解三角形：最值與范圍問題專項訓練

考點一利用三角函數(shù)的有界性求最值與范圍問題

1.（23?24高一下?湖北武漢?期中）在銳角△力8c中，角的對邊分別為。也c,S為△48c的面積，?=4,且

2s=。2一傳—則△力4C的周長的取值范圍是（）

A.（8,4>/5+4]R.（12.2-J5+2]C.（8,2石+21D.（12,4石+41

2.（24?25高三上?湖北?期中）已知在銳角△XBC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若

2smi—則泊取值可能為()

A.1B.1C.3D.5

3.（24-25高一下?重慶萬州?期中）在銳角AXBC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,S為“8C的面積,

且3s=/—（力―°）2,則2的取值范圍為（

)

c

725(24

A.B.C.D.—,+00

25,7)<25^(25

4.（24?25高一下?江蘇無錫?期末）已知銳角△/8C的面積為2仃，/=^，則邊力3的取值范圍是（）

A.(1,2)B.(8,2夜)C.(2,4)D.(2夜,4)

5.（24?25高一下?陜西渭南?期中?多選）△相。中，內角4法。的對邊分別為。也c,S為的面積，且

。=2,而.農=265,下列選項正確的是（）

A.A=^B.若b=3,則有兩解

C.若△力為銳角三角形，則力取值范圍是（2ji,4）D.△/5。周長的取值范圍為（4,6]

6.（24-25高一下?安徽?階段練習?多選）在△,48C中,角力,B,。所對的邊分別為a,b,c,且.

3bcosC+3ccosB=a',則卜列說法正確的是（）

A.a=3

B.若8+C=24,則△為8c的外接圓半徑為叢

C.若力.，且AW有一解，貝的取值范圍為（0,3]

D.若^=/+砧，月△/改?為銳角三角形，則。的取值范圍為（3夜,34）

7.（2025?湖北?模擬預測）銳角△44。中，角兒B,C所對的邊為小b,c,A=2B,a+b=3,則邊c的取值范

圍是?

8.（24?25高一下?浙江寧波?期末）在銳角△力8c中，角4B,C所對的邊分別為。，b,c,面積為S,且

6-⑹=4S,則￡的取值范圍是.

a

9.（24-25高三下?山東德州?階段練習）在△48C中，角4民。所對的邊分別為〃也c,已知6=2,且滿足

ataivlcosB+bsinJ=2ctatvlcosZ?

（1）求角8的大小

（2）△力的內心為/,求“。周長的取值范圍.

10.(2025?河北滄州?模擬預測)在銳角三角形/4C中，角,4,B,。所對的邊分別為a,b,c,且

b-asin2^-sin2C

—?~~j.

asirrA

(1)求角。的大小：

(2)若c=2,求△力AC周長的取值范幅.

H.(24?25高三下?河北滄州?階段練習)在△力8c中，角4B,C的對邊分別為小b,c,且

sin2(J+C)=(sinA+sinC)2-sinJsinC.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若b=4,求2a+c的取值范圍.

12.(24?25高一下?貴州黔南?期末)在△力8c中，c=也，再從下面兩個條件中，選出一個作為已知條件，解答下

面的問題.條件①：csin力=6QCOSC；條件②：(。一6尸二c?一帥.

(1)若力=2,求△/的面積;

⑵求。+方的取值范圍.

13.(24-25高一下?海南?期末)在沙"。中，內角的對邊分別為ZU"。的面積為S,已知4-2,且

在①/〃=(cos4cos4),n=(b-2c,a),且帚J.G，②acos力+4C0S(6-C)=26人cos力sinC,③

S+c)2-/=4Ws.這三個條件中任選一個，補充在上面問題中，并解答.(注：若選擇多個條件分別解答，則按

第一個解答計分)

(1)求4

⑵求6-2c的取值范圍.

14.(24-25高一下?遼寧鞍山?期末)已知。=(sincox,coss),B=(cosox,JJcoss:),<y>0,函數(shù)

/(x)=75-巫的最小正周期為兀.

(1)求函數(shù)/(X)的單調遞減區(qū)間;

(2)在銳角△/8C中，角A、B、。所對的邊分別是4、b、c,且滿足/［《)=4，0=2,求△N8C周長的取值

范圍.

考點二利用基本不等式求最值與范圍問題

1.（24-25高三上?廣東湛江?期末）在△48。中，角力,民。的對邊分別是q,6,c,若氐=M6cosC+sinC）,且

4+C=4,則〃的最小值是（）

A.6B.2C.272D.2石

2.(24?25高一下?內蒙古呼和浩特?期中)在△/14C中，已知2〃sinH=(28-c)sin8+(2c-b)sinC,a=2,則

△/18C周長最大值為（）

4GD.A

A.4B.6

—

3.（24?25高三下?江西南昌?階段練習）在△48C中，內角/、B、C所對應的邊依次為a,b,c，若

sinJ+cosfj+—1=—,/>+c=4,則/的取值范圍是()

I6)2

A.[2,4)B.[3,6]C.[5,12)D.[4,16)

4.（24-25高一下?江蘇無錫?期中?多選）設。中角4B,C所對的邊為“也c,,力=1則下列說法正確

的是（）

A.若b=4,則c=2

B.若c=5,則滿足條件的三角形有且只有一個

C.面積的最大值為3百

D.△/1/?。周長的最大值為6石

5.（24-25高一下?新疆哈密?期末?多選）在中，內角4B,C,的對邊分別是a,b,c,b-4,且

4cosc-ccosA=2bcosB,則下列結論正確的是（）

A.B*B.△48c外接圓的面積為16兀

C.8c的面積的最大值為4百D.1+C的最大值是8

6.（23-24高一下?重慶?期末）在△月比?中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,c（tanC+tan妁cos8=Ga，

則NC=,若。屈=Qb+a）?而,且CO=V7，則2〃+。的最小值為.

7.（24?25高二上?廣東潮州?開學考試）已知△/IBC的內角力，B,C的對邊分別為a,b,c,向量而=（a,cos/）,

方=（cosB,6-c）,且而.6=c.cos4,外接圓面積為3兀則乙4=,△/AC周長的最大值為.

8.（24?25高一下?吉林長春?期末）已知△力8c中，。也。分別為內角48,。的對邊，且滿足

sin2J-sin25-sin5sinC=sin'C.

（1）求角A；

（2）設點。為邊4C中點，且力。=2,求b+c最大值；

9.(2025?江西新余?模擬預測)已知，、b、。分別為斜A42C中角A、R、。的對邊,

2a(sin/-sinB)cosC=asinA+bsinB-csinC.

,?sin3

⑴求一7；

sinJ

⑵已知△ABC的面積為炳/cos。，求，+士的最小值.

a

10.(2025?山東德州?三模)在△48C中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c.已知

2sin4=sinA+cosAtanC.

⑴求C;

(2)若2(a+b)=d,求△ABC的邊。的最大值.

11.(24-25高一下?重慶?期末)在△48C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知。=3,

sin2J-sin:B-sin2C=sin5sinC,

(I)求角力的大小；

(2)求△.46。周長的最大值；

(3)若8c中點為。，求力Z)的最小值.

12.(24-25高一下?安徽宿州期末)在ZUAC中，角兒B,。所對的邊分別為a,b,c,已知

a(6sinB+cos8)=/>+c,D為邊BC上一點,RAD=2.

(1)求角力的大??；

(2)若BD=2DC,且：=石—1,求〃的值；

b

(3)若力D為角平分線，求力8+38。的最小值.

13.(24?25高一下?吉林長春期末)已知△力4c的內角4B,C的對邊為a,b,c,且嗎二任g=j

sinCa+b

⑴求角出

⑵若的面積為4vL

①已知E為4。的中點，且b+c=10,求△4AC中線力￡的長：

②求內角A的角平分線AD長的最大值.

考點三利用二次函數(shù)求最值與范圍問題

1.(24?25高一下?廣東廣州?期中)在△/IB。中，角力，B,C所對邊分別為a,b,c.

(1)已知sin4=c°\'_c。'<,=3,a+b=372?若//C'8的平分線交48于點。，求線段C。的長;

c

sinJ-sin

(2)若△.”。是銳角三角形，且。=三，”為MBC的垂心,且C〃=3,求GC"一""的取值范圍;

3BH

⑶若b=7L，——科2-試求/的最大值.

3cos彳+。3cos5

2.(24?25高一下?江蘇南京期中)在中，。，石為邊8c上兩點，BD=T,沅=3而,

DE-n^BD(m>0).

(1)若NB=a,ZC=Z,/AED=p,用a,/7,/的三角函數(shù)值表示。石的值;

⑵若他=?！?5,°=7,求的值：

(3)若OE=5,/BAD=/CAE.

①求的值；

AC

②求&48C面積的最大值.

3.(24-25高一下?新疆烏魯木齊?期中)在中，過重心G的直線與44邊交于P,與4c邊交于。，點尸，Q

不與8,C重合.設△力夕。面積為S1,△48C面積為S?,AP=XPB^AQ=yQC.

⑴求第+痂+比；

(2)求證：-+-=1；

xy

(3)求今的取值范圍.

*3-

4.(24?25高三上?福建泉州?階段練習)在△/8C中，內角48,。所對的邊分別為滿足”"處cosC.

(1)求證：C=2B；

(2)若△.48C為銳角三角形，求3sinC+cos8-sin8的最大值.

5.(24-25高一下?湖北?階段練習)某地政府為了解決停車難問題，在一塊空地上規(guī)劃建設一個四邊形停車場.如

圖，經過測量44=2,〃C=6,CQ=4,?1=4,中間/C是一條道路，其面積忽略不計.

(1)求3cos8-4cosO的值;

(2)△48C,△力。的面積分別記為印邑，求S；+S；的最大值.

6.(24-25高三上?河北唐山?階段練習)記2U8C的內角4可。的對邊分別為。也c,已知A為鈍角,

asinA=bcosB.

(1)若。=?,求A；

6

⑵求C0S/1+cos5+cosC的取值范圍.

7.(24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?階段練習)如圖，在。中，D,E在AC上，HD-2,DE-EC-\,

NBAD=/CAE.

小卡sin4c8八2

⑴求./心心的值;

sinZ.ABC

(2)求△.48。面積的取值范圍.

8.(24-2S高三上?湖南湘潭?開學考試)設△/8C的內角的對邊分別為A為鈍角，tan5=—.

a

(1)探究A與B的關系并證明你的結論:

(2)求cos/1+cosB+cosC的取值范圍.

考點四利用函數(shù)單調性求最值與范圍問題

1.(2025?山西?三模)設的內角A,B,C的對邊分別為-b,c,且滿足acosB=三+6CQS/.

(1)證明：tan/l=2tan^；

(2)已知B>—,求taiL4tanBtanC取得最小值時tanfi的值.

4

2.(2025?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預測)己知的內角力，B,C所對的邊分別為方，c,點。滿足

ZPAB=NPBC=NPCA=a.

⑴若a=/)=c,求a；

(2)若=ZUKC的周長為4,

①求證：b1=ac\

②求△48。面枳的最大值.

3.(24-25高三下?湖南長沙?階段練習)在中，角