20252026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大)期末必刷?？碱}之正態(tài)

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一.選擇題(共7小題)

I.下列說法錯誤的是()

A.在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)內(nèi)刻畫模型的回歸效果，若R2越大，則說明模型擬合的效果越

好

B.可以用相關(guān)系數(shù)「刻畫兩個變量的相關(guān)程度強弱，/?值越大兩個變量的相關(guān)程度越強

C.殘差圖中，殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報精確度越高

D.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,。2),。越大，該物理量在一次測量中在(9.8,10.2)

的概率越小

2.設(shè)隨機變量X?N(2,o2),P(0<X<4)=0.3,則P(X<0)=()

A.0.65B.0.7C.0.35D.0.25

3.某科研團隊對某一物理量進行多次測量，發(fā)現(xiàn)測量結(jié)果X?N(10,。2),則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.P(XV10)=0.5

B.P(XV9.8)=P(X>10.2)

C.P(9<X<9.5)=P(10,5<X<ll)

D.。越小，P(10-。VXV10+。)越小

4.已知隨機變量X?N(2,。2)(。>0),若夕(XV0)=0.3,則P(0<XV4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

5.已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量(單位：g)分別服從正態(tài)分布N(n甲，4和N(〃乙，其正態(tài)

曲線如圖所示，則()

A.甲乙，。甲乙B.口，甲乙，。甲V。乙

C.甲VR乙,。甲〉。乙D.甲<“乙,。甲<。乙

6.已知隨機變量X?N(l,。2),且尸(XW-3)=P(X23a-1),則(％-今,展開式中『的系數(shù)為()

A.-8B.-4C.8D.24

、11

7.已知隨機變量弋?N（2,2/，且P(^a-3b)=P(少A),則當(dāng)bVx，時,+的最小

a-2xx-b

值為（）

1+V23+2企79

A.-------B.---------C.一D.

4444

二,多選題（共2小題）

（多選）8.影響植物產(chǎn)量的因素很多，其中株高對產(chǎn)量有一定的影響.經(jīng)調(diào)查某種植物的株高X（單位:

cm）近似地服從正態(tài)分布N（50,。2）,若P（X<45）=0.12,則（）

A.P（X>55）<0.12B.P（X>55）=0.12

C.P（X245）=0.88D.P（X>45）>0.88

（多選）9.下列說法正確的是（）

A.若隨機變量Xy（6,P）,E（X）=4.8,則p=0.8

1

B.設(shè)隨機變量f服從正態(tài)分布N（0,I）,若=〃，則P（—lVfVO）：*—p

C.某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為0.8,設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則在9次射擊中，當(dāng)且僅

當(dāng)X=8時概率最大

D.對于隨機事件A與仇若P（萬）=0.3,P（B\A）=0.7,則事件A與4獨立

三,填空題（共4小題）

10.已知隨機變量f?N（3,o2）（o>0）,若尸（彳21）=0.9,則尸（3<tW5）=.

11.已知隨機變量?服從正態(tài)分布N（3,a2）,且P]0U?V3）=04則尸（3U?V6）=.

12.若隨機變量X?N（l,。2）,且P（XV0.9）=0.3,則P（|X-l|V0.1）=.

13.若隨機變量X?N（3,。2）,且p（1WXW3）=a,P（X25）=b,則四小空的最小值

2ab

為.

四.解答題（共2小題）

14.在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似地服從正態(tài)分布N（70,100）.已知成績在

90分以上的學(xué)生有12人.

（1）試問此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？

（2）若成績在80分以上（含80分）為優(yōu)，試問此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？

附正態(tài)分布3。概率表：

P（p-o<X<p+o）-0.6827,尸（口-2。<X<p+2o）-0.9545,P（口-3。VXWR+3。）=0.9973

15.在一條生產(chǎn)銅棒的生產(chǎn)線上,生產(chǎn)的成品銅棒的直徑為X（單位：cm,以下同），且X7V（20,0.0001）.

(1)分別寫出E(X),D(X)的值；

(2)若生產(chǎn)這樣的成品銅棒10000根,試估計直徑在［19.97,20.03］內(nèi)的銅棒根數(shù);

(3)若質(zhì)檢員從這些銅棒中隨機抽取1根銅棒，求這根銅棒的直徑在［19.98,20.03］內(nèi)的概率.

參考數(shù)據(jù)：若XT(p,o2),則尸(口?。)鳧0.6827,P(p?2。WXWp+2。)比0.9545,

P(H-3。WXWu+3o)弋0.9973.

20252026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之正態(tài)

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參考答案與試題解析

一,選擇題（共7小題）

題號1234567

答案BCDCCAB

二.多選題（共2小題）

題號89

答案ACABD

一.選擇題（共7小題）

1.下列說法錯誤的是（）

A.在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)內(nèi)刻畫模型的回歸效果，若R2越大，則說明模型擬合的效果越

好

B.可以用相關(guān)系數(shù)廠刻畫兩個變量的相關(guān)程度強弱，,?值越大兩個變量的相關(guān)程度越強

C.殘差圖中，殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報精確度越高

D.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,。2）,。越大，該物理量在一次測量中在（9.8,10.2）

的概率越小

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；樣本相關(guān)系數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)決定系數(shù)的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：選項A,決定系數(shù)N越接近1,模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好，故A正確；

選項刻畫兩個變量相關(guān)程度強弱的是相關(guān)系數(shù)的絕對值|力而非「本身的數(shù)值大小，故B錯誤；

選項C，殘差圖中，殘差點的水平帶狀區(qū)域越窄，說明殘差波動小，I口I歸方程的預(yù)報精確度越高，故C

正確；

選項。，正態(tài)分布N（10,o2）中，。越大，曲線越“矮胖”，數(shù)據(jù)越分散，在區(qū)間（9.8,10.2）內(nèi)的

概率越小，故。正確.

故選：B.

【點評】本題考查了決定系數(shù)的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)隨機變量X?N(2,o2),p(0<X<4)=0.3,則P(X<0)=()

A.0.65B.0.7C.0.35D.0.25

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

【解答】解：???隨機變量X?N(2,。2),p(0<X<4)=0.3,

:?P(0<X<2)=0.15,P(X<2)=0.5,

:.P(X<0)=P(X<2)-P(0<X<2)=0.5-0.15=0.35.

故選：C.

【點評】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概率的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

3.某科研團隊對某一物理量進行多次測量，發(fā)現(xiàn)測量結(jié)果X?N(10,。2),則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.P(XV10)=0.5

B.P(XV9.8)=P(X>10.2)

C.P(9<X<9.5)=P(10.5<X<ll)

D.。越小，P(10-。VXV10+。)越小

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】D

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性可判斷A/3c選項；利用/>(艮。VXV-。)為定值可判斷。選

項.

【解答】解：由X?N(10,。2),可得對稱軸X=10,

故P(X<10)=0.5,故4正確；

P(XV9.8)=P(X<10-0.2)=P(X>10+0.2)=P(X>10.2),故8正確；

P(10.5<X<ll)=P(10+0.5<X<10+1),P(9VXV9.5)=P(10-l<X<10-0.5),故P(9<X

<9.5)=P(1O.5<X<11),故C正確;

而P(10?。<x<10+o)=尸(|!?。<X<n+o)為定值：。錯誤.

故選：

【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知隨機變量X?N(2,o2)(o>0),若P(XVO)=0.3,則P(0VXV4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：已知隨機變量X?N(2,。2),其圖像關(guān)于X=2對稱，

因為0和4關(guān)于x=2對稱，所以P(XV())=P(X>4)=0.3,

根據(jù)概率總和為1,可得：P(0<X<4)=\-P(X<0)-P(X>4)=1-0.3-03=0.4.

故選：C.

【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量(單位：g)分別服從正態(tài)分布N(|4甲，02p和N(〃乙，其正態(tài)

曲線如圖所示，則()

人.四甲>|1乙,。甲乙B.y.甲乙,。甲V。乙

C.甲V|1乙,。甲乙D.甲V|1乙,。甲V。乙

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線相關(guān)知識可解.

【解答】解：根據(jù)題意，結(jié)合圖像可得，甲曲線的對稱軸小于乙曲線的對稱軸，即四甲VR乙,

又圖象越矮胖,則。就越大，則。甲>。乙.

故選：C.

【點評】本題考查正態(tài)分布相關(guān)知識，屬于中檔題.

6.已知隨機變量X?N（l,。2）,且尸（XW-3）=尸（X23a-1）,則（工—今,展開式中f的系數(shù)為（)

A.-8B.-4C.8D.24

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；二項式系數(shù)與二項式系數(shù)的和.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；二項式定理；運算求解?.

【答案】A

【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求出“，再利用二項展開式的通項公式可求/的系數(shù).

【解答】解：由正態(tài)分布的對稱性，得-3+3〃-1=1X2,解得〃=2,

。一鄉(xiāng)4的展開式的通項公式為：小|二。;?/”（_勺「=（-2）「?中/⑵，/?=（）,1,2,3,4,

令4-2「=2,可得廠=1,

故。一"展開式中）的系數(shù)為：（?2）i?Cj=—8.

故選：A.

【點評】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.已知隨機變量《?N（2,。2），，且尸（寧。-3力）=P（?>/?）,則當(dāng)時，十匕的最小

值為（）

1+V23+2企79

A.-------B.--------C.一D.-

4444

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；運用基本不等式求最值.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】B

【分析】利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對稱，得出"2〃=4,即〃-2x+2（X-/?）=4,再利用基本不等

式，即可求出結(jié)果.

【解答】解：因為隨機變量彳?N（2,。2）,且尸（?W〃?3b）=P（方萬）,

”,a-3b+b

所以=2

即a-2/?=4,

所以a-Zr+2(x-b)=4,

因為b<rV?,所以/?Vx且a>2x,

則a-2x>0,x-b>0,

一一1111112(x-d)a-2x1

所以--+—-=+—)[(a-2x)+2(x-b)]=-(3++—r)>7(3+

a-2xx-b4ya-2xx-b八'''yj4va-2xx-b74'

2A/2)

,「，,2(x-b)a-2x……i

當(dāng)且僅當(dāng)==7工時取等號'

]+白；的最小值為主警

所以，

a-2xx-b4

故選：B.

【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

二,多選題(共2小題)

(多選)8.影響植物產(chǎn)量的因素很多，其中株高對產(chǎn)量有一定的影響.經(jīng)調(diào)查某種植物的株高X(單位:

cm)近似地服從正態(tài)分布N(50,。2),若P(X<45)=0.12,則()

A.P(X>55)<0.12B.P(X>55)=0.12

C.P(X245)=0.88D.P(X>45)>0.88

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專?題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解，

【解答】解：因為X服從正態(tài)分布N(50,。2),P(X<45)=0.12,

可得X關(guān)于X=50對稱，

故P(X》45)=\-P(X<45)=0.88,P(X>55)=P(X<45)=0.12.

故選：AC.

【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)9.下列說法正確的是()

A.若隨機變量(6,P),E(X)=4.8,則p=0.8

B.設(shè)隨機變量f服從正態(tài)分布N(0,1),若尸(>1)=p,MP(-l<f<0)=1-p

C.某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為0.8,設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則在9次射擊中，當(dāng)且僅

當(dāng)X=8時概率最大

D.對于隨機事件A與氏若P(月)=0.3,P(B|4)=0.7,則事件A與E獨立

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；二

項分布的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)二項分布的性質(zhì)，正態(tài)分布的性質(zhì)，二項分布的性質(zhì)，獨立事件的概念，針對各個選項分

別求解即可.

【解答】解：對于A,若隨機變量六由(6,P),E(X)=4.8,則6〃=4.8,則p=0.8,故A正確:

對于B，變量？服從正態(tài)分布N(0,1),則正態(tài)分布曲線的對稱軸為；=0,

又尸(f>l)=p,貝UP(-1<仁0)=P(0<5<l)=0.5-P(5>l)=0.5-p,故B正確；

對于C,射擊次數(shù)X?8(9,0.8),則戶(X=B=C$xO.8^x0.29-k,2=0,1,…，9,

、人/、日?fC^xO.8kx0.2g-k>C^1x0.8"-ix0.210~k

設(shè)P(X=L)最大，則HI］\L……，

匕/xO.8kx0.29-k>C^+1x0.8k+1x0.29-k

(0.810.2

所以I區(qū)一可在，4=0,9,解得A=7或8,

所以當(dāng)X=7或8時，概率取最大，所以C選項錯誤；

對于。，因為P(耳)=0.3,P(B)A)=0.7,所以尸(B)=0.7,

所以P(BH)祟=P(6),所以P(AB)=P(A)P：B),

所以事件A與8獨立，所以。選項正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查二項分布的性質(zhì)，正態(tài)分布的性質(zhì)，二項分布的性質(zhì)，獨立事件的概念，屬中檔題.

三,填空題(共4小題)

10.已知隨機變量f?N(3,o2)(o>0),若P921)=0.9,則尸(3WWW5)=0.4.

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】0.4.

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解.

【解答】解：因為隨機變量E?N(3,o2)(o>0),且八少1)=09

所以P(3WEW5)=P(1W￡W3)=P(閉)-0.5=0.4.

故答案為：0.4.

【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

II.已知隨機變量￡服從正態(tài)分布N(3,。2),且。(ovf<3)=0.4,則P(3V?V6)=0.4.

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】0.4.

【分析】由正態(tài)分布的對稱性即可求得.

【解答】解：因為隨機變量彳服從正態(tài)分布N(3,。2),且尸(0V《V3)=0.4,

所以P(3<?<6)=P(0<?<3)=0.4.

故答案為:0.4.

【點評】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.若隨機變量X?N(l,o2),且P(XV0.9)=0.3,則P(|X-l|V0.1)=0.4

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】0.4.

【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得結(jié)果.

【解答】解：由|X-"V0.1可得-0.1VX-即0.9VXV1.1,

根據(jù)題意可知,P(IX-1|<0.1)=P(0.9<X<l.l)=\-2P(X<0.9)=1-2X03=0.4.

故答案為：0.4.

【點評】本題考查了正態(tài)密度曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

13.若隨機變量X?N(3,。2),且P(lWXW3)=a,P(X25)=b,則漢號的最小值為7+4百.

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】7+4四.

【分析】由正態(tài)分布得到再利用基本不等式即可求解結(jié)論.

【解答】由正態(tài)分布可知，P(3WXW5)=P(1WXW3)=a,

所以且〃>0,b>0,

3a+4b1

所以=-x

2ab2

=(。而X4+9=7+外於7+2降平=7+4行當(dāng)且僅當(dāng)r二部寸等號成立.

故答案為：7+475.

【點評】本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用，不等式的相關(guān)知識，屬于中檔題.

四.解答題(共2小題)

14.在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似地服從正態(tài)分布N(70,100).已知成績在

90分以上的學(xué)生有12人.

(1)試問此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？

(2)若成績在8()分以上(含8()分)為優(yōu)，試問此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？

附正態(tài)分布3。概率表：

P(p-o<XWu+。)-0.6827,P(p-2oVXWu+2。)弋0.9545,P(口-3。<XWR+3。)=0.9973

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計：運算求解.

【答案】(1)527人；⑵84人.

【分析】(1)利用正態(tài)分布的性質(zhì)得到成績在90分以上(含9()分)的概率，進而求得總?cè)藬?shù)；

(2)利用正態(tài)分布的性質(zhì)得到成績在80分以上(含8()分)的概率，進而結(jié)合(1)中所得總?cè)藬?shù)求得.

【解答】解：(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績?yōu)閄,由題可得X?N(70,100),

所以p=70,o=10,

則P(X290)=P(XW50)=1[1-P(50VXV90)]

7X(1-0.9545)

=0.02275,

12+0.02275=527(人)，

因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為527人.

(2)由P(X280)=P(XW60)=|[1-P(60<X<80)]

1

《打(1-0.6827)

=0.15865,

527X0.15865^84(人).

因此，此次競賽成績?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為84人.

【點評】本題主要考查正態(tài)密度曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

15.在一條生產(chǎn)銅棒的生產(chǎn)線上,生產(chǎn)的成品銅棒的直徑為X(單位：cm,以下同)，且X用(20,0.0001).

(1)分別寫出E(X),D(X)的值；

(2)若生產(chǎn)這樣的成品銅棒10000根，試估計直徑在[19.97,20.03]內(nèi)的銅棒根數(shù)；

(3)若質(zhì)檢員從這些銅棒中隨機抽取1根銅棒，求這根銅棒的直徑在[19.98,20.03]內(nèi)的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X4V(|_1,02),則P(四-。WXWn+。)20.6827,P(p-2。WXWp+2。)-0.9545,

P(H?3。WXW|i+3。)比0.9973.

【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】(1)E(X)=20,D(X)=0.0001；

(2)9973；

(3)0.9759.

【分析】(1)由正態(tài)分布概念可確定E(X),D(X)；

(2)注意到[19.97,20.03]<=>[2-03,2+0.03],由題利用P(p-3。WXWp+3。)-0.9973可得答案;

(3)由P(u-2。WXWR+2。)%0.9545,P(口-3。WXWp+3。)勺0.9973結(jié)合題意可得答案.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可知，X田(20,0.0001)=X?(20,0.012),

則石(X)=20,D(X)=0.0001；

(2)[19.97,20.03]<=>[2-03,2+0.03],

因尸(廠3。WXWu+3。)勺0.9973,則直徑在[19.97,20.03]內(nèi)概率約為0.9973,

則直徑在[19.97,20.03]內(nèi)的銅棒根數(shù)為10000X0.9973=9973；

(3)[19.98,20.03]<=>[20-0.02,20+0.03],

因。(口-2。WXWp+2。)^0.9545,尸(卜-3。WXWp+3。)^0.9973,

則PQ9.98SX<2)=-2a<X</z+2a)?0.47725,

P(12<X<20.03)=1P(^-3(T<X<^+3(T)?0.49865,

貝|JP(19.98WXW20.03)0.47725+0.49865=0.9759.

【點評】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

考點卡片

1.運用基本不等式求最值

【知識點的認識】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：—>y/^b(“20,b20),變形為abW(―)2或者。+622項.

22

【解題方法點撥】

在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式.例如，要求代數(shù)式x+i的

最小值，可以利用均值不等式“+2從而得出最小值為2,并且在x=l時取到最小值.需要注意

的是，運用不等式時要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進行必要的等號條件驗證.

【命題方向】

均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計等.例如，求解一個代數(shù)

式的最小值，或設(shè)計一個幾何圖形使其面積最大.這類題型要求學(xué)生能夠靈活運用均值不等式進行最值求

解，并能正確代入和計算.

已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則&i+1+7b+1的最大值是.

解：因為正數(shù)。，〃滿足6=1,

所以a+\+b+\=3,

則疝TT+VFT1<2Ja+1產(chǎn)1=瓜

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=/寸取等號.

故答案為：石.

2.相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式

【知識點的認識】

I.相互獨立事件：事件4(或8)是否發(fā)生，對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做

相互獨立事件.

2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：

將事件A和事件6同時發(fā)生的事件即為A”，若兩個相互獨立事件A、3同時發(fā)生，則事件A?3發(fā)生

的概率為:

P(A?8)=P(A)?P(8)

推廣：一般地，如果事件4,小，…，4相互獨立，那么這“個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生

的概率之積，即：

P(4?A2…A“)=P(A\>P(Az)…P(A〃)

3.區(qū)分

互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：

(I)互斥事件：兩個事件不可能同時發(fā)生；

(2)相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.

3.二項分布的均值(數(shù)學(xué)期望)與方差

【知識點的認識】

二項分布：

一般地，在〃次獨立重復(fù)的試驗中，用X表示事件4發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件4發(fā)生的概率為〃,

則

P[X=k)=C^pk(I-p)nk,20,1,2,???/?,此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X?8(小p),

并記

而(1-/?)nf=b(億〃，「)

-均值(數(shù)學(xué)期望)：F(X)=nxp,其中〃為試驗次數(shù)，〃為每次試驗成功的概率.

-方差：D(X)=nxpx(l-p).

【解題方法點撥】

■使用二項分布的均值和方差公式來計算相關(guān)概率分布的期望和方差.

【命題方向】

-重點考察二項分布的期望和方差計算，常用于統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析和預(yù)測問題.

4.正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義

【知識點的認識】

1.正態(tài)曲線及性質(zhì)

（I）正態(tài)曲線的定義

1T

函數(shù)仰，。（x）=e24,xE8,+8）,其中實數(shù)4和。（。:>0）為參數(shù)，我們稱0",O

（工）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

（2）正態(tài)曲線的解析式

①指數(shù)的自變量是x定義域是R,即犬￡（-8,+8）.

②解析式中含有兩個常數(shù)：n和e,這是兩個無理數(shù).

③解析式中含有兩個參數(shù)：〃和乙其中4可取任意實數(shù)，。>0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù).

④解析式前面有一個系數(shù)為高，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，幕指數(shù)為-與馴

2.正態(tài)分布

（I）正態(tài)分布的定義及表示

如果對于任何實數(shù)。，b（aVb）,隨機變量X滿足尸（aVX&b）=。仰,a（x）dx,則稱X的分布為

正態(tài)分布，記作N（小。2）

（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值

①P（H-。VXWR+O）=0.6826；

②P（廠2。VXWp+2o）=0.9544：

③P（廠3。VXWR+3。）=0.9974.

3.正態(tài)曲線的性質(zhì)

1欠

正態(tài)曲線（pH，“（X）=,而J2b2，x￡R有以下性質(zhì)：

（I）曲線位于X軸上方，與工軸不相交；

（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱：

（3）曲線在工=〃處達到峰值焉?：

（4）曲線與上軸圍成的圖形的面積為I;

（5）當(dāng)。一定時，曲線隨著4的變化而沿x軸平移；

（6）當(dāng)〃一定時，曲線的形狀由。確定，。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲

線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

4.三個鄰域

會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變顯的概率.落在三個鄰域之外是小概

率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù).

【解題方法點撥】

正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標(biāo)高考

中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的?個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或

計算錯誤.對正態(tài)分布N（〃，中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，巨注意第二個

數(shù)值應(yīng)該為。2而不是％同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì).

【命題方向】

題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察

典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)/（X）的圖象，且/（幻二*6一"科，則這個正

態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（）

A.10與88.10與2C.8與10O.2與10

1OCTO-1

解析：由丁8=e可知。=2,//=10.

\/2na

答案：B.

典例2：已知隨機變量f服從正態(tài)分布N（2,小），且尸（寧4）=0.8,則P（0V52）等于（）

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

解析：由P（<<4）=0.8知P（f>4）=P（fVO）=0.2,

故尸（0〈寧2）=0.3.故選C

典例3：己知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,1）,且尸（2WXW4）=0.6826,則尸（X>4）等于（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x=3對稱，???P（X>4）=0.5-=P（2WXW4）=05x（）.682

6=0.1587.故選從

題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)

典例1:若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為奇去.

（I）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式：

（2）求正態(tài)總體在（-4,4］的概率.

分析：要確定?個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)〃，。的值，其中〃

決定曲線的對稱軸的位置，。則與曲線的形狀和最大值有關(guān).

解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于），軸對稱，即〃=0.由^^=

號，得。=4,故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是

1上

仰,o（x）=彳否e32,xE（-°°,+8）.

（2）P（-4＜XS4）=〃（0-4VXW0+4）

=P（〃-oVXW〃+。）=0.6826.

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化

對曲線的影響.

典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（川，。/）（。］＞0）和N（心，0?）（。2＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則

B.//|Vr,。1＞。2

C.

D.a\＞（J2

解析：根據(jù)正態(tài)分布N（〃，。2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x=4對■稱，在處取得

最大值的連續(xù)鐘形曲線；。越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，。越小，曲線的最高點越高且較

陡峭，故選A.

答案：A.

題型三：服從正態(tài)分布的概率計算

典例1：設(shè)X?N(1,22),試求

⑴P(-1VXW3)；

(2)P(3VXW5);

(3)P(X25).

分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到(//-。，力。].(〃-2%i2或[〃-3。，川3上的概率，并利用正態(tài)密

度曲線的對稱性求解.

解析：?:X?N(A,22),???〃=1,o=2.

(I)P(-1VXW3)=P(1-2VXW1+2)

=P(//-oVXW〃+。)=0.6826.

(2),:P(3VXW5)=P(-3VXW-1),

:?P(3VXW5)=|[P(-3VXW5)-P(-1<XC3)]

=如(1-4VXW1+4)-P(1-2VXW1+2)]

1

2一2oVXW“+2。)-戶(4-oVXW“+。)]

=1x(0.9544-0.6826)

=0.1359.

(3)VP(X25)=P(XW-3),

:?P(X25)=|ll-P(-3VXW5)]

=1[1-P(1-4<X^l+4)]

=1[1-P(〃?2aVXW/什2。)]

=1x(1-0.9544)=0.0228.

求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為己知概

率的三個區(qū)間.上.

典例2：隨機變量f服從正態(tài)分布N(1,〃)，已知。(寧0)=03,則〃(?2)=.

解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以P(f>2)=P(f<0)=03P(f<2)

=1-0.3=0.7.

答案：0.7.

題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用

典例I：2011年中國汽車銷售量達到1700萬輛,汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽

車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了I

200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量f服從正態(tài)分布N(8,

。2),已知耗油量差［7,9］的概史為0.7,那么耗油量大于9升的汽車大約有一輛.

解析：由題意可知片N(8,小)，故正態(tài)分布曲線以〃=8為對稱釉，乂因為P(7W代9)=0.7,故P

(7WfW9)=2P(8WG9)=0.7,所以P(8WJW9)=0.35,而P(會8)=0.5,所以P(f>9)=0.15,

故耗油量大于9升的汽車大約有1200X0.15=180輛.

點評：服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯

形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當(dāng)P(百網(wǎng)〉=