微專題?,隱圓問題

隱員1問題是近幾年新高考的熱點(diǎn)，難度中等.所謂隱圓就是在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在

題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識來解決問題.

一、利用圓的定義(動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值或垂直關(guān)系)確定隱圓

【例1】(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線仙去一)，+2=0與直線，2：x+"一2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)女

變化時(shí)，點(diǎn)夕到直線x—y—4=0的距離的最大值為()

A.V2B.2V2

C.3V2D.4V2

(2)已知圓O：f+k=l,圓M：(%—〃)？+(廠〃+4)2=1.若圓M上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)。作圓O的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A，8,使得NAP8=60。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

答案：(1)C(2)[2—4，2+爭

解析：(1)直線6，6分別經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2),B(2,0),且/i1/2,所以點(diǎn)P在以為直徑的圓C上.圓C

的圓心為C(l,1),半徑,?=&.因?yàn)閳A心C到直線/：工一)，-4=0的距離為d=I】寄4?=2企,所以點(diǎn)P到直

線/的距離的最大值為d+r=3a.

(2)由題意得圓心M(a,。-4)在直線X—)，-4=0上運(yùn)動，所以動圓M是圓心在直線入一)，一4=0上，半徑為1

的圓；又因?yàn)閳AM上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)〃作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,使/APB=60。，所以O(shè)P=2,即

點(diǎn)P也在.F+Vud上，于是2—1W、|Q2+(Q—4)?W2+l,即iwja2+(Q—4)之W3,解之得實(shí)數(shù)。的取值范

圍是[2—乎，2+爭.

二、由兩定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)尸滿足萬麗=入(入為常數(shù))確定隱圓

【例2】(1)已知點(diǎn)A(-1.0),B(A,0),若圓(.r-a+l)12+(y—〃-2)2=1上存在點(diǎn)M滿足祈彳麗

=3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[—2,0)B.[-2,1]

C.(0,1]D.(1,3]

(2)在平面直角坐標(biāo)系M7.y中，A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)。在圓O：f+)?=50上，若m?麗W20,則點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

答案：(1)B(2)[-5V2,I]

解析：(1)設(shè)M(X.y),因?yàn)橥??而=3,所以點(diǎn)M的軌跡方程為(-1一x.-y)?(1—x.-y)=3即f+

>2=4,表示圓.又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓(X—1/4-1)2+(y—a—2)2=1±,所以兩圓有交點(diǎn)，所以2—

1W(0—Q+1)+(0—Q—2)WI+2,即Q2-0,解得一2WaWl.

'la24-a+2>0,

(2)設(shè))(x,y),由麗麗W20,易得2L)，+5W0,由="可得,一一5,或產(chǎn)；由？十

晨2+、2=50ly=-53=7.」

5W0得P點(diǎn)在直線2x—y+5=0左邊圓弧上，結(jié)合限制條件一5或WxW5魚,可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[一

5或，1].

三、由兩定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)P滿足IPAI2+IPBI2是定值確定隱國

【例3】(1)在平面直角坐標(biāo)系.rOy中，己知圓C；(x+1)2+y2=2,點(diǎn)A(2,0),若圓。上存在點(diǎn)

滿足IAMI2+IMOI2W10,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是；

(2)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，己知畫C(x—a)2+()，一〃+2)2=1,點(diǎn)A(0,2),若圓。上存在點(diǎn)M,

滿足IWAI2+|MOI2=10,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案：⑴[一與，爭(2)[0,3]

解析：(1)設(shè)M(x,)，)，因?yàn)镮MAI2+|MO|2^10,所以([-2)2+),2+f+)2wi0,化簡得/+_/一球一

3W0,則圓C：f+V+lr—1=0與圓C：.P+y2—2r—3=0有公共點(diǎn)，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線

方程為工=-5代入f+y2-2x-3W0可得一所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是[一[].

(2)設(shè)M(x,y),由IMAI2+IMOI2=10,可得『+(y—1)2=4,.*.M點(diǎn)在圓(y—1)2=4上，故

圓f+(y—1)2=4和圓(x—〃)？+(),一a+2)?=1相交或相切，,1WJQ2+(a—3)?W3,?'.0WaW3.

四、由兩定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)。滿足:察=九(入＞0,1W1)確定隱圓(阿波羅尼斯圓)

IPB|

【例4】2(12)已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)。(0,0),A(3,0)的距離之比為點(diǎn)則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.(x+1)+J=4B.『+(y+1)2=4

C.(x+1)2+r=2D.f+(y+i)2=2

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力(0,3),直線/：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在/上.若圓C上存在

點(diǎn)M,使IMAI=2IMOI,則圓心。的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

答案：(I)A(2)[0,蔡]

解析：(1)如圖所示，設(shè)動點(diǎn)M(x,y),連接MO,MA,有IM4I=2IMOI,即J(%-3))+y2=

2卜十丫2,化簡得『+),2+左一3=0,即(x+l)2+/=4,

M(xty)\

k'01M(3.0)^

(2)點(diǎn)C在直線/：)，=〃-4上，故設(shè)C的坐標(biāo)為(a,2〃-4).因?yàn)榘霃介T=1,所以圓。的方程是(工一〃)2+

[y-(2a-4)y=|.設(shè)點(diǎn)M(右),)，則由|“人|=2|MOI可得點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓D,即

J/+(y—3)2=2J/+y2,化簡整理得/+(〉，+1)2=4.所以點(diǎn)M(x,y)在以。(0,—1)為圓心，n=2

為半徑的圓上.又點(diǎn)M(x,)，)在圓C上，所以兩圓有公共點(diǎn)的條件是Ir,-r2IWIQCIWI外十卷I,即1W5/

-12.+9W9,解得蔡.即〃的取值范圍是[0,y].

'課時(shí)1關(guān)健能力分層施練素養(yǎng)重提升……|課后練習(xí)

A級?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

I.(2024?合腮模擬)已知兩圓方程分別為f+)2=4和(x-3)2+(廠4)2=9,則兩圓的公切線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

解析：C兩圓的圓心分別為(0,0)和(3,4),半徑分別為2和3,圓心距為132+42=5=2+3,則兩圓外

切，公切線有3條.故選C.

2.(2024?新昌模擬)若直線與圓(x+1)2+(y+2)2=|交于A,B兩點(diǎn),且|43|=2,貝ij〃?=

()

A.-lB.-2

C.ID.2

解析：A由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓的圓心為(一1,-2),直徑為2,因?yàn)?4H=2,所以直線過圓的圓心，將

圓心坐懷代入直線方程，得2=11〃］，解得〃i=1.故選A.

3.圓Q：f+y2—4E=o在點(diǎn)。a,V3)處的切線方程為()

A.x+V3y-2=0B.x+V3y-4=0

C.x-VSy+4=0D.x-V3y+2=0

解析：D圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+/=4.VP(1,V3)在圓。上，，所求切線方程為(1-2)?(x—2)+

(V3-0)(y-0)=4,即x-V5y+2=0.

4.(多選)已知直線/與圓Cf+V+Zt—4)，+。=0相交于A,8兩點(diǎn)，弦A8的中點(diǎn)為M(0,1),則下列結(jié)論

正確的是()

A.實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,3)

B.實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,5)

C.直線/的方程為x+y-l=0

D.直線/的方程為人一丁+1=0

解析：AD若弦A8的中點(diǎn)為M(0,I),則點(diǎn)M(0,1)一定在圓內(nèi)，且方程表示圓，即得

(1-4x14-a<0

〃V3,故A正確；由圓的方程得，圓心坐標(biāo)為C(一1,2),又M(0,1),則如/=一1,則加=1,由點(diǎn)斜式

得，直線，的方程為y—1=x,即x—y+l=(),故D正確.

5.(多選)已知圓Oi：.F+V—Zx—BnO和圓。2：/+)2—2〉一1=0的交點(diǎn)為A,B,則()

A.兩圓的圓心距IOiO2I=2

B.直線AB的方程為x—y+1=0

C.圓。上存在兩點(diǎn)尸和。使得\PQ\>\AB\

D.圓。上的點(diǎn)到直線A8的最大距離為2+企

解析：BD由圓。|：f+)2-2x—3=0和圓。2：/+產(chǎn)-2)，-1=0.可得圓01：(x~\)2+)2=4和圓。2：.~+

(y-1)2=2,則圓Oi的圓心坐標(biāo)為(I,0),半徑為2,圓0的圓心坐標(biāo)(0,1),半徑為應(yīng).對于A,兩圓的

圓心距IO1O2I=J(1-0)2+(0-1)2=V2,故A錯(cuò)誤；對于B,將兩圓方程作差可得一2丫+2〉，-2=0,即

得公共弦A8的方程為x—)，+1=0,故B正確；對于C,直線48經(jīng)過圓Q的圓心(0,1),所以線段A8是圓

。2的直徑，故圓。2中不存在比A8長的弦，故C錯(cuò)誤；對于D,圓Oi的圓心到直線AB：x-)，+l=O的距離為

f=企，所以圓01上的點(diǎn)到直線的最大距離為2+或，故D正確.故選B、D.

V2

6.(2024?廣州模擬)直線x一迎尸。截圓(K-2)2+)2=4所得劣弧所對的圓心角是.

答案：*

解析：畫出圖形，如圖，圓心(2,0)到直線的距離為〃=.??sin/AOC=:./AOC=

也???/。。=會???—7一竹

7.若A為圓G：/+產(chǎn)=1上的動點(diǎn)，8為圓。2：(工-3)2+(y+4)2=4上的動點(diǎn)，則線段A8長度的最大值

是.

答案：8

解析：圓G：1+)?=I的圓心為G(0,0),半徑〃=1,圓。2：(A—3)2+(y+4)2=4的圓心為C?(3,一

4),半徑n=2,所以IGC2I=5.又4為圓Ci上的動點(diǎn)，B為圓C?上的動點(diǎn)，所以線段44長度的最大值

是IGQI+n+/2=5+1+2=8.

8.已知圓C：(x-2)2+()，-3)2=4外有一點(diǎn)p(4,-1),過點(diǎn)尸作直線/.

(1)當(dāng)直線/與圓。相切時(shí)，求直線/的方程；

(2)當(dāng)走線/的傾斜角為135。時(shí)，求直線/被圓。所截得的弦長.

解：(1)由題意可得。(2,3),直線/與圓C相切，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=4,滿足題意.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為,，+1=左(x-4),即心?一)，一軟一1=0,

.I2k-3-4k-lI=2,解得攵=一：,

VT+fc14

???直線/的方程為3x+4y-8=0,

???直線/的方程為x=4或3x+4y—8=().

(2)當(dāng)直線/的傾斜角為135。時(shí)，直線/的方程為x+y—3=0,

圓心C(2,3)到直線/的距離為31=立,

V2

，弦長為2、22-(⑸Z=2>/2.

B級?綜合應(yīng)用

9.*=±g”是“直線x+y+力=0與圓C：(x+l)2+(y-l)?=5相切”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C由直線x+y+方=0與圓C：(X+1)2+()，-])2=5相切，得圓心。(一I,1)到直線工+)，+8=0的

距離4=翟=遙，所以|。|=同，即。=±4U,所以*=±0訪”是"直線x+)，+b=0與圖C：(x+1)2

+(y-1)2=5相切”的充要條件，故選C.

10.(多選)已知圓M：(x-3k)2+()，一必一2)則下列四個(gè)命題中真命題有()

A.若圓M與)，釉相切，則2=±當(dāng)

B.圓M的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為:

3

C若直段y=x平分圓M的周長，則"=2

D.圓M與圓(x—3攵)2+),2=4必可能外切

解析：ABD圓M：(x~3k)2+()—必一2)2=1+好的圓心坐標(biāo)為M(3k,4&+2),半徑為/'=析1+H.若圓

M與y軸相切，則|3后l=JFm,解得2士4，所以A為真命題；

2

因?yàn)?3Z)2+(4&+2)2=253+16&+4=(5〃+§所以IOMI'，所以B為真命題；

若直線)，=x平分圓M的周長，則弘=必+2,即女=-2,所以C為假命題；

若圓M與圓(工一3火)2+)2=43外切，則I4k+2I=71+N+Cp,設(shè)函數(shù)/(A)=|4A+2I—V1+H—

V4F,因?yàn)?(O)=l>0,/(-I)=-V2<0,所以/(%)在(-1,0)內(nèi)必有零點(diǎn)，則方程I必+2I=

ATF+6P有解，所以D為真命題.故選A、B、D.

11.(多選)(2021?新布考I卷11題)己知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)?=16上，點(diǎn)A(4,0),B(0,2),

則()

A.點(diǎn)P到直線A8的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線A8的距離大于2

C.當(dāng)NP8A最小時(shí)，IPBI=372

D.當(dāng)NP/M最大時(shí)，IPBI=3近

解析：ACD設(shè)圓(x-5)2+(廠5)2=16的圓心為M(5,5),由題易知直線的方程為:《=1,即x+2)，

一4=0,則圓心M到直線A8的距離/=5+2=范>4,所以直線A8與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線48的距

V。5"V5

離的最大值為4+d=4+匕4+號<5+摩=10,故A正確.易知點(diǎn)尸到直線A8的距離的最小值為"-4=號一

VSvsyj5VS

4,5一4V律-4=1,故B不正確.

過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,Q,如圖所示，連接M8,MN,歷。，則當(dāng)NP84最小時(shí)，點(diǎn)P與N

重合，I=J|MBI-\MNI2=卜+(5-2)2-42=3V2,當(dāng)NP84最大時(shí)，點(diǎn)P與。重合，IPBI

=3或，故C、D都正確.綜上，選A、C、D.

12.(2。22?新廟考II卷15題)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,。)，若直線48關(guān)于對稱的直線與圓(x+3)2+

(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則〃的取值范圍是________.

答案嚕，,

解析：法一由題意知點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于直線y=a的對稱點(diǎn)為“(-2,2a—3),所以公，8=等，所以直線

的方程為y=^^+。，即(3一。)x—2.y+2a=0.由題意知直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，

易知圓心為(-3,-2),半徑為1,所以2(3；a)+(-2)x(-2)+2。&1,整理得6/—11。+3W0,解得

J<3-a)2+(-2)2

3a4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是L，1].

法二易如(A-I-3)2+(y+2)2=1關(guān)于)，軸對稱的圓的方程為Q-3)2+(y+2)2=1,由題意知該對稱圓與

直線A8有公共點(diǎn).設(shè)直線4/3的方程為,，-3=&(x+2),即履一)，+3+22=0,因?yàn)閷ΨQ圓的圓心為(3,—2),

半徑為I,所以J5〃+5IWI,解得一又2=與三所以一解得;WaW?,所以實(shí)數(shù)〃的

[-234232432

竹+(-1)

取值范圍是3

13.已知直線%—3，+〃?=。與圓。：(]一2)2+產(chǎn)=1交于M,N兩點(diǎn)，則。環(huán)麗的取值范圍為.

答案：答5+2/)

y-1-=0,

解析：設(shè)M(.ri,yi),N(X2,”)，聯(lián)立2消去y,可得(*—2)2+(x+陽),化簡可

(X—2)+yz=1,

得：21+(2〃?-4)工+3+"尸=0,貝"△=(2〃?-4)2—4X2X(3+〃尸)>0>即"*+4〃?+2<0,解得一2一四〈

W<—2+V2,由根與系數(shù)的關(guān)系得X：+X2=2—加，大a2=用土，OM?麗=內(nèi)X2+51〉2=即12+5+〃?)(必+〃?)

22222

=2.VIX2+W(A14-X2)4-W=3+W4-2W-W+W=(W+1)+2,又一2一&<〃?<一2+或，所以麗?麗=(w

+1)2+2￡[2,5+2V2).

孱/

°\^x

14.已知人(2,0),直線4x+3y+l=0被圓C：(x+3)2+(>一加)2=13(w<3)所截得的弦長為46，且P

為圓C上任意一點(diǎn).

(1)求1PAi的最大值與最小值；

(2)圓。與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)，求以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓的半徑.

解：(1)???直線4x+3)，+l=0被圓C：(1+3)2+()，一機(jī))2=13(w<3)所截得的弦長為46，

，圓心到直線的距離d=L12+：m+i?=J(713)2-(2V3)2=1.

V/?z<3,:,m=2,

???IACI=J(-3-2)2+(2-0)2=V29,

/.IPAI的最大值與最小值分別為原+g,\/29-Vl3.

(2)由(1)可得圓。的方程為(x+3)2+(y-2)占13,

令x=0,得y=0或4；令y=0,得％=0或一6,

???圓C與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)M(0,4),。(0,0),N(-6,0),

:?△MON為直角三角形，斜邊IMNI=2>/13,

???叢MON內(nèi)切圓的半徑為空■戶4=5—g.

C級?能力提升

15.已知P(x,y)是直線依+y+3=0(A>0)上一動點(diǎn)，PA,P8是圓C：f+9一2)，=0的兩條切線，A,B是切

點(diǎn)，若四邊形尸4cB的最小面積是百，則上的值為()

A.V3B.V2

C.2V3D.2V2

解析；A如圖，圓C；/+）2—2,=。的圓心為（0,1）,半徑是，=1,由圓的性質(zhì)知；S百迎炒PACH=2S&PBC,四

邊形PACB的最小面積是百，???（S.PBC）min=曰=5d（d是切線長），???dmm=/5.???IPCI的最小值為

Jl2+（V3）2=2,/.2=-7=^=,:?k=土瓜???女＞0,???攵=遮.故選A.

VVl+k2

1234T

16.如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路/,湖上有橋AB是圓。的直徑）.規(guī)劃

在公路/上選兩個(gè)點(diǎn)P,。，并修建兩段直線型道路P8,QA,規(guī)劃要求：線段PB,QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離

均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)4，3到直線/的距離分別為AC和4。（C,。為垂足），測得44=1（）,AC=6,BD

=12（單位：百米）.

（1）若道路P8與橋4B垂直，求道路的長；

（2）在規(guī)劃要求下，。和。中能否有一個(gè)點(diǎn)選在。處？并說明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路和QA的長度均為d（單位：百米），求當(dāng)d最小時(shí)，P,。兩點(diǎn)間的距離.

解：（1）如圖，過。作O〃_U,垂足為〃.

。|〃C

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線?！閥軸，建立平面直角坐