一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)——明確方向，錨定核心演講人目錄01.教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)——明確方向，錨定核心07.結(jié)語(yǔ)——數(shù)學(xué)之美，在于探索03.定理探究——猜想驗(yàn)證，邏輯建構(gòu)05.總結(jié)提升——凝練核心，串聯(lián)知識(shí)02.知識(shí)回顧——溫故知新，搭建橋梁04.應(yīng)用示例——以例促學(xué)，深化理解06.分層作業(yè)——鞏固提升，因材施教2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相似三角形中對(duì)應(yīng)角平分線比例證明示例課件01教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)——明確方向，錨定核心教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)——明確方向，錨定核心作為九年級(jí)數(shù)學(xué)教師，我始終認(rèn)為，一節(jié)數(shù)學(xué)課的價(jià)值不僅在于傳遞知識(shí)，更在于培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”的思維能力。基于此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)如下：1知識(shí)與技能目標(biāo)STEP03STEP01STEP02理解相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的定義及“對(duì)應(yīng)”的幾何含義；掌握“相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比”這一性質(zhì)定理；能獨(dú)立完成該定理的嚴(yán)謹(jǐn)證明，并能運(yùn)用定理解決簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題。2過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)“觀察猜想—邏輯證明—應(yīng)用驗(yàn)證”的探究路徑，體驗(yàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思想；在定理證明中，深化對(duì)相似三角形判定（AA）、角平分線定義等核心知識(shí)的綜合應(yīng)用能力；借助尺規(guī)作圖與比例計(jì)算，提升幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)在合作探究中感受數(shù)學(xué)定理的簡(jiǎn)潔性與邏輯性，增強(qiáng)對(duì)幾何證明的興趣；01通過(guò)“從猜想走向證明”的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)“有理有據(jù)”的學(xué)科本質(zhì)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；02結(jié)合生活實(shí)例（如地圖比例尺與地標(biāo)建筑角平分線的關(guān)系），感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的緊密聯(lián)系。0302知識(shí)回顧——溫故知新，搭建橋梁知識(shí)回顧——溫故知新，搭建橋梁“不積跬步，無(wú)以至千里”，要探究相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比例關(guān)系，必須先夯實(shí)基礎(chǔ)。讓我們共同回顧相關(guān)知識(shí)：1相似三角形的定義與基本性質(zhì)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形，相似比（k）為對(duì)應(yīng)邊的比值（k>0）?；拘再|(zhì)：①對(duì)應(yīng)角相等（∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'）；②對(duì)應(yīng)邊成比例（AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k）；③周長(zhǎng)比等于相似比（C△ABC/C△A'B'C'=k）；④面積比等于相似比的平方（S△ABC/S△A'B'C'=k2）。2角平分線的定義與性質(zhì)定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等角的射線叫做角平分線。性質(zhì)（角平分線定理）：在△ABC中，若AD平分∠BAC，則AB/AC=BD/DC。（該定理將在后續(xù)證明中作為關(guān)鍵工具）3知識(shí)銜接思考請(qǐng)同學(xué)們思考：相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線，是否也存在某種比例關(guān)系？若存在，可能與相似比有何聯(lián)系？（留出30秒思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生舉手發(fā)言，預(yù)設(shè)答案：可能等于相似比）03定理探究——猜想驗(yàn)證，邏輯建構(gòu)定理探究——猜想驗(yàn)證，邏輯建構(gòu)“數(shù)學(xué)的真理，往往始于猜想，成于證明?！苯酉聛?lái)，我們通過(guò)“實(shí)例觀察—提出猜想—嚴(yán)謹(jǐn)證明”三步，探究相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比例關(guān)系。1實(shí)例觀察：測(cè)量與計(jì)算活動(dòng)設(shè)計(jì)：在黑板上畫出△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2（AB=4cm，A'B'=2cm；∠BAC=60，∠B'A'C'=60）。分別作∠BAC和∠B'A'C'的角平分線AD、A'D'，測(cè)量AD=3cm，A'D'=1.5cm，計(jì)算AD/A'D'=2，恰好等于相似比k。再舉反例驗(yàn)證：更換相似比k=3（AB=6cm，A'B'=2cm；∠ABC=90，∠A'B'C'=90），作∠ABC和∠A'B'C'的角平分線BE、B'E'，測(cè)量BE=4.5cm，B'E'=1.5cm，BE/B'E'=3=k。學(xué)生活動(dòng)：以4人小組為單位，用尺規(guī)作圖完成一組相似三角形（自定相似比），測(cè)量對(duì)應(yīng)角平分線長(zhǎng)度并計(jì)算比例。（5分鐘操作，教師巡視指導(dǎo)作圖規(guī)范）結(jié)論提煉：多組實(shí)例中，相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)度比均等于相似比，由此提出猜想：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。2嚴(yán)謹(jǐn)證明：邏輯推導(dǎo)“猜想需要證明，才能成為定理?！苯酉聛?lái)，我們從一般情況出發(fā)，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言完成證明。2嚴(yán)謹(jǐn)證明：邏輯推導(dǎo)2.1已知與求證已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比為k（即AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k），AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'。求證：AD/A'D'=k。2嚴(yán)謹(jǐn)證明：邏輯推導(dǎo)2.2證明思路分析要證明AD/A'D'=k，需找到包含AD與A'D'的相似三角形。由于△ABC∽△A'B'C'，對(duì)應(yīng)角相等（∠BAC=∠B'A'C'），而AD、A'D'是角平分線，故∠BAD=∠B'A'D'=(1/2)∠BAC。若能證明△ABD∽△A'B'D'（或其他包含AD的三角形），則可通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例得到結(jié)論。2嚴(yán)謹(jǐn)證明：邏輯推導(dǎo)利用角平分線定義，得出角的關(guān)系∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，1∴∠BAD=(1/2)∠BAC，∠B'A'D'=(1/2)∠B'A'C'。2又∵△ABC∽△A'B'C'，3∴∠BAC=∠B'A'C'（相似三角形對(duì)應(yīng)角相等），4∴∠BAD=∠B'A'D'（等量代換）。5步驟2：利用相似三角形性質(zhì)，得出邊的比例關(guān)系6由△ABC∽△A'B'C'，得AB/A'B'=AC/A'C'=k（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）。72嚴(yán)謹(jǐn)證明：邏輯推導(dǎo)利用角平分線定義，得出角的關(guān)系步驟3：構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用AA判定在△ABD和△A'B'D'中，已證∠BAD=∠B'A'D'；需證另一組對(duì)應(yīng)角相等。觀察△ABC與△A'B'C'的對(duì)應(yīng)角，∠ABC=∠A'B'C'（相似三角形對(duì)應(yīng)角相等），即∠ABD=∠A'B'D'。因此，△ABD∽△A'B'D'（AA相似判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）。步驟4：由相似三角形性質(zhì)，得出角平分線比例∵△ABD∽△A'B'D'，相似比為AB/A'B'=k，∴AD/A'D'=AB/A'B'=k（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）。證畢。2嚴(yán)謹(jǐn)證明：邏輯推導(dǎo)2.4關(guān)鍵步驟強(qiáng)調(diào)030201角平分線的作用：將原角平分，轉(zhuǎn)化為兩組相等的小角（∠BAD=∠B'A'D'）；相似三角形的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系：必須明確頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)（A→A',B→B',D→D'），避免因頂點(diǎn)順序錯(cuò)誤導(dǎo)致比例關(guān)系混亂；AA判定的應(yīng)用：通過(guò)兩組對(duì)應(yīng)角相等，快速鎖定三角形相似，這是證明線段比例的常用策略。3定理拓展：特殊與一般的統(tǒng)一若相似比k=1，即△ABC≌△A'B'C'，則對(duì)應(yīng)角平分線AD=A'D'，符合全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等的性質(zhì)，驗(yàn)證了定理的普適性。04應(yīng)用示例——以例促學(xué)，深化理解應(yīng)用示例——以例促學(xué)，深化理解“學(xué)貴以致用”，接下來(lái)通過(guò)3個(gè)典型例題，幫助同學(xué)們掌握定理的應(yīng)用方法。1基礎(chǔ)應(yīng)用：已知相似比求角平分線長(zhǎng)度例1：如圖，△ABC∽△DEF，相似比k=3，∠ABC的角平分線BG=9cm，求△DEF中對(duì)應(yīng)角∠DEF的角平分線EH的長(zhǎng)度。分析：根據(jù)定理，對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，即BG/EH=k=3，故EH=BG/k=9/3=3cm。解答：∵△ABC∽△DEF，相似比k=3，∴BG/EH=k（相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比），即9/EH=3，解得EH=3cm。易錯(cuò)提醒：注意“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，∠ABC與∠DEF是對(duì)應(yīng)角，因此BG與EH是對(duì)應(yīng)角平分線，若誤將BG與△DEF的其他角平分線對(duì)應(yīng)，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。2綜合應(yīng)用：結(jié)合角平分線定理與相似比例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2，AD平分∠BAC交BC于D，A'D'平分∠B'A'C'交B'C'于D'。若BC=8cm，B'C'=4cm，求BD與B'D'的長(zhǎng)度比。分析：由相似比k=2，得BC/B'C'=2，符合已知（8/4=2）；根據(jù)角平分線定理，在△ABC中，AB/AC=BD/DC；在△A'B'C'中，A'B'/A'C'=B'D'/D'C'；由△ABC∽△A'B'C'，得AB/A'B'=AC/A'C'=2，故AB/AC=A'B'/A'C'（比例的等比性質(zhì)），因此BD/DC=B'D'/D'C'，即BD/B'D'=DC/D'C'=k=2；2綜合應(yīng)用：結(jié)合角平分線定理與相似比又BC=BD+DC=8，B'C'=B'D'+D'C'=4，設(shè)B'D'=x，則D'C'=4-x，BD=2x，DC=2(4-x)=8-2x，代入BD+DC=8，得2x+8-2x=8，恒成立，故BD/B'D'=2x/x=2。解答：由相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，結(jié)合角平分線定理，得BD/B'D'=k=2。3拓展應(yīng)用：實(shí)際問(wèn)題中的幾何建模例3：某城市規(guī)劃圖中，中央公園的平面圖形是△ABC，比例尺為1:1000（即圖上相似比k=1/1000）。圖中∠BAC的角平分線AD長(zhǎng)為2cm，求實(shí)際公園中對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)度。分析：比例尺是圖上距離與實(shí)際距離的比，即圖上相似比k=1/1000，實(shí)際相似比為1000。根據(jù)定理，實(shí)際角平分線長(zhǎng)度=圖上長(zhǎng)度÷k=2cm÷(1/1000)=2000cm=20m。解答：實(shí)際角平分線長(zhǎng)度=AD圖上長(zhǎng)度×(1/k)=2cm×1000=2000cm=20m。05總結(jié)提升——凝練核心，串聯(lián)知識(shí)總結(jié)提升——凝練核心，串聯(lián)知識(shí)“學(xué)而不思則罔”，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們完成了從觀察猜想到嚴(yán)謹(jǐn)證明，再到實(shí)際應(yīng)用的完整探究過(guò)程。現(xiàn)在，讓我們共同梳理核心內(nèi)容：1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)回顧STEP3STEP2STEP1核心定理：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比（AD/A'D'=k）；證明關(guān)鍵：利用角平分線定義得到角相等，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，通過(guò)AA判定證明包含角平分線的三角形相似；應(yīng)用場(chǎng)景：已知相似比求角平分線長(zhǎng)度、已知角平分線長(zhǎng)度求相似比、實(shí)際問(wèn)題中的比例換算。2思想方法提煉歸納思想：從具體實(shí)例中歸納猜想，再通過(guò)一般證明驗(yàn)證；010203轉(zhuǎn)化思想：將角平分線的比例問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例問(wèn)題；模型思想：建立“相似三角形—對(duì)應(yīng)角平分線—比例關(guān)系”的幾何模型，解決實(shí)際問(wèn)題。3學(xué)習(xí)反思建議1注意“對(duì)應(yīng)”的嚴(yán)謹(jǐn)性：相似三角形的頂點(diǎn)、角、邊、角平分線必須一一對(duì)應(yīng)；2強(qiáng)化證明過(guò)程的邏輯鏈：每一步推導(dǎo)都要有依據(jù)（如角平分線定義、相似三角形性質(zhì)、AA判定等）；3聯(lián)系已有知識(shí)：將本定理與相似三角形的周長(zhǎng)比、面積比性質(zhì)對(duì)比，形成完整的知識(shí)體系。06分層作業(yè)——鞏固提升，因材施教分層作業(yè)——鞏固提升，因材施教為滿足不同學(xué)習(xí)層次學(xué)生的需求，作業(yè)設(shè)計(jì)如下：1基礎(chǔ)鞏固題（必做）已知△MNP∽△XYZ，相似比k=4，△MNP中∠N的角平分線長(zhǎng)為12cm，求△XYZ中對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)度。若兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)角平分線分別為5cm和3cm，求它們的相似比。2能力提升題（選做）如圖，△ABC∽△ADE，AD平分∠BAC交BC于D，AE平分∠DAE交DE于E。若AB=6cm，AD=4cm，求AE的長(zhǎng)度。探究：相似三角形的對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高線是否也存在類似的比例關(guān)系？嘗試用本節(jié)課的方法證明。3實(shí)踐應(yīng)用題（興趣選做）測(cè)量校園中兩個(gè)相似三角形花壇（如圓形花壇的兩個(gè)扇形截面）的對(duì)應(yīng)角平分線長(zhǎng)度，計(jì)算它們的相似比，并與