2025-2026學年四川省成都市石室中學高二上學期10月月考

數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U={123,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},則Q（MUN）的非空真子集有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.設數(shù)據(jù)1,2,3,4,m的下四分位數(shù)為m,則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.[1,2]B.（1,2]C.[3,4]D.{2}

3.已知空間向量五=（2,—2,—1）,b=（3,0,1）,則向量E在向量G上的投影向量是（）

A.ly,-y,-|）B.（學，-學,一|）

3，嗎）D.（嚕。，喇

4.已知函數(shù)的=2）.>0,財Q）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.連續(xù)拋擲兩次一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄下每次拋擲的結(jié)果，記事件4="正面向上的次數(shù)大于反

面向上的次數(shù)”，事件用="第i次拋擲的結(jié)果為正面向上"（其中i=l,2）,則有（）

A.事件A與事件仇是互斥事件B.事件反與事件％是相互對立事件

C.PQ4UBi）>P（8]U/）D.P（4A3D=P（B1AB2）

6.如圖所示，棱長為1的四面體木塊，其四個面均為等邊三角形，點P是AABC的中心，過點尸將木塊鋸

開，并使得截面平行于力。和8C,則下列關于截面的說法正確的個數(shù)為（）

①截面是矩形；

②載面的面積為余

③投面與側(cè)面4的交線平行于側(cè)面ACD.

A.0B.1C.2D.3

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7.如圖，在直四棱柱48cz)-4BiGDi中，AB1AD,AB=AD=1,AAY>AB,E,廣分別是側(cè)棱BB1,

DDi上的動點,且平面AEF與平面718c所成角的大小為30。，則線段BE的長的最大值為()

8.現(xiàn)有5個正整數(shù)勺，x2,與，x4,x5,若這組數(shù)據(jù)的和為10,方差為0.4,則從這組數(shù)據(jù)中隨機取1個

數(shù)，該數(shù)超過眾數(shù)的概率為()

1n2廠3n4

AA.-B.-C.7D.—

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知復數(shù)為=1+i,Z2=-1+i，則()

A.zxz2=而?石

B.在復平面上，Z1Z2對應的向量與4對應的向量的夾角為3

c.\zxz2\=\z2\?%|

D.若|z+zi-1|=2,則憶|的最大值為3

10.下列結(jié)論正確的是()

A.若A(-2,3)、8(3,-2)、三點共線，則m的值為0

B.已知兩點M(—3,4)、N(3,2),過點P(L0)的直線"與線段MN有公共點，則人的斜率k的取值范圍為[一1,1]

C.已知點力(3,4),點B在坐標軸上，經(jīng)過A8兩點直線的方向向量為(1,2),則(0,—2)可以是點8的坐標

D.若兩直線的傾斜角分別為斜率分別是右,42，口1V即，則向V電

11.如圖，?個帶有蓋子的密閉圓臺形鐵桶中裝有兩個實心球(桶壁的厚度忽略不計)，其中?人球恰為鐵桶

的內(nèi)切球(與圓臺的上，下底面及每條母線都相切的球)，E為該球與母線BC的切點.AB,CD分別為鐵桶

上，下底面的直徑，月SB〃CD,AB=2CD=4,F為啟的中點，貝義)

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A.鐵桶的母線長為3

B.鐵桶的側(cè)面積為18Tt

C.過D,E,F三點的平面與桶蓋的交線與直線CD所成角的正切值為g

D.桶中另一個球的半徑的最大值為20-V7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若直線I的斜率為k,傾斜角為a且aw[%和，則k的取值范圍是.

13.設48是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=：,P(萬)=5,P(ZB+/1K)=J,則P(A+B)=

14.某公司為了調(diào)杳員工的體重(單位：千克)，因為女員工遠多于男員工，所以按性別分層，月按比例分層

隨機抽樣的方法抽取樣本，已知抽取樣本中所有員工體重的方差為120,其中女員工的平均體重為50,方

差為50,男員工的平均體重為70,方差為30.若樣本中有21名男員工，則樣本中女員工的人數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答防寫出文字說明，訐明過程或演算步驟°

15.(本小題13分)

已知在△力BC中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足華tan普F二年b.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若44BC的外接圓半徑為1,求4ABC面積的最大值.

16.(本小題15分)

云南師大附中在組織選拔數(shù)學英才班的過程中，對高一年級的300名學生進行了一次測試.已知參加此次

測試的學生的分數(shù)々(i=1,2,???,300)全部介于45分到95分之間，學校將所有分數(shù)分成5組：

[45,55)/55,65),…，[85,95],整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代

表).

(1)求m的值，并估計此次校內(nèi)測試分數(shù)的平均值M

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（2）學校要求按照分數(shù)從高到低選拔首100名的學生進行培訓，試估計這100名學生的最低分數(shù)〔計算結(jié)果保

留一位小數(shù)）；

（3）試估計這300名學生的分數(shù)陽。=1,2,…,300）的方差s2,并判斷此次得分為63分和86分的兩名同學的成

績是否進人到了3—s*+s]范圍內(nèi)？

（參考公式：-君2,其中方為各組頻數(shù)，參考數(shù)據(jù)：/129?11.4）.

17.（本小題15分）

如圖，在平行六面體力8。。-41坊的。1中，|而|=|而|=|彳1|=2,Z.AAAD=Z,AXAB=^,Z,BAD=

為4G和B]D1的交點.

⑴求|麗I；

（2）求平行六面體A8CD-4/IGDI的體積；

（3）設四面體&一48D外接球球心為。，求點B到平面OB?的距離.

18.（本小題17分）

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.

（1）若連續(xù)拋擲3次，求“三個上底面點數(shù)之和為9”的概率；

（2）若將骰子六個面的點數(shù)改為兩個1、兩個2、兩個3,現(xiàn)有一質(zhì)點P在如圖所示的正方形4BCD四個頂點上

按逆時針方向前進.規(guī)則如下：從A點出發(fā)，當骰子上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1,質(zhì)點P前進一步（如由力到8）；當

骰子上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2,質(zhì)點P前進兩步（如由A到。），當骰子上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3,質(zhì)點P前進三步（

如由A到0）.在質(zhì)點P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止.求質(zhì)點P恰好返回到A點的概率：

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(3)若隨機事件B,C,C兩兩獨立，則P(BCD)=P(B)P(C)P(D)是否一定成立？若一定成立，請證明，若不

?定成立，請用(2)中的骰子設計?個隨機實驗，舉出具體反例來驗證.

19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P-48CD的底面是邊長為2的菱形，^ABC=l，PA=PC=>[2.

(1)證明：ACLPD：

(2)若直線P8與直線PO所成角的余弦值為浮，且|而|<|而求直線CD與平面PBC所成角的余弦值：

(3)若二面角P-48的正切值為第,P8<PD,平面a分別與側(cè)棱P8,PC,PD,P4交于點E,F,M,G,且

BE=EP.'PF=l'PC,DM=MP,求面G8C與面4BCD所成夾角的余弦值.

3

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參考答案

\.c

2.A

3./

4.C

5.0

6.0

l.B

S.A

9.ACD

\0.AC

1IACD

12.(-8,-1]U[1,4-00)

14.63

15.解：⑴因為血魯,nC=華

tanB+tanC_sin8cosc+cosBsinC_sin(B+C)_sin4a

所以

lanBsinficosCsin8coscsinScosCbcosC9

所以2a

bcosC一b'

所以cosC=

又C€(0,7T),

所以c=g；

(2)由(1)知，C=psinC=苧,

?J乙

由△力BC的外接圓半徑為1,

所以肅=2,得c=6

a2+b2—c2a2+b2-31

又cosC=

2ab2ah2

所以M+Z?2_3=。匕,即小+〃=帥+3.

又因為a?+M之2ab,得ab+332ab,得QbW3,

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當且僅當a=b=，3時，等號成立，

所以Qb的最大值為3,

又因為S^BC=^absinC,

所以的最大值為;x3x苧=4

所以△ABC面積的最大值為孚.

4

16.解：(1)?/(0.0064-0.014+m+0.036+0.020)x10=1,所以m=0.024,

所以該次校內(nèi)考試測試分數(shù)的平均數(shù)的估計值為：

50x0.06+60x0.144-70x0.24+80x0.36+90x0.2=75分.

(2)因為30婢0=0.06+0.14+0.24=0.44<|<0,8=0.06+0.14+0.24+0.36

設這100名學生的最低分數(shù)為Q，

則Q06+0.14+0.24+0.036(。-75)=解得a?81.3

所以這100名學生的最低分數(shù)的估計值為81.3分.

n

212

(3)vs=-VA(xt-7)

i=l

=0.06x(50-75)2+0.14x(60-75)2+0.24x(70-75)2+0.36x(80-75)2+0.2x(90-75)2

=129,

???s=V129?11.4,x—s=63.6,x4-s=86.4?

故得分為63分的同學的成績沒有進入到［63.6,86.4］內(nèi)，

得分為86分的同學的成績進入到了［63.6,86.4］內(nèi).

即：得分為63分的同學的成績沒有進入到但—s,元+s］范圍，

得分為86分的同學的成績進入到［7-s,5+s］范圍了.

17.［詳解】（1）由題意得麗=西+瓦祈=西+g瓦仄=西+^廊+而）=-^AB+^AD+麗*,

因為|而|二|而|=\AA^\=2,LArAD=^ArAB=^,^BAD=.

所以|麗=荏+g而+再）2=；|畫屣廣+|甌而而一通痂+而說

=1+14-4-0-2+2=6,

所以|的=AT6.

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(2)

設/L4]與底面所成的角度為仇公底面的投影為01，連接為。1，過4作4%148于E,再連接0便，

因為44遇。=44遇B=弓，所以01一定在4c上，由幾何關系4810北，

2222

在Rt△&01E中，A1E=Ar0l4-0xE,即(2sin§=(2sin。)？+(2cosesin/,且siMe+cos?。=1,

聯(lián)立可解得sin。=苧，所以六面體的前I。1=2x苧=，I,

所以六面體的體積為4YL

因為A48。為等腰直角三角形，所以4c與BD的交點。為其外接圓的圓心，

又0A=OB=0D=y[2,由(2)知0Ai=04sin45。=<2,

所以四面體為一48。外接球球心為。，^.OA2+OAj=AAj,即0AJL04，

又B力i=DAi且。是80的中點，則8D10A1，O/lnBO=0且04,80u平面48c0,

所以。4_L平面力8C0,以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則8(220),0(1,1,0),0(0,2,0)4(20,0),%(1,1,71),故8衣=乩=AAr=(-1,1,72),

-?-?T

所以則0B=(1,1,0),OB1=(0,2,?,。的=(一2,2,/1),

設平面08￡的法向量為布=(3z),則,,呼=。=[2y+/ZZ=°,fc=/2,則m=

U.OC1=0l—2〉+2y+伍=。

(0,-1,72),

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所以點B到平面081cl的距離d=UU=*=芋

網(wǎng)

18.【詳解】(1)由題意可知，連續(xù)拋擲3次結(jié)果共有216種，

設三次投擲的點數(shù)分別為x,y,z,則x+y+Z=9,x,y,ze{1,2,3,4,5,6},

當x=1時,y+z=8,共有(2,6),(3,5),(4,4,),(5,3),(6,2)五種情況;

當x=2時，y+z=7,共有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)六種情況:

當x=3時，y+z=6,共有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)五種情況:

當x=4時，y+z=5,共有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四種情況;

當彳=5時，y+z=4,共有(1,3),(2,2),(3,1)三種情況;

當x=6時，y+z=3,共有(1,2),(2,1)二種情況；

5+6+5+4+3+2__25_

所以概率為P-

216—216

(2)投擲?次質(zhì)地均勻的骰子，每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)都是等可能的，其概率為

只投擲一次不可能返回到A點；

若投擲兩次質(zhì)點尸就恰好能返回到4點，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應依次為：(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結(jié)

果，其概率為P2=《)2x3=/

若投擲三次質(zhì)點P恰能返回到4點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應依次為：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結(jié)

果，其概率為戶3=(3X3寸

若投擲四次質(zhì)點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應依次為：(1,1,1,1).其概率為「4==

1

正.

所以，質(zhì)點P恰好返回到4點的概率為：P=P2+P3+P4=i+l+l.=2Z.

37olO1

(3)不--定成立，

投擲兩次骰子，設事件B：第一次點數(shù)為1,事件C第二次點數(shù)為1,事件小兩次點數(shù)相同.

則P(8)=P(C)=P(D)=i,

則P(BCD)=i,而0(8)P(C)P(D)=焉

即P(8CD)=P(8)戶(C)P(。)不一定成立.

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19.【詳解】（1）連接8。交4C于。，因為48。。為菱形，故AC_LBD；

又因為PA=PC,。為AC的中點，故P014C,

POCiBD=O,PO,BDu平面PBD,故"_L平面P80,

而PDu平面080,故4CJ.PD.

（2）以。為坐標原點，以。8,。。為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,-1,0),0,0),C(0,l,0),D(-/3,0,0),

結(jié)合(1)可設PQ,0,z),因為所以/+1+Z2=2,即/+Z2=1,

而而=(%-C)9=(%+C),故|cos麗麗|“贏贏卜|”2%；：2口」=

可，

解得％=±苧，因為P8VP0,則％=苧，故2=苧，故P（苧,0,苧），

則比=（-值1,0）用=（苧,T苧）,

設平面PBC的法向量為元=（右,外與），則件匣=°,

（n?CP=0

—+力=o

則V3/6，令％1=1,則=C,Zi=訝，則元

匕必一乃+可與二°

又覺=（后1,0）,則|cos（比，創(chuàng)=|篇M=黑=年，

即直線CD與平面P8C所成角的余底值為J1-（苧尸=苧.

（3）由二面角P-AB-C的正切值為等可得其余弦值為手，

D/

設P(%,0,z),則喬=(x-73,0,z),^(<3,1,0),

設平面P