高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟南市長清區(qū)2025-2026學年高二上學期期中學習質量檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率，因為直線與直線垂直，所以，即，設直線的傾斜角，則，所以直線的傾斜角.故選：C.2.已知空間向量，則（）A.15 B. C.17 D.【答案】D【解析】由題意知，.故選：D.3.若橢圓的焦點在坐標軸上，焦距為8，且過點，則橢圓的標準方程為（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】因為焦距為8，所以，即．若橢圓的焦點在軸上，橢圓過點，則，此時，橢圓不存在，舍去；若橢圓的焦點在軸上，橢圓過點，則，此時，，所以，橢圓存在，故橢圓的焦點在軸上，標準方程為．故選：C.4.過直線上一動點作圓的一條切線，切點為，則線段長度的最小值為（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當取得最小值時，線段長度的最小，則，所以.故選：B.5.設點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A.或 B.或 C. D.【答案】B【解析】依題意，直線的斜率分別為，如圖所示：若直線過點且與線段相交，則的斜率滿足或，即的斜率的取值范圍是或.故選：B.6.在正方體中，點是的中點，且，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，，.故選：D.7.已知，是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為（）．A.13 B.12 C.25 D.16【答案】C【解析】由橢圓方程知：；根據(jù)橢圓定義知：，（當且僅當時取等號），的最大值為.故選：C.8.如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內，且，設異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內，可設，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓C：，直線l：.下列說法正確的是（）A.直線l恒過定點B.圓C被y軸截得的弦長為C.直線l被圓C截得弦長存在最大值，此時直線l的方程為D.直線l被圓C截得弦長存在最小值，此時直線l的方程為【答案】BD【解析】將直線l的方程整理為，由，解得.則無論m為何值，直線l恒過定點，故A不正確；令，則，解得，故圓C被y軸截得的弦長為，故B正確；無論m為何值，直線l不過圓心，即直線l被圓C截得的弦長不存在最大值，故C錯誤；當截得的弦長最短時，此時直線l垂直于圓心與定點的連線，則直線l的斜率為，此時直線l的方程為，即，故D正確.故選：BD.10.記橢圓與橢圓內部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上任意一點，則（）A.橢圓C1與橢圓C2的離心率相等B.曲線C關于y＝±x對稱C.P到點(－1，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)的距離之和為定值D.P到原點的距離的最大值為【答案】ABD【解析】由已知橢圓的長軸長和短軸長都分別相等，因此焦點也相等，從而離心率相同，A正確；用替換方程中的得的方程，同樣用替換中的得方程，因此橢圓與橢圓關于直線對稱，同理可得它們也關于直線對稱，因此它們的公共部分邊界線關于直線對稱，B正確；是橢圓的兩個焦點，是橢圓的兩個焦點，在橢圓上時，是定值，但不是定值，所以不是定值，C錯；設橢圓上在第一象限內的點，則，隨的增大而增大，由對稱性，曲線上，當點在直線上時，最大，，，因此，D正確．故選：ABD．11.在棱長為1的正方體中，分別為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（）A.點可以是棱的中點 B.線段的最大值為C.點軌跡是正方形 D.點軌跡的長度為【答案】BD【解析】在正方體中，以點為坐標原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，因為該正方體的棱長為，分別為的中點，則，，，，所以，設，則，因為，所以，，當時，；當時，；取，，，，連接，，，，則，，所以四邊形為矩形，則，，即，，又，且平面，平面，所以平面，又，，所以為中點，則平面，所以，為使，必有點平面，又點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡為四邊形，因此點不可能是棱的中點，即A錯；又，，所以，則點的軌跡不是正方形；且矩形的周長為，故C錯，D正確；因為點為中點，則點為矩形的對角線交點，所以點到點和點的距離相等，且最大，所以線段的最大值為，故B正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與之間的距離為，則實數(shù)__________.【答案】4或或或4【解析】由題意知，直線，可變形為，所以兩平行線與之間的距離為，解得或4.故答案：或413.在空間直角坐標系中，已知，，則到的距離為__________.【答案】【解析】因為，.所以.所以，所以點到直線的距離為：.故答案為：.14.已知直線l：的圖象與曲線C：有且只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_____________．【答案】或【解析】由可得，即直線過定點，由可得，即曲線C：，作出曲線與直線的圖象，如圖，當直線過點時，斜率，當直線過點時，斜率，直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，即，解得或（由圖可知不符合題意，舍去），由圖可知，當直線斜率滿足或時，直線與曲線只有一個交點.故答案為：或.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15已知空間三點A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，設a=，b=.(1)設|c|=3，c//，求c；(2)若ka+b與ka-2b互相垂直，求k.解：(1)因為且c//，所以設得,解得即(2)因為,所以又因為所以即解得k=2或16.如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，.（1）求線段的長；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求證：.（1）解：設，，，則，，，.因為，所以，所以線段的長為.（2）解：設異面直線與所成的角為，則，因為，，所以，，則，即異面直線與所成的角的余弦值為.（3）證明：因為，，所以，所以，即.17.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形為平行四邊形，其中，且，點為的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解：（1）在中，，由余弦定理，得，有，所以，又平面，平面，所以，建立如圖空間直角坐標系，，則，所以，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，故點B到平面的距離為.（2）由（1）得，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，故，即平面與平面所成銳二面角余弦值為.18.已知，是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，且.（1）求的離心率；（2）設，分別為的左、右頂點，點在上（不與，重合），證明：.（1）解：由，得，得，由題意設，則，所以，因為，所以，所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以點是橢圓短軸的一個端點，所以，因為，得，所以橢圓的離心率為.（2）證明：由（1）可得橢圓方程為，則,因為點是橢圓短軸的一個端點，所以不妨設,由橢圓的對稱性，不妨設，，,則，，所以，，所以，所以當時，取得最小值，由（1）可知，所以，所以當取得最小值時，取得最小值，即點與點重合時，取得最小值，此時取得最大，所以.19.現(xiàn)定義：若圓A上一動點，圓A外一點，滿足的最大值為其最小值的兩倍，則稱為圓A的“白銀點”.若點G同時是圓A和圓B的“白銀點”，則稱G為圓“”的“黃金點”.已知圓.（1）若點為圓A的“白銀點”，求點的軌跡方程并說明軌跡的形狀；（2）已知圓，且均為圓“”的“黃金點”.（i）求直線的方程；（ii）若圓是以線段為直徑的圓，直線與圓交于兩點，探究當不斷變化時，在軸上是否存在一定點，使得軸平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）設，因為點為圓的“白銀點”，所以，即，得到.所以的軌跡方程為.點的軌跡是以為圓心以為半徑的圓.（2）（i）因為為圓“”的“黃金點”，所以同時為圓與圓的“白銀點”，由，則，即點在圓上，由為圓