第二章實(shí)數(shù)

1認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)（第1課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊）第二章“實(shí)數(shù)”的第一節(jié)第1

課時(shí)。從整體課程內(nèi)容看，屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“數(shù)

與代數(shù)”領(lǐng)域，課標(biāo)內(nèi)容要求為：了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)，知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理

數(shù)組成，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，能比較實(shí)

數(shù)的大小。會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值。能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍。

本節(jié)內(nèi)容分2個(gè)課時(shí)，實(shí)數(shù)是繼有理數(shù)之后，在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)系的又一

次擴(kuò)充。引入無理數(shù)后，有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。

相關(guān)學(xué)習(xí)活動(dòng)涉及類比學(xué)習(xí)及歸納推理，為后續(xù)高中階段學(xué)習(xí)從實(shí)數(shù)向復(fù)數(shù)的數(shù)

系擴(kuò)展再次積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。第1課時(shí)讓學(xué)生感悟數(shù)系的擴(kuò)充，辯證認(rèn)識(shí)無理數(shù)的

存在，初步建立無理數(shù)的印象，結(jié)合勾股定理，會(huì)根據(jù)要求畫線段；借助計(jì)算器

感受無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是不是有理數(shù)。第2課時(shí)主要是讓

學(xué)生知道實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，并能對(duì)實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行不同的分類，同時(shí)

了解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中明確實(shí)數(shù)和

數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，結(jié)合勾股定理知識(shí)，在數(shù)軸上確定無理數(shù)的位置。

本節(jié)課是第1課時(shí)，學(xué)生將在具體的實(shí)例中，通過操作、估算、分析等活動(dòng)，

感受無理數(shù)的客觀存在性和引入的必要性，并能判斷一個(gè)數(shù)是不是有理數(shù)。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生知識(shí)技能基礎(chǔ)：數(shù)系隨著現(xiàn)實(shí)生活及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求不斷擴(kuò)充，這體現(xiàn)

了新數(shù)產(chǎn)生的必要性。代數(shù)運(yùn)算的核心是研究數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則及運(yùn)算律，學(xué)

生已經(jīng)經(jīng)歷過一次數(shù)系擴(kuò)充，即七年級(jí)在引入負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，將數(shù)的研究范圍擴(kuò)

充到有理數(shù)。利用數(shù)軸探究有理數(shù)的運(yùn)算法則中體現(xiàn)的分類討論、從特殊到一般、

數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想為實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。在前一章“勾股定理”的學(xué)習(xí)中，

學(xué)生已經(jīng)掌握勾股數(shù)的概念，但在探究過程中發(fā)現(xiàn)，并不是所有的直角三角形的

邊長都是勾股數(shù)，甚至有些直角三角形的邊長連有理數(shù)都不是。這為引入“新數(shù)”

奠定了必要性，同時(shí)，勾股定理的學(xué)習(xí)也為學(xué)生提供了數(shù)形結(jié)合的思考方法。

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生己經(jīng)經(jīng)歷了一些拼圖操

作、網(wǎng)格畫線段和借助計(jì)算器估算的活動(dòng)，也具各與同學(xué)合作交流的經(jīng)驗(yàn)。在負(fù)

數(shù)的引入、意義及有理數(shù)加法的學(xué)習(xí)中，充分結(jié)合生活實(shí)際，在理解意義的基礎(chǔ)

上獲取新知；在經(jīng)歷“觀察、比較、分析、歸納”的合作交流過程中，積累了用

數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和解次問題的

經(jīng)驗(yàn)。尤其是第一章用等積法說明勾股定理，解決了一些簡單的現(xiàn)實(shí)問題，感受

到了數(shù)系擴(kuò)充的必要性和作用，獲得了認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)所必需的一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.在有理數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形判斷正方形的邊長是不是有理數(shù)，感受

客觀世界中無理數(shù)的存在；能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍。

2.通過拼圖活動(dòng)，感受無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的

能力。同時(shí)，借助計(jì)算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并利用計(jì)算器估算，培

養(yǎng)估算能力，發(fā)展抽象概括能力，并從中體會(huì)無限逼近的思想。

3.滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般的思想，培養(yǎng)代數(shù)推理能力。

4.在拼圖和網(wǎng)格紙中作出無理數(shù)表示線段長度的過程中，發(fā)展分析問題和解

決問題的能力，積累從圖形的特征思考數(shù)學(xué)問題的思維經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)系擴(kuò)充合理性的理解，意識(shí)到確實(shí)存在某些數(shù)，既不是整數(shù)

也不是分?jǐn)?shù)，它們具有無限不循環(huán)的特征。

教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)到無理數(shù)既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】回顧置疑

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考：(1)一個(gè)整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？

(2)一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方一定是分?jǐn)?shù)嗎？

2.活動(dòng)目的

進(jìn)行必要的知識(shí)回顧，為第二環(huán)節(jié)埋下伏筆，便于后續(xù)問題的說理。

【第二環(huán)節(jié)】課題引入

1.活動(dòng)內(nèi)容

圖1中是兩個(gè)邊長為1的小正方形，剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正

方形。設(shè)大正方形的邊長為4,。滿足什么條件？它是我們學(xué)過的數(shù)嗎？（要求:

不允許有多余部分，所得的正方形不允許有空缺）

圖I

嘗試-思考

（1）如圖2,以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

（2）設(shè)該正方形的邊長為46滿足什么條件？它是我們學(xué)過的數(shù)嗎？

2.活動(dòng)目的

通過動(dòng)手操作，初步感知客觀存在的“無理數(shù)”實(shí)例，讓學(xué)生深刻感受“數(shù)

不夠用了”。

3.注意事項(xiàng)

無理數(shù)的學(xué)習(xí)標(biāo)志著學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)從有理數(shù)范疇拓展到實(shí)數(shù)范疇，是一次

重要的數(shù)系擴(kuò)充。由于學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是從現(xiàn)實(shí)生活需求出發(fā)的，遵循“自然數(shù)

一整數(shù)一有理數(shù)一實(shí)數(shù)”的脈絡(luò)不斷拓展和豐富。學(xué)生對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)是具象可

感的，是可以“數(shù)出來”“量出來”的，但無理數(shù)是抽象的“想出來”的。以學(xué)

生現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)的有限性去認(rèn)識(shí)無理數(shù)概念的“無限性”，存在理解上的困難。因此，

對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)要從現(xiàn)實(shí)需求出發(fā)，讓學(xué)生直觀感知其客觀存在性，讓學(xué)生在實(shí)

驗(yàn)操作中引發(fā)思考，通過思考感知問題中的eb確實(shí)存在，但不是有理數(shù)。

【第三環(huán)節(jié)】新知釋疑

1.活動(dòng)內(nèi)容

思考-交流

面積為2的正方形的邊長。究竟是多少呢?

（1）如圖3,三個(gè)正方形的邊長之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由。

圖3

（2）邊長。的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位呢？……借

助計(jì)算器進(jìn)行探索。

（3）小明將他的探索過程整理如下：

邊長a面積S

\<a<21<5<4

1.4<?<1.5L96Vs<2.25

1.41<^<1.421.988l<S<2.0164

1.414<a<1,4151.999396Vs<2.002225

1.4142<t/<1.41431.99996164<5<2.00024449

還可以繼續(xù)算下去嗎？〃可能是有限小數(shù)嗎？

（4）面積為5的正方形的邊長b的值是多少？h可能是有限小數(shù)嗎？與同

伴進(jìn)行交流。

2.活動(dòng)目的

上一環(huán)節(jié)的“嘗試?思考”讓學(xué)生感知mb確實(shí)存在，但不是有理數(shù)，本

環(huán)節(jié)的“思考一交流”則意在讓學(xué)生感受b的大小。如何感知？這里借助了

計(jì)算器進(jìn)行逼近和估計(jì)，在這一過程中，可以初步感受4,8的大小，同時(shí)也讓

學(xué)生感受到這樣的逼近過程可以一直重復(fù)下去，進(jìn)而感知無理數(shù)是無限不循環(huán)小

數(shù)。

3.注意事項(xiàng)

(1)這里采用了“呈現(xiàn)小明的探究”方式進(jìn)行問題研究，在實(shí)際授課中,

教師可以讓學(xué)生進(jìn)行類似的操作，然后呈現(xiàn)學(xué)生的解答。

(2)活動(dòng)最后，教師需要明晰:事實(shí)上,61=1.41421356-^=2.23606797-,

它們都不是有理數(shù)，都是無限不循環(huán)小數(shù)。

【第四環(huán)節(jié)】知識(shí)鞏固

1.活動(dòng)內(nèi)容

(1)在圖4的正方形網(wǎng)格中，分別畫出滿足以下條件的兩個(gè)正方形：

①面積為9,且正方形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上；

②面積為13,且正方形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上。

(2)在圖5的正方形網(wǎng)格中分別畫出以下四個(gè)三拊形

①三邊長都是有理數(shù);

②只有兩邊長是有理數(shù);

③只有一邊長是有理數(shù);

I5JS

④三邊長都不是有理數(shù)。A

(3)如圖6,等邊三角形48C的邊長為2,高為人h

可能是有理數(shù)嗎?

(4)同一個(gè)正方形的邊長和對(duì)角線的長度可能都是整B

數(shù)嗎？RAA

2.活動(dòng)目的

前面2個(gè)方格紙畫圖問題，增添知識(shí)的趣味性、關(guān)聯(lián)性和層次性，讓學(xué)生初

步學(xué)會(huì)辨別有理數(shù)和無理數(shù)，進(jìn)一步感受“新數(shù)”的存在，培養(yǎng)靈活運(yùn)用知識(shí)的

能力。后面2個(gè)問題，是對(duì)本節(jié)課開始問題的變式，加深對(duì)“新知”的理解。

3.注意事項(xiàng)

(1)問題(2)的答案不唯一。

(2)在解決問題(1)(2)的過程中，需將本章內(nèi)容與勾股定理的內(nèi)容進(jìn)

行聯(lián)系。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動(dòng)內(nèi)容

(1)通過本課學(xué)習(xí)，你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和能力？

(2)通過本課學(xué)習(xí)，你提升了哪些數(shù)學(xué)思維能力？

(3)通過本課學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式？

(4)除了本課所認(rèn)識(shí)的非有理數(shù)外，你還能找到其他的數(shù)嗎？

2.活動(dòng)目的

通過課堂小結(jié)，理清本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生用

數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，主要表現(xiàn)為抽象能力和幾何直觀；幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維

思考現(xiàn)實(shí)世界，主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理能力；實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世

界，主要表現(xiàn)在應(yīng)用意識(shí)。

3.注意事項(xiàng)

學(xué)生總結(jié)，教師補(bǔ)充，幫助學(xué)生逐步深化對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。

【第六環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動(dòng)內(nèi)容

基礎(chǔ)作業(yè)：習(xí)題2.1第5、第6題；

拓展作業(yè)：利用網(wǎng)格紙?jiān)O(shè)計(jì)格點(diǎn)正方形，正方形面積小于100,共有多少種

情況？(注：面積相同的不同畫法均視為同一種情況)

實(shí)踐作業(yè)：查閱相關(guān)資料，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)史上無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷程。完成數(shù)

學(xué)小論文“我對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的再認(rèn)識(shí)”。

2.活動(dòng)目的

設(shè)計(jì)不同難度、不同類別的作業(yè)，加強(qiáng)對(duì)本課時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，為不同層

次學(xué)生的發(fā)展提供有力支持。

五、教學(xué)反思

1.概念是學(xué)習(xí)新知識(shí)的基本內(nèi)容，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是從概念教學(xué)開始的。概念教學(xué)不是告

知學(xué)生結(jié)果去記憶就行，而是要讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程。從認(rèn)知的過程

來講，形成概念是從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程，艮J由特殊到一般的總結(jié)和歸納；而鞏

固概念則是加深理解和靈活運(yùn)用的過程，即從一般到特殊的應(yīng)用過程。因此概念教學(xué)與應(yīng)用

是一個(gè)有機(jī)的整體、一個(gè)完美的閉環(huán)。

本節(jié)課借助尋找正方形邊長這一“現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例”，讓學(xué)生通過估計(jì)、計(jì)算器進(jìn)行

探索、討論等，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和無限逼近的數(shù)

學(xué)思想，從而得到無理數(shù)的概念；在教學(xué)實(shí)施過程中，對(duì)基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生，這i探索過程

所需時(shí)間較長，可能會(huì)影響后面環(huán)節(jié)的進(jìn)行，但感知過程是學(xué)生理解無理數(shù)這一抽象概念所

必需的，絕對(duì)不能淡化。

2.保持以研究的態(tài)度看待教學(xué)，以謙虛的態(tài)度研究教學(xué)，緊跟時(shí)代要求豐富教學(xué)手段。

基于數(shù)學(xué)課堂做研究，基于對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)的理解尋找切入點(diǎn)，在常態(tài)課中將信息技術(shù)

與數(shù)學(xué)適當(dāng)融合，將抽象的知識(shí)形象化，幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，豐富體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生

個(gè)性化發(fā)展。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知、探索新知，形成一定的數(shù)學(xué)探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)

學(xué)生的分類和歸納思想，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打卜.堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

第二章實(shí)數(shù)

1認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)（第2課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊）第二章“實(shí)數(shù)”的第一節(jié)第2課時(shí)。本節(jié)課

主要學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，并能對(duì)實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行不同的分類，同時(shí)了解實(shí)數(shù)范

圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對(duì)值的意義，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中明確實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)

應(yīng)的，結(jié)合勾股定理知識(shí)，在數(shù)軸上確定無理數(shù)的位置。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生知識(shí)技能基礎(chǔ):通過七年級(jí)數(shù)軸的學(xué)習(xí)，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、

絕對(duì)值等概念，會(huì)利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)。在前一章“勾股定理”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累

了已知兩直角邊長度均為整數(shù)時(shí)求斜邊平方的運(yùn)算基礎(chǔ),在本章的第一課時(shí)學(xué)生也已經(jīng)初步

感知了無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)），這為利用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無理數(shù)奠定了基礎(chǔ)。勾股定理

的學(xué)習(xí)也為學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法提供了思考路徑。

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：第1課時(shí)，構(gòu)造直角三角形產(chǎn)生無理數(shù)是具體的經(jīng)驗(yàn)，為如何在數(shù)

軸上標(biāo)出無理數(shù)提供了一種辦法；研究有理數(shù)時(shí)使用的分類、運(yùn)算等學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)數(shù)這里

依然可以進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解實(shí)數(shù)的意義，能對(duì)實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行分類；了解實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，能根

據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置比較大小。了解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)

范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣。

2.在認(rèn)識(shí)“實(shí)數(shù)”這一新知識(shí)時(shí)，運(yùn)用已有的“有理數(shù)”的相關(guān)概念及運(yùn)算律類比解決

“實(shí)數(shù)”的相關(guān)概念及運(yùn)算律，從而獲取解決實(shí)數(shù)相關(guān)問題的基本方法，發(fā)展分析問題、解

決問題的能力。

3.在感受實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的過程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

4.感悟類比思想的經(jīng)驗(yàn)，了解數(shù)系擴(kuò)充對(duì)人類認(rèn)識(shí)發(fā)展的必要性。

教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)的意義，實(shí)數(shù)和數(shù)釉上的點(diǎn)??對(duì)應(yīng)。

教學(xué)難點(diǎn)：能將實(shí)數(shù)按要求進(jìn)行分類。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】回顧引入

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）什么是有理數(shù)？

（2）如果把有理數(shù)寫成小數(shù)，這時(shí)的小數(shù)有什么特征呢？

⑶把下列各數(shù)表示成小數(shù)：3,%.

討論后明晰：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。

2.活動(dòng)目的

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)?，F(xiàn)在出現(xiàn)了新的數(shù)，它既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，上節(jié)課指出

這樣的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。因此，本節(jié)課苜先探討有理數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。從研究手法上看，

直接問這樣的問題太抽象，F(xiàn)是從特殊的、具體的對(duì)象進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了將具體有理數(shù)轉(zhuǎn)化

成小數(shù)的問題。

3.注意事項(xiàng)

這里通過具體的數(shù)字轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，通過自己的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)總可以用有

限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示；反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。那些不

是有理數(shù)的數(shù)，用小數(shù)表示是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)。揭示無理數(shù)后，

可以再舉一些實(shí)例，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和感知無理數(shù)。

【第二環(huán)節(jié)】探究新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

例下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

3.14,—%0.57,0.1010001000001-（相鄰兩個(gè)I之間0的個(gè)數(shù)逐次加2）。

教師總結(jié)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。

嘗試-思考

無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有正、負(fù)之分。

（1）請(qǐng)你把上面例題中的各數(shù)填入下面相應(yīng)的集合內(nèi)。

（2）還記得有理數(shù)的分類方法嗎？你能用類似的方法對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類嗎？

思考-交流

上節(jié)課討論的兩個(gè)正方形，邊長分別是兒且滿足『=2,川=5。

（1）如圖，OA=OB,數(shù)軸上點(diǎn)力對(duì)應(yīng)a,。中的哪個(gè)數(shù)？

（2）你能在數(shù)軸上找到另一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？與同伴進(jìn)行交流。

B

2.活動(dòng)目的

在第一環(huán)節(jié)，教材明晰了無理數(shù)的概念，這一環(huán)節(jié)則是進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)無理數(shù)的理解。

首先，例題讓學(xué)生判斷哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)，這是對(duì)無理數(shù)概念的進(jìn)一步辨析。有

了數(shù)的概念以后，我們通常會(huì)討論數(shù)的運(yùn)算。其次，設(shè)計(jì)了“嘗試?思考”，一方面類比有

理數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類：另?方面在討論完分類后，進(jìn)?步明晰在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒

數(shù)、絕對(duì)值的意義與在有理數(shù)范圍內(nèi)的意義一樣。實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、

除、乘方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用；最后，“思考?交流”則

是對(duì)有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系的補(bǔ)充，揭示實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

3.注意事項(xiàng)

（1）關(guān)于實(shí)數(shù)的分類，可以有不同的分類方法，但是每次只能按照同一標(biāo)準(zhǔn)，旦也要

注意不重不漏。

（2）通過與有理數(shù)類比的方式，得出實(shí)數(shù)意義下的相關(guān)概念、運(yùn)算律，不用解釋道理，

可以通過具體例子理解和感悟。

【第三環(huán)節(jié)】知識(shí)鞏固

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

0.4583,3.7?—TC?一；,18。

（2）比較一3.14和一兀的大小。

（3）判斷正誤：

①所有無限小數(shù)都是無理數(shù)；（）

②所有無理數(shù)都是無限小數(shù)；（）

③有理數(shù)都是有限小數(shù)；（）

④不是有限小數(shù)的數(shù)不是有理數(shù)。（）

（4）回答問題：

①一3的相反數(shù)是什么？它的倒數(shù)是什么？它的絕對(duì)值是什么？

②n的相反數(shù)是什么？它的倒數(shù)是什么？它的絕對(duì)值是什么？

③。是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的相反數(shù)和絕對(duì)值如何表示？若。工0,則它的倒數(shù)如何表示？

2.活動(dòng)目的

通過教科書的一些練習(xí)題，加深學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解，檢測學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)相關(guān)知識(shí)的

掌握情況。

【第四環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和能力？

（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你提升了哪些數(shù)學(xué)思維能力？

（3）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些數(shù)學(xué)語言表達(dá)？

2.活動(dòng)目的

鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲。通過課堂小結(jié)，理清本節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)，培養(yǎng)

學(xué)生的核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，本節(jié)課的數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為抽象能

力、兒何直觀；幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，本節(jié)的數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、

推理能力；實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，本節(jié)的數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為應(yīng)用意識(shí)。

3.注意事項(xiàng)

學(xué)生交流，互相補(bǔ)充，完成本節(jié)知識(shí)的梳理。學(xué)生對(duì)問題解決過程的回顧和反思，實(shí)現(xiàn)

知識(shí)建構(gòu)、方法融合、思想領(lǐng)悟和思維的自覺。

【第五環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

I.活動(dòng)內(nèi)容

（1）基礎(chǔ)作業(yè)：

（注：根據(jù)教材習(xí)題2.1第1題改編）

下列各數(shù)中，一段，3.97,-234.10101010…（相鄰兩個(gè)1之間有1個(gè)0）,

180

0.12345678910111213…（小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成）。

①寫出所有有理數(shù)：

②寫出所有無理數(shù)；

③分別寫出這些數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值；

④把這些數(shù)按由小到大的順序排列起來，并用符號(hào)連接。

（2）拓展作業(yè)：

把下列小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：①3.25：@0.5：③0.試。

（3）實(shí)踐作業(yè)：課題學(xué)習(xí)“探索有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的方法”。

課題探索有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的方法

類型主題實(shí)踐性作業(yè)

有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示，你知道它的原理嗎？你

內(nèi)容

能總結(jié)有理數(shù)轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的?般方法嗎？

工具

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解釋理由，小組合作歸納總結(jié)模型，并能發(fā)散思