20252026學年上學期高二數(shù)學北師大期末必刷?？碱}之空間

向量與立體幾何

一.選擇題(共6小題)

I.在四棱錐尸-A8C。中，AB=(2,3,-1),AC=(-2,0,1),AP=(3,一1,一2),則該四棱錐

的高為()

2.已知)=(遮,1,0),b=(-2,0,0),則＜；,辦是()

A.30°B.60°C.150°D.120°

3.已知。=(1,3,-2),b=(m,2,m+1),若316,則小的值為()

A.6B.-6C.4D.-4

4.如圖，在空間直角坐標系中，有一楂長為2的正方體ABCO-4/3ICIOI,AiC的中點E到A3的距離為

()

A.2B.1C.2y[2D.迎

5.在空間直角坐標系中，已知點4(1,0,0),B(1,0,1),C(1,1,1),則點A到直線BC的距離

是()

A.1B.2C.yf2D.2N/2

6.如圖，空間四邊形O4BC中，OA=a,OB=b,A=2,點、N在力上,且ON=NA,點M為RC中

點，則NM=()

0

IT1-1TIT1-*IT

A.-a—~b+~cB.-a-b+-c

222222

ITLIT

?a+h+CD.-a+-b--c

C-222222

二.多選題（共3小題）

（多選）7.在棱長為1的正方體"CO-AiBiCWi中，點尸在底面人BC。內(nèi)運動（含邊界;,點E是棱

ca的中點，則（）

A.若尸是棱AD的中點，則E”〃平面ABC

B.若以_L平面以。歸，則六.是AC'上靠近。的四等分點

C.點E到平面BiQiC的距離為當

D.若F在棱A6上運動，則點尸到直線由￡的距離最小值為|?

（多選）8.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面48CO是邊長為2的正方形，平面48CD,PA=2,

B.\BE\=6

V6

C.異面直線BE與PA夾角的余弦值為一

6

D.點E到平面84c的距離為I

（多選）9.在棱長為1的正方體人8c0-4用。。1中，點尸在底面ABC。內(nèi)運動（含邊界）點、E是棱

CG的中點，則下列說法正確的是（）

TT1

A.若AF=/L4D,且所〃平面ABC則％=今

ttq

B.^AF=AAD,則存在入E（0,1）,使得cosNP/iF建

TQT

C.若律_1_平面81D1E,則//=%C

D.若於=而，則直線A。與平面。|。尸所成角的正弦值的取值范圍是停，爭

三.填空題（共4小題）

10.已知:二（-3,2,4）,b=（1,5,-1）,^i\a-b\=.

11.如圖，若平行六面體ABCD-MB\C\D\的所有棱長均為2,且n?cZi=-2,則<7g，CC1>

=，異面直線A8與CCj所成角的大小為.

12.已知正方體ABCO-A/iCiP的楂長為1,且滿足法=%61+yM?+zDBi，且x+y+z=l,則向量法

的模的最小值是.

13.已知上海地處東經(jīng)120°527至122°12,，北緯30°40'至31°53'之間，地球半徑為6371.004府.則

緯線所在兩平面的距離是.（精確到0.001h〃）

四.解答題（共2小題）

14.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，以_1平面A8c。，AB//CD,ABA.AD,PA=AD=CD=2AB.E為棱

PC上一點，BELPC,平面ABE與棱PO交于點F.

（1）求證：尸為夕。的中點；

（2）求證：平面/%￡>_!_平面PC。

（3）若人8=1,求二面角8-/C-P的余弦值.

p

15.如圖，在四棱錐尸-ASC。中，F(xiàn)_L平面八6c。，ACA.AD,ABA.BC,NSCA=6()°，AP=AC=AD

=2,E為CO的中點，M在上，且薪=2M%.

(1)求證：EM〃平面PAD；

(2)求平面力。與平面PBC夾角的余弦值；

(3)求點M到平面PCD的距離.

E

D

20252026學年上學期高二數(shù)學北師大版（2019）期末必刷?？碱}之空間

向量與立體幾何

參考答案與試題解析

一,選擇題（共6小題）

題號123456

答案DCCDAC

二.多選題（共3小題）

題號789

答案ABDACDACD

一.選擇題（共6小題）

I.在四棱錐尸-A8CO中，AB=（2,3,-1）,AC=（-2,0,1）,AP=（3,一1,一2）,則該四棱錐

的高為（）

遮

D.—

5

【考?點】空間中點到平面的距離；棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專?題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間向量及應用；運算求解.

【答案】。

【分析】求出平面ABQ）的一個法向量，利用點到平面距離的向量求法計算可得結(jié)果.

【解答】解：設(shè)平面A8CQ的一個法向量為￡y,z）,

所以即代+3y<=0,

Ucn=0U2x+z=0

令z=2,可得x=1,），=0；

所以:=(1,0,2),

則點P到平面ABCD的距離為空犯=|3+0-4|_V5

22

MlVl+2—5

故選：D.

【點評】此題考查用空間向量法求解點到平面距離，屬于簡單題.

2.已知之=(遮，1,0),b=(-2,0,0),則日，力是()

A.30°B.60°C.150°D.120°

【考點】空間向量的夾角與距離求解公式.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】利用空間向量的夾角公式求出cos〈Z心，結(jié)合向量夾角的取值范圍可得出日，^的大小.

【解答】解：因為Z=L0),b=(-2,0,0),

—T

由題意可得cos〈a,b〉==-/^=-續(xù)

\:a\-2\b\2X22

因為0。<(a,b)<180°,故而，b)=150°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了向量的夾角公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知Q=(L3,—2),b=(m,2,m+1),若Q1b,則的值為()

A.6B.-6C.4D.-4

【考點】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解.

【答案】C

【分析】直接利用向量的坐標運算和向量垂直的充要條件求出m的值.

【解答】解：已知Q=(1/3,—2),力=(m,2,m+1),若Z1b,

故m+6-2(m+1)=0,解得機=4.

故選；C.

【點評】本題考查的知識點：向量垂直的充要條件，主要考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.如圖，在空間直角坐標系中，有一?棱長為2的正方體A3CO-4加CIOI,AiC的中點E到A8的距離為

()

A.2B.1c.2V2D.V2

【考點】空間中點到直.線的距離及兩平行直線間的距離.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；向量法：空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】。

【分析】先根據(jù)坐標系求出七和A8的方向向最，再利用點到直線的距離的向量求法即可.

【解答】解：???正方體的校長為2,

AC的中點E(1,1,1),A(2,0,0),B(2,2,0),

：.AB=(0,2,0),成二(-1,1,1),

TTAFARxATTT

：.cos{AE,AB)=_>f\AE\cos(AE,48)=1,

I陽明

的中點E到人B距離為：d=^\AE\2-(\AE\-cosiAE,AB))2=41.

故選：D.

【點評】本題主要考查點到直線距離的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.在空間直角坐標系中，己知點A(l,0,0),3(1,0,1),C(1,1,1),則點A到直線的距離

是()

A.1B.2C.V2D.2\[2

【考點】空間中點到直線的距離及兩平行直線間的距離.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應用；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)向量法，即可求解.

【解答】解：因為在空間直角坐標系中，4(1,0,0),B(1,0,I),C(I,1,1),

所以力%二(0,0,1),BC=(0,1,0),

所以點A到直線3c的距離是|幾『一("升y=(1-A2=1.

故答案為：A.

【點評】本題考查點到直線的距離的求解，向量法的應用，屬基礎(chǔ)題.

6.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,A=2點N在扇上,且ON=NA,點M為BC中

點，則薪=()

1T1T1T1T1-1T

A.-a—-b+-cB.一Q+一b+-c

222222

IT1?IT1-1TIT

C.-”+56+5cD.-a+~b--c

222222

【考點】空間向量基底表示空間向量.

【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算即可得解.

T1T1TTTTTTT11T1->

【解答】解：根據(jù)條件：NA=^OA=5Q,AB=OB-OA=b-a,BM=BC=^(OC-OB)=1c-

t1T1T1t1T1T

所以京=NA+AB+BM=^a+ba+-c--b-a+-b+-

22222C.

J

故選：C.

【點評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，是基礎(chǔ)題.

二多選題（共3小題）

（多選）7.在棱長為1的正方體ABCD-4用CD中，點尸在底面ABCD內(nèi)運動（含邊界;，點E是棱

CCi的中點，則（）

A.若尸是棱AO的中點，則E/〃平面481c

B.若E”_L平面與。|￡,則/是AC上靠近。的四等分點

C.點E到平面81OC的距離為日

D.若/在棱人8上運動，則點/到直線小七的距離最小值為|代

【考點】空間中點到平面的距離；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯思維；運算求解.

【答案】ABD

【分析】利用面面平行證明線面平行，判斷4

建立空間直角坐標系，利用向量法判斷線面垂直判斷B；

利用等體積法求得點到直線的距離C；

利用向量法求得點到直線的距離判斷D.

【解答】解：對于選項4,如圖，取。。的中點M,連接ME、ME

因為點M、尸是CO、4。的中點，所以M/〃AC,

因為MFC平面ABC,4Cu平面A8C,

所以〃平面/WC,

同理ME〃。。，且。Ci〃A8i,所以

因為MEG平面ABC,4B1U平面4BC,

所以ME〃平面ABC,

且MEnMr=A/,ME、MFu平面ME凡

所以平面M￡“〃平面AB\C,

因為EFu平面MER所以￡尸〃平面A81C,故選項A正確；

對于選項&若尸是4C上靠近C的四等分點，

以Z）為坐標原點，DA.DC、DDi所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

13

--

44

1

-11T

所以=4—2)?B[E=(-1,0，—2),B]D]=(-1，—1,0)?

因為EF?Bl】=0,EF-BiE=0,

所以還IB]-EF1I\E,

即七凡LBIQI,EF±B\E,且BEiCBiE=Bi,4101、3iEu平面4iQi￡,

所以石RL平面BIDIE,且過點E只有1條直線和平面BIOIE垂直，

則點尸是唯一的，點尸是AC上靠近。的四等分點，故選項8正確；

對于選項C，因為E是棱C。的中點，

所以點上到平面AIOC的距離為ci點到平面與。（的距離的;，

由題意可得△8iOiC是等邊三角形，且&。1=或，

設(shè)。點到平面8iAC的距禽為d,

由%1-B/1C=%-BiDiG，

所以&$皿￡>1（7Xd.-qSA8[D[C]XCC],

oo

所以工xyfixy/2xsin—xd=-x1x1x1,

232

解得d=字，

所以點石到平面小。C的距離為座，故選項C不正確；

6

對于選項。，若點尸在棱A8上運動，設(shè)尸（1,y,0）,OWyWl,

T1T

BrE=(-1,0,-FBX=(0,1-y,1),

則點尸到BE的距離心=點：一（極學與=

1I。閨

當1y=1時，d的最小值為7—,故選項D正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查立體幾何綜合問題，以及向量法的應用，屬于中檔題.

(多選)8.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面A4C。是邊長為2的正方形，見_1_平面/18。。，PA=2,

B.\BE\=6

C.異面直線8E與附夾角的余弦值為由

6

D.點E到平面84C的距離為1

【考點】空間中點到平面的距離；異面直線及其所成的角；空間向量的數(shù)乘及線性運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解；空間想象.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可判斷選項A；以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求空

間兩點間距離以及異面直線所成角，從而判斷選項B和C；根據(jù)點到平面距離的定義可判斷選項。.

【解答】解：因為%_L平面A8CD,AB,AOu平面ABC。，

所以以PALAD,

又四邊形48CQ為正方形，所以A8L4。，

故AB,AD,AP兩兩互相垂直，

以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(0,I,I),

選項A,BE=BA+AE=-AB+^AD+^AP=^AP-AB故選項A正確；

LLL乙

選項&BE=(-2,1,1),\BE\=V4+1+1=V6,故選項B錯誤；

選項C,因為藁二(-2,1,1),AP=(0,0,2),

TT

所以直線與布夾角的余弦值為墨粵=三="，故選項C正確；

\BE\-\AP\76X26

選項D,因為小J_平面4BCZ),

所以點P到平面BAC的距離為公=2,

又E是尸。的中點，

1

所以點E到平面8AC的距離為5P4=1,故選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握空間向量的線性運算,利用向量法求異面直線所成角，

以及點到平面距離的定義是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

(多選)9.在棱長為1的正方體A8CD?48ICIDI中，點尸在底面ABCD內(nèi)運動(含邊界)點E是棱

C。的中點，則下列說法正確的是()

A.若兄＜=/1元)，.且E/〃平面4BC,則，=*

B.^AF=AAD,則存在入￡(O,I),使得ros/C/iF二1

TRT

C.若M_L平面B1U1E,則CF=%C

D.若前=4垣則直線A。與平面。叱所成角的正弦值的取值范圍是［字，凈

【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角；平面的法向量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；運算求解.

【答案】ACD

【分析】建立空間直角出標系，利用向量法逐項計算.

【解答】解：以。為原點，分別以D4、DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則A(l,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Ai(1,0,I),B\(I,1,1),Cl(0,

\,1),Di(0,0,1),

所以￡(0,1,1),

對于4：由第=〃H),

得而=DA+AAD=(1,0,0)+A(-1,0,0)=(1-A,0,0),

所以F(1-入，0,0),EF=(1-1,-1),

AB±=(0,1,1),AC=(-1,1,0),

因為E/〃平面A3iC,

所以外，ABlf公共面，

所以存在x,yGR,EF=xABt+yAC,

1

=--

2

1

得

解=--

2

1

=-

2

對于4：由4,=-1,0),8/=(一九一1,-1),

r-1U/CDE1B[D].B1FA+l5

所；|以cosZD//=—=,=%,

四。11|8/|Vzjz+A2

解得2=3或入=%故4錯誤；

TT1

對于C：/。1=(一1,-1,0),BXE=(-1,0,一2),

設(shè)平面8]。歸的法向量三=(x,y,z),

oXy=o

-Tn1

"X-z

o2

令

則y

所以n=(l,-1,一2)是平面小。石的一個法向量,

因為石凡L平面BiDiE,

1

-

〃-

/=〃4

/lg11

叫

b-『

所-

Q--

1-4

I-=人3

2b-

l\~=4

1□

所以產(chǎn)弓，30)，

所以齊?二(一,,0),又啟=(-1,1,0),所以6=白后，故C正確；

對于。：因為前=/而，點尸在底面ABCO內(nèi)運動(含邊界)，所以0W入《1,

且赤=加+46=(1,0,0)+入(0,1,0)=(1,A,0),所以F(1,入,0),

設(shè)平面。1。戶的法向量薪=(均，y「Zi),DF=(1,九0),DDr=(0,0,1),

所以秒.方=。，即產(chǎn)：儼=0,

(m-DDi=00-u

令幻=入，則yi=-l,zi=0,

所以m=(a,—1,0)是平面Qi。尸的一個法向量,

設(shè)直線AC\與平面D\DF所成角為0,

則或皿=均嗎=1產(chǎn)

存J-+1

令，=1+入，則入=f?1,正［1,2］,

1

所以sin。=

/3-J(t-l)2+l店小―、+￡v,f3-j2(1-i)2+1

因為函數(shù)丁=2(1-1)2+^f=I時取得最大值I,在1=2時取得最小值今

所以sin0的最小值為吃=半，最大值為一—;==￡

取3V3xJ3

即所求取值范圍是停,凈，故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查向量法在立體幾何中的應用，屬于中檔題.

三,填空題(共4小題)

10.已知％=(-3,2,4),b=(1,5,-1),則=5/.

【考點】空間向量線性運算的坐標表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應用；運算求解.

【答案】5V2.

【分析】利用空間向量線性運算的坐標表示及模長的坐標表示求解.

【解答】解：向量7=(1,5,-1),a=(-3,2,4),

則［-'(-3,2,4)-(1,5,-1)=(-4,-3,5),

所以日-b\=J(一4/+(-3)2+52=5V2.

故答案為：5V2.

【點評】本題主要考查向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

T—TT2TC

11.如圖，若平行六面體ABCD-A\B\C\D\的所有棱長均為2,.目?CC.=-2,則<AB,CC1>=—

TC

異面直線AB與CC1所成角的大小為二;

【考點】空間向量的數(shù)量積運算；異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；運算求解.

…生、27rn

【答案】丁-

【分析】利用向量數(shù)量積計算公式計算可得〈幾，C、〉，由異面直線所成角定義可得異面直線48與。。

所成角的大小.

【解答】解：因平行六面體ABC。-A山iCiD的所有棱長均為2,且6?￡1二一2,

%/乙ABCC-21

故C0S(48,CCy)=—..=H}==-

lABHCCilzxz'

TTTT27r

因為0WC48,CCX)<7T,所以〈48,CG)=等，

又異面更線所成角的范圍為(0,亂

故異面直線AB與CC1所成角的大小為兀-竽=*

故答案為：一；千

33

【點評】本題考查空間向量的夾角公式及異面直線所成角的定義，屬基礎(chǔ)題.

12.已知正方休人“CD-人的棱長為1,且滿足法=久++加"+20五，且x+y+z=l,則向量法

的模的最小值是一也

【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算；空間中點到平面的距離.

【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解.

“2^3

【答案】丁.

【分析】結(jié)合空間向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合共面定理可得，|0E|的最小值為點。到平面DiAC

的距高，結(jié)合空間距禽的求解即可求.

【解答】解：方體ABCQ-AiBCQ的棱長為1,且滿足法=以%+），拓+ZDB］，且x+j+z=l,

：,DE-DDi=x（DA-瓜）+y（DC-麗］），即。;E=xI\A+y°：C,

由共面向量定理得，Di,E,A,C四點共面，即點E在平面。MC上，則|法|的最小值為點。到平面

。14。的距離，

以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則。（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,D\（0,

0,2）,

：Sc=(-2,2,0),A、=(-2,0,2),DA=(2,0,0),

設(shè)平面。lAC的法向量為〃=(x,y,z),則卜fF=°'即「2%+2y=0,

AD^n=0,1-2x4-2z=0,

T

令x=l,則〃=(1,I,1),則點。到平面C的距離4=隼卷=專=孥,

即|法|的最小值是竽.

2-73

故答案為：—.

【點評】本題主要考查了空間向量在空間距離求解中的應用，屬于中檔題.

13.已知上海地處東經(jīng)120°52'至122°⑵，北緯30°40'至31°53r之間，地球半徑為6371.004M.則

緯線所在兩平面的距離是135.283面?.（精確到0.001加?）

【考點】空間中兩平行平面間的距離及平行于平面的直線到平面的距離.

【專?題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維.

【答案】135.283%.

【分析】先求出緯度差，兩緯線所在兩平面的距離為以地球為半徑的圓，角度為緯度差所對應的弧長,

由弧長公式能求出結(jié)果.

【解答】解：???上海地處東經(jīng)120°52'至122°12',北緯30°40'至31°53,之間，

緯度差為31°53'-30°40'=1°13',

兩緯線所在兩平面的距離為以地球為半徑的圓，

角度為1°13'所對應的弧長，

???地球半徑為6371.0046，

???緯線所在兩平面的距離為：

1°13'x焉x6371.004《135.2836.

故答案為：135.2833?.

【點評】本題考查弧長公式、空間中面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

四.解答題(共2小題)

14.如圖，在四棱錐P-/WCO中，例_1_平面4ACD,AB//CD,ABA.AD,PA=AD=CD=2/\B.E為棱

PC上一點，BE上PC,平面人BE與棱尸。交于點F.

(1)求證：尸為尸。的中點；

(2)求證：平面力Q_L平面PCQ；

(3)若A3=l,求二面角B-尸C-P的余弦值.

【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；平面與平面垂直.

【專題】對應思想；綜合法；立體幾何；運算求解.

【答案】(1)由于辦L面A8CQ,并且AB,AOu面A8CO,

則可以得到以_L48,且附_LA。，

設(shè)A4=l,則在Rt△以3中，根據(jù)勾股定理可得P3=辦勿+4P2=瓜

由于人8〃人。，并且人B_LA。，AD=CD=2AB=2,

則8c=J(2-1尸+22=遙,所以尸8=8C,

由于BE_LPC,則可知E為尸C的中點，

由于48〃CD,ABC面PC。，并且CDu面PCD,

故可以得到相〃面PCD,

由于面ABEFQ^PCD=EF,貝I」AB〃石產(chǎn)，

故CO〃石尸，則可以證明尸為PD的中點；

(2)因為例=4/),尸為尸。的中點，則4nLPD,

11

由(易得EF〃CD,EF="D,乂因為〃AB=^CD,

1)乙4BCQ,乙

所以可得EF=AB,

則可知四邊形4BE廠是平行四邊形，

則BE//AF,

又因為胡工LPC,所以AFJ_PC,

由于/＜門〃。=〃，PC,產(chǎn)Lfu面產(chǎn)CD,

則可以得至1」人產(chǎn)」■面PCD，

由于AFu面PAD.

則面以。，面PCD；

(3)”

7

【分析】(1)利用直線與平面的平行的判定定理和性質(zhì)定理證得AB〃EF,再結(jié)合三角形的中位線即得

產(chǎn)為P。的中點；

(2)利用直線與平面垂直求證出A/_L平面PCQ,再結(jié)合平面與平面的垂直判定定理求證即可；

(3)根據(jù)題目條件，建立空間直角坐標系，利用待定系數(shù)法求得平面4c尸的法向量和平面PCO的法

向量結(jié)合二面角8-PC-。的平面角是銳角從而求出二面角8-R7-P的余弦值.

【解答】證明：(1)由于小1面/WC7),并且人8,人。u面A8CO,

則可以得到用_LAB,且網(wǎng)L4Z),

設(shè)48=1,則在中，根據(jù)勾股定理可得PB=VAB?+4P?=瓜

由于A8〃A。，并且AB_L4。，AD=CD=2AB=2,

則BC=J(2-1)2+22=花，所以PB=BC,

由于3￡_LPC,則可知￡為PC的中點，

由于AB//CD,八8仁面PCD,并且COu面PCD,

故可以得到人8〃面PC7),

由于面48EFG面〃。。=￡：立則AB//EF,

W3//EF,則可以證明/為P。的中點；

(2)因為以=AQ,尸為P。的中點，則A￡LPO,

由(1)易得EF//CD,EF二CD,又因為A8〃CD,AB=^CD,

所以可得EF〃A8,EF=AB,

則可知四邊形A/3E產(chǎn)是平行四邊形，

則BE//AF,

又因為BE_LPC,所以4口LPC,

由于PCnPD=尸，PC,PDcfiPCD,

則可以得到AhL面PCD,

由于AFu面PAD,

則面以。，面PCD；

解：(3)建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),D(2,0,0),F(1,0,I),

故辰=(2,1,0),而=(L-1,1),AF=(1,0,1),

設(shè)平面BCF的一個法向量為藍二(x,y,z),

則卜g二°，可以得到儼+y=。，

[mBF=0,(x-y+z=0.

令x=-1,則y=2,z=3,

所以可得m=(1,2,3),

由（2）已證A凡L面PC。,

故京=（1,0,1）為平面PCZ）的一個法向量,

.TT

-1+3_々

所以|cosVm,力尸＞|=|75^714,~~,

\m\\AF\

由圖知二面角8■尸C-。的平面角為銳角，

所以二面角B-FC-P的余弦值為

【點評】本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的平面角，屬于中檔題.

15.如圖，在四棱錐P-48c。中，％_L平面/WCQ,ACA-AD,ABA.BC,N8cA=60°,AP=AC=AD

=2,E為CO的中點，M在A8上，且薪=2M%.

（I）求證：EM〃平面PADx

（2）求平面布。與平面夾角的余弦值；

（3）求點M到平面PCO的距離.

【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；空間中點到平面的距離；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；運算求解；空間想象.

【答案】（1）證明過程請見解答；（2）竺；（3）嶺色.

73

【分析】（1）以A為原點建系，易得平面力。的法向量薪，再證明扇?扇=0即可；

（2）利用空間向量法求解面面角即可;

（3）利用空間向量法求解點面距離即可.

【解答】（1）證明：由題意知，AD,AC,AP兩兩垂直,

故以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0),0(2,0,0),C(0,2,0),8(一',0),E(l,1,0),P(0,0,2),

TT網(wǎng)

由AM=2M8,得M(一學，1,0),

T口

所以￡M=(一與-1,0,0),

易知平面必。的一個法向量為蔡=（0,1,0）,

所以扇?[=(一字-1)X0+0X14-0X0=0,即俞1局,

又EMC平面PAD,

所以〃平面PAD.

⑵解:由（1）得而二（0,2,一2）,左二（苧，0）,

n-PC=2y-2z=0

設(shè)平面P8C的法向量為幾=Q,y,z）,則

n-RC=^.r+1y=0

令x=-l,得y=V5,z=V3,所以n=(一1,V5,V3),

而平面PAD的一個法向量為TH=（0/1,0）,

mi“J、nm43

所以cos<n,m>=———=-7=—=

|n||m|v7xl7

V21

故平面玄。與平面PBC夾角的余弦值為

TT

73

(3)解：由題意知，PC=(0,2,-2),PD=(2,0,-2),EM=(-lx0,0),

3

設(shè)平面PCQ的法向量為方=(%b,c),則1pf=2"-2c=°

(pPD=2a-2c=0

令C=1,得力=1,4=1,所以p=(l,1,1),

T.4Tl1+V3

所以點M到平面PCD的距離為粵口=

IPIV33

【點評】本題考查立體幾何的淙合應用，熟練掌握利用向量法證明線面平行，求面面角與點到平面的距

離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

考點卡片

1.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【知識點的認識】

1.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.用

頂點和底面各頂點的字母表示，M：S-ABCD.

2.認識棱錐

棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面.

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

棱銖的頂點；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點.

棱性的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高.

棱錐的對角面：棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面.

3.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

底面是多邊形

棱錐、

(2.側(cè)面是三角形

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：

平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.

4.棱錐的分類

棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的楂錐叫做正楂錐.正棱錐的各個

側(cè)面都是全等的等腰三角形.

5.棱錐的體積公式

設(shè)棱錐的底面積為S,高為近

2.異面直線及其所成的角

【知識點的認識】

1、異面直線所成的角：

直線。，人是異面直線，經(jīng)過空間任意一點0,作直線。'，b',并使〃小////b.我們把直線標

和〃'所成的銳角（或直角）叫做異面直線。和〃所成的角.異面直線所成的角的范圍：（0,當6

=90°時，稱兩條異面直線互相垂直.

2、求異面直線所成的角的方法：

求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線.

3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：

1.余弦定理：在△ABC中，有

a2=b2+C2—2bccosA，

b2=a24-c2-2accosB，

c2=a2+〃-labcQsC?

L222

2.余弦定理的推論：cosA=+，

2bc

a2^c2-b2

cosB=--------------，

lac

a3+b?2-c2

cosC=--------------.

lab

3.直線與平面平行

【知識點的認識】

1、直線與平面平行的判定定理：

如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行：，那么這條直線和這個平面平行.用符號表示為：若

bua,a//b>貝"a//a.

2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對尸平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直

線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行.即由線線平行得到線面平行.

1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.

用符號表示為：若au0,anp=/?,貝ij

2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：

已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行.即由線面平行=線線平

行.

由線面平行=線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知宜線平行.

正確的結(jié)論是：”〃a,若bua,則〃與〃的關(guān)系是：異面或平行.即平面a內(nèi)的直線分成兩大類，一類與

。平行有無數(shù)條，另一類與〃異面，也有無數(shù)條.

4.平面與平面垂直

【知識點的認識】

平面與平面垂直的判定：

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

平面與平面垂直的性質(zhì)：

性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.

性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).

性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.

性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直.

5.空間向量的數(shù)乘及線性運算

【知識點的認識】

1.空間向量的數(shù)乘運算

實數(shù)人與空間向量Z的乘積4之仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.

①當入＞0時，入;與3的方向相同；

②當人〈0時，，/I；與之的方向相反；

③當人=0時，Aa=0.

@|Aa|=|A|*|a|

元的長度是［的長度的|A|倍.

2.運算律

空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律.

(1)分配律：@A(a+b)=Aa+Ab

②(入+|i)a=Aa+na

(2)結(jié)合律：AQza)=(Ag)a

注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如4±2等無法計算.

【解題方法點撥】

-標量運算：進行數(shù)乘運算時，將標量與向量分量相乘.

-淺性組合：應用線性組合公式，計算向量的線性組合結(jié)果.

【命題方向】

-句量數(shù)乘和線性運算：考查如何進行空間向量的數(shù)乘和線性組合運尊.

人>0X<0

6.空間向量的數(shù)量積運算

【知識點的認識】

1.空間向量的夾角

已知兩個非零向量之、b,在空間中任取一點O,作&=a,OB=b,則NAO3叫做向量聯(lián)與行的夾角，

記作Va，b>.

2.空間向量的數(shù)量積

（1）定義：已知兩個非零向量;、b,則向|b|cos<2,叫做向量：與b的數(shù)量枳，記作a?b,即彘

TfTfT

b=|a||b|cos<a,b>

（2）幾何意義：；與6的數(shù)量積等于靛勺長度而與了在之的方向上的投影向cose的乘積，或6的長度而