的范圍即可，因?yàn)镼RR及=0,所以有可能對(duì)％的取值有影響，可利用此條

件得到），2關(guān)于力的函數(shù)，從而求得為范圍。

解：c2與橢圓的交點(diǎn)為。（0,0）,設(shè)R,s牛,），2

...宓=(?,))廊

y>，2J|

:.QRRS='("Ly^y2-30=0,因?yàn)?工必，化簡(jiǎn)可得:

16

16尸、

%二一>i+—①

Iyj

由①可得￡=y+3=弁+駕+3222)#.駕+32=64

…IyjXVX

.?.￡264時(shí)，可得因=；“￡+8)2-64284

.?.0同8底+8)

22

例5：已知橢圓+#=1（Q〉〃>0）的離心率e二;，左焦點(diǎn)為耳，橢圓上的點(diǎn)到月

距離的最大值為8

（1）求橢圓C的方程

（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)N的直線/與圓/+）,2=36交于G,"兩點(diǎn)，/與點(diǎn)。的軌

跡交于P,Q兩點(diǎn)，旦|G川￡[8&,2衣],求橢圓的弦|RQ卜氏的取值范圍

解：（I）由離心率可得：e=-=-:.a:b:c=3:2yf2:\

a3

依題意可得：/7+c=8可得：a=6,c=2

/.b2=a2—c2=32

22

橢圓方程為：巳-工=1

3632

x

（2）由（1）可得橢圓方程為1+21=1不妨設(shè)N（2,0）

3632

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，|G”|=80,符合題意，可得：\RQ\=—

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

2\k\

設(shè)直線I:j=/:（%-2）do_t=1

Jl+公T

碼=36-*〃/

在圓Y+）尸=36中d2=

?/\GH\e[8&,2南]可得：2?"2《4=2W<4

解得：k2>l

設(shè)尺（玉,）1）,。（王，）’2），聯(lián)立直線與橢圓方程：

y=Mx-2）

X2/消去），可得：記+不公（X—2『二1

13632

/.（9k2+8）x2-36/1+36攵2-288=0

，…=孚5=^^=^1

-9公+8-9/+89^+8

2

|RQ\=J1+⑹丁-x2|=Jl+k?+々）2-4中3

36k2436（公一8）

=Jl+/.

（9-+8J9^+8

=行」（36用2-436佯-8乂9公+8）

”+8）2

?12

=12

9^+8一

k1

QO1c)9

由左221可得：—<|/?Q|<—

31117

3219?

綜上所述：忸@的取值范圍是y,—

例6：已知橢圓G：二十與=1>Z?>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)片,居，

a~h~

動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，且使得/々尸產(chǎn)=90的點(diǎn)。恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)

P到焦點(diǎn)耳的距離的最大值為2+收

（1）求橢圓C1的方程

（2）如圖，以橢圓G的長(zhǎng)軸為直徑作圓。2,過(guò)直線工=-2血上的動(dòng)點(diǎn)了，作圓C?的兩

網(wǎng)

條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為A3,若直線AB與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)C。，求31的取值

范圍

解：（1）?.?使得“二90的點(diǎn)P恰有兩個(gè)

.?.N￡P(guān)g的最大值為90

尸為短軸頂點(diǎn)時(shí)，Zf；PF=90

/.b=ca?=獷+c2-2b?=>a=41b=y(2c

p到焦點(diǎn)耳的距離的最大值為。+c=2J5

ci=2,c=x/2

Vy

二.橢圓G的方程:------1-----=

4

（2）由橢圓方程可得圓G：/+y2=4

設(shè)丁卜由圓的性質(zhì)可得:

AT:xix+y}y=4,BT:x2x+y2y=4

—2\/2x+ty.-4?—

代人了(-201)可得一1'/.AB滿足方程-2yJ2x+)-4=0

-2,2工2+ty2=4

4

則。到AB的距離do_AB=-7==

V8+r2

:.\AB\=2ylr2-dl_

AB=4fe

2

2&x+f)-4=(/2+i6)y-8(y-16=0

下面計(jì)算|cq：聯(lián)立方程

J+2)，2=4、二-

設(shè)。(七,為),。(％)，4)

8r16

二百%)"一中

?」CQ|=41+天民一刃小1+%)2—4)以=4,十；：)

\AB\_lr+4r2-16_lr+4r2+16

\CD\vr+84(/+8)V2+8(r+8)

不妨設(shè)m="+8(加之8)

\AB\_?+12病一256'12256

1+—

jcB|-V"2‘mm

1(1、\AB\

設(shè)一=s0<5<-,所以^~~=Jl+12s-256s

m

設(shè)〃s)=l+12s—256d

/(9)=12-768.92=0=>.?=-

8

(I

"(s)在"單調(diào)遞增

所以W],即爵(1,萬(wàn)I

2、

x~v~（3、

例7：已知橢圓+=1（〃>/?>（））過(guò)點(diǎn)1,—?且離心率6=—

k2，2

（1）求橢圓方程

（2）若直線/:），=辰+〃7（2工0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的垂直平分

線過(guò)定點(diǎn)求2的取值范圍

解：（1）c=￡可得：a\b\c=\\

a2

22/鼻、

橢圓方程為匚+工=1,代入1,一可得:

4c23c2I2）

二.橢圓方程為：—+2-=1

43

設(shè)"（內(nèi),y）,N（X2，%），聯(lián)立方程可得：

3x+4），-12=0+4出2卜2+8切及—4"/-12=0

y=kx+m'7

/.A=（8hw）2-4（3+4斤）（4—一12）=6442加2一4（16左292-48it2+12m2-36）

=4（48%2-12小+36）>0

nr<4攵2+3

設(shè)MN中點(diǎn)PG。,%）,則p（笑乜，入/

=一^7?）”為=仙+馬）+2，〃=^^

-Akm3m、

"14公+3NF+3J

則MN的中垂線為：y--^―=--4km（1）

x+，代入-,0可得:

4H+3k4k2+3\8J

加=一，（4公+3）,代入“v442+3可得:

8八7

2

-飄2+3）<4k2+3

4攵2+3<64K=^>Z:2>—

20

k-或k<

10

即攵的取值范圍是

例8：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，原點(diǎn)為。，拋物線C的方程為x2=4y，線段AB是拋物線

C的一條動(dòng)弦.

（1）求拋物線C的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)產(chǎn)；

（2）當(dāng)|A0=8時(shí)，設(shè)圓口：/+（y一1）2=，（,.〉0）,若存在且僅存在兩條動(dòng)弦4日滿足

直線A3與圓。相切，求半徑，?的取值范圍？

解：（1）由拋物線/=4y可得：/（0,1）,準(zhǔn)線方程：y=-\

（2）設(shè)直線AB:y=Ax+b,4（不區(qū)）,8（孫必），聯(lián)立方程:

y=kx+b.

:=>x2-4kx-4b=0

k=4y

/.Xj+x2=4kyx]x2=-4b

2222

|AB\=Jl+k?1^—x2|=\J\+k\J\6k+16/?=8n\J\+k\lk+b=2

、4口

：.b=------k-

l+k2

與圓相切dDAH==r

/—,不妨令廣=」1+公力2i

Ji+公

p--M<r<V2

44

貝"二jT，令/⑺=

t

.?./(/)在［1,亞］單調(diào)遞減，在(J5,+8)單調(diào)遞增

"1)=3

則若關(guān)于々的方程有兩解，只需關(guān)于/的方程有一解

二.廠>3時(shí)，y=〃與)，=有一個(gè)交點(diǎn)

r>3

例9：已知橢圓。：￡+孑=1,>〃>0)的離心率為乎，耳，鳥(niǎo)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

是橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是8+2厲

(1)求橢圓c的方程一—心、

(2)設(shè)圓T:(x—r)2+)：2=1,過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作圓下的兩條；

切線交橢圓于￡尸兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在x軸上移動(dòng)且，￡(1,3)時(shí)，求丁

所的斜率和取值范圍

解：(I)e=—=/.a::c=4:1:V15

a4

△尸瓦瑪?shù)闹荛L(zhǎng)<=|/用+|尸制+|P同=2a+2c=8+2/

a—4,c—J15

b2=a2-c2=1

二橢圓方程為：—+y2=l

16,

(2)由橢圓方程可得：M(OJ)，設(shè)過(guò)M且與圓7相切的直線方程為y=&/+l(i=l,2)

,〃=鐘…2

所3

3隔+1|=2J6+109(V+1)2=4(^+1),整理可得:

(9產(chǎn)-4*+18優(yōu)+5=()

/.兩條切線斜率k、,k2是方程(9/一49+18今+5=()的兩根

聯(lián)立直線與橢圓方程可得:

y=k.x+l/.

,、消去），可得：++32Kx=0

r+16）產(chǎn)=16'7

3?Zr32k2

同理可得：》

1+16公

yE-yF_（匕與+1）一化4+1）_小-k2xF

（__32k、）（32k2、

JT7喏廠20TT16Ml=ki+k2

32匕（32k2]-1-16^2

-1+166-51+166,

由（9--4*+18戊+5=0可得:k、+b=--^-￡2,=—^―

9/2-41~9/2-4

18/

設(shè)/?）=6?二一，可知/（1）為增函數(shù)，?.?，￡（1,3）

y-3r

例10：已知橢圓（？：，■+，=1（〃＞人＞0）,其中耳，氏為左右焦點(diǎn)，且離心率為6=9，

宜線/與橢圓交于兩不同點(diǎn)尸（N，y）,Q（X2，%），當(dāng)直線/過(guò)

7T

橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為了時(shí)，原點(diǎn)。到直線/的距離為

CF2

V2

2

（1）求橢圓C的方程

（2）若麗+的=麗，當(dāng)△OPQ的面積為當(dāng)時(shí),求|網(wǎng)?］闋的最大值

解：（1）設(shè)直線/:y=x-c

.c\[2

e=—=a=>/3c=6

a3

:.lr=a2-c2=2

22

二.橢圓方程為工+2=1

32

（2）若直線/斜率存在，設(shè)/：），=履+m，P（%,y）,2（孫力）

OP+OQ=ON/.N（芭+/,?+%）

y—kx+777）.」

聯(lián)立方程：22+32—6消去）可得：2^+3（左t+加）-=6,整理可得:

（3上2+2）f+6hnx+3nr-6=0

A=（6如?『一4（3公+2）（362-6）=24（3公+2-w2）＞0

.\3k2+2>m2

6km3m2-6

x.+x^=----；----，入出=—；----

123P+2'-3〃2+2

6kmc4"?

y+y=k（%+x）+2m=k-+2m=-；----

22I3A:2+2J3^+2

6kmAm

?N----------

一13/+2'3/+2,

276?J1+人.J3k2+2-m

考慮\PQ\=Jl+公?+x）2-4XX=

2]23k2+2

m

do-i=I-----T

Jl+K

［閘4總”后歷.2+2”2

?q制;瓜

??*OPQ3r+2

2My]3k2+2-m2=3k2+2

4/zi2（3廿+2-62）=（3二+2）2=＞（3/+2丫-4/（3k2+2）+（2〃/『=0

即（3k2+2-2團(tuán)2）2=0

:.3k2+2=2m2

6km4，〃'6km4〃z、3k2

:.N而，而,

3r+2'3&2+2Z「m'm）

29k246療一64,2

:.\ON\二版+旋=丁十版二6-市

.2m2-2）

1+—

1Pgi2_24（1+F）（3K2"）〃'3J

1G|=4+3

~一所可一4/M4nr

.??|0限閘2=(6一與4+艱卜

=25

\，〃八〃//

等號(hào)成立條件：6—±二4+±=，〃=±J5

"2~m~

m=±五時(shí)|。/可?|圖的最大值是5

當(dāng)斜率不存在時(shí)，P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)P>0

瓜

???54。改=3忖0卜|2%|=工0：%=半，再由牛+技=1可得：.

Xo=T

.為T(mén)

可計(jì)算出|網(wǎng)?同卜2、后<5

三、歷年好題精選

、已知點(diǎn)尸是雙曲線三-二二上的動(dòng)點(diǎn),

11片,5分別是雙

84

曲線的左右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則修+產(chǎn)的取值范圍

|。尸|

是(）

A.[0,6]B.(2,甸C.

2、（2015,新課標(biāo)I）已知例（%,%）是雙曲線C:工-V=i上的一點(diǎn)，耳，鳥(niǎo)是。上的

兩個(gè)焦點(diǎn)，若麗?近＜0,則凡的取值范圍是（）

G0G02x/22萬(wàn)2G24、

3366亍，丁T-，3

3、（2014,四川）設(shè)5過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+/町，=0和過(guò)定點(diǎn)3的動(dòng)直線

nvc-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x,y）,則|B4|?|典的最大值是

4、（2016,廣東省四校第二次聯(lián)考）拋物線）P=2pMp＞0）的焦點(diǎn)為尸，已知點(diǎn)A3為

拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足N4所=120,過(guò)弦43的

中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則怛｝的4

最大值為（）N----

5、（2016,貴州模擬）設(shè)橢圓C:三十與=1（。＞力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為白，鳥(niǎo)，上頂

點(diǎn)為4,過(guò)點(diǎn)A與人工垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且"是線段。入的中點(diǎn)，若果

AQ,乙三點(diǎn)的圓恰好與直線/:x-6y-3=0相切.

（1）求橢圓C的方程：

（2）過(guò)定點(diǎn)M（0,2）的直線4與橢圓。交于G,"兩點(diǎn)，且|附＞眼，卜若實(shí)數(shù)%滿足

=求4+—的取值范圍.

2

6、（2015,山東理）平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知橢圓C：二+二=1（。＞/?＞0）的離心率

ab~

為立，左、右焦點(diǎn)分別是"，"，以耳為圓心，以3為半徑的圓與以鳥(niǎo)為圓心，以1為半

徑的圓相交,交點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

2J

（2）設(shè)橢圓E:J+二=1,尸為橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線＞'="+〃2交橢

4a~43

圓E于A5兩點(diǎn)，射線P。交橢圓E于點(diǎn)。

①求躲!的值;②求A3Q面積最大值.

22

7、（2014,四川）已知橢圓。：7+%=1（。＞力＞0）的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與

長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）設(shè)“為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過(guò)尸作7卜的垂線交橢圓Cr

點(diǎn)、P,Q

①證明：or平分線段尸。（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

②當(dāng)口斗最小時(shí)，求點(diǎn)了的坐標(biāo)

閘

22

8、（2014,湖南）如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓G：,+的左右焦點(diǎn)分別

為心區(qū),離心率為,；雙曲線C2：*■一親■二乂?！怠Ｄ耍?）的左右焦點(diǎn)分別為鳥(niǎo)，玲,

離心率為e2,已知e}e2=當(dāng),且

（1）求C；，G的方程

（2）過(guò)寫(xiě)作G的不垂直于），軸的弦AB.M為AB的中點(diǎn),

當(dāng)直線OM與G交于P,。兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值

9、（2014,山東）已知拋物線C:y2=2〃x（p＞0）的焦點(diǎn)為尸，A為。上異于原點(diǎn)的任意

一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線/交C于另一點(diǎn)8,交x軸的正半軸于點(diǎn)。，且有|E4|=|ED|,當(dāng)A

的橫坐標(biāo)為3時(shí)，力/為正三角形

（1）求C的方程

（2）若直線4〃/,且4和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)￡1

①證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)

②的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

10、（淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市2016屆高三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系my

x7V/■

中，已知橢圓C：r+±=l（a>b>0）的離心率0=上，左頂點(diǎn)為4-4,0）,過(guò)點(diǎn)A作

a~/r2

斜率為攵（％。0）的直線/交橢圓C于點(diǎn)O,交y軸于點(diǎn)E.

（1）求橢圓C的方程;

（2）已知P為4。的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)。，對(duì)于任意的

口女力0）都有OP_LEQ,若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存

在說(shuō)明理由;

（3）若過(guò)O點(diǎn)作直線/的平行線交橢圓C于點(diǎn)M,求

AD+AEr,十

---------的最小值.

OM

11、（南通市海安縣2016屆高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：

三+二二1（。〉b>0）的焦距為2

a~h~

（1）若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（￥，1）,求橢圓C的方程；

L

DA「

（2）設(shè)4（一2,0）,尸為橢圓。的左焦點(diǎn)，若橢圓C存在點(diǎn)P,滿足而=&,求橢圓C

的離心率的取值范圍；

12、已知定點(diǎn)乃（6,0），曲線C是使|R[|+|RF/為定值的點(diǎn)尺的軌跡，曲

線c過(guò)點(diǎn)r（o,i）.

（1）求曲線c的方程;

(2)直線/過(guò)點(diǎn)尸2,且與曲線。交于PQ，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線/的方

程；

(3)設(shè)點(diǎn)。是曲線C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接戶工、PF”設(shè)的角平分線

尸M交曲線C的長(zhǎng)軸于點(diǎn),求〃2的取值范圍.

13、已知圓M:[一&『+)“=/(r>0),若橢圓?=的右頂點(diǎn)為

圓M的圓心，圓心率為.

2

(1)求橢圓C的方程：

(2)若存在直線/:)，=履，使得直線/與橢圓。分別交于4,5兩點(diǎn)，與圓M分別交于G,"

兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且卜6|=忸M，求圓M的半徑〃的取值范圍.

221

14、已知6、尺是橢圓工+21=](4>〃>0)的左、右焦點(diǎn)，且離心率6=—，點(diǎn)P為橢

b'2

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，APF；鳥(niǎo)的內(nèi)切圓面積的最大值為他.

3

(1)求橢圓的方程；

(2)若A,8,C。是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，滿足向量下么與了仁共線，耶與祁共

線，RACBD=0,求|%|+|而|的取值范圍.

習(xí)題答案：

1、答案：B

解析：設(shè)。（X,），），其中x>0,由焦半徑公式可得：|尸用=0+々療用=小一々

|P7^|+|P7s|_ex+a^-ex-a_lex

-1。尸1-=G+y=舊+y2

2rr

'：y2=--4e=—代入可得：

'2y2

|。制+

1PF2\_ex+a+ex-a_娓x_76

因?yàn)閒n8所以解得e（2,6]

叫如+產(chǎn)=i『瓜I」

由對(duì)稱性可知：當(dāng)x<0時(shí)，孫）產(chǎn)w

|0尸|

2、答案：A

2

解析：由C:￡_y2=i可得￡（_G,0），K（G,O）,所以而二（_6_/,一汽），

2

近二（百一%,一），0）,則麗.麗=片+尤一3<0,由+-y；=l得：片=2+2y；

________,（60

代入到不等式：解得為￡

、33,

3、答案：5

[x=-my,、，、

解析：由兩條動(dòng)直線《可得兩條信息：①兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)A（O,O）,A（I,3）.

且兩條直線垂直，垂足即為P,所以△Q43為直角三角形，可知|PA「+|P3「=|A8『=10,

哂+|PB

由均值不等式可得眄網(wǎng)W二|尸,|尸8Klp川；歸用=5,等號(hào)成

立當(dāng)且僅當(dāng)|%|=|必|

4、答案：A

解析：過(guò)A8分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足設(shè)為。,P

設(shè)|AF|=a,忸尸|=從由拋物線定義可得：|AF|=|A0,忸尸|=忸"

在梯形AQPB中，可得A4N為中位線

?4MN|=^(\AQ\+\BP\]=i(|AF|+\BF\)=等

由余弦定理可知在AABF中，I=IA曰2+忸日2-2|Ab|忸日cosAFB=a2+h2-￥ab

|A砰=a2+b2+ab=(a+b)2-ab

?/ab<(等J.平422.+hy(f^)l=4

|MN|l；("[)"JJMN|<g

所工物+勾二二畫(huà)工行

5、解析：設(shè)橢圓。的半焦距為c(c>0)

由耳為線段KQ中點(diǎn)，AQLAF2

所以A,Q,乙三點(diǎn)圓的圓心為線(H,0),半徑為2c=a

I—c—3|

又因?yàn)樵搱A與直線/相切，所以1-----[=2c：.c=l

2

22

所以1=4,從=3,故所求橢圓方程為工+工=1：

43

22

(2)若(與x軸不垂直，可設(shè)其方程為y="+2,代入橢圓方程?+3~=1

可得(3+4〃2)，+164*+4=0,由A>0,得

設(shè)G(%,y),//(W,丁2)，根據(jù)已知，有玉=九工2

玉+/=(1+義)々=

于是V3十*

「一3+4產(chǎn)

(1+4)2_64火2

消去々，可得

--3+4公

因?yàn)楣?gt;,，所以64公64

￡(4,16)

43+4公

即有("")=2十，十2e(4,16),^jZ+-e(2,14)

A,A,2

6、解析：（1）橢圓離心率為X—

2

:.e=—=—，a,b:c=2:1:V3

a2

/.左、右焦點(diǎn)分別是￡（—屈,0）,月（、&,0）,

圓6：（x+屈）2+丁=9,

圓鳥(niǎo)：（x—回>+y2=i,由兩圓相交可得2<2而<4,即1<&<2,交點(diǎn)

.士），

3戶?4/+W-'

整理得4b4-5/+1=0,解得〃=1,/=L(舍去)

4

、

故/=I,/=4,橢圓C的方程為J+)3=1.

(2)①橢圓E的方程為士+匕=1,

164

2

設(shè)點(diǎn)P(%,%),滿足工+%2=1,射線p。：)，=&工?(*0<0),

4%

x2+2

伸入/)廣_|OQ|_\j(~^o)(~2y0)_

代入77+丁=1可得點(diǎn)。(-2%),-2y。)，J/L=----/----=2.

164I°PIA+

②點(diǎn)Q（-2x0,-2yo）到直線距離等于原點(diǎn)0到直線48距離的3倍:

=3-^=

d=

\!\+k-J1+K

y=kx+m

f2,得f+4（丘+6）2=16,整理得（1+4公+8也優(yōu)+41-16=0

—+^v-=1

164

△=64/m2-]6（4/+1）（，〃2-4）=16（16^2+4-/7?2）＞0

/-,2,

|AB|=71，,16（16/+4—〃/）

1+4K

S、=-|y4BR/=--3-|ZW|-4Vl6A:24-4-/n2=6|tn|J16\2+4一〃?

△221-4公1+4Z

/m2+16Z:2+4-/7?2…

＜6---------：-------=12,

2（4公+1）

當(dāng)且僅當(dāng)|相|=716k2+4-府,nr=8二+2等號(hào)成立.

而直線y=丘+〃，與橢圓C：土+），2=1有交點(diǎn)p,則

'4'

有解，即f+4（依+〃?）2=4,（1+4公*+8切a+4"/-4=0有解,

廠+4）廣=4

其判別式A】=6422m2-16（1+4A）（7n2-1）=16（1+44-*）＞0,即1+4-2癥,則

上述〃「=8父+2不成立，等號(hào)不成立,

虬播的'則4=6T^=6g在（。,口為增函數(shù),

于是當(dāng)1+4公二＞時(shí)SAM=6^（4-1）.1=66,故A4B。面積最大值為12.

a=6b

7、解析：（I）由已知可得：，.......解得：/=6力2=2

2c=2y/a2-b2=4

橢圓方程為：—+2-=1

62

⑵①由（I）可得：F（-2,0）,設(shè)7（一3,〃?）

m-0

-3-(-2)

所以設(shè)即，-2,P（M，y）,Q（W，y2），聯(lián)立橢圓方程可得:

4/722

y+%二，X%=

m2+3>+3

12

...芭+x2=，〃(y+y2)-4=

nr+3

'64m

設(shè)M為PQ的中點(diǎn),則M點(diǎn)的坐標(biāo)為

<m2+3'm2+3

m

：.kOM=--???。7的斜率女”二

在0T上,即OT平分尸0

②由①可得："|=J>+l

由弦長(zhǎng)公式可得：|PQ|=+1民一刃=J,"+i.J（y+必）2-4yx