專題34動點綜合問題（33題）

一、單選題

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形4BCO中，為其對角線，一動點P從。出發(fā)，沿著Of

的路徑行進，過點尸作PQJLC。，垂足為Q.設(shè)點尸的運動路程為x,PQ-DQ為y,y與八?的函數(shù)圖象

11

D.-4

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RlZ\A8C中，ZBAC=90°,AB=\2,動點、E,尸同

時從點月出發(fā)，分別沿射線48和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點尸

也隨之停止運動，連接￡尸，以EF為邊向下做正方形EFGH,設(shè)點上運動的路程為％（。＜工＜12）,正方形

和等腰Rt4A8c重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖,在邊長為6的正方形A8CD中，點E,3分別是邊AB8c上的動點,

且滿足=4'與。笈交于點。，點〃是。產(chǎn)的中點，G?是邊A8上的點，AG=2GB,貝!。W+；尸G

的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點尸從菱形A8CQ的點力出發(fā)，沿邊3c勻速運動，運動到點

C時停止.設(shè)點P的運動路程為x,PO的長為八歹與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點尸運動到BC中點時,

P。的長為（）

圖I

A.2B.D.2夜

5.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在菱形A8C。中，AB=6,/B=30°,點E是BC邊上的動點，連

接AE,DE,過點4作AF1OE于點P.設(shè)。E=x,AF=yf則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自

變量k的取值范圍）（）

二、填空題

6.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線4、4,點力是人上的定點，AB上4于點B,點C、

。分別是乙、4上的動點，且滿足AC=8。，連接8交線段AB于點區(qū)BH工CD于點H,則當(dāng)N8A”最

大時，sin/助”的值為.

2

c

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在48C。中，43=4,4）=5,ZA8C=30。，點M為直線8C上

一動點，則MA+MO的最小值為.

8.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，M的圓心為M（4,0）,半徑為2,。是直線y=工+4上的一個動點,

過點尸作M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

9.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知4408=50。，點P為/AOB內(nèi)部一點，點“為射線。4、點

N為射線08上的兩個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則NM/W=.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜萬中,已知A（3,0）,8（0,2）,過點8作4軸

的垂線/.P為直線/上一動點，連接四九PA,則R9+R4的最小值為.

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在MBC中,ZABC=60°,BC=8,E是BC邊上一點，且BE=2,

3

點/是的內(nèi)心，引的延長線交AC于點。，P是BD上一動點,連接。石、PC,則PE+PC的最小

12.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖,在ABCD中,ZC=120°,48=8,BC=10.E為邊CD的中點,

F為邊AD上的一動點，將DEF沿EF翻折得；?EF，連接八。'，BD'，則面積的最小值為.

13.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正方形A3CQ的邊長為l,M、N是邊8C、CO上的動點.若/MAN=45。,

則MN的最小值為

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，A8=2,40=4,E、尸分別是邊。、AD

上的動點，且CE=DF.當(dāng)AE+C/的值最小時，則CE=

三、解答題

15.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，A8C中，AC=BC,乙4C8=90。，A（-2,0）,C（6,0）,反比例

函數(shù)y=與k/0」＞0）的圖象與AB交于點。（嘰4）,與交于點E.

X

⑵點夕為反比例函數(shù)y=§(&/()、/>())圖象上一動點(點尸在。，石之間運動，不與。，E重合)，過點夕

作PM〃4B,交y軸于點M,過點P作PN〃x軸，交BC于點、N,連接MN,求./MN面積的最大值，并

求出此時點P的坐標(biāo).

16.(2024?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁=去+b的圖象與反比例函數(shù))，='

X

(1)求反比例困數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)0是直線x=-2上的一個動點，▲248的面積為21,求點尸包標(biāo)；

(3)點。在反比例函數(shù).'=%位于第四象限的圖象上，QA3的面積為21,請直接寫出。點坐標(biāo).

x

17.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系屹)，中，三知拋物線)，=加+尿+3經(jīng)過點人(3,0),

與y軸交于點8,且關(guān)于直線x=l對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)TWxWf時，y的取值范圍是O4)W2f-l,求/的值:

5

（3）點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點。作x軸的垂線交直線A8F點。，在y軸上是否存在

點已使得以6,C,D,七為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

18.（2024?四川南充?中考真題）已知拋物線），=-/+法+c與/軸交于點A（-1,0）,A。，。）.

（1）求拋物線的解析式：

（2）如圖1,拋物線與V軸交于點C,點P為線段OC上一點（不與端點重合），直線抬，依分別交拋物線

于點E,D,設(shè)面積為，，面積為§2，求今的值；

（3）如圖2,點K是拋物線對稱軸與工軸的交點,過點K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點M,N,

過拋物線頂點G作直線/〃x軸，點。是直線/上一動點.求。用+QN的最小值.

19.（2024?吉林?中考真題）如圖，在叢BC中，ZC=90°,ZB=3O°,AC=3cm,4力是48c的角平分

線,動點。從點力出發(fā)，以限m/s的速度沿折線4。-。8向終點8運動.過點Q作為2〃AB,交4c于

點。，以P。為邊作等邊三角形PQE,且點C,七在P。同側(cè),設(shè)點尸的運動時間為（乂/>0）,PQE與.ABC

重合部分圖形的面積為S（cn?）.

（1）當(dāng)點尸在線段AD上運動時，判斷的形狀（不必證明），并直接寫出4。的長（用含/的代數(shù)式表

示）.

（2）當(dāng)點七與點。重合時，求/的，直.

6

(3)求S關(guān)于，的函數(shù)解析式，并寫出自變量/的取值范圍.

20.(2024?四川德陽?中考真題)如圖，拋物線)，=/-x+c與工軸交于點A(TO)和點8,與丁粕交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0<xK2時，求)，=犬一x+c的函數(shù)值的取值范圍；

(3街拋物線的頂點向下平移1個單位長度得到點M,點尸為拋物線的對稱軸上一動點，求以+且PM的

45

最小值.

21.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形QA8的邊06在x軸上，

點力在第一象限，的長度是一元二次方程f—5x-6=0的根，動點尸從點。出發(fā)以每秒2個單位長度

的速度沿折線3-AB運動，動點。從點。出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線08-朋運動，P、0

兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動.設(shè)運動時間為，秒(0</<3.6),△OPQ的面積為S.

(1)求點力的坐標(biāo)：

(2)求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)S=66時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點M使得以點。、P、M、N

為頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22.(2024,江西?中考真題)綜合與實踐

如圖，在RtZ\A8C中，點。是斜邊48上的動點(點。與點力不重合)，連接C。，以CO為直角邊在。的

右側(cè)構(gòu)造RtZkCDE,ZDCE=90°,連接跖，段=笑=帆.

CDCA

7

圖1圖2圖3

特例感知

(I)如圖1,當(dāng)，〃=1時，與A。之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是；

類比遷移

(2)如圖2,當(dāng)〃件1時，猜想班?與人。之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

(3)在(1)的條件下，點?與點。關(guān)于OE對稱，連接￡＞尸，EF,BF,如圖3.已知4C=6,設(shè)A。=x,

四邊形CZ)正的面積為y.

口求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值：

□當(dāng)4"=2時，請直接寫出A。的長度.

23.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=2與

x軸交于點4與y軸交于點C,過上。兩點的拋物線廣加+法+《"0)與x軸的另一個交點為點3(7,0),

點尸是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點?分別作x軸和J，軸的平行線，分別交直線4c于點E,

點尸.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。是x軸上的任意一點，若AC。是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)防=A。時，求點尸的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下,若點N是y軸上的?個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線,垂足為憶連接N4,MP,

則附+MP的最小值為.

8

24.（2024?四川廣元?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xQ），中，已知拋物線氏），=-/+瓜+c經(jīng)過點A（-3,-1）,

與y軸交于點8（0,2）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式：

（2府直線上方拋物線上有一動點C,連接OC交于點。，求器的最大值及此時點C的坐標(biāo)；

（3）作拋物線尸關(guān)于直線），=-1上一點的對稱圖象尸，拋物線尸與尸只有一個公共點雙點￡在》軸右側(cè)），

G為直線A3上一點，，為拋物絞9對稱軸上一點，若以&E.G,〃為頂點的四邊形是平行四邊形，求

G點坐標(biāo).

25.（2024?天津?中考真題）將一個平行四邊形紙片OA8c放置在平面直角坐標(biāo)系中，點。（0,0）,點A（3,0）,

點3,C在第一象限，且OC=2,NAOC=60.

（1）填空：如圖口，點C的坐標(biāo)為,點8的坐標(biāo)為；

（2）若。為1軸的正半軸上一動點，過點。作直線/_Lx軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應(yīng)點。落

在x軸的正半軸上，點C的對應(yīng)點為C.設(shè)=

［如圖門,若直線/與邊CA相交于點Q,當(dāng)折疊后四邊形PO'C'。與。O3C重疊部分為五邊形時，O'C與

AB相交于點E.試用含有，的式子表示線段〃E的長，并直接寫出，的取值范圍：

211

二設(shè)折疊后重置部分的面積為S,當(dāng)工時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

34

26.（2024,湖南?中考真題）己知二次函數(shù)yu-f+c的圖像經(jīng)過點人-2,5）,點。（公），3。（凡,必）是此

二次函數(shù)的圖像上的兩個動點.

9

(1)求此二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖像與工軸的正半軸交于點4,點尸在直線4B的上方，過點夕作PClx軸于點

S

C,交AB于點、D,連接AC,OQ,PQ.若毛=玉+3,求證聲絲的值為定值；

⑶如圖2,點尸在第二象限，X2=-2X,,若點M在直線P。上，且橫坐標(biāo)為大-1,過點M作MN_Lx軸于

點M求線段MN長度的最大值.

27.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如羽1,在平面直角坐標(biāo)系中，點從。是直線上第一象限內(nèi)的兩個動點(。。＞08),以線段

引)為對角線作矩形ABC。，AD〃上?軸.反比例函數(shù)丫=七的圖象經(jīng)過點4

X

【構(gòu)建聯(lián)系】

(1)求證：函數(shù)y=七的圖象必經(jīng)過點C.

X

(2)如圖2,把矩形A8CQ沿AD折疊，點。的對應(yīng)點為￡當(dāng)點E落在y軸上，且點4的坐標(biāo)為(1,2)時，

求〃的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形A8C。沿BZ)折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點￡4重合時，連接AC交30于點P.以

點。為圓心，AC長為半徑作&O.若OP=3&，當(dāng)C。與MBC的邊有交點時，求攵的取值范圍.

10

28.(2024?四川達州?中考真題)如圖1,拋物線y=#+Ax-3與#軸交于點4(-3,0)和點以1,0),與)，軸

(2)如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對稱軸于點M,若點P是直線AC上方拋物線上一點,

且Saiwc=2sMwc，求點P的坐標(biāo):

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三

角形，若存在，請宜.接寫出滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

29.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖

像經(jīng)過原點和點4(4,0).經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點8(1,3),與丁軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點。的坐標(biāo);

(2)點/，是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點P在直線48上方時，過點尸作PE_Lx軸于點E,與直線交

11

于點。，設(shè)點。的橫坐標(biāo)為〃?.

口〃?為何值時線段產(chǎn)。的長度最大，并求出最大值；

口是否存在點P，使得△8PQ與以0C相似.若存在，請求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2

30.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線丁二-^^+法+仁與1軸交于人，8兩點，與)'粕交于點C,

點A坐標(biāo)為(TO),點3坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點P是直線3c上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線8c于點。，過點尸作F軸的垂線,

垂足為點E,請?zhí)骄?PO+是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標(biāo);若沒有最大值，

請說明理由.

(3)點M為該拋物線上的點，當(dāng)NMC8=45。時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo).

31.(2024?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線阮+c與x軸交于A,B兩點，與)'軸交于點C,

OC=OA,48=4,對稱軸為宜線=將拋物線繞點。旋轉(zhuǎn)180。后得到新拋物線力，拋物線內(nèi)與

)'軸交于點。，頂點為E,對稱軸為直線4.

⑴分別求拋物線))和力的表達式;

(2)如圖1,點尸的坐標(biāo)為(-6,0),動點M在直線4上，過點M作仞7〃式軸與直線(交于點N,連接產(chǎn)例，

。".求產(chǎn)M+MN+ON的最小值；

(3)如圖2,點”的坐標(biāo)為(0,-2