期中拔尖檢測

限時：120分鐘滿分：120分

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.若代數(shù)式近在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）

x-3

A.x>0且A#3B.x>0

C./3D.x>0且存3

I2-2

2.\/（8+A）=（口國”成立的條件是（）

A.k>-8B.-8C.任-8D.k<-8

3.若最簡二次根式?，二二與二次根式后可以合并，則x的值為（）

A.6B.3C.4D.2

4.如圖，四邊形ABCD是矩形,直線￡/分別交A。，BC,BD于點(diǎn)E,FIO,

下列條件中，不能證明△比）尸會△。。后的是（

A.O為矩形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)

B.EO=FO

C.AE=CF

D.EFLBD

l]x2+10x+1

5.已知G+R=3,則---------的值是（）

A.13B.15C.17D.19

6.如圖，在菱形A8CD中，M,N分別在AB,C。上,且AM=CN,MN與AC

交于點(diǎn)。，連接3。.若NO4C=36。，則N05C的度數(shù)為（）

A.34°B.54°C.62°D.72°

E

AD

o

B

(M6?)(第7?)

7.如圖，在矩形A8CD中，BC=2AB,。是對角線AC的中點(diǎn)，將△A8C沿AC

翻折,得到AAEC，其中，AO與CE相交于點(diǎn)F,連接OF,則器為（）

3y[5y[5

A.1B.1C號D.

8.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)。.E是8c邊

上一點(diǎn)/是BD上一點(diǎn)，連接DE.EF.若ADEF與ADEC關(guān)于直線DE對

稱，則石尸的周長是（）

9.如圖，四邊形A8CQ是菱形，/DAB=60。,E是D4的中點(diǎn)，尸是對角線AC

上的一點(diǎn)，fiZDEF=45°z則興的值是（）

A.3B.^5+1C.2^2+1D.2+,

10.如圖，在四邊形42c力中，ZA=ZABC=90°,AB=4,RC=3,AD=1z

點(diǎn)E為邊AB上的動點(diǎn).將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)9（）。得到線段DF,連

接FB,FC.EC,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.EC?ED的最大值是23B.q的最小值是而

C.EC+￡。的最小值是4班D.的最大值是灰

二、填空題（每題3分，共18分）

11.寫出一個能與正合并的最簡二次根式：.

12.如圖，在正方形4BC。中MB=V3，延長BC至點(diǎn)E,使題=BQ,則ZkBQE

的面積為.

14.觀察下列各式：、

用字母〃（論2且〃為整數(shù)）表示上面的規(guī)律應(yīng)該是_________________.

15.如圖，在RS48C中,ZACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為書,

它的頂點(diǎn)D,E.G分別在△ABC的邊上,則BG的長為.

16.如圖,已知P是菱形A8CO的對角線AC延長線上的一點(diǎn),過點(diǎn)尸分別作

AD,0c延長線的垂線，垂足分別為E,F.若/ABC=120。，A8=4,則

PE-PF=

三、解答題（共72分）

17.（6分）計(jì)算:

⑴卜?小|-小又#+）.停）

2

⑵（2■?。?（3^27-

(3)(小+1嚴(yán)27-2(73+I)2026-2(73+I)2025+V3+1.

18.（8分）已知x=—,y=,若1的小數(shù)部分為a,y的小數(shù)部分為b.

2+432-^/3

求（4+力）2+4（〃-與2的值.

19.（8分）如圖，在口48。。中，AC,3。相交于點(diǎn)。，E,尸分別是04,OC的

中點(diǎn)，連接DE.BF.

（1）求證：BE=DF.

⑵設(shè)A總T=k，當(dāng)k為何值時，四邊形DEBF是矩形？請說明理由.

20.（8分）如圖，在四邊形ABCD中，E,F,G,"分別是各邊的中點(diǎn)，且A8

//CD,AD//BC,四邊形EFGH是矩形.

⑴求證：四邊形A8CZ）是菱形；

（2）若矩形EFGH的周長為22,四邊形ABCD的面積為10,求48的長.

21.（10分）如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AB,BC±

(AE<BE),S.ZEOF=90°,OE與DA的延長線交于點(diǎn)M,OF與AB的延長

線交于點(diǎn)N,連接MN.

⑴求證：OM=ON；

（2）若正方形ABCD的邊長為8,E為OM的中點(diǎn)，求MN的長.

22.（10分）我們規(guī)定：若。+力=2,則稱。與是關(guān)于1的平衡數(shù).

⑴若3與1是關(guān)于1的平衡數(shù),5-血與），是關(guān)于1的平衡數(shù)，求x,），的值.

（2）若（/〃+?。﹛（1-巾）=-2/i+3（于-1）,當(dāng)〃z,〃為何值時,m+小與5n-小

是關(guān)于1的平衡數(shù)？并說明理由.

23.（10分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為\,P,E分別是AC,上的

點(diǎn)，且NEPB=90°,PMA.AD,PN工AB.

⑴求證：四邊形PM4N是正方形；

⑵若點(diǎn)P在線段AC上移動，其他條件不變，設(shè)PC』，AE=y,求），關(guān)于x的

表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.

24.（12分）【問題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個

內(nèi)角為60。的平行四邊形的折疊問題.其探究過程如下：

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在SBCD中，乙4二60。，AB>AD,E為邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)”在邊DC上，且。"=DK，連接EF，將沿EF翻折得到AG",

點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形OEG尸是一個特殊的四邊形，

請判斷該四邊形的形狀.

【探究證明】取圖①中的邊BC的中點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊AB上，且BN=,

連接MN，將NMN沿MN翻折得到△"""，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H.連接FH,

GN,如圖②.求證：四邊形GFHN是平行四邊形.

【探究提升】在圖②中，四邊形GH7N能否成為軸對稱圖形？如果能,直接

寫出A緇H的值；如果不能，說明理由.

答案

一、1.A2.B3.B4.D5.C6.B

7.C【點(diǎn)撥】在矩形ABC。中，AD//BC,AD=BC,ZB=90°,：.ZBCA=

ND4C.設(shè)AB=a.9：BC=2AB,：.BC=2AB=2a=AD在RsABC中，AC二

7AB2+BC?=,+(2a)2=鄧a-；O是對角線AC的中點(diǎn)，,OC=^AC=

當(dāng)a根據(jù)折疊可得AE=，CE=BC=2a,ZE=ZB=90°,ZBCA=

NEC4,???NDAC=NECA???"="C又：。是對角線AC的中點(diǎn)，，/。_1_

AC設(shè)DF=x,則CF=AF=AD-DF=2a-x,：.EF=CE-CF=2a-(2a-

3

-即

x)二乂在RSAEF中，A/+EF2=AF2，貝!]/+『二(2〃r)2,解得-4

35

DF--

44

\]5a

..OF__4__亞

4&，,?DF=3a=3'

T

8.A【點(diǎn)撥】J?正方形4BC。的邊長為2,：.BC=DC=2,NBCD=90。.；.BD

=\]BC2+DC2=2A/2.VADEF與ADEC關(guān)于直線DE又寸稱,：.DF=DC=2,

EF=EC.：.BF=BD-DF=2\f2-2.1.△BE歹的周長是BF+BE+EF=BF+

BE+EC=BF+BC=2y[2-2+2=2^2.

9.D【點(diǎn)撥】連接。8,交AC于點(diǎn)。，連接0￡???四邊形ABCD是菱形，，

ZDAC=|zDz4B=30°,AC±BDzOD=OB,AC=2AO,AB=AD.：.OD=

???石是AO的中點(diǎn),()D=OB,：.OE//AB,OE=)及:.ADEO=/DAB

=60。.設(shè)OE=a,：.AD=AB=2a.OD=a.：.AO=小a.：.AC=2AO=2小a.

VZDEF=45°,：.ZOEF=/DEO-ZDEF=15°,ZEFO=/DEF-ZDAO

=15°./.OE=OF=a..9.AF=AO+Or=yj3a+a..9.CF=AC-AF=y/3a-a./.

AF事a+4r-

77=-7=------=2+小.故選D.

C卜y[3a-a

10.A【點(diǎn)撥】由旋轉(zhuǎn)得DE=DF.NE￡)F=90。.如圖①,過點(diǎn)D作DG±BC

于點(diǎn)G,在DG上取一點(diǎn)H,使得DH=AQ=1,連接FH并延長交AB于點(diǎn)

/，則易得四邊形ABGD是矩形，，NGD4=ZADE+ZEDG=90°=ZEDG

+ZHDF.：.ZADE=ZHDF.：.△￡)”廣絲△D4￡,ZDHF=ZDAE=90°.A

FHA.OG.易得四邊形DAIH和四邊形BGH1是矩形.,=4。=8G=1,A/

=DH=\.：.BI=4-1=3/：DE=^12+(4-BE)2,CE=^32+BE2,：.EC-

22

ED=\)3+BE-、/12+(4?8￡p.?.當(dāng)。石最大時，EC-七。最大.

如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，尸與，重合時，BE最大，BF最小，此時EC

22

=^4+3=5fED=1,：.EC-ED=5-1=4力小，故A錯誤，符合題意；

BF的最小值為d，/2+B/2二業(yè)+32二回，故B正確，不符合題意；

如圖③，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M,連接MC,ME,則ED=EM,AD=

AM=1,ZBAM=ZBAD=90°,易知EC+瓦應(yīng)CM，當(dāng)C,E,M三點(diǎn)共線

時，EC+ED最小，過點(diǎn)M作MNLCB,交CB的延長線于點(diǎn)N,易得四邊

形AMNB是矩形，???8N=AM=1,AB=MN=4,：.CN=3+\=4.：.EC+ED

的最小值=MC=小2+4?=4啦，故C正確，不符合題意；易知當(dāng)點(diǎn)E與

點(diǎn)A重合或點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，。尸最大.

當(dāng)E與A重合時，如圖②，CF=yjGH2+CG2=-l)2+(4-I)2=y[l3,

當(dāng)E與B重合時，如圖④，過C作CQLFH于點(diǎn)Q,則四邊形CQIB是矩

開?，???CQ=/8=3,QI=BC=3.*：/^DHF^^DAE,：.FH=AE=4.AQF=

FH+HI-QI=4+\-3=2.；.FC=7CC+F0=勺3?+2?二回綜上,FC

的最大值為灰，故D正確，不符合題意.故選A.

二、11.小(答案不唯一)12./13.-1或7

14.[(〃+1)+-7-=(?+

15.3yli【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)G作G〃_LAC于點(diǎn)方，則N/WG二NGHO=90。，

：.ZDGH+ZHDG=90°.VZ4CB=90°,AC=BC=5,：.AB=5y[2,ZA=

NB二45。.，ZAGH=45°=ZA.：.AH=GH.?AH=HG=x，則CH=AC-AH

=5-x.V四邊形DEFG為正方形，:.DG;DE,ZGDE=90°.ANHDG+

/CDE=94°.：./HGD=/CDE又?：NC=ZGHD=90°,：./\GHD^/\DCE.

：.CD=GH=x.：.DH=CH-CD=5-2x.在RtZkG”。

中，由勾股定理得GQ2=DH2+GH2,???(小產(chǎn)=(5-

2x)2+/,解得x=2.,\AH=2.J易得AG=2V2.JBG=

AB-AG=36

16.2小

三、17.【解】⑴原式=，5?1?2仍+2+:卓弓

(2)原式=4?4/+3+(班-8餡)g=4?44+3+S乂2=4?4餡+3+2、后二

7-273.

(3)原式=(小+1)2025X(V3+1)2.(小+1)2%2(4+1)■(小+1)2025x2+事+1

=(73+l)2O25x[(V3+I)2-2(仍+1)-2]+y[3+1=(73+l)2025x(4+2^3-

2^3-2-2)+^3+1=(^3+l)2O25xO+V3+1=3+1.

12-J3「12+J3

18?【解】x=f==7=f=~=2-小,y=7==7=7=~=

2+V3(2+5)(2-小)2-布(2-73)(2+73)

2+S,

V\<y[3<2,：.0<2■小vl,3<2+73<4.

又,?”的小數(shù)部分為a,y的小數(shù)部分為b,

?\a=2-y(3,b=2+y[3-3=y(3-\..\a+b=\,a-b=3-2小.

：.(a+b)2+yl(a-b)2=I2+^/(3-2^3)2=1+2/-3=2/-2.

19.⑴【證明】???四邊形A8CQ是平行四邊形，

：.BO=OD,AO=OC.

??巴尸分別為AO,OC的中點(diǎn)，

EO-^OA,OF=g()C.

??.EO=FO.：.四邊形BFDE是平行四邊形.工BE=DF.

⑵【解】當(dāng)2時，四邊形?！?b是矩形.理由如下：

由(1)可知四邊形8FQE是平行四邊形，8。=20。，EF=2OE.

??,當(dāng)BO二E尸時，平行四邊形DEBF是矩形，

??.當(dāng)0。=OE時，平行四邊形DEBF是矩形.

?：AE=OE,：.AE=OE=OD..\AO=2OD.

*：AC=20A,BD=20D,：.AC=2BD.

??.器=2.，當(dāng)攵二2時，四邊形DEBF是矩開鄉(xiāng).

20.(1)【證明】如圖，連接BD,AC交于點(diǎn)O.

,：AB//CD.AD//BC,：.四邊形ABCD是平行四邊形.夕乂產(chǎn)

?:F,G,H分別是各邊的中點(diǎn),’3^

：.GF//BD,HG//AC.

*/四邊形EFGH是矩形，，HG1GF.：,BD±AC.

???四邊形ABCD是菱形.

⑵【解】：在四邊形4BCQ中，E,F,G,〃分別是各邊的中點(diǎn)，

：.GF=EH=^BD,GH=EF=^AC.

???矩形EFGH的周長為22一,?易得BD+AC=22.

???四邊形ABCD是菱形，???OA+OB=+^BD=11.

???四邊形ABC。的面積為10,：.^BDAC=10,即20408=10.

又??,(OA+。筋=。笳+20408+二⑵，

A(9A2+OB2=121-10=111.

???在RSAOB中,AB=yj0A2+0B2=y[m.

21.(1)【證明】???四邊形ABC。是正方形，且對角線交于點(diǎn)。，??.OA=O8,

ZDAO=ZOBA=45°,ZAOB=90°.

：.ZOAM=ZOBN=135°.

???ZEOF=90°=ZAOB,：.ZAOM=NBON.：?AOAM學(xué)/\OBN.：?OM=ON.

(2)【解】過點(diǎn)。作AO于點(diǎn)〃，

,/正方形ABCD的邊長為8，?二易得OH=HA=4.

???￡為。M的中點(diǎn)，，易得A為的中點(diǎn).JAM==

,HM=8.1.0M=182+42=4小.

又?.?NMON=90。，

???MN=y/oM2+ON2=正OM=4/.

22.【解】(1)根據(jù)題意，可知3+x==2,5-y/2+y=2，解得x二?1,)=-3+隹

-69-5小27+小廠r--

(2)當(dāng)m----萬----，〃=--時，m+小與5/?-黃是關(guān)于1的平衡數(shù).

理由：???(〃?+小)x(1?小)=?In+3(^3?1),

m-小m+小?3=-2n+3小-3.，+2n-2小-y13m=0.

???〃什木與5,7-仍是關(guān)于1的平衡數(shù)，

m+小+5〃-鎘=機(jī)+5〃=2.與m+2n-2小-小加=0聯(lián)立,

,-69-57327+小

解彳導(dǎo)tn-豆,n--兔—.

-69-5小27+J3「廣

故當(dāng)m=------g------,n=-w—時，加+小與5n-小是關(guān)于1的平衡數(shù).

23.⑴【證明】???四邊形ABCQ是正方形，AC為其對角線，

：.ZBAD=90°,AC平分N8AD

又?.,PM_LAO,PNLAB，:?PM=PN,/PMA=ZPNA=90°=/BAD.

???四邊形OMAN是正方形.

(2)【解】作PFJL8c于點(diǎn)”.???四邊形ABCQ是邊長為1的正方形，

：.ZABC=90°,AB=BC=1,ZPCF=45°.

???AC=/7?二^，易得^PCF是等腰直角三角形.

?'.AP=AC-PC=yj2-x,PF=^^x.

由題易得四邊形BNPF為矩形，,BN=PF=幸工

易知90。=/EPB,：.ZMPE=NNPB.

?:/PME=/PNB=9GiPM=PNi：?AEPM段4BPN.：?EM=BN=^x.

易知AP=嫄AM=\(2(AE+EM),即吸-大二啦(y+孚J,整理得y=1-'fix,

其中自變量x的取值范圍為03苦.

24.【探究發(fā)現(xiàn)】【解】由翻折得。E=GE,DF=GF.'：DF=DE,：.DE=GE=

G/=。/，?,?四邊形OEG廠是菱形.

【探究證明】【證明】由翻折得8N二”N,8M=

??,BN=BM,：.HN=BN=BM=HM.：,四邊形BMHN是菱形.，NH//BC.

YE為邊A。的中點(diǎn)，M為邊