黑龍江省綏化市安達(dá)第七中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C. D.82．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.3．圓的圓心為（）A. B.C. D.4．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；5．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.6．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓8．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.2 B.4C. D.9．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.10．劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.11．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.12．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______.14．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______15．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________16．已知數(shù)列滿足，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）平行六面體，（1）若，，，，，，求長(zhǎng)；（2）若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值18．（12分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段AB的端點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程19．（12分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一個(gè)法向量.20．（12分）為了保證我國(guó)東海油氣田海域海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A，在平臺(tái)O的正東方向12km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（1）試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在該平臺(tái)O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時(shí)km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會(huì)行駛多長(zhǎng)時(shí)間？21．（12分）已知函數(shù)（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).22．（10分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，，△ABC的面積為（1）求a；（2）若D為BC邊上一點(diǎn)，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B2、D【解析】由題意可證平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積【詳解】如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設(shè)，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：3、D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】圓的圓心為，故選：D4、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說(shuō)法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.故選：D.5、D【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D6、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點(diǎn)三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.7、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對(duì)稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.8、D【解析】因?yàn)閽佄锞€方程可化為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選D.考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).9、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.10、B【解析】此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個(gè)邊長(zhǎng)等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出正六邊形的面積和圓的面積.11、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D12、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)，再把代入求出切線的斜率，代入點(diǎn)式方程化為一般式即可.【詳解】由題意得，∴在點(diǎn)處的切線的斜率是，則在點(diǎn)處的切線方程是，即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”與“過(guò)某點(diǎn)的切線”，前者“某點(diǎn)”是切點(diǎn)，后者“某點(diǎn)”不一定是切點(diǎn).14、【解析】由題可得，即求.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.15、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，16、【解析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過(guò)裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合.所以，則.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)由，可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；(2)以為一組基底，設(shè)與所成的角為，由求解.【小問(wèn)1詳解】，，，，∴，；【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設(shè)與所成的角為，則.18、（1）（2）【解析】(1)由圓心到直線的距離等于半徑即可求出.(2)由相關(guān)點(diǎn)法即可求出軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】已知圓與直線相切，所以圓心到直線的距離為半徑．所以，所以圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】設(shè)因?yàn)锳B的中點(diǎn)是M，則，所以，又因A在圓O上運(yùn)動(dòng)，則，所以帶入有：，化簡(jiǎn)得：．線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為:.19、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求法向量即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ACD1的法向量.，又為平面ACD1的一個(gè)法向量，化簡(jiǎn)得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一個(gè)法向量.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求平面的法向量，屬于中檔題.20、（1）；（2）會(huì)駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū)，行駛時(shí)長(zhǎng)為半小時(shí)【解析】（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再由距離公式得出A，B之間的距離；（2）由三點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組得出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長(zhǎng)，進(jìn)而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時(shí)長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由題意得，∴；【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)樵搱A經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，∴，得到.所以該圓方程為：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，圓心（6，8）到直線的距離，所以直線與圓相交，即輪船會(huì)駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū).直線與圓截得的弦長(zhǎng)為，行駛時(shí)長(zhǎng)小時(shí).即在安全警示區(qū)內(nèi)行駛時(shí)長(zhǎng)為半小時(shí).21、（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，求其單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，從而可得答案【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點(diǎn)，由，得.令，則.或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時(shí)取極小值，又當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，關(guān)于的方程無(wú)解，或時(shí)關(guān)于的方程只有一個(gè)解，時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同解.因此，時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵