2025-2026學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考試卷（含答案解析）

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一.選擇題（共io小題）

1.用6個(gè)同樣的小正方體拼成?個(gè)立體圖形，從上面和正面看到的圖形都是,從右面看到的圖形

是,這個(gè)“?體圖形的形狀是下面的圖（

放叵，再?gòu)闹腥我馊〕?張卡片，兩次取出的2張卡片中圖案為“A哪吒”、“8敖丙”的概率為（）

A哪吒B敖丙C太乙真人D無(wú)母仙翁

3.若利是一元二次方程1=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則2〃P-10〃什2025的值是（）

A.2023B.2026C.2027D.2028

4.如圖，在平行四邊形4BCO中，￡為CO上一點(diǎn)，連接AE,BD,且AE,8。相交于點(diǎn)尸，SgEF：&/"=4：

25,則DE：DC=（）

A.3：2B.2：3C.3：5D.2：5

5.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為8,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)、E,r分別在8C,CQ的延長(zhǎng)線上，且CE=

4,DF=2,G為的中點(diǎn)，連接。￡,交CO于點(diǎn)兒連接G從則G”的長(zhǎng)為（）

第1頁(yè)共29頁(yè)

AD

G

BCE

A.5B.y/13C.2V5D.4

6.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓〃（kPa）和氣體的體積￥（〃/）存在一定

的工數(shù)關(guān)系.下表是幾組氣體的氣壓〃與氣體的體積V的對(duì)應(yīng)值，則當(dāng)氣體的體積V為0.8〃?3時(shí)，氣體的氣壓〃

最接近（）

氣體的體積V（〃尸）3210.5

氣體的氣壓〃（kPa）324896192

A.120B.100C.96D.90

7.如圖，矩形紙片ABC。的長(zhǎng)寬AB=b,E,尸分別為AD,8C兩邊的中點(diǎn).若將這張紙片沿著直線EF

對(duì)折，得到的兩個(gè)矩形與原矩形均相似，則a：b等于（）

A.42：1B.V3；1C.2：V3D.2：I

8.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖1,以直角三角形的各邊

為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，若直角三角形兩直角

邊分別為6和8,則圖中陰影部分的面積為（）

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，交），軸于點(diǎn)人，BCLOC,/人O8=N8OC=3（）°,AB=\,反比例函數(shù)

第2頁(yè)共29頁(yè)

y=士也手0）恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則％的值為（）

C.V3

10.如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。和點(diǎn)A（4,0）的動(dòng)直線。，8夾角NO8A=30°,點(diǎn)M是08中點(diǎn)，連接4M,則sin

二.填空題（共5小題）

II.如羽，AC是正方形48CD的對(duì)角線，E,F,O,G分別是4DBE,AC,C/的中點(diǎn).若OG=遍，則A8的

長(zhǎng)為_______

12.如第，點(diǎn)A,B,。為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個(gè)點(diǎn)，分別過(guò)這三個(gè)點(diǎn)作x軸，y軸的垂線，與x軸的交

點(diǎn)分別為點(diǎn)。，E,F,圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從上到下依次記為Si,S2,其中。。：DE：EF=\：2：3,

若Sz=6,則Si=.

第3頁(yè)共29頁(yè)

13.定義：若兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，我們就稱這兩個(gè)方程為“同伴方程".例如』=4和（x

-2）（x+3）=0有且僅有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根x=2,所以這兩個(gè)方程為“同伴方程若方程61+7x-5=（）和（x

-1）（A+/77）=0為“同伴方程”，則加的值為

14.在△ABC中，BC=4=tanZACB=3,。為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，PO_L8C交于點(diǎn)。，PELAC交于點(diǎn)E,

連接?！?求?！甑淖钚≈?/p>

C,A分別為x軸、），軸正半軸上的點(diǎn)，以。4,OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形

OABC,AS矩形OABC=FK，將矩形。人翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)。重合，折痕為MM點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在第

Zz

四象限，過(guò)M點(diǎn)的反比例函數(shù)y=7（kH0）的圖象與線段MN交于點(diǎn)Q,并且MN=2QN,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

16.下面是嘉嘉同學(xué)解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成下列問(wèn)題.

解：2(x+3)2=x(x+3)

方程兩邊同時(shí)除以Q十3），得：2（人十3）=人第一步

第4頁(yè)共29頁(yè)

去括號(hào)，得：lv+6=x.第二步

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：x=-6.第三步

（1）以上解方程的過(guò)程，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）請(qǐng)你寫出正確的解答過(guò)程.

17.如圖，4c是菱形A8C。的一條對(duì)角線，點(diǎn)B在射線AE上.

（1）請(qǐng)用尺規(guī)把這個(gè)菱形補(bǔ)充完整.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）若4c=675,NC4B=30°,求菱形ABC。的面積.

18.如圖，團(tuán)A8CO中，點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：AF=AB,

（2）點(diǎn)G是線段Ab上一點(diǎn)，滿足NFCG=NH?。，CG交AD于點(diǎn)、H,若AG=2,FG=6,求G”的長(zhǎng).

19.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組利用樹影測(cè)量樹高.已測(cè)出樹A8的影長(zhǎng)4c為9加，并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面成30°

角（計(jì)算結(jié)果精確到0.16,參考數(shù)據(jù)：在-1.414,75-1.732）.

（1）求樹A3的高度.

（2）因水土流失，此時(shí)樹A/3沿太陽(yáng)光線方向傾倒.在傾倒過(guò)程中，樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化.假設(shè)太陽(yáng)光線與地

面夾角保持不變，試求樹影的最大長(zhǎng)度.

AC

20.如圖，已知水平地面AM上方有一個(gè)水平的平臺(tái)8N,該平臺(tái)上有一個(gè)豎直的建筑物CD在4處測(cè)得建筑物頂

端C的仰角為30°,在B處測(cè)得C的仰角為60°,斜坡4B的坡度i=l：3,=米，COJ_8D.（點(diǎn)A,

B,C,。在同一豎直平面內(nèi)）.

（1）求平臺(tái)4N的高度；

（2）求建筑物的高度（即C。的長(zhǎng)）.

第5頁(yè)共29頁(yè)

c

21.綜合實(shí)踐：由三角形面枳到反比例函數(shù)一點(diǎn)小知識(shí)：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)三角形在的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原

點(diǎn)時(shí)，面積可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)潔的公式表示.

若點(diǎn)O(0,0),A(m,ya)和B(初，泗)，則△OAB的面積為：|%九一4幾1；

乙

如圖1SAOAB=%?a?%-%%一如a-與)伍一%)1=^\xayb-xbya\.

任務(wù)一：公式驗(yàn)證

(1)若點(diǎn)、M(I,3),N(3,1),則的面積為；

任務(wù)二：對(duì)標(biāo)函數(shù)

(2】如圖2,點(diǎn)A,B在反比函數(shù)y=?(x>0)的圖象上，A,8的縱坐標(biāo)分別是3和6,連接0人，OB,若△Q48

人

的面積是6,求女的值；

任務(wù)三：圖形變換

(3)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(〃?，〃L1),且△OPQ的面積為1,將線段PQ沿4軸平移，P、Q

兩點(diǎn)是否會(huì)同時(shí)落在某雙曲線y=:上，若能，直接寫出此時(shí)機(jī)、〃的值，若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

/V

(4)如圖3,已知點(diǎn)A(-r,/)在第二象限，NQ4B=30°,C、。在射線4B上，△OCO的面積為4/5，將

反比例函數(shù)y=-舉繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，剛好經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，求線段OD的長(zhǎng)

人

度.圖I圖2圖3

22.已知xi,X2是關(guān)于x的一元二次方程(〃?+2)f+2(m-2)x+/〃+10=0的兩實(shí)數(shù)根.

(1)求DI的取值范圍；

(2)己知等腰8c的底邊BC=4,若川，m恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

第6頁(yè)共29頁(yè)

(3)閱讀材料：若△A8C三邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶-海倫公式可得：S&ABC=

Jp(p-a)Q-b)Q-c),其中〃二色磬，在(2)的條件下，若NBAC和NA8C的角平分線交于點(diǎn)/,根據(jù)以

上信息，求△4/C的面枳.

23.閱讀下列材料，回答問(wèn)題.

任務(wù)：高速公路路面形變探測(cè)

問(wèn)題背景在高速公路上，由于地形地質(zhì)條件復(fù)雜，加上

車輛長(zhǎng)期碾壓等因素，路面容易出現(xiàn)下沉或隆

起的情況.這不僅會(huì)影響行車的舒適性，還可

能帶來(lái)安全隱患.為了及時(shí)準(zhǔn)確掌握公路路面

的狀態(tài)變化，道路養(yǎng)護(hù)部門引入了微型路面形

變探測(cè)儀，經(jīng)查閱資料得知，測(cè)得路面相較于

基準(zhǔn)位置.下降或隆起超過(guò)3厘米時(shí)，道路養(yǎng)護(hù)

部門就需要進(jìn)行修復(fù)

素材1：設(shè)備原理該探測(cè)儀的工作原理基于激光探測(cè).如圖①，

探測(cè)儀尸發(fā)出光線P0,射向路面的白色反光涂

層，經(jīng)路面反射后，形成反射光線QG其中光

線。。與路面的夾角等于反射光線QC與路面的

夾角，均為a,且。始終保持恒定.水平安裝在

道路旁特定支架上的信號(hào)收集端人8,負(fù)責(zé)捕捉

反射光線QC,借此實(shí)現(xiàn)對(duì)路面情況的探測(cè).

素材2：基準(zhǔn)參數(shù)如圖①，在基準(zhǔn)位置下測(cè)得，點(diǎn)P和收集端

與路面的垂直距離分別為8厘米和10厘米，點(diǎn)

P與收集端端點(diǎn)4的水平距高是24厘米，且AC

為12厘米,BC為10厘米.

素材3：形變探測(cè)如圖②，當(dāng)公路路面發(fā)生下降或隆起時(shí)，反射

光線在收集端上的落點(diǎn)C會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)，記移動(dòng)

第7頁(yè)共29頁(yè)

后的反射光線為QCi,移動(dòng)距離為CCi,若路

面下沉，點(diǎn)。向右移動(dòng)；若路面隆起，點(diǎn)C向

左移動(dòng)（向右記為正、向左記為負(fù)）.通過(guò)ca

的長(zhǎng)度能夠確定路面下沉或隆起的高度數(shù)值.

（1）依據(jù)素材2所給的條件，求lana的值；

（2）如圖②，設(shè)路面下沉了x厘米，的長(zhǎng)度為），厘米，請(qǐng)求出），與x的關(guān)系式，并求出在基準(zhǔn)位置下，該

探測(cè)儀和收集端能夠測(cè)量的路面隆起到下沉的范圍；

（3）當(dāng)路面下沉或隆起幅度較大時(shí)，反射光線落點(diǎn)C會(huì)超出收集端測(cè)量范圍，導(dǎo)致無(wú)法測(cè)量.已知信號(hào)收集端

A6可以通過(guò)拼接增加長(zhǎng)度，為滿足道路養(yǎng)護(hù)部門需求，即當(dāng)路面相較于基準(zhǔn)位置下降或隆起不超過(guò)3厘米時(shí)能

正常測(cè)晨，在保持入射光線落點(diǎn)Q和探測(cè)儀。位置不變的情況下，應(yīng)如何調(diào)整收集端人8的長(zhǎng)度？

參考答案與解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案DACDBAABBA

一.選擇題（共10小題）

1.【答案】。

【分析】根據(jù)題意，從上面和正面看到的圖形可排除8和G根據(jù)右面看到的圖形可得出答案.

第8頁(yè)共29頁(yè)

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根據(jù)三視圖正確辨認(rèn)簡(jiǎn)單幾何體形狀.

2.【答案】A

【分析】作樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩次結(jié)果為哪吒和申公豹的結(jié)果數(shù)為2,然后根據(jù)

概率公式求解即可.

【解答】解：任意取出1張卡片，記錄后不放回，再?gòu)闹腥我馊〕?張卡片，作出樹狀圖如下：

開始

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的2張卡片中圖案為“4明口正”、“3敖丙''的結(jié)果數(shù)為2

???兩次取出的2張卡片中圖案為“A明卬E”、“8敖丙”的概率為三二*

126

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，熟練掌握概率公式為解題的關(guān)健.

3.【答案】C

【分析】利用一元二次方程根的定義，得到機(jī)2-5〃?的值，然后整體代入代數(shù)式求值.

【解答】解：若〃?是一元二次方程7-5x-1=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根

/.nr-5m-1=0

即n?-5m=1

，原式=2（川-5〃?）+2025=2X1+2025=2027.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的定義，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

4.【答案】。

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DC//AB,DC=AB,得到用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即

可.

【解答】解：：四邊形A8CO是平行四邊形

：,DC=AB,DC//AB

.SgEF24

S^BFA25

?D_E__2

??

AB5

'：AB=CD

第9頁(yè)共29頁(yè)

ADE：DC=2：5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解

題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【分析】如圖，連接OF,作OM_BC于M,ONLCD于N,可得MC=鼻。=4=CE,ND=^CD=4,HC

是△EOM的中位線，GH是廠的中位線，在Rt^ON廠中，由為股定理得。尸一'ON?+N戶求出。尸的值,

然后根據(jù)GH=，5求出G”的值即可.

【解答】解：如圖，連接。F,作。MJ_8C于M,ONLCD于N

???區(qū)邊形ABC7)是正方形

???NAC8=NBOC=45°，NOCB=90°，OA=OB=OC=OD

11

：

,MC=4乙FC=4=CEON乙=ND="D=4

???C為ME的中點(diǎn)，NF=ND+DF=4+2=6.

VZDCB=90°,OMLBC

：,HC//OM

.EHCE

jOH~CM

：.EH=OH

???”是OE的中點(diǎn)

???GH是△()￡：?的中位線

：?GH=\0F

：.0F=>JON2+NF2=2/13

:.GH=g

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，中位線，勾股定理等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于明確GH是AOE廣的中位線.

6.【答案】A

第10頁(yè)共29頁(yè)

【分析】設(shè)尸與V之間的函數(shù)表達(dá)式為〃=￡，當(dāng)V=3時(shí)，〃=32,求得〃與V之間的函數(shù)表達(dá)式為片當(dāng)，把

V=0.8代入解析式即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)尸與V之間的函數(shù)表達(dá)式為〃=￡

當(dāng)V=3時(shí)，〃=32

???32弓F

AF=96

???〃與V之間的函數(shù)表達(dá)式為片竿

當(dāng)V=0.8W，p=^1=120

:,蘭氣體的體積V為0.8〃,時(shí)，氣體的氣壓P最接近\20kPa

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問(wèn)題的關(guān)鍵是

確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

7.【答案】A

【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：:四邊形A8CO是矩形

：?AB=CD=b,AD=BC=a

,:E.F分別為AO,3C兩邊的中點(diǎn)

:?AE=ED=BF=CF=1

???兩個(gè)矩形與原矩形均相似

,AEAB

''AB~BC

.1=^

**ba

a>0,b>0

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì).

8.【答案】B

【分析】將陰影部分分割成正方形和長(zhǎng)方形，根據(jù)直角三角形的邊關(guān)系，即可求解.

第11頁(yè)共29頁(yè)

【解答】解：將陰影部分分割如圖所示:

根據(jù)直角三角形的三邊為6、8、10.

所以陰影部分的面積為2X10+2X2=24.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形性質(zhì)即四邊相等：勾股定理，即兩條直角邊長(zhǎng)分別是小b,斜邊長(zhǎng)為C,那么“2+/

=(?.

9.【答案】B

【分析】先根據(jù)勾股定理，算出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即可求出左的值.

【解答】解：在RtZXAOB中

ZA0B=3Q°,AB=\

/.A0=1X2=2

BO=yJ22-l2=V3；

在□△COB中

N8B=30°,BO=^3

：,BC-V3

比=一的=

313

，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：一x-二一；

224

。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:

339

-X

*=4-V3

416

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)譙是根據(jù)勾股定理和函數(shù)的坐標(biāo)特征來(lái)解答.

10.【答案】人

【分析】作的外接圓。r，連接or,TA,TB,取or的中點(diǎn)K,連接KM.證明KM=4〃=2,推出點(diǎn)M

在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)人M與OK相切時(shí)，/O人M的值最大，此時(shí)sin/O人M的值最大.

【解答】解：如圖，作△AO9的外接圓。丁，連接07,7AfTB,取OT的中點(diǎn)K,連接

第12頁(yè)共29頁(yè)

???△OAT是等邊三角形

VA(4,0)

:?TO=7A=TB=4,T(2,2百)，K(1,6)

?：OK=KT,OM=MB

：.KM=畀8=2

???點(diǎn)M在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)

當(dāng)AM與OK相切時(shí)，NQ4M的值最大，此時(shí)sin/OAM的值最大

???△O以是等邊三角形，OK=KT

：.AK±OT

：.AK=70A2-OK2=V42-22=2B

是切線，KM是半徑

：,AkflKM

22

.?.A"=>JAK-MK=J(2百/,22=272

過(guò)點(diǎn)M作ML_LQ4于點(diǎn)L,KR上0A于點(diǎn)R,MPLRK于點(diǎn)P.

*：ZPML=ZAMK=90°

：.NPMK=ZLMA

???NP=NML4=90°

：?4MPKS4MLA

?MPPKMK2__1_

ML~AL~AM~2V2-A/2

設(shè)PK=x,PM=y,則有用AL=0x

/.>/2y=V3+.您，y=3—\[2x

初坦3x/2—733+v/6

解得，x=----2----，y=3

第13頁(yè)共29頁(yè)

372+273

/.ML=V2y=

3

3々+2再”z

ML_3_3+J6

，sinNOAM=AM=2/

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，三角形中位線定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題.

二.填空題(共5小題)

II.【答案】8

【分析】通過(guò)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為小利用正方形性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定各點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合0G=

遍求解。的值.

【解答】解：設(shè)以A為原點(diǎn)，A8所在直線為x軸，A。所在直.線為)，軸，建立平面直用坐標(biāo)系，如圖

則4(0,0),B(小0),D(0,a),C(a,a).

：AC是正方形ABCD的對(duì)角線，E,F,O,G分別是AO,BE,AC,CF的中點(diǎn)

/.EiO,

?,唱，》

:。是4c中點(diǎn)，A(0,0),C(a,a),G是C77中點(diǎn)

二。冬一G片,憐

根捱兩點(diǎn)間距離公式，0G=J聾一為2+(等一獷二6，即J給2+(款=V5

解得4=8

故答案為:8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握這些知識(shí)并建立坐標(biāo)系求解是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】12.

【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=于0),由O。：DE：EF=\：2：3,則有力=c=1k,d=/,通

過(guò)反比例函數(shù)系數(shù)&的幾何意義可得Si+4+b=/?+c+4=攵，S2+a+b+c=b+c+d=k,2(b+a)=c+S2,則有6+a+

第14頁(yè)共29頁(yè)

1111

"+《k=k,-k+2a=-k+6,求得a=3,左=18,然后代入即可求解.

6333

【解答】解：如圖，設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=1(kH0)

S1+ci+b=b+c+d=kfS2+4+%+c=b+c+d=A,2(b+a)=c+S2

+a)=Jk+6,6+a++^k=k

t>303

11

k+2a=-k+6

33

?..a=3,k=18

：.b=3

???Si+3+3=18

ASi=12

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)女的幾何意義，熟練掌握反比列函數(shù)攵的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】斗誠(chéng).

23

【分析】先求出一元二次方程6X2+7X-5=0的解xi=i,xi=一微，根據(jù)方程6X2+7X-5=0和(x-1)(x+m)=

0為“同伴方程”，分情況求解即可.

【解答】解：6?+7A-5=0

(2^-1)(3x+5)=0

15

解得--

2.r23

當(dāng)相同的根是x=3時(shí)

11

代入方程可得(一一1)(一+〃?)=0

22

解得："?=—

此時(shí)方程為(X-1)(x+分=0,可得：Xl=l,X2=^符合題意;

第15頁(yè)共29頁(yè)

當(dāng)相同的根是沖空時(shí)

代入方程（Y—1）（Y+,〃）=o

解得：

此時(shí)方程為（X-1）（X+卷）=0,可得：XI=1?X2=~符合題意；

???〃?的值是一2或:

故答案為：一義或a

乙3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解、新定義“同伴方程”，解一元二次方程.熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

，【答案】之6-75.

【分析】連接CP,作△PCO的外接圓。O,根據(jù)9_LBC,PEUC得點(diǎn)E在△PCD的外接圓。0上，因此當(dāng)

00的直徑為最小時(shí)，DE為最小，根據(jù)“垂線段最短”得當(dāng)CP_LW8時(shí)，CP為最小，此時(shí)?！隇樽钚?，過(guò)點(diǎn)A

作AF±BC于點(diǎn)"，過(guò)點(diǎn)D作DIILPE,交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃：解RtA/ACF得CF=1,Ab=3,進(jìn)而得DF=

A尸=3,則AABF是等腰直角三角形，解RlZSAB尸得AB=3心，證明△BPC是等腰直角三角形并解此三角形得

PD=BD=CD=2,BP=CP=2企,進(jìn)而得PA=\[2,由三角形面積公式得PE=馬普，設(shè)貝"EH=Q+綽

JJ

根據(jù)圓周角定理得NPEO=NPC4=45°,則△〃/）七是等腰直角三角形，繼而得/）”=￡〃=Q+空在心△

HPD中，由勾股定理求出。=膽,則DH=EH=a+繆=綽2然后由勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可得出答案.

【解答】解：連接CP,作△/co的外接圓。。如圖?所示：

?：PD上BC交于點(diǎn)、D

AZPDC=90°

:.PC為△PCD外接圓。的直徑，圓心O為PC的中點(diǎn)

???PEJ_AC交于點(diǎn)E

???ZPEC=90°

第16頁(yè)共29頁(yè)

???點(diǎn)E在△PC。的外接圓O。上

，當(dāng)00的直徑CP為最小時(shí)，為最小

根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)CP_L/W時(shí)，CP為最小，此時(shí)。石為最小

過(guò)點(diǎn)A作ARLBC于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)。作交EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,如圖2所示:

在RlZXAC/中，tanNACB=3,AC=V10

AF

/.tmZACB=汴=3

：,AF=3CF

由公股定理得：AF2+CF2=AC2

.--（3CF）2+CF2=（VTo）2

解得：CF=1

：,AF=3

*：BC=4

；?RF=BC-CF=3

：,BF=AF=3

???△A8/是等腰直角三角形

???NB=45°

/.sinZB=篇

?AB—4'——-——3夜

??A"sinB~sE45。-3V乙

'CPCA-AB

???△8PC是等腰直角三角形

ipr

:,BP=CP,PD=BD=CD=^BC=2,NB=NPCB=45°,si但麴

/.BP=CP=BC*sinB=4Xsin45°=2或

：.PA=AB-BP=3V2-2V2=V2

???CPJ_A&PE±AC

第17頁(yè)共29頁(yè)

由三角形面積公式得：S△抬c=%C?PE=

,PACP72x2/22/10

AC0^5

設(shè)尸，=小其中〃>0,則七〃=P〃+PE=Q+與9

'JDHA.PE

???4HDE和△"P。都是直角三角形

根據(jù)圓周角定理得：ZPED=ZPCB=45C

???△〃￡）￡：是等腰直角三角形

；.DH=EH=a+^^

在RtZ\，PO中，由勾股定理得：PH2+DH2=PD2

?,?小+（。+等）2=22

整理得：5a2+2V10a-6=0

解得：a=膽，。=一3獸（不合題意，舍去）

?n口一巾^2/103710

..DH=EH=aH——F—=—F—

JD

22

由公股定理得：DE=y/DH+EH=>/2DH=V2x=

6x/5

，OE的最小值是三.

故答案為：器.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，理解垂線段最短，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外

接回，圓周先定理，靈活利用銳知三角函數(shù)的定義，三角形的面枳公式及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.【答案】（V30,0）.

【分析】利用翻折的性質(zhì)，推導(dǎo)全等的三角形，利用矩形的面積公式與三角形的面積公式進(jìn)行推導(dǎo)線段的長(zhǎng)，反

比例函數(shù)A值幾何意義，進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：如圖，連接OB,交MN于點(diǎn)Q

第18頁(yè)共29頁(yè)

:矩形OA3C翻折，使點(diǎn)3與原點(diǎn)重合，折痕為MMOBLMN

，QB=QO,MB=MO

*：AB//CO

，NABQ=NNOQ

,:乙MQB=4NQ0,而OQ=BQ

???△BQMdOQN（AAS）

JQM=QN,即點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)。作Q〃_LOC于點(diǎn)〃

則QH是△O8C的中位線，則RtZ\O〃QsRtZ\OC8

則RtZ\O〃QsRtZ\oc8,而S^OBC=|xV15=

me1vN<15質(zhì)儲(chǔ)俎/15vis

則S*OHQ=4x-2-=-g-解得，k—2x-g-=

丁點(diǎn)M是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，則SMOM=*,5矩形4。。8=。八?.48=V15,SAyl0M=*x。力x故4M=\AB,

設(shè)AM=a,則8M=3a=OM,在《△OAM中根據(jù)勾股定理得

0A=V9a2-a2=2aQ,S“OM=1X2^2axa=

乙o

得八罌

???%=孥，&=一孥（舍去），（負(fù)值已舍去），則A8=4a=怖

?：OC=AB

AC（V30,0）

故答案為：（煩，0）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了翻折變換，反比例函數(shù)系數(shù)4的幾何意義，反匕例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形全等的判

定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換-對(duì)稱，矩形的性質(zhì)，面積的計(jì)算以及勾股定理等，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知

識(shí)

三.解答題（共8小題）

16.【答案】（1）一；

（2）2（A+3）2=x（A+3）

2G+3）2-x（x+3）=0

(x+3)(A+6)=0

，x+3=0或x+6=0

/?xi=-39X2=~6.

第19頁(yè)共29頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)解方程的方法得到錯(cuò)誤之處和錯(cuò)因；

(2)利用因式分解法進(jìn)行正確求解即可.

【解答】解：(1)從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是方程兩邊同時(shí)除以一個(gè)可能為0的代數(shù)式(戶3)

故答案為：一；

(2)2(x+3)2=4(x+3)

2(A+3)2-X(X+3)=0

(x+3)(A+6)=0

?"r+3=0或l+6=0

.*.xi=-3,X2=~6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)作出圖形即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖所示；

(2)設(shè)3Q,AC交于O

???匹邊形人8C。是菱形

：.AC±BD,AO=CO=^AC=343

VZCAB=30°

???80=當(dāng)0=3

：.BD=2BO=6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作圖-基本作圖，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】⑴證明見解答;

(2)1.2.

第20頁(yè)共29頁(yè)

【分析】(1)介紹兩種解法：1,先根據(jù)A4S證明△COE0△四￡,再由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；

2,先根據(jù)AAS證明△布E,得CE=EF,再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得結(jié)論；

(2)先根據(jù)(1)可得：AB=AF=S,由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可得CG=GF=6,證明△OCT/s4

AGH,列比例式可得G"的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：證法一：???四邊形A8C。是平行四邊形

:、AD/1B3CD//AB,CD=AB

AZD=ZMD,ZDCE=ZF

??,￡是A。的中點(diǎn)

：.DE=AE

(AAS)

；?CD=AF

???4F=AB；

證法二：???四邊形A8CO是平行四邊形

:.ADHBC,CD//AB

AZD=ZMD,ZDCE=ZF

是的中點(diǎn)

：.DE=AE

AACDE^AME(AAS)

:?CE=EF

，：AE〃BC

FAFE

?__1

??—1

ABCE

：.AF=AB；

(2)解：???AG=2,FG=6

:.AF=尸G+AG=6+2=8

，AB=AF=8

???匹邊形ABCD是平行四邊形

：,CD=AB=S

■:乙DCE=4F,ZFCG=ZFCD

：.ZF=ZFCG

/.CG=FG=6

,/CD//AF

第21頁(yè)共29頁(yè)

：.4DCHs4AGH

CDCH86-GH

—=--?即-=-----

AGGH2GH

,GH=12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等矢1識(shí)，掌握三角形

全等和相似的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵.

19.【答案】⑴5.2m；

⑵10.45.

【分析】（1）在RtZVlBC中，已知NAC8=30°,根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可

設(shè)A8=x,BC=2x,通過(guò)勾股定理得到關(guān)于x的方程，進(jìn)行求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AQ_L太陽(yáng)光線于點(diǎn)。，根據(jù)樹與光線垂直時(shí)，樹影最長(zhǎng)即可求解.

【解答】解：（1）VZACB=30°,：,AB=^BC.

設(shè)A8=x/〃，則8c=2A7〃.

由勾股定理，得482+AC2=8C2

即￡+9?=（2r）2

解得％=3k々5.2（負(fù)值己舍去）.

故樹A8的高度約為5.2加；

（2）當(dāng)樹與光線垂直時(shí)，樹影最長(zhǎng)

過(guò)點(diǎn)4作4O_L太陽(yáng)光線于點(diǎn)。，且AO=A8

AC乜

*：AD=5.2m,NAOE=90°,NAEQ=30°

：.AE=2AD=\0.4m.

故樹影的最大長(zhǎng)度為104〃.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行投影；通道作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，當(dāng)樹與光線垂直時(shí)，樹影最長(zhǎng)是解題的關(guān)

鍵.

20.【答案】⑴10米;

（2）（15百-15）米.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)8作于E,根據(jù)坡度的概念得到再根據(jù)勾股定理求出BE；

（2'延長(zhǎng)CD交AM于F,設(shè)CD=x米，根據(jù)正切的定義用x表示出4AEF,根據(jù)題意列式計(jì)算得到答案.

第22頁(yè)共29頁(yè)

【解答】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)3作于E

??,斜坡48的坡度為I：3

BE1

???_=一

AE3

，AE=3BE

在RtZX/WE中，AB2=BE2+AE2,即(10\/10)2=BE2+(3BE)2

解得：5E=10

答：平臺(tái)8N的高度為10米：

(2)如圖，延長(zhǎng)C。交AM于產(chǎn)

則CFLAM

???匹邊形4￡尸。為矩形

???。/=8石=10米，BD=EF

設(shè)CO=x米，WOCF=(x+10)米

在中，ZCAF=30°

CF

VtanZCAF=亦

.\[3x+10

???-

3AF

：.AF=V3(x+10)米

在RtZ\CBD中，ZCBD=60°

則Q-西矍前-學(xué)米

由(1)可知：AE=38E=30米

?,?次(x+10)-祟=30

解得：x=15百一15

答：建筑物的高度為(15百-15)米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角「角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函教的定義、坡度的

概念是解題的關(guān)鍵.

第23頁(yè)共29頁(yè)

21.【答案】(1)4；(2)Ar=8；(3)M=5,〃=?8；(4)線段。。的長(zhǎng)度為2K.

【分析】(1)運(yùn)用題目給出的公式即可求得答案；

(2)根據(jù)題意得出小8的坐標(biāo)，再運(yùn)用題目給出的公式即可求得答案；

(3)根據(jù)△OPQ的面積為1,列方程求得切=5或1,則Q(5,4)或。(1,0)(舍去)，進(jìn)而可得P'(3+s,

2),Qf(5+s,4),即可求得〃=-8；

(4)將△04。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△04'。'，設(shè)射線A'D'交)，軸于E,交雙曲線于C',D,連接。C,

0D',則OD=OD',0A'=。4,NOA'E=ZOAB=30°,△0C'D'g△OCO,ZAOA'=45°,利用

待定系數(shù)法可得出A'E的解析式,，設(shè)C'、。'的橫坐標(biāo)分別為c、d,由△OCO的面積為4?？傻贸鯿=3d,

再將點(diǎn)C'、。’的坐標(biāo)代入A'E的解析式，求得d的值，即可求得答案.

【解答】解：(1)???點(diǎn)M(1,3),N(3,1)

)1X1-3X3|=4

故答案為：4：

4k13

:.SAOAB=x6-x3|=||-^=6

zo4z

???仁士8

??Z>0

???仁8：

(3)VP(3,2),Q(w,m-1),且△0PQ的面積為1

1

A-|3(w-1)-2w|=l

解得："7=5或1

:.Q(5,4)或Q(1,0)

設(shè)線段PQ沿x軸平移s個(gè)單位

當(dāng)Q(5,4)時(shí)，P'(3+5,2),Q'(5+5,4)

第24頁(yè)共29頁(yè)

若P、。兩點(diǎn)是否會(huì)同時(shí)落在某雙曲線）=3上，則2（3+$）=4（5+s）

解得：s=-7,即線段PQ沿x軸向左平移7個(gè)單位

:.P'（-4,2）,Q'（-2,4）

：,n=-4X2=-8；

當(dāng)Q（1,0）時(shí)，沿x軸平移后。（1+1,0）在x軸上，不可能落在雙曲線上

綜上，〃?=5,〃=-8；

（4〕如圖，將△04。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45.得到△04'。'，設(shè)射線A'D'交），軸于￡，交雙曲線產(chǎn)一攣于C”

。'，連接OC',OD'

"

則0。=。。'，OA'=OA,ZOA'E=ZOAB=30a,△OC'D'0△OCQ,ZAOAr=45°

設(shè)U(c,-平)，D'(d,-乎)，且cVdVO

??,點(diǎn)A(-/,/)在第二象限

：?OA=?,且04與x軸負(fù)半軸夾角為45°

；?點(diǎn)A'在x軸負(fù)半軸上

???A'(-V2/,0)

在RlZXMOE中，NOA'E=30°

?"'E=20E

,：OE1+OA,2=A'E1

/.OE2+(V2r)2=(2OE)2

；?OE=凈

設(shè)4E的解析式為)，=HH?圣，則-揚(yáng)力+羽=0

，A'E的解析式為產(chǎn)爭(zhēng)，+凈

???△。。。的面積為4，5

第25頁(yè)共29頁(yè)

，務(wù)(-好)-d?(一手)|=46

整理得:|--H=x

cdJ

cd

V->-X)

ac

cas

?*?

dc3

A-=3

a

：.c=3d

AC'(34,--^)

把U(3d,

(V3d+-43

~d

-343

~d~

解得：d=±V3

???d<0

:?d=-V3

：.Dr（-V3,3）

??.0D，=J（V3）2+32=2V3

???線段o。的長(zhǎng)度為2vs.

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，熟練

運(yùn)用待定系數(shù)法和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)△20,構(gòu)建不等式求解即可；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得一元二次方程兩根相等，利用△=（）,構(gòu)建