2025-2026學(xué)年上海市浦東新區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正

確的，請選擇正確選項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）在中，各邊的長度都擴大4倍.那么銳角B的正切值（）

A.擴大4倍B.擴大2倍C.保持不變D.縮小4倍

2.（4分）在Kt△月4c中，ZC=90°,8c=4,那么乙4的三角函數(shù)值為%J是（

5

A.sin/1B.cosJC.taivlD.cotA

3.（4分）如果兩個相似三角形的周長比為1：4,那么它們的對應(yīng)角平分線的比為（)

D.1：V2

A.1：4B.1：2C.1：16

4.（4分）已知a，b，c是非零向量,下列條件中不能判定a〃b（)

-1?

A.a〃c，b〃cB.a=3bC.Ial=|blD.a=±c，b=-2c

2

5.(4分)已知Rt△/中，ZC=90°?AC=2t那么下列各式中正確的是（）

A.sin/l=299

B.cosJ=—C.tanJ="D.cotA=—

3333

6.（4分）如圖,D、E分別是的邊/8、力。上的點,下列各比例式不一定能推得DE//BC的是

)

C^_=DE

A瑞嗤B瑞嗡*AB-BCD嚼嗡

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.（4分）如果%；），=5：2,那么（xly）；的值為

8.（4分）已知線段月8的長為2厘米，點產(chǎn)是線段的黃金分割點，那么較長線段力2的長是

厘米.

9.（4分）計算：2（a-2b）+3（a+b）=

10.（4分）已知在RtZ\/8C中，ZC=90°,sin力=3,那么48的長足

4

11.（4分）兩個相似三角形的面積之比是9：25,其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個三

第1頁（共25頁）

角形對應(yīng)邊上的高為厘米.

12.（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點4（1,2）,點4與原點。的連線與x軸的正半軸的夾角為a,那么

cota的值為.

13.（4分）如圖，AD//EF//BC,AE=2BE,EF=4,那么8C=.

14.（4分）如圖，將水平的平面鏡放置在點P處，光線從點力出發(fā)，光線剛好照到古城堵CO的頂端C

處.如果48_L8。，CDLBD,8P=1.8米，PO=12米米.

15.（4分）順次連接三角形三邊中點，所得到的三角形與原三角形的周長的比是.

16.（4分）如圖，已知在中，N4C8=90°,AC=\,D是AB邊上一點、，點、A恰好落在邊BC

上的點上處，那么/10=.

17.（4分）如圖，長方形OEFG的邊律在△48C的邊〃。上，頂點。、G分別在48、4C上.已知△"C

的邊BC長120cm,且長方形DEFG的長DG是寬OE的2倍，那么DE的長度是cm.

18.（4分）如圖，已知△48C中，AB=AC\4DLBC于點點G是△力8C的重心，得到△4'。,

3

且點小在直線4。上，聯(lián)結(jié)CCi，那么lanNCCi8i=.

第2頁（共25頁）

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

19.（10分）計算:tan45°+（禽-1）°-弓）

20.（10分）如圖，在梯形45co中，AD//BC,CD=BD=8,AB=5.

（I）求8C的長；

（2）設(shè)標(biāo)=Z，BC=b，求向量而（用向量Z，晟示）.

21.（10分）如圖，已知在中，N，CB=90°,點/的坐標(biāo)為（-1,0）,點8在x軸正半軸上

（1）求經(jīng)過8、。兩點的直線的表達式.

（2）求△40。與△8OC的面積之比.

22.（10分）小杰在學(xué)習(xí)了“特殊銳知的三角比”后，認(rèn)為30°、45°、60°的三角比不必死記硬背，只

需利用一副三角板就可推導(dǎo)出30°、45°、60。的三角比：小杰在這個認(rèn)識的基礎(chǔ)上，他利用一副特

制的三角板

（1）計算：衛(wèi)包

tan600+2sin300

<2）小杰的一副特制的三角板，如圖1,在和中，Z/i=30°,ZZ）=45°；小杰

的想法是：將Rt△力8c和田△￡）■的邊力E和4C重合，拼接成如圖2所示的四邊形44CE請利用圖

2

第3頁（共25頁）

圖1圖2

23.（12分）如圖，在等腰△/18。中，AB=AC,過點C作C￡_L6C,交歷1的延K線于點E,交于點

F,交力C于點，

求證：(1)BC?BH=CH*EC；

(2)BC1=ADF*DA.

24.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知直線/：y=x+4交x軸于點4交），軸于點8,且.OC

=2點。在線段AC上，且/CDB=NABC,交80的延長線于點E,連接力￡

（1）求點。的坐標(biāo)；

（2）求直線CE的函數(shù)解析式；

（3）如果點尸是直線CE上的動點，連接。P,當(dāng)AOE尸與相似時

E

25.（14分）如圖1,在梯形48CQ中，AD//BC,W.AE=2ED,連接8f1與對角線4C交于點。，EO」BO,

2

連接。咒

第4頁（共25頁）

(2)當(dāng)NB4D=90°時，連接。尸交對角線力。于點G.

①如圖2,J?OF2=OG*OC,求此時NQC8的余弦值：

②求/Z)=3,ZXO8尸是等腰三角形時，求4G尸。的面積.

第5頁(共25頁)

2025-2026學(xué)年上海市浦東新區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號123456

答案CBACDC

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正

確的，請選擇正確選項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）在中，各邊的長度都擴大4倍.那么銳角B的正切值（）

A.擴大4倍B.擴大2倍C.保持不變D.縮小4倍

【解答】解：如圖，在中，則tan8=B2,

BC

..4AC-AC

?嬴記’

???在Rt△48c中，各邊的長度都擴大3倍，

故選：C.

2.（4分）在Rta/BC中，ZC=90°,BC=4,那么N片的三角函數(shù)值為當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

5

A.sinJB.co"C.taivlD.cotA

【解答】解：在中,ZC=90°,AC=3,

A^=VAC2+BC3=VS2+62=5>

AB5

故選：B.

3.（4分）如果兩個相似三角形的周長比為1：4,那么它們的對應(yīng)角平分線的比為（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：V2

【解答】解：???兩個相似三角形的周長比為1：4,

???兩個相似三角形的相似比為4：4,

第6頁（共25頁）

???它們的對應(yīng)角平分線的比為1：4.

故選：A.

4.（4分）已知:，b，3是非零問量，下列條件中不能判定Z〃E（）

-*1

A.a〃c?b〃cB.a=3bC.Ial=|blD.a=-c?b=

2

【解答】解：?；aIIc，bIIc，

??a”b，

故/能;

,**a=3b，

a//b，

故B能;

???|a|=|b|a與b方向是否相同，

故C不能;

-1一**—

?*a--c?b=-2c?

?二一1二

??a”b?

故。能,

故選：C.

5.（4分）已知中，ZC=90°,AC=2,那么下列各式中正確的是（）

999

A.sin力=2B.cosJ=-C.tan/1="D.cot4="

3333

【解答】解：如圖:

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=V32+32=?

由I、I一BC33V13/AC72V13BC3AC2

AB71313AB71313AC2BC3

所以只有選項。正確，選項力、B.

第7頁（共25頁）

故選：D.

6.(4分)如圖，D、E分別是△48C的邊48、4C上的點，下列各比例式不一定能推得。七〃8。的是

()

AADMADc坦=亞DABAC

.BD=-CEB.AB-AC'AB-BC-BD-=CE

【解答】解：???坦二返

BDEC

：,DE//BC,故/正確；

.?.AID=-A-E-，

ABAC

：,DE//BC,故B正確;

.?.—AB二-A-C-，

DBEC

：,DE//BC,故。正確，

故選：C.

二、填空題：(本大題共12題，每題4分，滿分48分)【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.(4分)如果x：y=5：2,那么(x+y)：y的值為工.

~2~

【解答】解：?、：y=5：2,

???設(shè)x=3%,y=2k,

：.(x+y)：y=(5k+5k)：(2k)=(7k)：(6k)=7：2,

，(x+y)：y的值為立，

',2

故答案為：工.

4

8.(4分)已知線段48的長為2厘米，點P是線段48的黃金分割點，那么較長線段NP的長是_

-1)厘米.

【解答】解：由于P為線段力8的黃金分割點，

且力尸是較長線段，

則力P=2X返W=(V5.

2

第8頁(共25頁)

故答案為：（我-1）.

9.（4分）計算：2（a-2b）+3（l+b）.

【解答】解：2（a_2ba+b）=6ab+3ab=5a-b?

故答案為7n.

1（）.（4分）已知在RtZ\4"?中，ZC=90°,sinj=3,那么48的長是8.

4

【解答】解：???siiL4=3=里，BC=3,

4AB

，4?=8.

故答案為：8.

11.（4分）兩個相似三角形的面積之比是9：25,其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個三

角形對應(yīng)邊上的高為3厘米.

【解答】解：設(shè)另一個三角形對應(yīng)邊上的高為x厘米，

???兩個相似三角形的面積之比是9：25,其中較大的三角形?邊上的高是5厘米，

??,另一個三角形對應(yīng)邊上的高為8厘米，

故答案為：3.

12.（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點力（1,2）,點力與原點。的連線與x軸的正半軸的夾角為a,那么

cota的值為_工_.

2

【解答】解：作/IMLr軸于點M,

則cola=X.

AM2

故答案為：1.

13.（4分）如圖，AD//EF//BC,AE=2BE,EF=4,那么BC=5

第9頁（共25頁）

AD

y------------------y

BZ-----------------------xc

【解答】解：如圖，作4W〃CO交8c于M.

???四邊形4QCM是平行四邊形，四邊形力。"N是平行四邊形，

:?AD=NF=CM=2,

?；EF=4,

:.EN=EF?FN=4?2=2,

YEN//BM,

/.AAENs^ABM,

?典=嫗=0

??前ABT

?2=工

**BM3,

???8W=3,

BC=BM+CM=2+2=5.

故答案為：3.

14.（4分）如圖，將水平的平面鏡放置在點P處，光線從點力出發(fā)，光線剛好照到古城墻C。的頂端C

處.如果48180,CDLBD,8P=1.8米，-Q=12米10米.

/APB=/CPD,/ABP=/CDP,

△ABPsMDP,

第10頁（共25頁）

?.?AB?=BPy

CDDP

??Z8=1.5米，8P=7.8米,

?....1.....4=---1--.-8-，

CD12

解得CO=10,

即該古城墻的高度是10米，

故答案為：10.

15.（4分）順次連接三角形三邊中點，所得到的三角形與原三角形的周長的比是.

2

【解答】解：如圖,?:D、E、BC,

：,DE=^AC^-BC^AB,

223

,DE+DF+EF=LC+^k4B，

223

?：ADEFsRABC,

工所得到的AOM與4ABC的周長之比是工.

2

故答案為：1.

2

16.（4分）如圖，已知在Rt△力BC中，ZACB=90°,AC=\,。是48邊上一點，點4恰好落在邊BC

上的點E處，那么AD=Vg-I.

???乙4=60°,

???△/CO沿CO翻折，力點恰好落在8C邊上的E點處,

：,ZCED=ZA=60Q,AD=ED,

?:/CED=/BDE+/B,

:?/BDE=60"-300=30

第11頁（共25頁）

:,EB=ED,

在RtZ\/18。中，ZACB=90°,

???N4=30°,AC=l,

???4C=V§,

：.EB=CB-C￡=V§-1,

:.AD=ED=EB=6-7.

故答案為：V3-I.

17.（4分）如圖，氏方形OE尸G的邊EE在△48。的邊8C上，頂點。、G分別在48、ACk.已知△48C

的邊BC長\20cm,且長方形DEFG的長DG是寬。￡的2倍，那么DE的長度是24cm.

???長方形。EFG的邊月產(chǎn)在△.44C的邊8c上，頂點。、力C上,

：.DG//BC,NDEC=NEDG=90°,

???力”是△/8C的高，

:.AHLBC,

；?N4LD=NAHB=90°,

：,ALA.DG,四邊形。E/〃是矩形，

:?DE=LH,

,:DG〃BC、

：,AADGS/XABC,

?AL=DG

"AHBC1

V^C=120cw,4H=40cm,

/.AL=40-LH=40-DE,

?40-DE_2DE

40兩，

解得QE=24,

???DE的長度是24cm,

故答案為：24.

第12頁（共25頁）

A

18.（4分）如圖，已知△/8C中，AB=AC^,力。_L8C于點。，點G是△ABC的重心，得到△小8Ci，

3

且點81在直線力。上，聯(lián)結(jié)CG，那么tan/CC8i=_返二4M.

99

:?BD=CD,

???重心點G在力。上，且4G=2GO,

設(shè)GD=x,則AG=2x,

:ta出喘=f

?3x4

??———二-^,

BD3

:.BD=CD=9x,

3222

在RtACDG中，CG^/GDCD=VX+(3X)=V82X*

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知N8GO=NOG￡>,GD=GDi=x,C2nl=CO=9x,

\'GD±BC,

第13頁（共25頁）

：.GD^A.B\C\t且點。3在CG上,

?',CDpCG-D]G=V82X-M

在RtZ\CC4。中，乜心，也=^-=啊片-=海工

C]U79x3

如下圖所示，將△力8C繞著重心G順時針旋轉(zhuǎn)181c2,

???CG=VGD2<D2=7X3+(9X)2=V82X，GDA=GD=X,

，CD廣CG+GDi=倔x+x，C(DkCD=9x,

x+x

在RtZXgQ中，tanZCC1D6=^7-=^|±L;

CjD29xo

綜上所述，tan/CJD廣義普或絡(luò)L

yb

故答案為：返2±L或速二i.

99

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

一]

19.(10分)計算：tan45°+—7=^—?

2V3+1

8

【解答】解：tan45°+(V3-1)-

=1+1-7+-立乎--

(V3+1)(V4-1)

.4(73-1)

2

第14頁（共25頁）

=473-2.

20.（10分）如圖，在梯形力8CZ）中，AD//BC,CD=BD=8,AB=5.

（1）求4。的長；

（2）設(shè)正==，BC=b求向量而（用向量Z，E表示）.

【解答】解：⑴,：AD//BC,

J/ADB=/DBC,

平分N/1BC,

，NABD=NDBC,

：.N<BD=N4DB,

***AB=AD=5r

?；CD=BD=8,

???/DBC=/C,

AZABD=ZDBC,ZADB=ZC,

:.AABDsADBC,

??A?B——BD，

DBBC

?.?7—X819

8BC

??.8C=il；

6

則四邊形力8￡。是菱形,

：?BE=AD=5,

:.BE=至9C,

64

，麗二至E，

第15頁（共25頁）

VAB=a?

?*-BD=BA+BE=—b-7-

64

21.(10分)如圖，已知在RtAUSC中，乙4c8=90°,點力的坐標(biāo)為(-1,0),點8在x軸正半軸上

(1)求經(jīng)過8、C兩點的直線的表達式.

(2)求△XOC與△8OC的面積之比.

【解答】解：(1)VJ(-1,0),

.?.0/1=3,

在RtZ\40C中，VtanZCJ(?=^￡-,

0A

：.OC=2OA=2,

：.C(2,2),

VZACB=90°,

VZACO+ZCAO=90°,

:./BCO=/CAO,

在RtZ\8C。中，???tanN8co=&L,

OC

???O8=2OC=8,

:?B(4,0),

設(shè)直線BC的解析式為

把8(8,0),2)分別代入得出+,。，

lb=2

解得2,

b=2

???直線BC的解析式為y=-2x+2；

2

(2)△/OC的面積：△80。的面積=04OB=8：4,

第16頁(共25頁)

即△40C與△BOC的面積之比為工.

5

22.（10分）小杰在學(xué)習(xí)了“特殊銳角的三角比”后，認(rèn)為30°、45°、60°的三角比不必死記硬背，只

需利用一副三角板就可推導(dǎo)出30°、45°、60°的三角比；小杰在這個認(rèn)識的基礎(chǔ)上，他利用一副特

制的三角板

⑴計算.cot300-cot45°.

tan600+2sin300

（2）小杰的一副特制的三角校，如圖1,在Rt△48C和痔中，ZA=30°,ZD=45°；小杰

的想法是：將Rt△/也。和RtAQEb的邊。石和/C重合，拼接成如圖2所示的四邊形請利用圖

2

圖2

【解答】解：（1）原式=噂二［=上/^^2￡=2-百;

V2+12

（2）如圖2中，過點B作BHLAF于點H.連接BF.

???BC=^-AC=lV75C=V3，

2

的面積=LxiXF怎

82

在產(chǎn)中，NOE尸=90°,

:.AF=2近,△。月產(chǎn)的面積=工，

2

VZ/4C5=90°-30°=60°,ZJCG=90°,

第17頁（共25頁）

/.ZFCG=30°，

：,FG=^-CF=\,

2

???四邊形ABCF的面積=S/8#SMS

.,?亞M=立工?BC?FG,

225

/.也+3=工V7XBH+工,

222

?陽=返+3近

?"”=廬聲］（百）2-漁譬巨）6=q返

VZ^C=30°,ZCJF=45°,

:?/BAH=75°，NABH=15°,

3返飛低+3設(shè)

軟書=呼tan75°=也=—產(chǎn)正”.

AH3v8-「6

4

23.（12分）如圖，在等腰△力8C中，AB=AC＞過點。作CE_L8C,交*4的延長線于點凡交力。于點

F,交力。于點〃

求證：(1)BC?BH=CH?EC；

(2)BC2=4DF-DA.

【解答】證明：（1）?:CE1BC,BHVAC,

:?/BCE=/CHB=90：

*：AB=AC,

：.AABC=AACB,

:.△BCEs^CHB、

..?BC二CE,

CHBH

第18頁（共25頁）

:?BOBH=CH?EC；

（2）??18=4C,點。是邊3C上的中點,

VADYBC,BH1AC,

AZADC=ZAHF=90°,

ZDAC=NHAF,

JNACD=NAFH,

?.*ZAFH=ZBFD,

???ZACD=ZBFD,

VZADC=ZBDF=90°,

???△ADCs^BDF,

???—DC二-A--D-，

DFBD

,:BD=DC=AC,

2

:,LSC2=AD?DF,

4

即BC6=4AD*DF.

24.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xQp中（如圖），已知直線/：j，=x+4交x軸于點Z,交y軸于點4,且.OC

=2點。在線段力。上，且NCDB=NABC,交8。的延長線于點￡,連接力E.

（1）求點口的坐標(biāo)：

（2）求直線CE的函數(shù)解析式；

（3）如果點P是直線CE上的動點，連接OP,當(dāng)△￡）￡■尸與△力8C相似時

【解答】解：（1）由題意得力（-4,0）,4）,0）,

..04=4,08=7,

:.BC=2近,

VZACB=^BCD,/CDB=/ABC,

第19頁（共25頁）

:?△ACBs^BCD,

???C1D1I二DC,

CBAC

???CD斗

4

，OD等

o

???點。坐標(biāo)是(4，0)；

(2)設(shè)直線的解析式為.y=h+4,

/.--^-k+6=0?

3

解得k=3,

???直線BD的解析式為y=7x+4,

設(shè)E設(shè)3什2),

過E作EG_Ly軸，過8作軸，GH與BH交于H點,

?：NBCE=90°,

:.NBCH+/ECG=90°,

?：NCEG+NECG=90°,

:?NBCH=NCEG,

:.△BCHsMEG,

?CG二EGg|j_3t_4_2-t

??而一而''~F，

解得尸-8,

:.E(-2,-2),

設(shè)直線CE的解析式為

?f4k'+b=0

?[-2/+b=-2'

L，」

解得2,

b=-7

???直線CE的解析式為y=^x-6；

(3)ZCED=ZCAB=45°,△DEPs^ABC,

，點戶只能在射線EC上，

設(shè)夕(tn,-2),

2

第20頁（共25頁）

???AB=4北，』C=8,DE-|V10*

①當(dāng)柒*

3

??.EP邛,

:.CE=2限,

'-^Vs=J(m-2)2+gin-7)2，

解得ni=-2或m=-3^；

89

.”(-2,-IP.)；

79

②當(dāng)世■二星■時.同理可得：EP=V§，CP=V7,

EDAB

???尸(0,-1)；

)>-6).

25.（14分）如圖1,在梯形力ACO中，AD//BC,且力f=2EQ,連接〃上與對角線4C交于點O,EO」BO

2

連接OF.

圖2

（2）當(dāng)N84Q=90°時，連接?！敖粚蔷€力。于點G.

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①如圖2,若。產(chǎn)=OG?OC,求此時NOC8的余弦值；

②求力0=3,Z\O8尸是等腰三角形時，求△GFC的面積.

【解答】（1）證明：延長R?交力。于點M,

，型fp

在梯形力38中，AD//BC,

:.AAOESACOB,叢EOMs叢BOF,

?AE_0EME