第七章

證明7.3平行線的證明第2課時(shí)01教學(xué)目標(biāo)02新知導(dǎo)入03新知探究04鞏固訓(xùn)練05課堂小結(jié)06作業(yè)設(shè)計(jì)01教學(xué)目標(biāo)能以“兩直線平行，同位角相等”為依據(jù)，證明平行線的內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角性質(zhì)定理；理解“平行于同一直線的兩直線平行”的證明思路，區(qū)分平行線的性質(zhì)與判定；01通過推導(dǎo)性質(zhì)定理，經(jīng)歷“正向推導(dǎo)+初步感知反證法”的過程，提升逆向思維與邏輯推理能力；02發(fā)展邏輯推理能力，形成“性質(zhì)證角相等、判定證線平行”的應(yīng)用意識；03體會逆向思維（反證法）的獨(dú)特價(jià)值，感受平行線定理體系的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)“辨明條件結(jié)論，規(guī)范推理”的科學(xué)態(tài)度。0402新知導(dǎo)入復(fù)習(xí)回顧：1.平行線的判定方法有哪些？2.上節(jié)課我們用“同位角相等，兩直線平行”證明了內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判定定理(已知角相等，證線平行)。反過來，若已知兩直線平行，它們被第三條直線截得的同位角有什么關(guān)系？相等，這是我們之前用的性質(zhì).判定方法一(基本事實(shí))：同位角相等，兩直線平行；判定方法二：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；判定方法三：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.02新知導(dǎo)入3.兩直線平行，它們被第三條直線截得的同位角相等，但這個(gè)性質(zhì)能直接作為證明依據(jù)嗎？為什么？不能，因?yàn)檫@個(gè)性質(zhì)不是基本事實(shí)，需證明其正確性。03新知探究思考：如果∠1≠∠2，AB與CD的位置關(guān)系會怎樣呢？思考：根據(jù)“兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等”。你能作出相關(guān)的圖形嗎?已知：如圖7-9，直線AB∥CD,∠1和∠2是直線AB,CD被直線EF截出的同位角。求證：∠1=∠2。不平行03新知探究證明：假設(shè)∠1≠∠2，那么我們可以過點(diǎn)M作直線GH，使∠EMH＝∠2，如圖7-10所示．根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH∥CD．又因?yàn)锳B∥CD，這樣經(jīng)過點(diǎn)M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾．這說明∠1≠∠2的假設(shè)不成立，所以∠1＝∠2.03新知探究平行線的性質(zhì)定理1:兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等。簡述為:兩直線平行,同位角相等。應(yīng)用格式：∵AB||CD,∴∠1=∠2.概括有時(shí),直接證明很困難,我們就證明命題的另一面不成立。也就是假設(shè)結(jié)論的反面不成立,推導(dǎo)出與已知條件、定理、基本事實(shí)矛盾,那么所作的假設(shè)不成立,原命題成立。方法總結(jié)03新知探究03新知探究思考：在上一節(jié)中,我們利用“同位角相等,兩直線平行”推出了“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”,類似地,已知兩直線平行,同位角相等,能否得到內(nèi)錯(cuò)角之間的數(shù)量關(guān)系呢?已知:如圖7-11所示,直線11||12,∠1和∠2是直線l1,l2被直線l截出的內(nèi)錯(cuò)角。求證:∠1=∠2。分析：由條件11||12可以得到哪些角的等量關(guān)系，這些等量關(guān)系中的角與∠1，∠2有什么聯(lián)系？03新知探究證明：11||12(已知)，∴∠1=∠3(兩直線平行，同位角相等)。又：∠2=∠3(對頂角相等)，∴∠1=∠2(等量代換)。03新知探究平行線的性質(zhì)定理2:兩條平行直線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等。簡述為:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等。應(yīng)用格式：∵11||12∴∠1=∠2概括03新知探究解:∵a∥b(已知),∴∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等)?！摺?+∠4=180°(補(bǔ)角的性質(zhì)),∴∠2+∠4=180°(等量代換)。思考:類似地,已知兩直線平行,能否得到同旁內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系呢?如圖所示,已知a∥b,那么∠2與∠4有什么關(guān)系呢?為什么呢?03新知探究平行線的性質(zhì)定理3:兩條平行直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡述為:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。概括平行線的性質(zhì)定理:平行線的性質(zhì)定理1：兩直線平行，同位角相等；平行線的性質(zhì)定理2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行線的性質(zhì)定理3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).方法總結(jié)03新知探究03新知探究它們的條件和結(jié)論的互換。平行線的性質(zhì)定理是已知兩直線平行,得到角的關(guān)系;而判定定理是已知角的關(guān)系,得到兩直線平行。思考:平行線的性質(zhì)定理與判定定理在條件和結(jié)論方面有什么關(guān)系？分析由條件b∥a,c∥a可以得到哪些等量關(guān)系？為了證明b∥c需要怎樣的等量關(guān)系？已知：如圖7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直線a，b，c被直線d截出的同位角．求證：b∥c.例03新知探究解析證明：∵b∥a(已知)，∴∠2＝∠1(兩直線平行，同位角相等)．∵c∥a(已知)，∴∠3＝∠1(兩直線平行，同位角相等)．∴∠2＝∠3(等量代換)．∴b∥c(同位角相等，兩直線平行).03新知探究03新知探究一般地，我們有如下定理：定理：平行于同一條直線的兩條直線平行。應(yīng)用格式：∵b∥a,c∥a,∴b∥c.概括03新知探究(1)證明一個(gè)命題的一般步驟①根據(jù)命題,找出命題的條件和結(jié)論;②根據(jù)命題畫出圖形,寫出已知、求證;③從已知條件出發(fā),根據(jù)基本事實(shí)、定義、等式的性質(zhì)等,演繹推理出結(jié)論?；仡櫡此迹?1)回顧前面的證明過程，你認(rèn)為完成一個(gè)命題的證明，需要哪些主要環(huán)節(jié)？(2)對于證明思路的分析，你積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？03新知探究(2)依據(jù)匹配原則：若已知“兩直線平行”，優(yōu)先用性質(zhì)定理推導(dǎo)角的關(guān)系(如同位角/內(nèi)錯(cuò)角相等)；若需證明“兩直線平行”，優(yōu)先用判定定理，從角的關(guān)系(相等/互補(bǔ))切入。轉(zhuǎn)化思維應(yīng)用：遇內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角問題，可通過對頂角相等、補(bǔ)角定義等，轉(zhuǎn)化為已證的同位角關(guān)系，依托“兩直線平行，同位角相等”推導(dǎo)。避免混淆技巧：明確“性質(zhì)是‘線→角’(證角用)，判定是‘角→線’(證線用)”，每步標(biāo)注依據(jù)時(shí)，先判斷是“用性質(zhì)”還是“用判定”，再對應(yīng)選擇定理。2.如圖,已知a∥b,l與a,b相交。若∠1=70°,則∠2的度數(shù)等于(

)A.120° B.110° C.100° D.70°04鞏固訓(xùn)練DB1.如圖,一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后又回到與原來相同的方向,∠A=130°,那么∠B的度數(shù)是(

)A.160° B.150° C.140° D.130°3.如圖,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠B=36°,則∠DCE等于(

)A.18° B.36° C.45° D.54°A5.如圖,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,則∠D=

°。4.一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示,已知∠1=102°,則∠2的度數(shù)為

。78°10004鞏固訓(xùn)練證明:∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3。∴BD∥CE?！唷螩=∠DBA。∵∠C=∠D,∴∠D=∠DBA。∴DF∥AC。∴∠A=∠F。6.如圖,已知B,E分別是AC,DF上一點(diǎn),∠1=∠2,∠C=∠D。求證:∠A=∠F。04鞏固訓(xùn)練05課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你收獲了什么？平行線性質(zhì)定理定理1：兩直線平行，同位角相等(反證法證明)；定理2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等(轉(zhuǎn)化為同位角，用定理1推導(dǎo))；定理3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)(轉(zhuǎn)化為同位角，用定理1+補(bǔ)角定義推導(dǎo))；推論：平行于同一直線的兩條直線平行(性質(zhì)+判定綜合證明)。反證法初步邏輯：假設(shè)結(jié)論不成立→推導(dǎo)與基本事實(shí)/定理矛盾→否定假設(shè)，確認(rèn)原結(jié)論成立。性質(zhì)與判定辨析性質(zhì)：條件是“兩直線平行”，結(jié)論是“角相等/互補(bǔ)”，用于“由線推角”；判定：條件是“角相等/互補(bǔ)”，結(jié)論是“兩直線平行”，用于“由角推線”。2.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的,因此光線從水中斜射向空氣時(shí),要發(fā)生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光線,在空氣中也是平行的。如圖,∠1=45°,∠2=120°,則∠3+∠4的度數(shù)為(

)A.165° B.155° C.105° D.90°1.如圖,AB∥CD,EF∥GH,∠1=60°,則∠2補(bǔ)角的度數(shù)為(

)A.60° B.100° C.110° D.120°06作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：DC3.如圖,直線m∥n,△ABC是直角三角形,∠B=90°,點(diǎn)C在直線n上。若∠1=50°,則∠2的度數(shù)是(

)A.60° B.50° C.45° D.40°06作業(yè)設(shè)計(jì)D基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：4.如圖,有一條直的等寬紙帶,按圖折疊時(shí)形成一個(gè)30°的角,則重疊部分的∠α等于(

)A.75° B.70° C.65° D.60°A06作業(yè)設(shè)計(jì)能力提升：5.圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖,圖2是其示意圖,其中AB,CD都與地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°。當(dāng)AM∥CB時(shí),∠MAC的度數(shù)為(

)A.16° B.60° C.66° D.114°C6.某些燈具的設(shè)計(jì)原理與拋物線有關(guān)。如圖,從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OA,OB等反射后都沿著與PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°,∠OBD=90°,則∠OAC=

°。607.如圖所示是地球截面圖,其中AB,EF分別表示南回歸線和北回歸線,CD表示赤道,點(diǎn)P表示太原市的位置。現(xiàn)已知地球南回歸線的緯度是南緯23°26'(∠BOD=23°26'),太原市的緯度是北緯37°32'(∠POD=37°32'),而冬至正午時(shí),太陽光直射南回歸線(光線MB的延長線經(jīng)過地心O),則太原市冬至正午時(shí),太陽光線與地面水平線PQ的夾角∠α的度數(shù)是

。

06作業(yè)設(shè)計(jì)能力提升：

06作業(yè)設(shè)計(jì)能力提升：證明:∵AB∥CD,∴∠BAD=∠D。∵AD∥CE,∴∠D=∠C,∠DAE=∠E?！唷螧AD=∠C。∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠E。8.如圖,已知AB∥CD,AD∥CE。求證:∠BAE=∠C+∠E。