九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中全真模擬卷（北師大版）

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分考試范圍：第1-4章

【全解全析】

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要

求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題紙上）

1.如圖，已知■正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP,CP平分乙ACD,則乙ACP的度數(shù)是（）

A.22.5。B.25°C,30°D.45°

【答案】A

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，由正方形的性質(zhì)可得NACD的度數(shù)，再由

角平分線的定義可得答案.

【完整解答】解：:四邊形ABCD是正方形，

AZACD=45°,

TCP平分，ACD,

.\zACP=|zACD=22.5o,

故選:A.

2.一只小狗在如圖的地板上自由地走來走去，并隨意停留在某決方塊上（圖中每一塊方磚除花色外完全

相同），它最終停留在花形方磚上的概率是（）

B-3C，5D-

【答案】A

【思路引導(dǎo)】本題考查了幾何概率，根據(jù)題意知小狗隨意停留在某塊方磚I：的概率是相等的方磚總共有15

塊，花形方磚占4塊，然后用概率公式即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【完整解答】解：根據(jù)題意知，小狗隨意停留在某塊方磚上的概率是相等的方磚總共有15塊，花形方磚占

4塊，

???最終停留在花形方磚上的概率為假，

故選:A.

3.下列各組中的四條線段a,b,c,d是成比例線段的是（）

A.a=l,b=l,c=l,d=5B.a=2,b=a,c=2后d=V15

C.a=l,b=V2,c=2V2?d=8I）,a=V2,b=3,c=2,d=8

【答案】B

【思路引導(dǎo)】本題考查了比例線段.根據(jù)成比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看

它們的積是否相等即可得出答案.

【完整解答】解：A、5X1H1X1,四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、2XV15=V5X2X/3,四條線段成比例，故本選項(xiàng)符合題意：

C、8xlH&x2vL四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.8x72*2x3,四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

4.如圖，在矩形。人!^中，點(diǎn)13的坐標(biāo)是（5,4）,連接AC,則AC的長(zhǎng)是（)

A.3B.41C.V3D.V41

【答案】D

【思路引導(dǎo)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，連接。B,過點(diǎn)B作BD1X軸于點(diǎn)D,根據(jù)勾

股定理求出。B的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等即可求解，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【完整解答】解：如圖，連接0B,過點(diǎn)B作BD_Lx軸于點(diǎn)D,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,4),

:.0D=5,BD=4,

???OB=VOD2+BD2=近2+42=x/41,

又???四邊形ABC。是矩形,

:.AC=OB=V44?

故選:D.

5.甘肅省圖書館創(chuàng)建于1916年，現(xiàn)坐落于甘肅省蘭州市，占地6600平方米，閱覽席位2000個(gè)，現(xiàn)藏書容

量10()萬冊(cè).在7月份，有5000人在該圖書館借閱了名著類書籍，9月增加至7200人，設(shè)7—9月份借閱名著

類書籍的人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為x,依題意，可列方程()

2

A.5000(1+2x)=7200B.5000(1+x)=7200

22

C.7200(1-x)=5000D.5000(1+x)=7200

【答案】B

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了?元二次方程的應(yīng)用，審清題意、弄清量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

設(shè)每月平均增長(zhǎng)率為必則9月人數(shù)為7月人數(shù)乘以(1+x)的平方，據(jù)此列出方程即可.

【完整解答】解：???7月人數(shù)為5W0,平均月增長(zhǎng)率為后

:,8月人數(shù)為5000(1+x),

/.9月人數(shù)為5000(1+x)(l+x)=5000(1+x)2,

又?:9月人數(shù)為7200,

:.5000(1+x)2=7200.

故選：B.

6.隨著科技的飛速發(fā)展，m人工智能應(yīng)運(yùn)而生多種加軟件嶄露頭角，某班級(jí)為更好地了解AI軟件，計(jì)劃

舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“Deepseek”“豆包”“Kimi”三個(gè)主題，若小紅和小明從中各隨機(jī)選擇其中一

個(gè)主題，則他們恰好選中同一個(gè)主題的概率是().

A.-B.-C.—D.—

JT*54

【答案】C

【思路引導(dǎo)】本題考查列表法求概率，用A,B,C表示三個(gè)主題，列出表格，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【完整解答】解：由題意，列表婦下：

ABC

AA,AA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

共9種等可能的結(jié)果，其中她們恰好選中同一個(gè)主題的結(jié)果有3種,

?p21.

*,=9—=3，

故選C.

7.如圖，有一塊三角形余料ABC,BC=120mm,高線AD=80mm,要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩

形的一邊在BC上，點(diǎn)P、M分別在AB,AC上，若滿足PM:PQ=5:2,則PQ的長(zhǎng)為（）

C.75mmD.20mm

【答案】B

【思路引導(dǎo)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.證明△APM-a

ABC,PM:PQ=5:2,假設(shè)MP=5kmm,PQ=2kmm,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

【完整解答】解：如圖，設(shè)AD交PN于點(diǎn)K.

?.PM:PQ=5:2,

:.可以假設(shè)MP=5kmm,PQ=2kmm,

???四邊形PQNM是矩形,

PM||BC,

:.△APMABC,

vADlBC,BC||PM,

.-.AD1PM,

PM_AK

,BC=AD>

5k_80-2k*

,*120-80,

解得k=15,

PQ=2k=30mm,

故選:B.

8.如圖，在正方形ABCD中，娓CD邊上一點(diǎn)，將4ADE沿AE翻折至AAD'E,延長(zhǎng)ED'交BC于點(diǎn)尸.若

AB=15,DE=10,則BF的長(zhǎng)是（）

A.3B.12C.10I）.5

【答案】A

【思路引導(dǎo)】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.

連接AF,證明4AFB三△AFD',設(shè)BF=FD'=x,fflEF=x+10,FC=15-x,EC=15-10=5,利用勾股

定理求解即可.

【完整解答】,?,正方形ABCD中，碗CD邊上一點(diǎn)，將4ADE沿AE翻折至AAD'E,

AAB=AD=AD'ZABF=ZADC=ZAD'F=ZC=90°,

連接AF,

,.fAB=AD'

,IAF=AF'

...△AFB三△AFD'(HL),

.'.BF=FD'

設(shè)BF=FD'=x,

則EF=x+10,FC=15-x,EC=15-10=5,

???(x+10)2=(15-X)2+52,

解得x=3,

故選：A.

9.為更好地開展勞動(dòng)教育，學(xué)校決定在操場(chǎng)劃出?塊面積為480m2的長(zhǎng)方形場(chǎng)地作為勞動(dòng)基地.若長(zhǎng)方形

場(chǎng)地的一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊及中間隔斷由總長(zhǎng)為76m的籬笆闈成，并且在平行于墻的邊上設(shè)

置兩個(gè)開口寬為1m的進(jìn)出門口（如圖）.設(shè)垂直于墻的長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)為xm,則下列方程正確的是

()

/〃/〃///〃/////〃〃///〃〃/〃/

t

X

n門

A.x（78-3x）=480B.x（74-3x）=480

C.x（78-2x）=480D.x（74-2x）=480

【答案】A

【思路引導(dǎo)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

【完整解答】解：根據(jù)題意，得X（76+2-3X）=480,

即x（78—3x）=400,

故選：A.

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,連結(jié)AC,E,產(chǎn)分別在邊AD,CD上，連結(jié)BE,BF分別交AC于點(diǎn).機(jī)

A；若/EBF=45。,CF=2,則下列結(jié)論中：①/BEA+ZBFC=135。；②CA1BF；③BN二/；@AE=

5

結(jié)論正確的有（）

【答案】C

【思路引導(dǎo)】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，由矩形的性質(zhì)得到乙

BAD=ZABC=ZBCD=90°,由/EBF=45。，得到/ABE+4CBF=45。，即可判斷①；由勾股定理可得

BF=2遮，證明△CFN-ZXABN,得到唾=翳，可判斷③；證明△BCF~Z\ABC,得到乙CBF=△BAC,證

AiiDIN

得，CNB=90。，可判斷②；證明△BCNYACB,得到累=黑，根據(jù)勾股定理求出AC=4。得到

CDAD

AM=^,證明△AME-ACMB,得到黑二黑，可判斷④；掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3L。L1*1

【完整解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

.../BAD=ZABC=4BCD=90。,

VzEBF=45°,

.??乙ABE+Z.CBF-45°,

AZBEA+ZBFC=135°,故①符合題意;

VCF=2,BC=AD=4,

222

在RtZiCBF中，由勾股定理可得：BF=VBC+CF=V42+2=275,

VCD||AB,

ACFN^AABN,

.CF_FN

??麗=麗'

VAB=CD=8,FN=BF-BN=275-BN,

?2_2V5-BN

**8BN~~，

.?.BN=喀，故③符合題意；

?嚕=髭NBCF=ZABC=9°。,

BCAB

:.△BCF?△ABC,

AZCBF=Z.BAC,

VZBAC+ZACB=yuu,

AZCBF+ZACB=90°,

/.ZCNB=9O°,

ACA1BF,故②符合題意；

VZEBF=45°,CA1BF,

.-.zBMN=45o,zMNB=90°,

AMN=BN=咯

VZCBF=ZBAC,ZBNC=zABC=90°,

:.△BCN?△ACB,

.CNBN

CBAB*

,CN_CB_1

**BN=AB=2*

??.CN=挪=警，

/.CM=MN+CN=1^1,

222

在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC=V8+4=4后

.,.AM=AC-CM=4后一竿二竿，

VAD||BC,

/.△AMECMB,

.AE_AM

??瓦―CM*

AAE=|,故④不符合題意；

綜上，結(jié)論正確的有①?共3個(gè).

故選:C.

第n卷

二.填空題（本大題有6小題，每小題3分，共18分.）

11.若方程2乂111-2+乂=3是關(guān)于*的一元二次方程，則m的值為.

【答案】4

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程中未知數(shù)最高次數(shù)為2是解題

的關(guān)健.根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)最高次數(shù)為2,由此確定m的值.

【完整解答】解：???方程2xm-2+x=3是關(guān)于x的一元二次方程，

???未知數(shù)x的最高次數(shù)為2,即m—2=2,

:.m=4.

故答案為:4.

12.如圖，同學(xué)們?cè)谖锢碚n上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn).若物距0B=8cm,像距OB'=12cm,蠟燭火焰倒立

像A，B'=6cm,則火焰AB的高度是cm.

【答案】4

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)

鍵.由AB||A'B彳導(dǎo)到△ABOA'B'O；再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.

【完整解答】解：由題意得ABIIA'B',

???ZBA'O=zBAO,ZAB'O=zABO,

ABO?△A'B'O',

ABOB

’而=OB7*

AB8

.?'T二運(yùn)'

解得：AB=6x84-12=4cm.

故答案為：4.

13.如圖，將矩形紙片ABCD沿邊EF折疊，使點(diǎn)D在邊BC中點(diǎn)M處.若AB=4；BC=6,則

CF=.

【思路引導(dǎo)】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于x的方程.由矩

形的性質(zhì)推出CD=AB=4/C=90。，由線段中點(diǎn)定義得到CM=：BC=3,由折疊的性質(zhì)得到：MF=DF,

設(shè)CF=x,由勾股定理得到(4-X)2=32+X2,求出X=/得到CF的值.

【完整解答】解：:四邊形ABCD是矩形，

ACD=AB=4,ZC=90°,

是BC中點(diǎn)，

.*.CM=1BC=1x6=3,

由折疊的性質(zhì)得到：MF=DF,

設(shè)CF=x,

/.FD=4-x,

/.MF=4—x,

VMF2=MC2+CF2,

???(4一x)2=32+X2,

?.?x=(

7

??.CF—

故答案為：

14.“趙爽弦圖”利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖，在正方形ABCD中，

AB=V29,AE:EF=2:3,假設(shè)可在弦圖區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)落在陰影部分的概率為.

■【谷今來】西20

【思路引導(dǎo)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，幾何概率，設(shè)AE=2x,則EF=3x,根據(jù)BF2+AF?=AB2,求

出EF,得到正方形EFGH的面積，利用概率公式代入計(jì)算即可.

【完整解答】解：設(shè)AE=2x,則EF=3x,

BF=AE=2x,AF=AE4-EF=5x,

vBF2+AF2=AB2,

.?.4x2+25x2=29,

解得：x=1或一1（舍去），

.-.EF=3,

SEFGH=9,

???SABCD=29,

S陰影=29-9=20,

這個(gè)點(diǎn)落在陰影部分的概率為3

故答案為：|^-

15.古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時(shí)古希臘人還沒有尋求到它

的求根公式，只能用圖解等方法來求解.在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2+ax=b2（a>0,b>0）

的方程的圖解法是：如圖，以3和5為兩直角邊作口△ABC,再在斜邊上截取BD=￡則該方程的一個(gè)正實(shí)

數(shù)根等于線段的長(zhǎng).

【答案】AD/DA

【思路引導(dǎo)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，在RtZiABC中，利用勾股定理列出關(guān)系式，把

各自的長(zhǎng)度代入，化簡(jiǎn)后與已知方程比較，即可求解.

【完整解答】解：；x2+ax=b2,

???2+ax+停）2=b2+停）2,即（X十1）2=b2+（0\

AX+7=±Jb2+g）I

則x=±Jb2+—g,

在Rt△ABC中，vAC=b,BC=

???AB=Jb2+?，

又vBC=BD=

???圖形中線段AD的長(zhǎng)是方程x2+ax=b2的一個(gè)解，

故答案為：AD.

16.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,連接AC,zACD的平分線交AD于點(diǎn)區(qū)過點(diǎn)游DF_LCE于點(diǎn)G,

分別交AC、AB于點(diǎn)隊(duì)用點(diǎn)尸是線段GC上的任意一點(diǎn)，月.PQ_LAC于點(diǎn)0,連接PH,則下列結(jié)論正確的

②CP.CB=CQ.DF；

③SACDE：S^DAF=3:1；

@PH+PQ的最小值是警.

【答案】①②④

【思路引導(dǎo)】①通過證明4CGD三△CGH(ASA),即可求解；

②通過證明△CPQ?ADFA,即可求解；

③通過證明△CDEs/lDAF,得至］相似比為CD:AD=2:1,即可求解：

④過點(diǎn)H作HT_LCD交于T,交CE于K,過K作KRJ.AC交于R,當(dāng)P點(diǎn)與K點(diǎn)重合時(shí)，PH+PQ有最小值，最小

值為HT的長(zhǎng)，證明AABC?△CTH,得到CT=2HT,由①可知：△CDG三△CHG(ASA),再用勾股定理求

出HT二塔，則問題可求解.

【完整解答】解：結(jié)論①：DH=2DG推導(dǎo)：

???CE平分乙ACD,

:.zDCE=ZACE,

vDG1CE,

zDGC=ZCGH=90°,

:.△CDG=△CHG(ASA)>

DG=GH,

DH=2DG,故①符合題意：

結(jié)論②：TCE平分NACD,

:.Z.DCE=Z.ACE,

VPQ1AC,

ZCPQ=90°-zPCQ,

vAB||CD,

:.zAFD=Z.CDG,

vDG1EC,

zCDG=90°-z.DCG,

zDFA="PQ.

.?.△CPQ-ADFA,

CP_CQ

'CF=AD>

vBC=AD,

.-.CP.BC=DFCQ,結(jié)論②正確.

結(jié)論③：vZ.ADF=zDCE,

CDEDAF,

CD:AD=2:1,

^△CDE：^ADAF=4：1;結(jié)論③錯(cuò)誤?

???CE平分乙DCH,KT1CD,KR1AC,

AKR=KT,

:.KR+KH=KT+KH=HT,

當(dāng)P點(diǎn)與K點(diǎn)重合時(shí)，PH+PQ有最小值，最小值為HT的長(zhǎng),

AB||CD,

zTCH=zBAC,

vzB=90°,HT1CD,

.-.zB=Z.GTC=90°,

.-.△ABC-ACTH,

.BC_AB日口2_4

B|JHT-CTt

:.CT=2HT,

由①可知，ZkCDG三△CHG(ASA),

CH=CD=4,

在Rt^CHT中，(2HT)2+HT2=16,

解得HT=釁，

??.PH+PQ的最小值為等，結(jié)論④正確.

故答案為①②④.

【考點(diǎn)剖析】本題考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形相似的

判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(本大題有9小題，共72分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明或演算步驟.)

17.(本題6分)解方程

(1)x2-4x+3=0(用配方法解)

(2)x2+5x+1=0(用公式法解)

【答案】(1)X]=3,x2=1

(2)xi=萼紅，x2=^i

【思路引導(dǎo)】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用配方法和用公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

(1)用配方法求解即可；

(2)用公式法求解即可.

【完整解答】(1)解：配方得，X2-4X+4-4+3=0,

即(X-2)2=1,

所以，x-2=±1,

所以，Xi=3,x2=1：

⑵解：a=1,b=5,c=1,

△=b2-4ac=52-4x1x1=25-4=21,

y_-5±VH_-5±V21

2x12-'

解得：勺=帶至，Xz=-5-^r

18.(本題6分)(1)先化簡(jiǎn)，再求值：(#b)(a-b)-a(a-2b),其中a=l,b=2：

(2)如圖，菱形力比舛，AB=AC.E、粉別是優(yōu)業(yè)郭J中點(diǎn)，連接他6K證明：四邊形力反7泥矩形.

AFD

【答案】（1）-b2+2ab,0；（2）證明見解析.

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn),然后代人求解即可：

（2）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD||BC,AD=BC,然后根據(jù)瓦中）?別是必力屈勺中點(diǎn)，得出AF=CE,根

據(jù)一組對(duì)邊平行且相等證明出四邊形力仇7是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AE1

BC,即可證明出四邊形力加提矩形.

【完整解答】（1）（Kb）Ca-b）-aQa-2b）

=a2—b2—a2+2ab

=—b2+2ab

將w=l,。=2代入得：原式=-2?+2x1x2=0；

（2）如圖所示，

???四邊形月娟泥菱形，

AAD||BC,且AD=BC,

乂?：E、/分別是必月珊中點(diǎn)，

?,.AF=CE,

???四邊形然於是平行四邊形，

?：AB=AC,躡比的中點(diǎn)，

AAElBC,gpzAEC=90°,

工平行四邊形川%7是矩形.

【考點(diǎn)剖析】此題考查了整式的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值問題，菱形的性質(zhì)和矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握整式的混合運(yùn)算法則，菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理.

19.（本題6分）如圖，甲、乙兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被分成3個(gè)面積相等的扇形，乙轉(zhuǎn)

盤被分成4個(gè)面積相等的扇形，每一個(gè)扇形都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，設(shè)甲

轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為用乙轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為n（若指針指在邊界線上時(shí)，重轉(zhuǎn)一

次，直到指針都指向一個(gè)區(qū)域?yàn)橹梗?

1I

-20

\^jj/yjjy

甲乙

(D請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表格的方法求出|m+n|>1的概率；

(2)直接寫出點(diǎn)(m,n)落在函數(shù)y=x2圖象上的概率.

【答案】⑴盤

⑵9

【思路引導(dǎo)】本題考查列表法和樹狀圖，解題的關(guān)鍵是掌握列表法和樹狀圖以及概率公式，即可.

(1)畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及|m+n|>1的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案：

(2)由樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及點(diǎn)(m,n)落在函數(shù)y=x2圖象上的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式

可得出答案.

【完整解答】(1)(1)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果,其中滿足|m+n|>1的結(jié)果有：(一2,—1),(一2,0),(—1,一1),(1,1),(1,2)共

5種，

.,.|m+n|>1的概率為

(2)由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，

，滿足點(diǎn)(m,n)落在函數(shù)y=x2圖象上的結(jié)果有：(一1,1),(1,1),

???點(diǎn)(m,n)落在函數(shù)y=x2圖象上的概率為：?=今

20.(本題6分)圖①、圖②均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱

為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、M、N均在格點(diǎn)上，在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按要求

畫圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出畫法.

⑵如圖②,在線段AB上找一點(diǎn)E,使AE=4BE.

【答案】⑴g

（2）見解析

【思路引導(dǎo)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

（1）由題意易知AADM?△BDN,AM=4,BN=3,然后問題可求解；

（2）同（1）的方法構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可直接進(jìn)行作圖.

【完整解答】（1）解；山圖可知；△ADM-ZkBDN,AM=4,BN=3,

AD_AM_4

'BD=BN=3；

故答案為：］：

（2）線段AB上找一點(diǎn)E,使AE=4BE,所作圖形如下：

21.（本題8分）某公司設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是40元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷：據(jù)

市場(chǎng)調(diào)杳，銷售單價(jià)是50元時(shí)，每天的銷伐量是100件，而銷售單價(jià)每提高1元，每天就減少售出2件，但

要求銷售單價(jià)不得超過65元.

（1）若銷售單價(jià)為每件55元，求每天的銷售利潤(rùn)；

（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1600元，每件工藝品售價(jià)應(yīng)為多少元？

（3）公司每天銷售這種工藝品獲利能否達(dá)到2000元？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）1350元

（2）60元

（3）不能，見解析

【思路引導(dǎo)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，涉及銷售利潤(rùn)的計(jì)算和方程求解，理解題意、正確列出方程

是關(guān)鍵.

（1）直接計(jì)算銷但單價(jià)為55元時(shí)的利潤(rùn)，利用利潤(rùn)公式；

（2）設(shè)售價(jià)為阮，根據(jù)利潤(rùn)公式列方程求解，并考慮售價(jià)范圍；

（3）列方程判斷利潤(rùn)能否達(dá)到20J0元，通過判別式判斷方程是否有解.

【完整解答】（1）解：銷售單價(jià)為55元，比50元提高5元，俏售量減少2x5=10（件），銷售量為100

-10=90（件）；

利潤(rùn)為（55—40）x90=15x90=1350（元）；

答；每天的銷售利澗為1350元；

(2)解：設(shè)每件工藝品售價(jià)為撫，則俏售量為10。-2(x—50)=(200—2x)件，

由題意得：(x-40)(200-2x)=1600,

整理得：X2-140x4-4800=0,

解得：X]=80,x2=60,

???銷售單價(jià)不得超過65元，

???x=80不符合題意，舍去，

答：每件工藝品售價(jià)應(yīng)為60元；

(3)解：設(shè)每件工藝品售價(jià)為撫，則銷售量為(200-2*)件，

由題意得方程：(X-40)(200-2:<)=2000,

整理得：x2-140x4-5000=0,

?:N-(—140)2-4x1x5000=—400<0,

???方程無實(shí)數(shù)解.

答：利潤(rùn)不能達(dá)到2000元.

22.(本題8分)在學(xué)習(xí)矩形的學(xué)習(xí)過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，

試說明4BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系.他的思路是：首先過點(diǎn)E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證

明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填

空：

證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作BC的垂線EF,垂足為F(只保留作圖痕跡).

在ZkBAE和4EFB中，???EFj.BC,zEFB=90°.

又vzA=90°,zA=zEFB=90°,

vAD||BC,:.①又???②BAE=△EFB(AAS).同理可得③

A^ABCF=S4EFB+S^EFC=矩/I^ABPE+5s矩形EFCD=

【答案】作圖見解析；乙AEB=MBE,BE=EB,△CDE-△EFC(AAS),各矩形ABCD?

【思路引導(dǎo)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、尺規(guī)圖一作垂線、全等三角形的判定與性質(zhì)以及面積的推導(dǎo)，

熟練掌握矩形性質(zhì)和全等三角形判定(AAS)是解題的關(guān)鍵.

本題先通過尺規(guī)作圖過點(diǎn)E作BC的垂線EF,再利用矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定(AAS)證明三角形全

等，進(jìn)而推導(dǎo)ABCE與矩形ABCD的面積關(guān)系.

【完整解答】解：如圖，以E為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，交BC于兩點(diǎn)；分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩

點(diǎn)距離一半的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)；連接E與該點(diǎn)，交BC于F,則EF_LBC.

在△BAE和△EFB中,

vEFlBC,

.?./EFB=90°.

又vzA=90°,

.-.zA=zEFB=90°,

vAD||BC,

zAEB=zFBE,

又?:BE=EB,

BAEs△EFB（AAS）.

同理可得△CDE三△EFC（AAS）,

?*,SaBCF=S4EFB+SaEFC=/矩形ABPE+2s矩形EFCD=2s矩形ABCD，

23.（本題8分）為紀(jì)念中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)暨世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)勝利80周年，某學(xué)校組織了以“觀閱兵，

知強(qiáng)軍”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，從八、九年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（成績(jī)?yōu)榘俜种魄?/p>

為整數(shù)）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)均不低于60分，用x表示，共分為四組：A.90<x<100,氏80三

x<90,6：70<X<80,ZZ60<X<70,得分在90分及以上為優(yōu)秀），下面給出了部分信息：

八年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：66,67,71,81,83,85,85,86,89,90,90,93,93,93,95,96,

98,99,100,100.

九年級(jí)20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)贐組的數(shù)據(jù)是：83,87,86,89,85,88.

八、九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

年級(jí)平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

八年級(jí)88a9010.3

九年級(jí)8894b9.6

九年級(jí)抽取學(xué)生競(jìng)

賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)上述圖表中的a=____,b=_____,m=______；

(2)若該校八年級(jí)有900名，九年級(jí)有800名學(xué)生參加了此次以“觀閱兵，知強(qiáng)軍”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，估

計(jì)該校八、九年級(jí)學(xué)生參加此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的共有多少人？

(3)該校從八、九兩個(gè)年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?cè)诹M的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取了4名學(xué)生，其中八年級(jí)2名，九年級(jí)2

名.現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加市賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求抽到的學(xué)生至少有一名來自八

年級(jí)的概率.

【答案】(1)93,88.5,30

⑵855

⑶京

O

【思路引導(dǎo)】本題考查了眾數(shù)，中位數(shù)，畫樹狀圖求概率，樣本估計(jì)總體，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的定義進(jìn)行分析，即可作答.

(2)運(yùn)用樣本估計(jì)總體進(jìn)行列式計(jì)算，即口J作答.

(3)先畫樹狀圖，再得一共有12種等可能的結(jié)果，抽到的學(xué)生至少有一名來自八年級(jí)的結(jié)果有1。種，然

后列式計(jì)算，即可作答.

【完整解答】(1)解：依題意，分析八年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，93出現(xiàn)次數(shù)最多，且為3次，

，眾數(shù)a=93；

???調(diào)查20名九年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)，

???中位數(shù)排在第1。和11名之間，

則45%x20=9,即力組有9名學(xué)生，

結(jié)合成績(jī)情況，得出第1。和11名的競(jìng)賽成績(jī)分別是89和88,

又?；B組有6名學(xué)生，

則m%=2x100%=30%,

故答案為:93,88.5,30.

(2)解：依題意，900x+800x=495+360=855,

???佐計(jì)該校八、九年級(jí)學(xué)生參加此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的共有855人.

(3)解：把八年級(jí)2名學(xué)生分別記為甲和乙，九年級(jí)2名學(xué)生分別記為丙和丁，畫出樹狀圖如下:

開始

甲乙丙

Z\/N/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

，一共有12種等可能的結(jié)果，抽到的學(xué)生至少有?名來自八年級(jí)的結(jié)果有1。種，

???撲到的學(xué)生至少有一名來自八年級(jí)的概率為卷=}

1Zo

24.(本題12分)我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于>的一元二次方程ax2+bx+c=0(a=#0),若△:b2—4ac的值是一個(gè)完

全平方數(shù)(兩個(gè)相同的數(shù)相乘的結(jié)果)時(shí)，一元二次方程的根不一定都為整數(shù)，但是若一元二次方程的根

都為整數(shù)，則△的值一定是一個(gè)完全平方數(shù).

定義：兩個(gè)根都為整數(shù)的關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0())稱為“全整根方程”，代數(shù)式絲泮

的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)="F：若另一關(guān)于x的一元二次方

程px2+qx+r=。(pH0)也為“全整根方程”，其“最值碼”記為Q(p,q,r),當(dāng)滿足Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c

時(shí)，則稱一元二次方程ax?+bx+c=0(a力0)是px?+qx+r=0(p00)的“全整根伴侶方程”.

(1)“全整根方程"x2—3x+2=0的“最值碼”是_____；

(2)若關(guān)于一元二次方程x2—(2m_l)x+m2-2m-3=0(加為整數(shù)，且4Vm<15)是“全整根方

程”，求用勺值；

⑶若關(guān)于避J一元二次方程、2+(1―01戶+111—2=0是'2+(11-1K一!1=0(m,〃均為正整數(shù))的“全

整根伴侶方程”，求m—n的值.

【答案】⑴4

(2)m=9

(3)m—n=2

【思路引導(dǎo)】本題考查了一元二次方程根的判別式以及“全整根方程”的定義，理解新定義的含義是解本

題的關(guān)鍵.

(1)直接利用新定義Q(a,b,c)="守計(jì)算即可；

(2)通過m的取值范圍確定根的判別式b2-4ac的范圍，繼而根據(jù)“整數(shù)根”特點(diǎn)確定根的判別式的取值,

最后結(jié)合m為整數(shù)確定m取值；

(3)依次求出方程*2+(1一111戶+01—2=0和乂2+(11—1/—11=0的“最值碼”，根據(jù)“全整根伴侶

方程”的定義列得方程匚竿e-*2」=m-2,結(jié)合m,n均為正整數(shù)即可求解；讀懂題目中“全整

根方程”的“最值碼”及“全整根伴侶方程”的定義是解題的關(guān)犍.

【完整解答】(1)解：Va=1,b=-3,c=2,4ac-b2=4x1x2-(-3)2=8-9=-1,4a=4,

???“全整根方程"x2—3x+2=0的“最值碼”是Q(a,b,c)二"咨=

故答案為：

(2)Vx2-(2m-l)x+m2-2m-3=0,

:上=b2—4ac=[—(2m—l)]2—4x1x(m2—2m-3)=4m+13,

V4<m<15,

/.29<4m+13<73,

???x2-(2m—l)x+m2-2m-3=0是“全整根方程”，

???b2-4ac是完全平方數(shù)，

即4m+13是完全平方數(shù)，

,?.4m+13=36或49或64,

解得m=個(gè)或9或?，

Im為整數(shù),

/.m=9,

(3)解：方程x2+(i-m)x+m-2=0的判別式Ai=(l—m)2-4xlx(m-2)=m2-6m+9=

(m-3)2,

方程x?+(n—l)x—n=。的判別式A?=(n—I)2—4x1x(—n)=n2+2n+1=(n+l)2,

方程x2+(1_m)x+m—2=0的最值碼Q1=4(m-2)[l—m)2=_吟受，

方程x2+(n-l)X-n=。的最值碼Q2="-n)[n-l)2=_胃絲1,

2

VX+(1-m)x+m-2=0是x2+(n-l)x-n=0的“全整根伴侶方程”，

.?.Q]_Q2=C,即—+=m—

化簡(jiǎn)整理，得：n2+2n-m2+2m=0,

(n+m)(n—m+2)=0,

n為正整數(shù)，

m4-n>0,

m—n—2=0,

m—n=2.

25.(本題12分)在△ABC中，ZACB=45°,點(diǎn)〃(與點(diǎn)反壞重合)為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以

AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

圖①圖②

(1)如果AB=AC.如圖①，且點(diǎn)底線段BC1：運(yùn)動(dòng).試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)如果AB>AC,如圖②，且點(diǎn)底線段BC上