八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷.拔尖卷

【滬教版五四制2024]

全解全析

一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，滿分12分)

1.關(guān)于工的方程無2-2血無+加2=4的兩個(gè)根％1，義2滿足X1=2々+3,且無1>%2，則用的值為()

A.-3B.1C.3D.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根.根據(jù)。一加+2)。一小一2)=0,xi>x2

得到％i=m+2,x2=m—2,由=2%2+3可得/〃的方程，解用的方程即可.

【詳解】解：—2mx+m2=4,

???(X—771+2)(%—771—2)=0,

：.x—m+2=0或％—m—2=0,

?：X]>x2?

.,.%!=m+2,x2=m-2,

=2x2+3,

?，-m4-2=2(m—2)+3,

解得m=3.

故選：C.

2.已知a的算術(shù)平方根是12.3,b的立方根是一45.6,x的平方根是±1平3,y的立方根是456,則％和y分別

是()

ah

A.x=-^,y=100bB.x=1000a,y=—

C.x=就,y=-1000Z?D.x=總,y=1000b

【答案】c

【分析】利用算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，可得到。，。的值，由此可得到％與a和y與5的關(guān)系

【詳解】解：???Q的算術(shù)平方根是12.3,b的立方根是一45.6,%的平方根是±1.23,y的立方根是456,

.-.a=12.32=100x1.232力=（_45.6）3,

x=1.232,y=1000x45.63

‘X=急y=一10°°爪

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，得U氏與a和y與b的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(24-25八年級(jí)下?全國(guó)?期末)若J1+1)Q_2)2=(2-x)v7TT，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的

是()

c.-3-2-16~1~234D.-3-2-101234

【答案】D

rX2<o

->然后

>'X+1_O

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件，解不等式組,、

l

解不等式組并在數(shù)軸上表示即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

［詳解］解：((x+1)(%—2)2=(2_x)Vx+1?

.M-2<0

,?U+1>0'

A-l<x<2,

??.x的取值范圍在數(shù)軸上表示為，

-3-2-101234

故選:D.

4.(2025?福建三明?一模)已知方程(％—2)(%2-4%+o)=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根可作為三角形的三邊

邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.1<a<3B.1<a<4

C.3<a<4D.2<a<3

【答案】C

【分析】本題考查的一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先解方

程得到一個(gè)解為％=2,結(jié)合題意可得%2一軌+。=。方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，且|修一益|<2,再進(jìn)

一步解答即可.

【詳解】解；—4%十a(chǎn))=O,

?,.X-2=0或X2—4x+a=0,

當(dāng)x-2=0時(shí)，則x=2,

當(dāng)*-軌+Q=0時(shí)，結(jié)合題意可得方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，

2

=(—4)—4a>0,%I+%2=4>2,XXX2=a>0,

解得：a<4,

???方程(％—2)(%2一軌+。)=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根可作為三角形的三邊邊長(zhǎng)，

—X2\<2,

???,(%]+無2)2—4%]無2=V16—4a<2,

??.0<16—4a<4,

解得：3<a<4,

綜上：3<Q<4,

故選：C

5.(25-26八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí))如圖是小江在電腦上設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，若輸入如勺值為32,

那么輸出的值為()

A.272B.2C.V2D.±V2

【答案】C

【分析】本題考查程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算，求立方根，求算術(shù)平方根.

根據(jù)程序框圖，將％=32代入，按照運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：32X(-2)=-64,

V-64=—4,

-4<0,

(-4)x(-2)=8,

V8=2,

2>0,

2的算術(shù)平方根為VL

???輸出的值為五.

故選；C.

6.（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)關(guān)于x的方程。好+（Q+2）%+9。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.口，x2,且

X1<1<x2,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

22222

A.a<——B.—C.a>-D.——<a<0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，以及不等式的綜合應(yīng)用.根據(jù)一元二次

方程的根的判別式，建立關(guān)于4的不等式，求出4的取值范圍.又因?yàn)樯譜1<%2，所以（不-1）（%2—1）

<0,即%1%2—（入1+%2）+1<°，利用根與系數(shù)的關(guān)系，

【詳解】解：％?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

；.aH0J1A>0,

.,.（a+2）2—4ax9a=-35a2+4a+4>0,

解得—y<a<

,a+2

??%+%2=--，XlX2=9，

又?.*1<1<X2,

—1V0,%2—1>0,

—1）（^2—1）<0,

：.xAx2-（xj+x2）+1<0,即9+等+1VO,

解得一卷<aV0,

:.a的取值范圍是一元<a<0.

故選：D.

二、填空題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分）

7.（24-25八年級(jí)下?內(nèi)蒙古赤峰?期末）若何能與最簡(jiǎn)二次根式V7TT合并，則》的值為.

【答案】4

【分析】本題考查了同類二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式以及同類二次根式的定義，即可求出答案，熟練掌

握同類二次根式是解題的關(guān)鍵.

【洋解】解：由質(zhì)=2西，

???能與最簡(jiǎn)二次根式GTT合并，

.?.%+1=5,解得：x=4,

故答案為:4.

8.已知(7+y2+i)&2+y2+2)=6,則好+產(chǎn)的值為__

【答案】1

【分析】此題考查了換元法解一元二次方程，設(shè)t=/+y2,原方程變形為￡2+31-4=0,然后利用因式

分解法解得G=1,4=-4,進(jìn)而求解即可.

【詳解】設(shè)t=/+y2

+y2+1)(/+y2+2)=6

?e?(t+l)(t+2)=6

：.t2+2￡+￡+2—6=0

.*.t2+3t—4=0

?"?(t—l)(t+4)=0

.-.t-1=0或亡+4=0

.??ti=1,0=—4

vt=x2+y2>0

:*2=-4應(yīng)舍去

At=1

.-.x2+y2=1.

故答案為：1.

9.(2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))若—而<a+1,則正整數(shù)a的值是.

【答案】4

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.先進(jìn)行二次根式的

加減運(yùn)算，然后估算結(jié)果的值即可.

【詳解】解：V80-V20，

=4遮-2西，

=2啊,

???42<(2㈣2V52,

.*.4<2V5<5,

??.正整數(shù)Q的值4.

故答案為；4.

10.(24-25七年級(jí)下?北京?期中)小篇-7T普石二

vb-vlO2V3+3V2

【答案】-2V3-V5+V2

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，先進(jìn)行分母有理化，然后再進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：舄

203班

26(遙+VT5)_________7^(2點(diǎn)-3?)

(V6-710)(76+V10)(2V3+3V2)(273-372)

x<12+V202VT8-3V12

------2-+6

=—V3—V5+V2—V3

=-2?一西+我，

故答案為：-273-V5+V2.

11.(24-25七年級(jí)下?陜西榆林?期中)若正數(shù)加的兩個(gè)不同的平方根分別為2x+l和x+8,貝卜一瓶+1的

立方根為.

【答案】-3

【分析】本題主要考查了平方根的定義和立方根的定義，根據(jù)平方根的定義可得出2x+l=—%—8,解一

元一次方程求出x，再求出小，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，再根據(jù)立方根的定義求出立方根即可.

【詳解】解：?.?正數(shù)，〃的兩個(gè)不同的平方根分別為2%+1和％+8,

--.2x+1=—x—8,

解得：x=-3,

'.m=(2x+I)2=[2x(—3)4-1]2=25,

??X-ni+1=-3-25+1=-27,

^27=-3,

故答案為：一3

12.(24-25七年級(jí)上?浙江杭州?開學(xué)考試)若將一個(gè)棱長(zhǎng)為10cm的立方體體積減少V(cm3),而保留立方

體形狀不變，則棱長(zhǎng)應(yīng)減少cm(用含V的代數(shù)式表示)，若V=875cm3,則棱長(zhǎng)應(yīng)減少cm.

【答案】(10-V1000-K)5

【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，代數(shù)式求值，根據(jù)題意求出立方體體積減少的體積，進(jìn)而得到減少后

立方體的棱長(zhǎng)，可得棱長(zhǎng)減少的數(shù)量，再把P=875cm3代入計(jì)算即可求解，掌握立方根的定義是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解；???立方體的棱長(zhǎng)為10cm,

.??立方體的體積為1。3=1000cm3,

二立方體體積減少V(cm3)后剩余的體積為(1000-7)cm3,

，此時(shí)的棱長(zhǎng)為YlOOO-1/cm,

???棱長(zhǎng)應(yīng)減少(10-V1000-V)cm,

當(dāng)U=875cm3時(shí)，10-V1000-V=10-V1000-875=10-V125=10-5=5cm,

.?.若V=875cm3,則棱長(zhǎng)應(yīng)減少5cm,

故答案為：(10-V1000-7)：5.

13.(25-26八年級(jí)上?上海?階段練習(xí))化簡(jiǎn)：.

【答案】—aV—b—

【分析】本題主要考杳根式化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式確定Q<0,bWO是解題的關(guān)犍.

根據(jù)二次根式一層匕20,￡20解得aVO,b<0,然后化簡(jiǎn)即可.

【詳解】根據(jù)題意，QAO,-a2b>0,

又。2>0,所以6工0,

小0,.

原式二V—cfib-Ja2?g=-ay/-b-Vad.

故答案為：—a,-VHS.

14.(2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))若a是方程/+%—1=0的根，則代數(shù)式2025+。2的值是.

【答案】2028

【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及方程根的定義、整體代入法求代數(shù)式值、分式的混合運(yùn)算等知識(shí)，根

據(jù)題中所給代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知條件，恒等變形代值求解即可得到答案，熟練掌握分式混合運(yùn)算

法則化簡(jiǎn)求值是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：Q是方程“2十%-1=0的根，

a2+a—1=0,即小=1—a,

???2025+02+2

1

=2025+(l-a)+^—

(1-a)21

=2025+\———+-——

a2-2a+2

=2025+-----------

1—a

(1—Q)—2(-._

=2025+-----7--------

1-a

3(1—a)

=2025+-4-----

1-a

=2025+3

=2028,

故答案為：2028.

15.(24-25九年級(jí)下?安徽蕪湖?階段練習(xí))把一條線分為兩部分，此時(shí)較短線段與較長(zhǎng)線段之比等于較長(zhǎng)

線段與整條線段之比，這個(gè)比值就是黃金數(shù)，即為年.比較大小：鋁卷(填或"二〃)

【答案】>

【分析】本題考查了用求差法比較實(shí)數(shù)的大小，因?yàn)槊话锥?嚴(yán)，其中如行一時(shí)>0,所以

可得："s11—丹〉0,從而可得：

【詳解】解：寫一卷=增產(chǎn)=絲鏟二號(hào)嚴(yán)，

2262626

???、礪>V841?

???\領(lǐng)一vW>0,

?年Y”

.三二二

2>13，

故答案為：>.

________________2___________

16.(25-26八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí))已知—100)2+?98—x)=200,y=y/m+24+

+的匚正，y-x的立方根是.

【答案】連

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)、雙重非負(fù)性以及求一個(gè)數(shù)的立方根，先因?yàn)閖a—ioo)2+(標(biāo)V)

=200,得出X498,x-100<0,即可化簡(jiǎn)得100—X+98—工=200,算出工的值，因?yàn)閥=，zn+24+

Vm-1+71-m,得m=l,求出m的值、y的值，代入y-x,即可作答.

.__________,______2

【詳解】解：v7(x-100)2+(V98-X)=200,

:.x<98,x—100<0,

二原式=100—x+98-x=200,

解得％=—1,

vy=yjm+24+Vm—14-V1—

.?.m-1>0,1—m>0,

???m=1,

則:y=Vl+24+行=！+Vl^l=V25=5,

??.y—x=5—(—1)=5+1=6,

則N-x的立方根為痣，

故答案為：V6.

17.若關(guān)于x的一元二次方程/-3%+Tn?+m=0(m>0),當(dāng)m=1,2,3,???,2022時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程

的兩根分別記為即，1泌2，夕2；。2c22—2022,則2+京++看+…短+瓦、的值為?

6066

【答案】

2023

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到+夕1=3,a〔0i=1X2;+02=3,。2角=2X3;...Q022+?2022

=3,散。22%022=2022x2023：把原式變形，再代入，即可求出答案.

【詳解】解：vx2—3x+m2+m=0,m=1,2,3,???,2022,

二由根與系數(shù)的關(guān)系得：。1+￡1=3,1131=1x2;做+62=3,1232=2X3;..02022+。2022=3,

^2022^2022=2022X2023：

原式=++..，022+%。22

a1l。2。2（^202202022

3,3,3

1x2+2x3+,…2022x2023

11111

=3x

2十23十…’20222023

=3x（1-盛）

2022

=J>2023

6066

二2023

故答案為：黑

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若打，功是一元二次方程ax2+W:+c=0(a00)的兩

根時(shí)，+%2=—?jiǎng)?wù)Xi%=三.

2

18.（24-25七年級(jí)下?廣東湛江?期末）對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的整數(shù)部分是指不超過這個(gè)數(shù)的最大整數(shù)，

它的小數(shù)部分是這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分剩下的數(shù).如3.15的整數(shù)部分為3,小數(shù)部分為3.15-3=0.15.如果

6+VTT的小數(shù)部分是TH,6—JIT的整數(shù)部分是幾，那么m—九-VTT的值為.

【答案】-5

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，代數(shù)式求值，由夾逼法可得3<vn<4,即得9V6+VTTV10,

2<6-VlT<3,進(jìn)而求出m、n的徜，再代入代數(shù)式計(jì)算即可求解，掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：V3<V11<4,

.*.9<6+V11<10,2<6-V1T<3,

???6+ar的小數(shù)部分是m,6—而1的整數(shù)部分是幾，

.?.m=6+V1T—9=V1T—3,n=2,

-n—Vil=711—3—2—Vil=-5,

故答案為：一5.

三、解答題（本大題共8小題，滿分52分）

19.（6分）我們用⑷表示不大于Q的最大整數(shù)，a-⑷的值稱為數(shù)a的小數(shù)部分,如［2.13］=2,2.13的小

數(shù)部分為2.13—［2.13］=0.13.

（1）［73］=,［V7］=,九的小數(shù)部分=：

（2）設(shè)通的小數(shù)部分為a,求a+［V13］-西的值；

⑶已知10+K=x+y,其中％是整數(shù)，且0<y<l,求x-y的相反數(shù).

【答案】（1）1,2,TT-3

（2）1

（3）73-12

【分析】（1）利用實(shí)數(shù)大小比較，求算術(shù)平方根，無理數(shù)的大小估算等知識(shí)點(diǎn)即可求得［巡］和［夕］;已知

［同，則可求得兀的小數(shù)部分；

（2）利用實(shí)數(shù)大小比較，求算術(shù)平方根，無理數(shù)的大小估算等知識(shí)點(diǎn)可求得病的整數(shù)部分和小數(shù)部分，進(jìn)

而可求得Q,遵循同樣步驟可求得［而如將Q利舊］代入原式即可得解；

（3）利用有理數(shù)大小比較，求算術(shù)平方根，無理數(shù)的大小估算：不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)可求得10+K的

取值范圍，進(jìn)而根據(jù)已知條件可求得％和y,于是可求得％-y,并最終求得x-y的相反數(shù).

【詳解】（1）解：???lv3V4,

1<V3<2,

???[間=1,

v4<7<9,

2<V7<3,

???西=2,

團(tuán)=3,

???兀的小數(shù)部分為"一比]=兀-3,

故答案為：1，2,7T-3；

(2)解：v4<5<9,

2<V5<3,

“網(wǎng)=2,

???本的小數(shù)部分為遍-[㈣=遙-2,

a—V5-2,

???9V13<16,

3<g<4,

???[炳=3,

.?.G+[V13]-V5=V5-2+3-V5=1：

(3)解：v1<3<4,

1<V3<2,

11<104-V3<12,

v104-V3=x+y,工是整數(shù)，且Ovyvl,

???x=ll,y=10+V3-x=10-I-V3-11=V3-1,

?*-x—y=11—(V3—1)=11—>/3+1=12—r

???x-y的相反數(shù)為百-12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較，求算術(shù)平方根，無理數(shù)的大小估算，代數(shù)式求值，入等式的性質(zhì),

求相反數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

20.(6分)閱讀理解，觀察下列式子：

@V8+\n^8=2+(-2)=0：

②VI+=14-(-1)=0；

@VTOOO+V-1000=10+(-10)=0；

④腎寧=2-2。：

根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：

⑴由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個(gè)這樣的真命題：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)。，b,若

,則VH+VF=o；反之也成立.

（2）根據(jù)上述的真命題，解答問題：檸VI二^與疹，5的值互為相反數(shù)，求一怎的值.

【答案】（l）a+b=O

⑵-4

【分析】本題考查了立方根、算術(shù)平方根的應(yīng)用，解一元一次方程，觀察并總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）用含服匕的式子表達(dá)規(guī)律即可得答案；

（2）根據(jù)題意列出?元??次方程，解方程求出x的值即可，進(jìn)而求得算術(shù)平方根，即可.

【詳解】（1）解：由規(guī)律可得：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)。、b,若Q+b=O,則言+好=0,

故答案為：a+b=0.

（2）解：若調(diào)二育與氏銃的值互為相反數(shù)，則2—3%+2%+6=0,

解得：x=8.

-V2x=—V16=—4

21.（6分）（24-25八年級(jí)上?廣東佛山?期末）如圖1,若干張邊長(zhǎng)處、Q、/…的正方形紙片，面積分為

51、$2、S3...,且有以下關(guān)系:

=2x14-1=3,a1=6

S2=2x24-1=5,。2=V5

S3=2x34-1=7,。3=V7

（1）填空：S5=,Sn=（用含正整數(shù)n的式子表示）：

⑵如圖2,在大正方形紙片中放置兩個(gè)小正方形，面積分別為Siz，S13,重疊部分是一個(gè)面枳為Si的正方形,

求空白部分的面積；

⑶如圖3,有一張面積為S40的正方形賀卡，另有一個(gè)長(zhǎng)方形信封，長(zhǎng)寬之比為4:3,面積為120,能將這張

賀七不折疊的放入此信封嗎？為什么？

【答案】（1氏=11,Sn=2n+1

（2）S空=20V3-12

⑶正方形卡片能夠直接裝進(jìn)長(zhǎng)方形封皮中，理由見解析

【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，二次根式的實(shí)際應(yīng)用，算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用：

（1）根據(jù)已有等式進(jìn)行推導(dǎo)即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)空白部分的面積等于大正方形的面積減去Si2,減去S13,再加上S1，進(jìn)行求解即可；

（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4右寬為3x,列出方程求出長(zhǎng)和寬，比較寬與面積為54。的正方形的邊長(zhǎng)大小，即可

得出結(jié)論.

（詳解】（1）解：=2X1+1=3,

52=2x2+1=5,

S3=2x34-1=7,

:.Ss=2x5+1=11,=2n4-1；

（2）由（1）可得：Si=2x1+1=3,512=2x12+1=25,S13=2x13+1=27,

.?。［2=5,。13=3遍，

,.aj=3V3

大正方形的邊長(zhǎng)為：。12+。13—ai=5+3V3-V3=5+2^3>

???空白部分的面積=（5+2V3）2-25-27+3=20百一12：

（3）正方形卡片能夠直接裝進(jìn)長(zhǎng)方形封皮中，理由如下：

設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4右寬為3x,則：4"3%=120,

:X=V10.

???長(zhǎng)方形的寬為：3V10,

,.So=2x40+1=81,

=9,

???3/10>9,

???正方形卡片能夠直接裝進(jìn)長(zhǎng)方形封皮中.

22.（6分）（24-25九年級(jí)上福建寧德?期中）已知：實(shí)數(shù)?n滿足am2十8徵卜1=O（a#0）.

⑴求證:b2-4a>0：

⑵若Q,匕都是奇數(shù)，關(guān)于m的方程。62+匕瓶+1=0是否有整數(shù)根？并說明理由；

(3)若a=7,b=13,n2+13n+7=0,求"巾+,+1的值.

【答案】⑴見解析

⑵無整數(shù)根，見解析

⑶T

【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式可得〃-4xax120,即可得證；

(2)利用反證法求解即可；

(3)先證明出小、:是方程7d+13%+1=0的兩根，再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出血+：=—孩,

nn7

=a代入計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解:???實(shí)數(shù)滿足的2+bm+1=0,

二關(guān)于m的方程am?+bm+1=0有解，

，報(bào)—4xax1>0,

:B-4a>0

(2)解：無整數(shù)根，理由如下：

假設(shè)有整數(shù)根，

若加為奇數(shù)時(shí)，

??,a,b都是奇數(shù),

.'.am2+bm+1為奇數(shù)，與如心+bm+1=0相矛盾；

若加為偶數(shù)時(shí)，

,:a,b都是奇數(shù),

.,.am2+bm+1為奇數(shù)，與am?4-1=0相矛盾；

二假設(shè)錯(cuò)誤，

綜上所述，方程am2+1=0無整數(shù)根；

(3)解：若Q=7,b=13,則77n2+i3m+1=0,

vn2+13n+7=0,

?4+?+l=0,

??.〃?、3是方程7/+13x+1=。的兩根,

,11311

.??TH+-=m--=-

n7n7

mn+6m+l.6m,113,6?

——=7n+V+；=-T+7=-1

23.（6分）（2025?江蘇揚(yáng)州?二模）定義：我們把一個(gè)整數(shù)Q平方后得到的數(shù)。2稱為完全平方數(shù).例如:

32=9,02=0,（-5）2=25,我們就將9,0,25這些數(shù)都稱為完全平方數(shù).

⑴如果一個(gè)完全平方數(shù)次滿足61工。24120,則滿足條件Q的值為_（請(qǐng)寫出所有滿足條件的數(shù)）；

（2）n是正整數(shù),如果n-20和n+21都是完全平方數(shù),求n的值;

⑶如果關(guān)于“的一元二次方程+2（2。_i）x+4（a-3）=0至少有一個(gè)整數(shù)解，請(qǐng)直接寫出滿足題意的正

整數(shù)Q的值.

［答案］⑴±8；±9；±10

(2)420

（3）1：3；6；10

【分析】本題主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)

鍵.

（1）直接運(yùn)用平方根的知識(shí)估算即可解答；

（2）設(shè)八-20=I,九+21=八m為正整數(shù)，易得（m+A）（m—k）=41,由1只有因數(shù)1和41,可

列方程組求得:3，最后代入即可求得n的值；

（3）關(guān)于x的一元二次方程a/+2（2。一1戶+4伍-3）=0至少有一個(gè)整數(shù)解，根據(jù)根的判別式可得

a>-1,則％=一（2a-i）±、，魚亙,由方程的解為正整數(shù)，屈不T為整數(shù)，設(shè)我不TT=k，則8。+1=攵2,

oa

解得：。=01=生陪］,設(shè)k=2m+l可得a=誓辿，然后代入驗(yàn)證即可解答.

oO/

【詳解】（1）解：??,61工。2<120,

.-.49<61<a2<120<121,

.-.49<a2<121,

二7V\a\<11,

.?橫足條件a的值為±8、±9、±10.

(2)解.：設(shè)"-20=攵2,〃+21=租2,八m為正整數(shù),

.,.m2—k2=n+21—(n—20)=41,

???(m+k)(m-/c)=41,

???41只有因數(shù)1和41,

???{/:屋本解得:管:拈

vn-20=k2,

.?.ri=k2+20=202+20=420.

（3）解：,.?關(guān)于丁的一元二次方程。產(chǎn)+2（2。-1萬+4（（1—3）=0至少有一個(gè)整數(shù)解,

=[2(2a-I)]2-4a?4(a-3)=32a+4>0恒成立，即a

.v_一2(2a-l)±，32a+4_-(2a-l)±V^TT__2+1土、^I

??%-1i'-

2aa一a

???因?yàn)榉匠讨辽儆幸粋€(gè)整數(shù)解且a是正整數(shù),

.1++8a+1“戈1—，8十+1為整數(shù),

設(shè)帶巨=k（"為非負(fù)整數(shù)），則8。+1=k2,解得：。=恪1=如華山,

oO

為正整數(shù),

M為正奇數(shù)，月.kwl,

(2m+l+l)(2m+l-l)4(m+l>n_m(m+l)

設(shè)A=2m+1（m為正整數(shù)）則Q=

88―2

當(dāng)加=1時(shí)，a=1,1±迤亙=*符合題意；

a

當(dāng)m=2時(shí)，a=3,1±迤亙=2,符合題意；

a

當(dāng)m=3時(shí)，a=6,邈亙=-1,符合題意:

a

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，Q=10,土也±1=1,符合題意；

a

當(dāng)仇=5時(shí)，Q=15,生匹1=叫＜1,上年亙=_3＞一1,不符合題意;

aQ15

當(dāng)n＞4時(shí)，a＞10,此時(shí)0＜出恒1＜1,一1＜上叵亙vo,都不是整數(shù)；

aa

???滿足題意的正整數(shù)a的值是：1:3；6：10.

24.（6分）（24-25八年級(jí)上?湖南永州?期末）像＞/4-2g,VV48-V45,這樣的根式叫做復(fù)合二次根

式.有-?些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如:

4-2V3=V3-2V3+1=J(v3)2-2x/3x1+12=J(百一1相=近一1再如:

』+26=JJ(v3)2+2XV3xV2+(V2)2=J(V3+V2)2=V3+V2

3+276+2=

請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡(jiǎn)：V10+2VH：

(2)化簡(jiǎn)：V14-8V3;

⑶計(jì)算：V3-2V2+V5-2V6+yj7-2\fl2+…+72023-2^1023132+72025-2V1O12X1013：.

【答案】(1)百+近

(2)2四一石

(3)71013-1

【分析】本題考查了完全平方公式，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，熟練掌握完全平方公式，利用二次根

式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；

(2)利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解：

(3)根據(jù)題意找出規(guī)律進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：V10+2VH

=^3+2721+7

=J(6V+2V3XV7+(V7)2

=J(V3+V7)2

=V3+V7：

(2)解:714-8^3

=J14-2V48

=J8-2V48+6

=J(倔屋-2V8xV6+(V6)2

=J(我一遍f

=2^2—V6；

(3)解：vV3-2V2=J(V2-1)2=V2-1,

V5-2V6=J(百一&f=V3-V2,

7-2412=J(2-V3)2=2一

;對(duì)第于〃項(xiàng)，形式可表不為J(2〃+1)—2J,1(71十1),

二可化簡(jiǎn)為(2n+1)—2y/n(n+1)=J(Vn4-1—Vn)2=Vn+1—Vn

式中最后一項(xiàng)為J2025-2V1012X10后,

???2025=2x1012+1,

.-.n=1012,

二最后一項(xiàng)化簡(jiǎn)為：V3-2V2+45-2n+V7-2V12+…+，/2023-271023132+

V2025-2V1012X1013=(V2-1)+(V3-V2)+(V4-V3)+???+(V1012-ViOlT)+

(71013-71012)

=V1013-1.

25.（8分）根據(jù)以下素材，完成下列任務(wù).

背景素材

隨著“綠色出行，低碳生活"理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人

們喜愛的交通工具.新能源汽車多數(shù)采用電能作為動(dòng)力來源，不

背景需要燃燒汽油，這樣就減少二氧化碳?xì)怏w的排放，從而達(dá)到保護(hù)

環(huán)境的目的，在國(guó)家積極政策的鼓勵(lì)下，新能源汽車的市場(chǎng)需求

逐年上升.

某品牌新能源汽車1月份銷售量為3萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷

素材1增多，該品牌新能源汽車的銷售股逐月遞增，3月份的銷售最達(dá)到

5.07萬輛.

某汽車銷售公司搶占先機(jī)，購進(jìn)一批新能源汽車進(jìn)行銷售，該公

司選擇一款進(jìn)價(jià)為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)

素材2

現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛，售價(jià)

每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛，若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)，使

平均每盾的銷售利潤(rùn)為96萬元.

問題解決

根據(jù)素材1，求從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平

任務(wù)1

均增長(zhǎng)率.

根據(jù)素材2,為了推廣新能源汽車，此次銷售盡量讓利于顧客，求

任務(wù)2

下調(diào)后每輛汽車的售價(jià).

【答案】任務(wù)1：從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為30%：任務(wù)2：下調(diào)后每輛

汽車的售價(jià)為21萬元

【分析】本題考查了增長(zhǎng)率問題(一元二次方程的應(yīng)用)，營(yíng)銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)

等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

任務(wù)1：設(shè)從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為S根據(jù)某品牌新能源汽車1月份銷

售量為3萬輛，3月份的銷售量達(dá)到5.07萬輛，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

(2)設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為y萬元，則每輛汽車的銷售利潤(rùn)為(y—15)萬元，平均每周可售出(58—2y)

輛，根據(jù)使平均每周的銷售利潤(rùn)為96萬元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可.

【詳解】任務(wù)1：解：設(shè)從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為為

根據(jù)題意得:3(1+刈2=537,

解得：不=0.3=30%,無2=-2.3(舍去)，

答：從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為30%；

任務(wù)2：設(shè)卜調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為y萬元.則每輛汽車的銷售利潤(rùn)為(y-15)萬元，平均每周可售出8+雪

xl=(58-2y)輛，

根據(jù)題意得:(y-15)(58-2y)=96,

解得：力=21,y2=23,

???此次銷售盡量讓利于顧客，

??.y=21,

答：下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)為21萬元.

26.(8分)(2025?湖南長(zhǎng)沙?二模)我們知道：關(guān)于％的一元二次方程aX2+bx+c=0(QH0,a,b,c均

為整數(shù))，如果b2-4QCN0時(shí)，這個(gè)方程的實(shí)數(shù)根就可以表示為工=但容亞，其中爐一4函就叫做一元

2a

一次方程根的判別式,我們用A表示，即A=b2—4ag通過觀察公式，我們可以發(fā)現(xiàn),如果△的值是一個(gè)完

全平方數(shù)(若九二巾2(爪為整數(shù))，則n是一個(gè)完全平方數(shù))時(shí)，一元二次方程的根不一定都為整數(shù)，但是

如果一元二次方程的根都為整數(shù)，△的值一定是一個(gè)完全平方數(shù).

例：方程2X2—%—1=0,△=/)2—4ac=(-I)2—4X2X(-1)=9=32,A的值是一個(gè)完全平方數(shù)，但

是該方程的根為勺=1,x2=-p不都為整數(shù)；方程/-6工+8=0的兩根治=2,七=4,都為整數(shù)，此

時(shí)A=b2-4ac=(-6)2-4xlx8=4=22,A的值是一個(gè)完全平方數(shù).

我們定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程Q產(chǎn)+b%+c=0(aHO,a，b,。均為整數(shù))稱為“幸運(yùn)方程”，兩

整數(shù)根稱為"幸運(yùn)根"，代數(shù)式與產(chǎn)的值為該“幸運(yùn)方程〃的“幸運(yùn)數(shù)〃，用尸(a,b,c)表示，即/(。力,c)=

4。；；”.若有另一個(gè)“幸運(yùn)方程"px2+qx+r=o(p^o,p,q,r均為整數(shù))的"幸運(yùn)數(shù)”為F(pqr),若

r-F(a/,c)=c?F(p,q,r),則稱F(a,b,c)與尸(p,q,r)互為"開心數(shù)”.

⑴關(guān)于％的一元二次方程必-(m+l)x+m=0是一個(gè)"幸運(yùn)方程

①當(dāng)m=2時(shí)，該幸運(yùn)方程的"幸運(yùn)數(shù)"是；

②若該幸運(yùn)方程的"幸運(yùn)數(shù)”是一1，則小的值為.

⑵若關(guān)于41勺一元二次方程'2—(2m一1口+加2—2m一3=0(m為整數(shù)，且4VmV15)是“幸運(yùn)方程〃，

求m的值及該方程的“幸運(yùn)數(shù)”；

⑶若關(guān)于“的一元二次方程/一瓶工+血+1=o與％2一(幾+2)%+2幾=0(血、日均為整數(shù))都是“幸運(yùn)方

程〃，且其“幸運(yùn)數(shù)〃互為“開心數(shù)”，求n的值.

【答案】⑴①一右②一1或3；

(2)加=9,該方程的“幸運(yùn)數(shù)”為一日

(3)n=3或n=0

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及“幸運(yùn)方程”