強(qiáng)基數(shù)學(xué)代數(shù)、數(shù)論

一、初等數(shù)論:整除

例1、求出所有的實數(shù)x,使得；；+,X一］與二都是整除.

lx—ox—51+x

例2、已知X,)，,Z是互不把等且都大于1的正整數(shù)，且型|(Ay-l)(yz-l)(zx例)，求z.

例3、已知正整數(shù)〃在十進(jìn)制下的各位數(shù)碼和的13等于其本身，求〃的值.

例4、已知［C,J=(4+2J3)"的整數(shù)部分，證明：2W+,|(［CJ+1)

例5、已知正整數(shù)），不超過2022且滿足100整除2'+y,求），的個數(shù).

二、初等數(shù)論：高斯函數(shù)

例1、已知[加表示不超過x的最大整數(shù)，己知上不，則[〃2]=

YYY

例2、方程U]+U]+U]=x有多少組解？

35

例3、求知=［道］+［啦：+…+［技亓］的值

2021y

例4、已知丫則丫的各位數(shù)字是.

1=07

〃〃+2k

例5、已知〃為正整數(shù)，求/s)=Z［中1］

D2

4、尸"緲數(shù)列性質(zhì)1：設(shè)ace5為尸"緲數(shù)列中的相鄰三項，則；c?二；ci+c（內(nèi)插）

bdfclb+f

5、Rzrey數(shù)列性質(zhì)2：設(shè)凹,￡為Farey數(shù)列中的相鄰兩項，則b+d>n,ad-bc=\

bd

三、初等數(shù)論：不定方程

例1、求方程18x+4y+9z=2021的正整數(shù)解（x,y,z）.

例2、求方程），3+/4=/的正整數(shù)解（y,/,d）

例3、已知2〃+1,3〃+1均為完全平方數(shù)且〃不超過2022,則正整數(shù)〃的個數(shù)為.

113

例4、設(shè)為正整數(shù)，則方程一+—=上-的解的個數(shù)為

x），100

例5、求方程2'—5,，7z=|的所有非負(fù)整數(shù)解（x,），,z）

四、不等式

例1、已知x,y,z為正實數(shù)，求.+l°K+z-的最小值

xy+yz+zx

例2、已知尤y,z不全為0,求的取值范圍.

x'+y+z

例3、若實數(shù)a,b,c,d滿足。b+bc+cd+da=l,貝I/+？/+3c?+4"?的最大值為

例4、已知實數(shù)a,b,c,d,e滿足"+62+。2+/+1=[,求

\a-b\-^\b-c\+\c-d\+\d-e\-^-\e-a\的最大值.

例5、已知。力,。為正實數(shù)且。+人+c=l,求證：J4o+1+J4A+1+J4c+1的取值范圍

例6、設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x+y+z=Ayz,求

x7(yz-1)+y\zx-1)4-z7(xy-1)的最小值.

例7、已知實數(shù)a,Z?,c,d滿足a+b+c+d=3,/+26+3c2+6d2=5,求〃的取值范圍.

例8、在AABC中，證明：—cosA+cosB+V3cosC<2

2

例9、已知正實數(shù)。滿足〃+〃+c=l,則/+c?+2a/?c取值范圍是

例10、已知非負(fù)實數(shù)a,Z?,c滿足。+人+。=1,求c/S-c)+〃2(c-a)+c2(cL。)的最大值.

例11、設(shè)a,Z?,c,d20且〃+Z?+c+d=4,求

bcd

?/=F74C4+4+^4+4+?4+4

的最小值.

例12、給定正整數(shù)〃之2,設(shè)玉,馬,…,X”是正實數(shù)，證明：

+甘+...+茍；>1

例13、已知a,/?,c>0且a+〃+c=l,求證：

abc、9

h+c2c+a2a+h24

例14、對于二個一正整數(shù)〃力,「，若，瓦啟拓為二個連續(xù)的正整數(shù)?則

a2+Z?2+c2的最小值為.