高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼西重點高中2025-2026學年高一上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合滿足，則實數(shù)的值是（）A.0或 B.1或 C.0或或1 D.0或【答案】C【解析】因為，且，當時，符合題意；當時，又，所以或，解得或，綜上可得實數(shù)的取值集合為.故選：C.2.如果x，y是實數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若“”，則兩邊平方得，即，所以，充分性不成立；若“”，則、同號，故“”，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.設是不小于的實數(shù)，使得關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，則的最大值為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】由題設，可得，結合已知有，且，，，當時，取得最大值10.故選：C.4.若關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】由題意可得，，即，則有，即，解得或，即解集為或故選：B.5.已知函數(shù)，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因為，所以，所以的最大值為.故選：D.6.已知函數(shù)，若存在四個不相等的實數(shù)使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，，設，，則，，是方程，即的兩個正根，所以，令，解得或，所以，由題意，所以的取值范圍是.故選：D.7.已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以對恒成立，當時，不等式為，滿足題意；當時，，解得：，綜上所述：.故選：B.8.已知函數(shù)滿足：，若，則（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】D【解析】依題意，因為，則，令，則，因為，所以，又因為，則，即，在中令，則，即，在中令，則，所以，故得，又；又，所以，即.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，是真命題的有（）A.集合的所有真子集為，B.若（其中a，），則C.D.若a，b，，則是的充要條件【答案】BCD【解析】對于A，集合的真子集為，，，故A錯誤‘對于B，由，得，所以，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為等價于，等價于，所以是的充要條件，故D正確.故選：BCD.10.已知且，則下列不等式恒成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】且，對于A，因為，，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，因為，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，，則，當且僅當時取等號，故C不正確；對于D，.因為，所以（當且僅當,及,又因為,所以時取等號），故D正確．故選：ABD．11.高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，又稱為“取整函數(shù)”.設，則下列結論正確的是（）A.B.對任意整數(shù)，有C.設函數(shù)，則的值域為D.的解集為【答案】BCD【解析】對A：，故A錯誤；對B：設，則，對任意整數(shù)，，則，故B正確；對C：由，且，則，即，故的值域為，故C正確；對D：由，則，則有，即，又，故，則，即，故，即的解集為，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題，命題若命題?一真一假，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】若命題為真命題，即方程在上有解，則滿足，解得，若命題為真命題，即不等式在上恒成立，則滿足，解得，當命題為真命題且為假命題時，則滿足；當命題為假命題且為真命題時，則滿足；所以命題?一真一假時，可得或所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13.已知，，若，則的最小值為_____.【答案】【解析】當時，代入方程中得，不合題意；當時，由變形為，又因為，所以，，當且僅當，即時取得，把代入可得，符合題意.綜上所述，的最小值為.故答案為：.14.若對于任意的，總存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】設，則可將問題轉化為，，當且僅當，即時等號成立，故，，由于，則是最小值，則對稱軸，，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知集合，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，則為真命題，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題得，因為，所以，所以，解得或．當時，，此時，滿足條件；當時，，此時，滿足條件．綜上，或．（2）因為若，則為真命題，所以．當時，，所以；當時，由（1）知；當時，無解，舍去；當時，無解，舍去．綜上，的取值范圍為．16.（1）求解方程組的解集．（2）求解方程組的解集．（3）求解方程組的解集．解：（1）兩式相加得，解得，代入，得到，所以的解集為.（2）由得到，代入，得到，解得或，當時，，當時，，所以方程組的解集為.（3）因為①，②，易知，由①②得到，整理得到，所以或，當時，代入中得到，所以，當時，代入中得到，所以，所以方程組的解集為.17.（1）已知，比較與的大?。?）已知，，求代數(shù)式和的取值范圍.解：（1），即；（2）因為，，則，，所以.18.假設克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會更甜．（1）根據(jù)這個生活常識，提煉出一個不等式，并證明；（2）利用（1）提煉的不等式證明：若為三角形的三邊長，則；（3）求證：，且．解：（1）提煉出的不等式為.證明如下：.因為都是正數(shù)，且，所以，可得，所以.（2）由（1）及是三角形的三邊，得，則，同理，所以.（3）由（1）可知.取，則，故有，則有，因為，所以，故，且.19.已知一元二次函數(shù)．設方程的兩個實數(shù)根，．（1）當，時，若的解集為，求的值；（2）若對于任意x，，，且為偶函數(shù)，求；（3）當時，，且當時，的最小值為，求的最大值．解：（1）已知，，則，所以.因為的解集為，所以，且，是方程的兩個根.根據(jù)韋達定理可得：，解得：；，解得：.由此可得：.（2）已知，將，，代入可得：，整理得：，即：，得：，解得：，.所以.又為偶函數(shù)，所以，將代入可得：，整理得：，即：，得：.綜上可得：.（3