2025?2026學(xué)年北京三十五中九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.拋物線產(chǎn)3(x-1)2-2的頂點坐標(biāo)是()

A.(I,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-1,-2)

2.剪紙藝術(shù)是最占老的中國民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺

產(chǎn)代表作名錄.以下剪紙中，既是軸對稱又是中心對稱的圖形是()

3.已知點4(-1,y\),B(2,>?2)在拋物線產(chǎn)-3f上，則yi，/大小關(guān)系正確的是()

A.V|>.Y2B._yi=y2C._yi<y2D.不能確定

4.將拋物線產(chǎn)2/向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是()

A.尸2(X+1)2+3B.y=2(x-1)2-3C.y=2(x+1)2-3D.y=2(x-1)2+3

5.某廠家2022年1至5月份的某種產(chǎn)品產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示.設(shè)從2月份到4月份，該廠家這種產(chǎn)品產(chǎn)量的

平均月增長率為K根據(jù)題意可得方程()

某J家2022年1一5月份的某種產(chǎn)品產(chǎn)量統(tǒng)計圖

A.180(1-x)2=461B.368(l-.v)2=442

C.180(1+x)2=461D.368(1+x)2=442

6.“正六邊形”在一些地區(qū)園林窗洞的設(shè)計中有著廣泛的應(yīng)用.已知半徑為20c、〃?的正六邊形的窗洞如圖所

示，那么它的面積是()

A.k7/rB.JiMl\k〃，-C.13—O.Ir>ll\

7.如圖，在△A8C中，AB=AC,，H4C=5U°,將△A8C繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得

到AAOE,AB與CE相交于點F,下列說法錯誤的是（）

A.若/WIICE,則人E=30°

B.乙BAE=2乙BCE

C.￡B=UEC

D.連接8E及CQ,WJBEWCD

8.如圖，拋物線產(chǎn)aF+^+c（〃W0）經(jīng)過點（I,0）,對稱軸為尸-1.下面有四個

結(jié)論：①。楨VO；?2a-b<0t③4a+c>2〃：④關(guān)于x的不等式aF+（8+c）x>0的

解集為OVxVL其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②③④

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-4,1）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，00的半徑為5,則點。（3,-4）在。O.（填“內(nèi)”、“上”或

，，外”）

11.已知二次函數(shù)滿足條件：①有最小值；②它的圖象經(jīng)過點（1,0）,寫出一個滿足上述所有條件的二

次函數(shù)的解析式一.

12.二次函數(shù)產(chǎn)f+4x+a的圖象與A軸沒有交點，則整數(shù)a的最小值是_.

13.如圖，某汽車車門的底邊長為1〃?,車門側(cè)開后的最大角度為72°,若將一扇車門

側(cè)開，則這扇車門底邊掃過區(qū)域的最大面積是一"R（結(jié)果保留兀）

14.如圖，PA,P8分別與。。相切于人，B兩點.若"P8=60°,OA=2,則P8

的長為_.

15.如圖，在圓內(nèi)接四邊形A3C曾中，對角線力。1AO,ZC=I35,,AD=2,則

AB=

16.如圖，點C為線段4B的中點，E為直線A8上方的一點，且滿足CE=C8,連接AE,以AE為腰，4為

直角頂點作等腰放△AQE,連接CD,當(dāng)CO最大，且最大值為、2+1時，則A8一.

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題5分）

解方程：『-6"+2=0.

18.（本小題5分）

已知：A,8是直線/上的兩點.

求作：△A6C,使得點。在直線/上方，且乙4c6=150。.

作法：

①分別以A,B為圓心，A8長為半徑畫弧，在直線/下方交于點0；

②以點0為圓心，。人長為半徑面圓；

③在劣弧前上任取一點C（不與A,B重合），連接AC,8cAABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）：

（2）完成下面的證明.

證明：在優(yōu)弧前上任取一點M（不與A,8重合），連接4M,BM,0A,0B.

-0A=0B=AB.

.?.△048是等邊三角形.

山08二60°

?M,B,M在。。上.

.?一心/〃Lio/；（_____）（填推理依據(jù)）.

.?.”M8=30°,

匹邊形ACBM內(nèi)接于OO.

:.心MB+CB=_____.

:&CB=.

AB

19.（本小題5分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△0A8的頂點坐標(biāo)分別為0（0,0）,A（5,0）,8（4,-3）,將

△0/W繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△04'夕，點A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A'.

（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA'跟：

（2）直接寫出點夕的坐標(biāo)：

（3）求點3經(jīng)過的路徑，面的長（結(jié)果保留兀）.

20.（本小題5分）

在zXABC中，ZC=9O°,AC=8C將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△4QE,直線DE交BC十點F.

（I）依題意補全圖形；

（2）若CF=1,求線段A。的長.

21.（本小題5分）

如圖，四邊形A8c。內(nèi)接于。O,OC=4,AC=[V2.

（1）求點。到AC的距離；

（2）直接寫出弦AC所對的圓周角的度數(shù).

H

22.（本小題5分）

已知關(guān)于x的方程X2-WX+2W-4=0.

（1）求證：無論加取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）如果該方程的兩個實數(shù)根均為正數(shù)，求〃?的最小整數(shù)值.

23.（本小題5分）

已知二次函數(shù)產(chǎn)加+&+c（“WO）自變量x的部分取值及對應(yīng)的函數(shù)值），如下表所示:

??????

.V-2-1012

???323611???

（1）寫出此二次函數(shù)圖象的對稱軸；

（2）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）當(dāng)-3Vx<3時，直接寫出y的取值范圍.

24.（本小題6分）

如圖，人8為。。的直徑，點。在。。上，Z/1C8的平分線。。交。。于點。，過點D作。EIMB.交的延

長線于點E.

（1）求證：直線。E是。。的切線：

/

（2）若,BC-2v2>求。。的長.

A

25.（本小題6分）

如圖，小云在生活中觀察到一個拱門，拱門的上方拱線M和下方拱線N的最高點均為點C,拱門的跨徑間

對稱分布有8根立柱.他搜集到兩條拱線的相關(guān)數(shù)據(jù)，拱線N的跨徑AB長為14/〃,高，。為6.125加4C右側(cè)

的四根立柱在拱線N上的端點。，E,F,/?的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.

點。點E點尸點8

距HC的水平距離（〃力4567

距A3的豎直距離（〃?）4.1253.0001.6250

所查閱的資料顯示：拱線M為某個圓的一部分，拱線N為某條拋物線的一部分.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）選取拱線M上的任意三點，通過尺規(guī)作圖作出拱線M所在的圓;

（2）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，選取拱線N上的點，求出拱線N所在的拋物線對應(yīng)的函數(shù)蟀析式，并

驗證拱線N上的其他已知點都在拋物線匕寫出驗證過程（不添加新的字母）.

26.（本小題7分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（孫〃?），（4-1,〃），是拋物線）=加2&上的點，Xo^a-l.

（1）當(dāng)xo=2,m=n時，求。和〃的值;

（2）若-4Wxo<-3時，求〃的取值范圍.

27.（本小題7分）

已知△A8C是等邊三角形，點。在△ABC內(nèi)部，月.ZBOC=I20°.

圖2

（1）如圖1,設(shè)乙48Z>a,求乙ACO的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,點E是8C的中點，連接A。，DE,用等式表示線段A。與?！曛g的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.（本小題7分）

在平面直角坐標(biāo)系xQ，中，已知人（/-2,0）,R（/+2,0）.

對于點P給出如下定義：若乙4P445°,則稱P為線段/W的“等直點”.

（1）當(dāng)片0時,

z

①在點A陽,2?2v2l,Pi(-4,0),P3(2V2.2l,PA(2,5)中，線段A4的“等直點”是.

②點。在直線產(chǎn)x上，若點Q為線段A8的“等直點”，直接寫出點。的橫坐標(biāo).

（2）當(dāng)直線產(chǎn)x+f上存在線段的兩個“等直點”時，直接寫出/的取值范圍.

1.【答案】4

2.【答案】D

3.【答案】4

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】（4,-1）

10.【答案】上

11.【答案】嚴(yán)『-2x+l（答案不唯一）

12.【答案】5

13.【答案】:

14.【答案】2V3

15.【答案】2V2

16.【答案】=2

17.【答案】解：?.*6x+2=0,

??/6￥=-2,

H+9=-2+9,即（x-3）2=7,

.,.x-3=±7,

???川=3+、7,%2=3-\7.

18.【答案】根據(jù)題意補全圖形，如圖即為所作;

在同圓中,一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；180。，150°

19.【答案】解：(I)△04,ZT即為所求，如圖.

點A'(0,-5)：

(2)由圖知，B(3,4)；

(3),3=5,MOA1=90°,

IM卜M52*T

???點A在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑長8)

I7一

2?！敬鸢浮拷猓?1)如圖所示.

(2)設(shè)直線OE交4B于點G,連接CE,過點E作EHtBC于點H,

由旋轉(zhuǎn)得，AE-AC,AD-AB,￡AED-^ACB-^°,^CAE-60°,

.?.△ACE為等邊三角形，

.-.zACE=60°,AC=CE,

MECF=30°.

vzC=90°,AC=BC,

.zlAC"E4C=45°,

:.乙EAG=LCAE-乙BAC=15°,

.-.^AGE=Z?GF=I8O°-15°-90°=75°,

.?zBFG=180°-45°-75°=60°,

??zBFG=cECF+cCEF,

.-.zCEF=30°,

：.乙ECF=^CEF,

：,EF=CF=\.

在RlAEFH中,z.EFH=60Q,

^EH=EF*sin60(,=以，

2

在取△CE”中，乙ECH=30°,

:.CE=2EH=\

:.AC=\3,

.'.AB=\2AC=\6,

：.AD=y(?.

21.【答案】解：(1)過點。作。EL4C于點E,

則CE=1AC.

&,1

?MC=ls2,

-2，

在2/XOCE中，OC=4,

-OE=y/OC^-CP-\1-20)‘-275?

.??點。到AC的距離為2、2.

(2)連接04.

?.由(1)知，在R/z^OCE中，CE-OE,

.?.乙OCE=^EOC=450.

-OA=OC,

.?20AC=N0CA=45°.

山。C=90°.

."=45°,

.,.〃OC=18()°-z^=180°-45°=135°,

.??弦AC所對的圓周角的度數(shù)為45?；?35°.

22.【答案】(1)證明：b=-m,c=2m-4.

,?^=b2-4ac=(-in)2-4X1X(2/n-4)=m2Sm+16=(m-4)2>0,

.?.無論機(jī)取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：?.,/-"3+2相-4=0,

即(x-2)[x-(m-2)]=0>

解得：xi=2,X2=fn-2.

,??該方程的兩個根均為正數(shù)，

2,

〃可以取的最小整數(shù)值為3.

23.【答案】解：(1)由表格可知當(dāng)x=-2時，k3；當(dāng)x=0時，尸3,

-2+0

???對稱軸為直線「二，1：

(2)當(dāng)x=-2時,>'=3；當(dāng)x=-\時，y=2，當(dāng)A-0時，產(chǎn)3,分別代入y=ax2+bx+c得:

a=l

解得：{力一2

,c=3

.,-}>=x2+2x+3；

(3)-：y=x2+2x+3=(x+1)2+2,

???開口向上.

???對稱軸為直線x=-l,

.?.些-3VxV-l時，)，隨工的增大而減小，當(dāng)-IWxV3時，y隨x的增大而增大,

...些.v=-1時，y有最小值，

由表格可知加in=2.

vx=3到對稱軸4-1的距離比x=-3到對稱軸x=-\的距離大，

當(dāng)戶3時，)=9+6+3=18,

.-3VxV3時，），V18,

24.【答案】（1）證明：連接0。，如圖,

???CD是乙4C4的平分線，

:.心CD=LBCD,

:.5()D=LB0D,

“B為。。的直徑，

.'./j\OD=^BOD=\x180°=90°,

：.ODLAB,

-DEWAB,

：.OD上DE,

???OD為。。的半徑，

???直線。?是。。的切線；

(2)解：???A4為。。的直徑，

.-.Z/ACB=90°,"。8=9()°,

??zBAC=30°,HC2\2

..AB-26C-4Vz.

9cB的平分線CD交。。于點D,

心CDNBCD,

-ADBDf

:.AD=BD='2AB=4,

2

過點B作BF1.CD于點F,

?2CO8=NC48=30°,

:.BF='BD=2,

9

:.DF=、BD:川=2、J,

.；乙B0D=2乙BCD=9G0,

：ZBCD=45°,

.??△8/。為等腰直角三角形，

:.CF=BF=2,

..CD=CF+DF=2，3+2.

25.【答案】見解析函數(shù)解析式為：（『7）（戶7）,點。、E、F、8都在拱線N所在的拋物線上

O

26.【答案】解：（1）?.?拋物線y=ax2-2a\

???拋物線的對稱軸為直線A-=--=0

2a

vxo=2,m=n,

.??點（2,加），（67-1,/?）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

???拋物線的對稱軸為直線-2'：La,

.??4=1,

二拋物線為y=x2-2x,

把點（0,n）代入得〃=0.

（2）?.?拋物線產(chǎn)

.?.拋物線的對稱軸為直線-？「二〃，

2a

當(dāng)尸0時，3=0,

.??拋物線經(jīng)過原點，

???拋物線過點<2?,0）,

當(dāng)拋物線開口向下時，則。<0,

「4WxoW-3時，〃〃?V0,

0,〃V0,

J2a>-3

?（a1>2a

解得-'VaV-1：

當(dāng)拋物線開口向上時，則〃>o,

??,-4WxoW-3時,/nn<0,

，"〉0,〃V0,

>0,

解得。>1;

故<7的取值范圍是一；V“V-1或〃>I.

27.【答案】60°-a證明見解析

28.【答案】解：（1）①點Pi,尸3；

②由點。在直線產(chǎn)x上，設(shè)，

???點Q為線段44的''等直點”，

.'.CQ=2\2,

⑴?“〃-2r2、勺，

解得〃H—I\3?ni2-Iv3（不合題意舍去），

利用對稱性可求第三象限也存在符合題意的點Q,它們關(guān)于原點對稱，

.?.此時的點。的橫坐標(biāo)為-1-、3.

???點Q的橫坐標(biāo)為1+\X或-1-\

（2）（/-2,0）,B（什2,0）,

.?.48=4,48的中點的橫坐標(biāo)為

由（1）知：線段43的“等直點”在以A8為弦的優(yōu)弧上，即圓心在直線尸2或尸-2上，2V’2為半徑的圓

的優(yōu)弧11上.

①當(dāng)z>0時，設(shè)直線尸x+f與x相交于點N,與），軸交于點“，如圖,

則F(0,r),