第一章特殊平行四邊形單元測試

一、選擇題：本大題共8小題，共24分。

1.矩形和菱形都具有的性質(zhì)是()

A.鄰邊相等B.對邊相等C.對角線互相垂直D.對角線相等

2.如圖，四邊形A8C。是菱形，￡ACD=30%則()

A.30°B.45°C.60°D.120°

3.在平面直角坐標系中，四邊形48CO的頂點坐標分別是4(一3,0),8(0,2),C(3,0),。(0,-2),則四邊形

A8C。是()

A.用形B.菱形C.正方形D.平行四i力形

4.如圖，在△ABC中,^ABC=90°,。是邊4c上的一點,。是A。的中點.若AC的垂直平分線經(jīng)過點

D,DC=8,則BP=()

A.8B.6C.4D.2

5.關于弘8CO的敘述，正確的是()

A.TiAB1BC,則口48CQ是菱形B.若4CJ.80,貝是正方形

C.若"=80,則口A8CO是矩形D.若48=AO,則%BCO是正方形

6.四邊形不具有穩(wěn)定性.四條邊長都確定的四邊形，當內(nèi)角的大小發(fā)生變化時，其形狀也隨之改變.如

圖，改變正方形A8C。的內(nèi)角，使正方形A8C。變?yōu)榱庑瘟CD'.如果4D4D'=30。，那么菱形/IBC'D'與正

D.I

7.如圖，正方形ABC。的對角線相交于點。，點七在邊44上，點F在。。上，過點￡作EG18D,垂足

為G.若FE=FC,EF1CF,OF=3,則BE的長為（）

B.3/2C.3/3D.2/3

8.如圖，在矩形A8CO中，AB=8,AD=4,七是上一個動點，尸是AO上一點（點F不與點。重合

）,連接石尸，將尸沿石尸翻折，使點人的對應點A落在邊CO上，連接EC.若AE=CE,則△ADF的面

積為（）

B.1.5C.2D.2.5

二、填空題：本大題共5小題，共15分。

9.若正方形的一條對角線長為2口，則該正方形的周長為.

10.如圖,菱形ABCO的邊長是2c”，E是人8的中點，且DE14B,則菱形/WC。的面積為cm2.

11.如圖,在矩形ABC。中，AD=2AB,AM=CN,點、M,N分別在邊A。，BC上,連接8M,DN.若

鐳=看，則四邊形MBN。的形狀是.

12.如圖，已知四邊形44co和四邊形QEFG均為正方形，且G為6c的中點，連接BE.若4B=2,則

的長為.

13.如圖，P為菱形A3CO的對角線AC上的一定點，。為邊4。上的一個動點，AP的垂直平分線分別交

AB,AP于點E,G,4D48=30，.若P。的最小值為2,則4E的長為.

三、解答題：本大題共13小題，共81分。

14.如圖，在矩形"CO中，兩條對角線AC與4。相交于點0,AB=6,。4=4.求8。和AO的長.

15.如圖，在中，48Ao的平分線交C。于點E,交3。的延長線于點R連接8E,4尸二45。.求

證：四邊形A3C。是矩形.

16.如圖，四邊形4BCO是菱形，CEJ.相交AB的延長線于點E,CF，71。交4。的延長線于點立求證:

DF=BE.

17.如圖，在RCA48C中，乙B=90°,44=30。，請用尺規(guī)作圖法，在邊AC上求作一點。，使8。=

JAC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

18.如圖，以正方形A8C。的對角線AC為一邊，延長A8到點E,使4E=AC,以AE為一邊作菱形4EFC.

若菱形的面積為9M，求正方形的邊長.

19.如圖，在正方形ABC。中，E,尸分別為邊A8,BC上的點，且8E=8"，連接CE,延長AB至點G,

使得8G=84延長G尸交CE于點H.求證：GH1CE.

20.如圖，在△48C中，AB=AC,AD,AE分別是與△4EC的外角48力尸的平分線，BEJ.AE.求證:

AB=DE.

21.如圖，在菱形A4CO中，”為對角線8。上一點，￡為A4延長線上一點，DF=BE,CE=CF.求證:

(l)ACFD^ACEB.

(2)zCFF=60°.

22.如圖所示，已知四邊形A3CO,AO律都是菱形，4BAD=々FAD,4BAD為銳角.

(1)求證：AD1BF.

(2)若BF=8C,求〃DC的度數(shù).

23.如圖，在正方形ABCO中，點E,尸分別在邊4B,BC上，Z.ADE=Z.CDF.

(1)求證：AE=CF.

(2)連接。8交E尸于點。，延長08至點G,使OG=。。，連接EG,FG,判斷四邊形。EG/是不是菱

形，并說明理由.

24.如圖，在矩形4/3CO中，M,X分別是邊A。，8c的中點，E,產(chǎn)分別是線段4M,CM的中點.

BNC

(1)求證：△ABMgZiDCM.

(2)判斷四邊形MEN/是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.

25.如圖，正方形4BCO的邊長為8cm,E,F,G,，分別是AB,BC,CD,D4上的動點，且AE==

CG=DH.

AHD

(1)求證：四邊形EFG”是正方形.

(2)連接EG,判斷直線EG是否經(jīng)過某一定點，并說明理由.

(1)問題樨出:

AHD

圖1

如圖1,在四邊形中，AABC=90°,對角線4CJ.80,AC=BD,E,F,G,〃分別是各邊的中

點.求證：四邊形EFGH是正方形.

(2)問題解決：如圖2,某市有一塊四邊形土地ABC。，4。=60米，DC=80米，LADC=90°,尸是該四

邊形土地內(nèi)的一點，計劃在四個三角形土地△力PD,AAPB,△8CP,ACPD中分別種植不同的花草，為

了方便種植，王師傅設計出如下方案：取四邊形A3。。各邊的中點￡,F,G,H,然后在四邊形EFG”的

四條邊PG,GH,E”鋪上人行道地磚(人行道寬度不計)，鋪設地磚成本為20元/米，經(jīng)測量4P二

BP,CP=DP,Z,APB=ZCPD=90°,設計要求是四邊形EFG&為正方形，請問王師傅的設計方案是否

符合要求？若符合，請寫出證明過程，并計算鋪設地磚所需的費用；若不符合，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】4

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】8

10.【答案】2/3

11.【答案】菱形

12.【答案】717

13.【答案】4

14.【答案】解：?.?四邊形A8CO是矩形，.,.8D=4C=2O4=8,/-BAD=90°.AD=\/BD2-AB2=

V82-62=2>[7.

15.【答案】證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，?.乙DAE=NF.尸=45°,.?.△DAE=45°.???

/IF是匕BA。的平分線，??.Z.EAB=乙DAE=45°.Z.DAB=90°.又?.?四邊形A8co是平彳亍四邊形：.?.平行四邊

形ABCD是矩形.

16.【答案】證明：連接ACJ.?四邊形A4C。是菱形，二AC平分4DC=BCJ：CE1AB,CFLAD,：.

CE=CF,乙CFD=乙CEB=90°.在/?￡△CDF^Rt△CBE中,{￡?=啾：.Rt△CDF^Rt△CBEfHLYA

Cr=CC；

DF=BE.

17.【答案】解：如圖，線段8。即為所求.

CB

18.【答案】解：設正方形的邊長為七???￡為正方形人8。。的對角線，.?.4。=，^..ME=4%,CB=

x.：.S菱形AEFC=AE?CB=yl~2x-x=\[2x2=9-/2.x2=9,解得x=3(負值舍去).故正方形的邊長為3.

19.【答案】證明：?.?四邊形ABCQ是正方形，??.NC8E=NGBF=90°,AB=BC.-BG=AB,ABG=BC.

BE=BF,

ffiABCE^LBG/中，乙CBE=/.GBF,BCE/&BGF(SAS).：.乙BCE=乙GJ：乙BCE+乙BEC=90°,???

BC=BG,

乙G十乙GEH=90°.???乙GHE=90°.???GH1CE.

20.【答案】證明：???A。，A￡分另J是4B4C與乙3力尸的平分線，/.Z.DAE=/.BAD+^EAB=1{LBAC4-

Z.BAF)=90°.vBELAE,???zAEB=90°.???力8=AC,A。平分匕B力C,AD1BC.ALADB=90°.v

△D4E=^4EB=/4OB=90°,.??四邊形AE8O為矩形..?.ABuDE.

21.【答案】【小題1】

CD=CB,

證明：???四邊形AOC。是菱形，:CO=CO.在△CPD和△CE3中，C"=CE,???△CPOZACCO(SSS).

DF=BE,

【小題2】

???△CFO經(jīng)△CEB,:,乙CDB=cCBE,4。C"=乙8。區(qū)???四邊形ABC。是菱形，???LCBD=LABD.VCD=

CB,A乙CDB=乙CBD.：.乙480=乙CBD=乙CBE=60°,△CB。是等邊三角形.二乙DCB=60°.二乙FCE=

60°.又?：C/：I=CE,/是等邊三角形..??/■(：產(chǎn)E=60°.

22.【答案】【小題1】

證明：?.?四邊形ABCQ,4。￡：尸是菱形，二48=4。=//.又,；484￡)=4凡4/),，力。18/<

【小題2】

vBF=BC,???8"=48=4".是等邊三角形.A/.BAF=60°，Xv^.BAD=/.FAD,ALBAD=

30°.；,乙ADC=180°-30°=150°.

23.【答案】【小題I】

Z.ADE=乙CDF,

證明：在正方形A8CO中，AD=CD,，＜=,。=90°.在4力￡^和4。。尸中，AD=CD,△

Z.A=Z.C,

ADEgACDF(ASA).AE=CF.

【小題2】

四邊形。EGP是菱形.理由：在正方形ABCD中，AB=BC,由(1)知ME=C凡二48—/E=8C—CF,

即BE=8尸.???△ADE^LCDF,ADE=DF.ABZ)垂直平分EF.EO=FO.又?:OG=。。，.??四邊形DEGF是

平行四邊形.又「BDIEF,.??□DEGF是菱形.

24.【答案】【小題1】

證明：?四邊形人8c。是矩形，二AB=C。，乙1=40=90°「M是人。的中點，.?.AM=OM.在△力BM和

(AB=DC,

△DCM中，\z-A=ZD,/.△ABM^LDCM(SAS).

[AM=DM,

【小題2】

四邊形MEN尸是菱形.證明：vE,F,N分別是8M,CM,C8的中點，,NE〃MF,NE=^CM=MF.-.

四邊形MEN尸是平行四邊形.由(1)可得，BM=CM,.?.時￡=,必產(chǎn).，平行四邊形時小下是菱形.

25?【答案】【小題1】

解：證明：???四邊形A4CO是正方形，二/E4H==乙。。2=乙0=90°,AB=BC=CD=DA.-AE=

(AE=BF,

BF=CG=DH,：.AH=BE=CF=DG.SEAAEH^\LBFE^,\Z.EAH=乙B,AEH^LBFE(S4S).，

(AH=BE,

EH=FE,AAEH=4B『E.同理可證/產(chǎn)=FG=GH.EH=FE=FG=GH..??四邊形EFG”是菱形.?:

乙BEF+乙BFE=90°,Z.BEF+LAEH=90°..-.Z.HEF=90°.，菱形EFG”是正方形.

【小題2】

直線￡6經(jīng)過一個定點，這個定點為正方形的中心的交點).理由如下：連接AC,交EG于點。?四