第五章二元一次方程組

4二元一次方程與一次函數(shù)（第2課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第五章“二元一次方程組”第四節(jié)“二元一

次方程與一次函數(shù)”的第2課時。一次函數(shù)與二元一次方程聯(lián)系緊密。在上一課時中，學(xué)生

已經(jīng)能從“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程組的概念。本課時的主要內(nèi)容是學(xué)

習(xí)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式，并解決實際問題，進一步體會方程與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)

系。

二、學(xué)生起點分析

學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：學(xué)牛.已掌握一次函數(shù)的基本概念與圖象特征，能根據(jù)特定的圖象確

定一次函數(shù)表達式。此外，學(xué)生已學(xué)習(xí)了二兀一次方程（組）的相關(guān)知識，能止確建立并求

解二元一次方程組。

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在前面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生解決過比較特殊的確定一次函數(shù)表達式

的問題，即參數(shù)或Z”能夠從給定條件中直接獲取，從而將問題轉(zhuǎn)化為用一元一次方

程確定一次函數(shù)表達式的問題。由于學(xué)生還未系統(tǒng)學(xué)習(xí)“用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達

式”，對于更一般的情況（“2”或“6”無法直接獲得），存在一定困難。此外，在之前運

用一次函數(shù)解決實際問題時，教科書更側(cè)重圖象信息的識別與分析，意在培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的

幾何直觀。但直觀方法具有?定的局限性，因此就有必要掌握相應(yīng)的代數(shù)方法。在上一課時

中，學(xué)生已經(jīng)初步感知了二元一次方程與一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，能從“形”的角度理解它們,

但這些知識之間的有效聯(lián)系仍需要進一步強化。同時，學(xué)生在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)歷較多

的合作學(xué)習(xí)過程，具有一定的合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

三、教學(xué)目標

1.經(jīng)歷用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的過程，會設(shè)函數(shù)表達式，并能根據(jù)所給條件

建立二元一次方程組求解函數(shù)表達式中的未知系數(shù)，進一步感悟二元一次方程（組）與一次

函數(shù)的聯(lián)系，體會知識之詞的普遍聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。

2.經(jīng)歷運用一次函數(shù)模型解決實際問題的過程，發(fā)展抽象能力，增強模型觀念與應(yīng)用意

識。

3.積累從現(xiàn)實世界提出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題的活動經(jīng)驗，會用數(shù)學(xué)

眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界。

教學(xué)重點：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式，進一步感悟二元一次方程與一次函數(shù)的

內(nèi)在聯(lián)系。

教學(xué)難點：建立?一次函數(shù)模型解決實際問題。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】引入情境

1.活動內(nèi)容

情境探究

已知A,B兩地相距100km,甲、乙兩人騎車同時分別從A,B兩地相向而行。假設(shè)

他們都勻速騎行，則他們各自與A地之間的距離s（單位：km）都是騎行時間/（單位：h）

的一次函數(shù)。騎行1h乙距離A地80km,騎行2h甲距離A地30km。經(jīng)過多長時間兩人

相遇?

你能解決這個問題嗎？

預(yù)設(shè)方案1：分別畫出兩人s與/之間關(guān)系的圖象（如圖），找出兩個圖象交點的橫坐

標即可。

預(yù)設(shè)方案2：由于s是7的一次函數(shù)，只要分別求出甲、乙兩人s與，的函數(shù)表達式，

再將這兩個表達式聯(lián)立，求解方程組，便可求得相遇時間。

預(yù)設(shè)方案3：分別求出甲、乙兩人的騎行速度，再根據(jù)兩人之間的距離計算相遇時間。

問題：（1）你是怎樣做的？與同伴進行交流。

（2）你認為方案I和方案2哪一種求出的結(jié)果更準確？

（3）在方案2中，如何確定一次函數(shù)表達式呢？

小結(jié)：借助圖象可以直觀地獲得結(jié)果，但往往難以獲得準確的結(jié)果。為了獲得準確的結(jié)

果，我們通常采用代數(shù)方法。

2.活動目的

創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)牛.用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世

界的意識。將不同方案進行對比，并通過問題（2）（3）,讓學(xué)生感受“確定一次函數(shù)表達

式的必要性”，為下一環(huán)節(jié)“用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式”作鋪墊。

3.注意事項

對了該問題，部分學(xué)生可能會受前面所學(xué)內(nèi)容的影響，首先嘗試用圖象法解決問題。然

而，圖象法得出的結(jié)果通常是近似的，難以精確。這種局限性會促使學(xué)生不滿足于圖象法得

到的近似結(jié)果，從而主動尋求代數(shù)方法。這樣就自然地將學(xué)習(xí)過渡到“確定一次函數(shù)表達式”

的問題。通過對比方案1與方案2,學(xué)生能更好地體會確定一次函數(shù)表達式的必要性。

在學(xué)習(xí)“待定系數(shù)法”前，求s與/的函數(shù)表達式對部分學(xué)生而言具有一定的難度。因

此，本環(huán)節(jié)不要求學(xué)生算出結(jié)果，只需闡述可行的方案。

遵循“以學(xué)牛為主體”的原則，先讓學(xué)生自主提出解決方案，然后對方案講行交流、比

較，在這些活動過程中，動態(tài)地生成相關(guān)方法。同時，讓學(xué)生帶著問題與困惑進行后續(xù)學(xué)習(xí)，

讓學(xué)生經(jīng)歷直面問題、探究問題并最終解決問題的全過程，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，增強數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)的信心。

如果教師發(fā)現(xiàn)本班并未出現(xiàn)預(yù)設(shè)的某種方案時，可以介紹教科書人物解決方案的形式呈

現(xiàn)該方案，引導(dǎo)全班學(xué)生讀懂該方案，從而實現(xiàn)不同方案的對比。

【第二環(huán)節(jié)】操作探究

1.活動內(nèi)容

例在某汽車客運站，乘坐長途車的乘客可以免費攜帶一定質(zhì)量的行李，超過該質(zhì)量需

購買行李票，且行李費y（單位：元）是行李質(zhì)量x（單位：kg）的一次函數(shù)。已知李明帶

了60kg的行李，交了行李費5元；張華帶了90kg的行李，交了行李費10元。

（1）寫出y與x之間的關(guān)系式；

（2）每名乘客最多可免費攜帶多少T克的行李？

解：（1）設(shè)），=h+b,根據(jù)題意，得

（5=60左+6,

[10=90%+6。

k=~,

解這個方程組，得彳6

b=-5.

所以,'二9一5。

O

（2）令j，=0,即L—5=0,解得X=30；當(dāng)x>30時，y>0.

6

所以，每名乘客最多可免費攜帶30kg的行李。

像本例這樣，先設(shè)出函數(shù)表達式，再根據(jù)所給條件確定表達式中未知的系數(shù)，從而得到

函數(shù)表達式的方法，叫作待定系數(shù)法。

一次函數(shù)的表達式有兩個參數(shù)七b,因此要確定一次函數(shù)的表達式，需要兩個條件！

2.活動目的

通過例題的解決，引導(dǎo)學(xué)生認以待定系數(shù)法。待定系數(shù)法的本質(zhì)是利用方程與函數(shù)的關(guān)

系，將求函數(shù)表達式的問題轉(zhuǎn)化為求解方程組的問題。其一般步驟為，先設(shè)出含待定系數(shù)的

函數(shù)表達式，再根據(jù)已知條件列出關(guān)于系數(shù)的方程（組），最后解方程（組）確定系數(shù)的值。

3.注意事項

本例旨在通過具體實例讓學(xué)生初步認識待定系數(shù)法.教學(xué)重點在于引導(dǎo)學(xué)生體會方程與

函數(shù)之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)避免在此處專門安排其他待定系數(shù)法的拓展訓(xùn)練。

【第三環(huán)節(jié)】問題解決

1.活動內(nèi)容

嘗試?思考

已知一次函數(shù),，=2］一人的圖象經(jīng)過點（a,7）和1—2,〃），求這個函數(shù)的表達式。

問題：（1）確定一次函數(shù)表達式時，需要確定哪幾個參數(shù)的值？需要幾個條件？

（2）用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的?般步驟是什么？

X（3）在本題y與x的一次函數(shù)關(guān)系式中，々值的實際意義是什么？

2.活動目的

學(xué)習(xí)待定系數(shù)法并總結(jié)其解題的一般步驟，提升總結(jié)歸納能力，進一步體會一次函數(shù)與

二元一次方程之間的聯(lián)系。建立一次函數(shù)模型解決實際問題，增強模型觀念與應(yīng)用意識。借

助一元二次方程組幫助學(xué)生理解左值在問題中的實際意義，促進思維進階。開展小組活動，

豐富學(xué)生合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗，提高互幫互助的精神。

3.注意事項

學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中解決過比較特殊的確定一次函數(shù)表達式的問題，即某個參數(shù)（&或

b）可以從所給條件中直接獲得。本節(jié)課，學(xué)生學(xué)習(xí)了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式，

從而能解決更一般的確定一次函數(shù)表達式的問題。設(shè)置問題（I）讓學(xué)生明確“確定一次函

數(shù)表達式時必須確定左和兩個參數(shù)”。此外，教師還可以從“數(shù)”與“形”兩個角度，讓

學(xué)生體會“確定一次函數(shù)表達式，需要兩個基本量”這一事實（如圖），同時可點明：當(dāng)“數(shù)”

與“形”結(jié)合時（將兩個點的橫、縱坐標代入一次函數(shù)表達式），便可建立二元i次方程組，

進而確定?次函數(shù)表達式，再次感悟方程與函數(shù)間的聯(lián)系，感受數(shù)形結(jié)合思想，體會允識間

的相互轉(zhuǎn)化。

一次函員的圖象是一條直線，因此

只要確定兩個點就可以確定一次函

數(shù)的表達式！

一次函數(shù)的表達式有兩個參數(shù)

h,因此要確定一次函數(shù)的表達

式，需要兩個條件!

明確“確定一次函數(shù)表i大式需要兩個條件”雖然簡單，彳日它涉及數(shù)學(xué)對象的一個本質(zhì)概

念一基本量，例如一次函數(shù)含有兩個基本量hb；反比例函數(shù)含有一個基本量隊確定平

行四邊形需要3個條件（兩鄰邊及其夾角），因此平行四邊形的基本量數(shù)是3；同理，長方

形和菱形的基本量數(shù)是2,正方形的基本量數(shù)是1。學(xué)生若能常進行這樣的思考，必將增強

其對數(shù)學(xué)對象的理解。

設(shè)置問題（3）,鼓勵學(xué)生探究出值在問題中的實際意義。在此前的學(xué)習(xí)中，教材試圖

給學(xué)生滲透'喋是函數(shù)值y相對于自變量x的變化率”，但受限于當(dāng)時學(xué)生知識枳累不夠，

只能從x增加I的時候來理解k的實際意義。學(xué)習(xí)了待定系數(shù)法之后，學(xué)生便能更好地理解

4值的實際意義。

考慮到問題（3）對學(xué)生的思維水平要求更高，故設(shè)置※號標記。教師可根據(jù)自身所教

班級的實際情況選用，也可作為分層教學(xué)使用的素材。在“行李托運費用”問題中，左值的

實際意義是每增加1kg行李所需要繳納的費用，這一實際意義在解方程組的過程中得到了

展現(xiàn)（如圖），這將幫助學(xué)生進步體會方程與函數(shù)之間的關(guān)系。

解：設(shè)），=奴+力，根據(jù)題意，得

由②一①得30七5,即多30kg行李所對應(yīng)增

（5=60hb-----?

加的費用為5元，故&值表示的是每多1kg

行李所需繳納的費用為』元。

由②一①，得304=5

6

此外，在“嘗試?思考”中，雖然所求函數(shù)表達式只需確定一個參數(shù)6,但所給條件中

包含另一個未知參數(shù)。，因此仍需建立并求解二元一次方程組來確定函數(shù)表達式。這進一步

表明了二元一次方程（組）與一次函數(shù)之間緊密的內(nèi)在聯(lián)系。

【第四環(huán)節(jié)】學(xué)以致用

1.活動內(nèi)容

A,B兩地相距100km,甲、乙兩人騎車同時分別從A,B兩地相向而行。假設(shè)他們都

勻速騎行，則他們各自與A地之間的距離s（單位：km）都是騎行時間單位：h）的一

次函數(shù)。騎行1h乙距離A地80km,騎行2h甲距離A地30km,經(jīng)過多長時間兩人相遇？

2.活動目的

引導(dǎo)學(xué)生重回第一環(huán)節(jié)中的問題，采用方案2計算相遇時間，并上講臺展示自己的解法,

最后將方案1與方案2再次進行對比，研究二者之間的異同，進一步鞏固待定系數(shù)法。通過

不同方法的對比，讓學(xué)牛體會數(shù)形結(jié)合思想，進一步感受二元一次方程與一次函數(shù)間的聯(lián)系。

3.注意事項

方案2利用待定系數(shù)法，建立二元一次方程組分別確定甲、乙的s與/一次函數(shù)表達式,

再聯(lián)立表達式求出相遇時同，這是從“數(shù)”的角度解決問題。而方案1是從“形”的角度看

待問題，方案2可以看作是在方案1的基礎(chǔ)上，用代數(shù)法精確求得函數(shù)圖象的交點橫坐標。

這兩種方案都是從函數(shù)視侑解決問題，將方案1和方案2再次進行對比，研究二者之間的異

同，讓學(xué)生在實際問題背景下進一步感受數(shù)形結(jié)合思想，加深對方程與函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系的理解“

【第五環(huán)節(jié)】交流總結(jié)

1.活動內(nèi)容

教師通過問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)基礎(chǔ)知識、基本方法和重要的

數(shù)學(xué)思想方法等。

（1）確定一次函數(shù)表達式需要幾個條件？為什么？

（2）用待定系數(shù)法確定次函數(shù)表達式的般步驟是什么？

（3）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能進一步說說二元一次方程和一次函數(shù)之間的聯(lián)系嗎？

（4）本節(jié)課你還有哪些收獲？

2.活動目的

問題串層層遞進，從基礎(chǔ)知識到基本方法，在發(fā)展學(xué)生歸納總結(jié)能力的同時.，進一步幫

助學(xué)生理解二元一次方程與一次函數(shù)之間的聯(lián)系，體會知識之間的普遍聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，促

進思維進階，發(fā)展核心素汴。

3.注意事項

本環(huán)節(jié)建議完全由學(xué)生來總結(jié)提煉，若學(xué)生的表述方式不嚴謹，教師可以進行適當(dāng)?shù)难a

充。只要學(xué)生表述合理，都應(yīng)給予鼓勵。

【第六環(huán)節(jié)】作業(yè)布置

1.活動內(nèi)容

基礎(chǔ)性作業(yè)：完成教科書習(xí)題5.4第5~7題。

發(fā)展性作業(yè)：你對一元一次方程、二元一次方程（組）、一次函數(shù)有哪些認識？請寫一

篇小短文進行說明。

2.活動目的

課后練習(xí)遵循因材施教的原則，采用分層式設(shè)計的形式?；A(chǔ)性作業(yè)選用教材中的基礎(chǔ)

題目，并有機融合數(shù)學(xué)、生物學(xué)、物理等學(xué)科知識。發(fā)展性作業(yè)選用綜合性更強、對思維水

平要求出高的題目，為學(xué)有余力的學(xué)牛準備，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，加深對數(shù)學(xué)知識的理解深度。

五、教學(xué)反思

1.要合理地、科學(xué)地使用教科書.

教科書為教