2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.I可答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卜上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：數(shù)列+直線方程。

5.難度系數(shù)：0.65o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知經(jīng)過(guò)AJ3,2）,8（2,〃?）兩點(diǎn)的直線的斜率為5,則實(shí)數(shù)加的值為（）

3115

A.——B.一一C.—D.-

2222

1.【答案】B

m-2fn-211

【解析】依題意，=5=-2*W=-2,

故選：B

2.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為—2,若4,%，%成等比數(shù)列，S“是｛叫的前〃項(xiàng)和，則S）等于（）

A.8B.6C.-10D.0

2.【答案】D

［解析】vq,%，生成等比數(shù)列，,a；=44，

，1一2x2『=4?（《-3x2）,化為2%=16,解得％=8,

9xX

則§9=8x9+虧x（_2）=0

故選:D.

3,直線/的方程為：若宜線/不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

1

A.a>2B.-<a<2C.a>2D.a>-

33

3.【答案】C

%二一（不經(jīng)過(guò)第一象限,

【解析】若直線/斜率不存在,即。=21：

1一3。1

若直線/斜率存在，即。工24y=-----x-------

-a-2a-2

jo

a~2=〃>2,

所以《

-——<0

a-2

綜上實(shí)數(shù)。的取值范圍為2,

故選:C.

4.等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，若如為定值時(shí)2%+%+%.也是定值，則攵的值為（）

A.13B.IIC.9D.不能確定

4.【答案】A

【解析】因?yàn)镾”為定值且S“=lk/6,故生為定值，故4+5"為定值，其中4為公差.

而2a2+%+q=4q+勿+6z/+(左一l)d=%|+(k+7)d,

故當(dāng)且僅當(dāng)左+7=20即攵=13時(shí),2%+%+%.為定值.

故選：A.

5.已知點(diǎn)4（2,-3）,5（-3,-2）,若過(guò)點(diǎn)（1,1）的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）

33

A.—co,-----J[4,-K?)B.(-co,M]o

4

34-V

C.-4,4D.

5.【答案】B

-3-1-2-13

【解析】記（11）為點(diǎn)P,直線Q4的斜率即A==一4,直線依的斜率即8二一^二二

2-1-3-14

因?yàn)橹本€1過(guò)點(diǎn)且與線段A3相交,

3

結(jié)合圖象，可得直線/的斜率4的取值范圍是（-8,-4]口],+8

6.如圖所示，已知A（-2,0）,8（2,0）,C（0,2）,E（-l,0）,產(chǎn)（1,0）,一束光線從尸點(diǎn)出發(fā)射到8c上

的￡>點(diǎn)經(jīng)8c反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線ED的斜率的取值范圍是（）

A.（-oo,-2）B.（4,-K?）C.（2,+oo）D.

6.【答案】B

【解析】如圖所示，從特殊位置考慮.

,:點(diǎn)A（-2,0）關(guān)于直線BC:x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為4（2,4）,

...直線AF的斜率鼠尸=4,；?“<kFD.

VE（-l,0）關(guān)于直線AC:y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)為E、（-2,1）,

點(diǎn)E]（一2,1）關(guān)于直線BC.x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為用。，4），此時(shí)直線E.F的斜率不存在.

綜上，kFDG（4,-K?）.

7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)；I,I,2,3,5,…其中從第

三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若此數(shù)

列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列也｝,則數(shù)列出｝的前2026項(xiàng)的和為（）

A.1350B.676C.1351D.1352

7.【答案】C

【解析】1,1,2,3,5,8,13,21,34...,

除以2所得余數(shù)分別為1,1,0,1,1,0,1,1,0,

印｛2｝是周期為3的周期數(shù)列，

因?yàn)?026=3x6751,

自+包+4=2,

所以數(shù)列出｝的前2026項(xiàng)和為2x675+1=1351.

故選:C

8.過(guò)定點(diǎn)A的直線（a+l）x-y+2=0與過(guò)定點(diǎn)3的直線x+（〃+l）y-5。-2=。交于點(diǎn)p（尸與人8不

重合），則?QA3面積的最大值為（）

93

A.4B.-C.2D.-

22

8.【答案】B

【解^5]

【分析】根據(jù)方程可得定點(diǎn)4、B,并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.

【詳解】動(dòng)直線（a+l）x—y+2=0化為y=（〃+l）x+2,可知定點(diǎn)A（0,2）,

y—5=0

動(dòng)直線x+（a+l）y-5a—2=（）化為a（y-5）+x+y-2=0,令‘+20，

解得），=5,.丫=一3,可知定點(diǎn)8（-3,5）,

又（。+1）x1—1x（。+1）=0,

所以直線（a+l）x—y+2=0與直線x+（a+l）），一5々-2=0垂直，0為交點(diǎn),

2

/.PA±PZ?,.-.|E4|=,目2=（0+3）2+Q_5）2=18.

則S/，AB=J尸/叫依區(qū)3?西二色一=，當(dāng)且僅當(dāng)|/利=|尸邳=3時(shí)，等號(hào)成立.

9

即4A43面積的最大值為

2

故選:B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，后選錯(cuò)的得。分.

9.以下四個(gè)命題敘述正確的是（）

A.直線2x-y+l=0在x軸上的截距是|

B.直線工+妙=0和2x+3y+8=0的交點(diǎn)為7＞,且P在直線/一＞-1=0上，則攵的值是

2

C.設(shè)點(diǎn)M。,），）是直線工+），-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則|OM|的最小值是企

D.直線4：or+3y+l=0,4：2x+(〃+l)y+l=0,若IL2,則。二一3或2

9.【答案】BC

【解析】對(duì)于A,直線2天一y一1二0在X軸上的截距是一；,A錯(cuò)誤：

（2x+3），+8=0[x=-\1

對(duì)于B，由《1八解得＜7即夕（一1,一2），則一1一2攵=0,解得&二一一，B正確;

x-y-l=0[y=-22

=6,C正確;

對(duì)于C,依題意，|OM|1nhi二

對(duì)于D,當(dāng)。=2時(shí)，直線￡,：2工+3），+1=0,乙2：2工+3），+1=。重合，D錯(cuò)誤.

故選:BC

10.已知數(shù)列｛4｝滿足勺+-2。“=2"+|,且q=4,則下列正碓的有（）

A.4=32

B.數(shù)列懸的前〃項(xiàng)和為小

n"+〃

C.數(shù)列，log?:，的前〃項(xiàng)和為log（w+1）+-----

22

1

4n1<

D.若數(shù)列＜-----的前〃項(xiàng)和為人則一（十4-

山12

10.【答案】ACD

【解析】對(duì)A,由《出一24=2向可得招一*=1,故數(shù)列（黑是以泉=2為首項(xiàng)，1為公差的等

X

差數(shù)列，

故祟="+1,即《=（刀+1）2",則q=32,故A正確；

對(duì)B,&=2"，故數(shù)列，上、[的前〃項(xiàng)和為2'22+...+2〃=2用一2,故B錯(cuò)誤；

n+\[/?+1

對(duì)C,log?%=logJ"*"2=〃+]og2(〃+1)-log/,則前〃項(xiàng)和為

~n~n

l+log22-log2l+2+log23-log224-...+/2+log2(/i+l)-log27：

2

n

=1+2+3+...+//+log2(/?+1)=log2(/?+1)+,故C正確：

4"__________￡_________]_J_J______1_

對(duì)D,蒜一(〃+l)2"乂(〃+2)2向―2(〃+1)(〃+2)~^Xn+\~~n+2

11—1P-111

則3=

212334?+T

又易得7；隨"的增大而增大，故（27；二卷，即看工（＜；，故D正確?

故選:ACD

a

11.對(duì)于數(shù)列｛q｝（a”eN+）,定義4為q,%，…，k中最大值（2=1,2,…,〃）（/?GN+）,把數(shù)列｛〃,｝

稱為數(shù)列｛4｝的“”值數(shù)列”.如數(shù)列2,2,3,7,6的值數(shù)歹『'為2,2,3,717,則（）

A.若數(shù)列｛可｝是遞減數(shù)列，則也｝為常數(shù)列

B,若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則有?！岸?/p>

C.滿足也｝為2,3,3,5,5的所有數(shù)列｛4｝的個(gè)數(shù)為8

2

D.若4=（_2）i（〃eN+）,記S”為低｝的前〃項(xiàng)和，則岳/二彳⑵00—1）

11.【答案】ABD

【解析】若數(shù)列｛?！ǎ沁f減數(shù)列，則4是4，“2，…，4中最大值（攵=1,2,）（〃$N+）,

所以"=4，｛2｝為常數(shù)列，A選項(xiàng)正確；

若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則%是4，生，…，生中最大值"=1,2「?,〃）（〃￡此），

所以即4B選項(xiàng)正確；

滿足｛"｝為2,3,3,5,5,則％=2,a2=3,%可以取1,2,3,a4=5,為可以取1，2,3,4,5,

所有數(shù)列｛〃”｝的個(gè)數(shù)為3x5=15,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若q=（—2yi（〃￡N+）,則數(shù)列｛4｝中奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成遞增的正項(xiàng)數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，

則有電.產(chǎn)％=（-2廣2=2f

所以5m=20+22+24++298）=|（2|00-1）,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知｛〃“｝是公比為;的等比數(shù)列，若q+4+%++佝7=1°°，則43+〃6+〃9+…+劭9=.

12.【答案】25

&+。6+〃9+皿=

【解析】因?yàn)閐=；

4+4+%++%74

所以/+%+%+…+為9=25

改答案為：25

13.若直線/過(guò)點(diǎn)（3,2）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線/的方程為

13.【答案】2x—3y=0或不一），-1二0

【解析】當(dāng)截距為。時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=依，

2

將（3,2）代入得，3k=2,解得左二§,

故直線/的方程為y=

當(dāng)截距不為。時(shí)，設(shè)直線/的方程為土+上=1,

a-a

32

將（3,2）代入得，—=1,解得a=l,

故直線/的方程為x—y=1,

收直線/的方程為2工一3），=?；蛏弦唬?1二0.

改答案為：2x-3y=0或無(wú)一y-1=0

14.已知數(shù)列｛%｝滿足4=7,一〃向=-若不等式—+―十幾可20對(duì)任意的〃eN"

2n叫+1'7n-n

都成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

-52、

14.【答案】一三,+8

-3

\/?+1/八〃凡

【解析】由4=不，一—an七，可得（〃+1”〃+產(chǎn)-yr,

2〃叫+1nan+1

1111r

整理得UH---------=1，-=2、

+向nan4

所以數(shù)列［一匚］表示首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.

1cli1

——=2+/?-i=/?+i,則%二刀一工，

natln（n+\）

又由當(dāng)+雪/l凡20恒成立，即丸2-（廠+，］（〃2+〃），對(duì)恒成立，

n-n\n-n）x7

令/⑺=一丹+小〃2+〃)=_伍+〃+〃<-(11+2^),

\n-n)x)\n

當(dāng)且僅當(dāng)〃:一，即〃二回時(shí)等號(hào)成立，又〃EN"

n

5235

當(dāng)〃=3時(shí)，/（3）=---,當(dāng)〃=4時(shí)，/（4）=一~—,

?乙

finA5252

由對(duì)勾函數(shù)）』一［丁+〃）的單調(diào)性，得/.（〃）《一［■,所以42一§.

52)

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是

故答案為：一彳，+8.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

已知VA8C中，A（2,l）,4（3,4）,8c邊所在直線方程為人一2），+5=0,AC邊上的高所在直線方程

為x+y-7=0.

（1）求AC邊所在直線的方程；

（2）求8C邊的中線所在直線的方程.

15.（13分）

【解析】（1）因?yàn)?c邊所在直線方程為x一2y+5=（）,故可設(shè)。（馬,笥*）,

因?yàn)锳C邊上的高所在直線方程為x+y-7=0,

而+5_]

所以一1,%AC=-1，所以丘-2______1_sv_7?

KAC~c-1n八0一/

工0-2

所以。（7,6）,故所求為）「6=1-7,即y=x-l；

（2）因?yàn)?（3,4）,C（7,6）,設(shè)BC中點(diǎn)為E，所以石（5,5）,

因?yàn)?（2,1）,所以砥￡=m=]

3—ZJ

445

故所求為了一1二—（工一2）,即），二—x——.

333

16.（15分）在等差數(shù)列｛《』中，4=7,4=-5,｛%｝的前〃項(xiàng)的和為S”.

（1）求數(shù)列｛《.｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S”取最大值時(shí)〃的值；

（3）設(shè)（=141+1。21+"31+…+41，求

16.（15分）

【解析】（1）由題意知在等差數(shù)列｛4｝中，6=7,出=-5,設(shè)公差為4

則為—田=6d=-12=>d=-2,則4=&-2d=11,

故q=4+(〃—1”=13-2小故通項(xiàng)公式q=13-2〃.

(2)結(jié)合(1)可得S〃=ll〃+當(dāng)5x(—2)=12〃一〃2二一(〃一6尸+36,

.??當(dāng)〃=6時(shí)，S”取最大值.

(3)a4=13-2〃，

131

.二由13—2〃20,得〃<==6二，

22

叩〃《6時(shí)有凡〉0,時(shí)有。”<0，

2

若〃<6,Tn=\al\+\a2\+\a3\+...+\an\=ay+a2+a3+...+an=Sn=\2n-n1

若7時(shí)，Tn=a1+a2+...+—a7-..an

=2(%+w+.??+4)一(4+d+4+.??+4〃)

22

=2S6-S?=2(12x6-36)-(12n-//)=/7-12/7+72,

\2n-n2n<6,neN*

綜合上述y

“2?⑵+72/N7,〃EN”.

17.(15分)

己知直線4:入?一y+3-0和直線4：2x-），十1一0交于點(diǎn)C,求滿足下列條件的一般式直線方程.

（1）過(guò)點(diǎn)C且與直線工一4》+1=0平行;

（2）過(guò)點(diǎn)C且到原點(diǎn)的距離等于2：

（3）直線（關(guān)于直線（對(duì)稱的直線.

17.(15分)

x-v+3=0x=2

【解析】（I）聯(lián)立方程cIz解得《,...C(2,5).

2x->'4-1=0y=5

設(shè)與直線人一4｝，+1=0平行的直線為X一4），+1=0（，工1）,

由題意得：2—4x5+r=0,r=18.

故滿足要求的直線方程為：x-4j+18=0.

（2）①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2,滿足到原點(diǎn)的距離為2；

②當(dāng)所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-5=〃1-2),

即左r—y-2Z+5=0,

|-2A+5|21

???原點(diǎn)到該直線的距離為=2,解得女二一,

?V/175F20

直線方程為2Lr-20y+58=0,

綜上所述，符合題意的直線方程為了-2=0或2*-20》+58=0.

(3)在《上取一點(diǎn)用(0,3),設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線4的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N(%,%)，則

%-3二18

12,解得.

,，N化口

11(55；

2jo_A12+i=O

22

又C(2,5),則直線CN的方程并所求直線方程，為三

x-2

化簡(jiǎn)得，7x-y-9=0.

改所求的直線方程為：7x-y-9=0.

如圖‘將一塊等腰直角三角板"。置于平面直角坐標(biāo)系中，已如”=ABLOB,點(diǎn)

是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中部分(V/YM內(nèi)部，不含邊界)受損壞，要把損壞的部分鋸掉，可用經(jīng)

過(guò)P的任意一直線MN將其鋸成_AMN.

（1）求直線MN的斜率的取值范圍；

（2）若尸點(diǎn)滿足MP=^PV,這樣的直線MN是否存在，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出此時(shí)

3

直線MN的方程；

（3）如何確定直線/WN的斜率，才能使鋸成的LAMN的面枳取得最大值和最小值？并求已最值.

18.（17分）

【解析】（1）依題意，得方程為：丁一!二攵（工一工），艮」），=依一”二!?

412J'4

\AB\=\OB\=\,，直線（M方程為：y=x,直線/W方程為：x=I,

1

2k-\2k-\

聯(lián)立《-4I2，得M

l4d)'4(D/

y=x

1,

)，4=kx2J,得加,24十1

聯(lián)立《

x=i

0工三工

1

4("1),解得一!wzw!：

所以《

O'Al22

4

-1-12k-\1八1、1

(2)若MP=—PN,可得5一斫T3"5）'解得"一了

3

所以直線MN的方程為=整理得x+2），-1二0

422

（3）在_AA〃V中，由（1）知:

2攵+1I2114(-)+占+4.

S&AMN=~,IAN|=不1—

22~4U-1)32

13???/（/）在是單調(diào)遞增.???當(dāng)，=3時(shí)、/。）=型，即

設(shè),二i_"w—,設(shè)/“)=4/

乙42223

當(dāng)1」=|時(shí)即仁一;時(shí)，（S）2=[y+4=|

當(dāng)f=一時(shí)，/（，）=4,即當(dāng)1-k=一時(shí)即k=一時(shí)，（S）min=—[4+41=一,

22232L」4

_AMN面積的取值范圍|<SAMN《1?

19.（17分）

在數(shù)列｛〃”｝中，按照下面方式構(gòu)成“次生數(shù)列”｛2｝：4=%也=而必也｝也=min｛q

2=min｛4,外,,凡｝（〃2