專題突破練16直線與圓

必備知識(shí)夯實(shí)練

1.（2025山東濟(jì)南一模）若直線/i：（m-2）x+3y+3=（）與直線/2：2x+（/n-l）y+2=0平行，則

）

A.4B.-4

C.1或-4D.J或，1

2.（2024北京,3）圓x2+y^-2x+6y=0的圓心到x-y+2=0的距離為（）

A.2V3B.2

C.3V2D.V6

3.（2025江蘇泰州模擬）已知直線y二米+3與圓（r2）2+（廣3）2=4相交于4,8兩點(diǎn)，若

AB22V5,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）

A.（-a）,-V3JU[V3,+oo）

B.（?8，T]U哼,+8）

C呼爭(zhēng)

D.[-V3,V3]

4.（2025山東濟(jì)寧二模）若圓x2+y1-2ax-2y-1=0關(guān)于直線x+Z?y-2=0對(duì)稱，其中。＞0力＞0,則

工+竽的最小值為（）

ab

A.2B.-

2

C.4D.2+2V5

5.（2025山東泰安二模）已知直線/與圓（x-2）2+（），-3）汩和圓（x+1）?+（），+1尸=36均相切，則

直線/的方程為（）

A.x+2y-23=0

B.x+2y+23=0

C.3_r+4y-23=0

D.3x+4y+23=0

6.（多選題）（2025江西上饒一模）已知直線/:ax+（4+l）y+2=0,圓0:爐+），2=9,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)〃，使圓。關(guān)于直線/對(duì)稱

B.直線/過(guò)定點(diǎn)（2,?2）

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)出直線/與圓。有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)

D.當(dāng)時(shí)，直線/被圓。所截弦長(zhǎng)為2

7.(多選題)(2025廣東深圳模擬)已知點(diǎn)43,0)1(0,4),點(diǎn)P在圓C:(x-3)2+(y-4)2=4上運(yùn)動(dòng)，

則下列說(shuō)法正確的是()

A.直線與圓C相離

B.APAB的面積的最小值為2

C.|P川的最大值為6

D.當(dāng)NPB4最小時(shí),|P8|二迷

8.(2025陜西漢中二模)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),P為圓C:(x-3)2+()，+B)2=3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PO|的

最大值為.

9.(2025安徽安慶二模)已知圓G:f+)，2+4x-4)，?l=0與圓。2：/+)2-法+2)，?7=0相交于兩點(diǎn)

A,8,則四邊形AGBC2的面積等于.

10.(2025湖北十堰三模)定義:min(P,0表示點(diǎn)P到曲線C上任意一點(diǎn)的距離的最小值.已

知P是圓(41)2+)2=9上的動(dòng)點(diǎn)，圓C:f+產(chǎn)=1,則min(P,O的取值范圍為.

關(guān)鍵能力提升練

11.(2023新高考I,6)過(guò)(0,-2)與圓f+y2-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,則sin

?=()

A.lB.—

4

C迎D.恒

44

12.(多選題)(2025福建廈門三模)過(guò)點(diǎn)7(30)的直線交圓Ci：(x-l)2+r=l于點(diǎn)P,Q,交圓

C2：(x-5)2+V=4于點(diǎn)MN,其中T,P,Q,MN順次排列.若17Pl=3|PQ|,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.C1P//C2MB.|MN|二2|PQ|

C.TP-772=14D.|QM|=V5

13.(2025山東日照二模)已知。01+9=16與x軸相交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)4-2國(guó),0),以為

直徑的圓與。。內(nèi)切，則△月。。面積的最大值為.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

14.(多選題)(2025廣東廣州二模)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出:三角形的外心、重

心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若△48。的三個(gè)頂點(diǎn)

坐標(biāo)分別為A(3,4),8(-1,2),C(1,0),其“歐拉線”為/,圓M:(x-〃)2+)，2=l,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.過(guò)點(diǎn)A作圓M的切線，切點(diǎn)為P,則|AP|的最小值為4

B.若直線/被圓M截得的弦長(zhǎng)為2,則a=-\

C.若圓"上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到/的距離都為1,則-1-2企vav-1+2近

D.存在使圓M上有三個(gè)點(diǎn)到/的距離都為1

答案：

1.D解析若直線Z(力2)工+3)，+3=0與直線/2：2x+("z-l)y+2=0平行,

則(，〃-2)("7-1)=3X2=6,整理可得〃P-3〃7-4=0,解得機(jī)=4或m=-l.

經(jīng)檢驗(yàn)/w=4,/w=-l符合題意.故選D.

2.C解析圓的方程為(41)2+()，+3)2=1(),圓心坐標(biāo)為(1,-3),

|1+3+2|

圓心到直線x-y+2=(.)的距離為d=故選C

J12+(-1)2

3.C解析圓。-2)2+(廣3)2=4的圓心坐標(biāo)為(2,3),半徑r=2,

當(dāng)弦長(zhǎng)時(shí)，弦心距d二卜2.(當(dāng))2="5=1,若|AB|22△則心1,

即筆譽(yù)金,解得攵母￡骨故選C.

\K+Xo

4.C解析由^r+y-lax-ly-X^得(x-a)2+G，-1)2=，+2,所以圓心為(〃』),

又圓關(guān)于直線x+by-2=0發(fā)稱,則直線x+by-2=0過(guò)圓心，即a+b=2,

1,4(2-b)+l1,9.

所以三十*=展+—^=展+

abr4,

又:+K+》等=3端+第之”°+2原)=8,

aoab22ab2yjab

'b_9a(Q=-

當(dāng)且僅當(dāng)￡=萬(wàn)，=>]，時(shí)，等號(hào)成立,所以二+q?=2+B428-4=4,故選C.

L4-b=2[b=|。>ab

5.C解析圓(x?2)2+(y-3)2=l的圓心為M(2,3),半徑為砧=1,圓(X+1/+()，+I)2=36的圓心

為M-1,-1),半徑為此=6.

因?yàn)閨MN|=J(24-1)2+(3+1)2=5=&-凡,所以兩個(gè)圓內(nèi)切,因此直線/:。:+1)2+&+1)2-?-

2)2+。?3)]2=36-1,整理得/:3x+4y-23=0,故選C.

6.BCD解析因?yàn)閳A。的圓心為(0,0),因?yàn)閍x0+m+l)x0+2=29,所以不存在滿足條件

的實(shí)數(shù)凡使得直線/經(jīng)過(guò)圓心，即不存在實(shí)數(shù)。，使圓。關(guān)于直線/對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

由直線/:a(jv+y)+y+2=0,令x+y=0j+2=0,得x=2,y=-2.所以直線/過(guò)定點(diǎn)(2,-2),故B正確;

因?yàn)?2+(-2)2=8<9,所以點(diǎn)(2,-2)在圓0:1+產(chǎn)=9內(nèi)部，又直線/過(guò)定點(diǎn)(2,?2),所以直線/與

圓O必有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，故C正確；

當(dāng)〃二二時(shí)，直線/:-%+(」+l)y+2=(),即x-y-4=0.

222

圓心。到直線/的距離仁白=2近，半徑R=3,所以直線/被圓。所截弦長(zhǎng)為

V2

2/萬(wàn)=27^5=2,故D正確.故選BCD.

7.ACD解析已知點(diǎn)43,0),8(0,4),點(diǎn)P在圓C:(x-3)2+(y-4)2=4上運(yùn)動(dòng)，則圓心為C(3,4),

半徑為2,直線AB的方程為升上=1即4工+3)、12=0則圓心C到直線AB的距離d*>2,

345

所以直線A8與圓C相離，故A正確；

因?yàn)閨4?|=5,點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為普-2=：則△PA8面積的最小值為］x5x

AD4

：=1,故B錯(cuò)誤；

1PAimax=|4C|+2=6,故C正確；

當(dāng)NP84最小時(shí)，直線與圓。相切，此時(shí)|P引二J|BC|2-4=J5，故D正確.

故選ACD.

8.38解析圓C的圓心為。(3,-8),半徑為V5.

因?yàn)閨OCI=回招=26,所以|PO|的最大值為10。|+遮=3VI

9.9解析由已知，圓CI:(X+2)2+()，-2)2=9,圓C2：(x?1)2+3+1、=9,圓心Ci:(-2,2),半徑n=3,

圓心。2：(1,-1),半徑n=3.

將兩圓方程相減，可得公共弦A3所在直線的方程為止y+l=O,點(diǎn)Ci到直線AB的距離為

*所以”=乎，即|AB|=3&,又|aC2|=J(-2?l)2+[2-(-l)f=3七所以四邊

V1+1222\

形ACxBCi的面積S=1|AB||CIC2|=9.

10.[1,3]解析記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C的圓心為原點(diǎn)，圓C的半徑為1,圓(x?l)2+y2=9的圓

心為A(1,0),半徑為3.

由圓的幾何性質(zhì)可知,min(PC)=|OP|-l,且|AP|-|OA|〈|OP|W|AP|+|OA|,即3-

1WQPIW3+1,即2W|OP|W4,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,0)時(shí),|OP|取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P

坐標(biāo)為(4,0)時(shí),|OP|取最大值，故min(P,O=|OP|-ie[l,3].

11.B解析由爐+爐心-1=0,得(1-2)2+)，2=5,

故圓心C(2,0),半徑

過(guò)點(diǎn)D(0,-2)作圓的切線，與圓的兩個(gè)切點(diǎn)為4乃,連接AC,BC,CQ,AB,

則ABLCD.ZCAD=ZCBD=^ZADC=ZBDC=^

由幾何知識(shí)得,|3。|二八。|二遙,|。。|=1(0-2)2+(-2-0)2=2企.

由勾股定理得,|AQ|二|BQ|二、|CD『-R2=V3.

a\BD\V3V6.a\BC\Vs710

cos-=----=-----=—win—=—=-----=-----

心2\CD\2V24加“2\CD\2V24

?r?。aV10口V15I/、生「

sina=2sin^cos-=2x—x—=丁.故選B.

12.ABD解析如圖，由對(duì)稱性,不妨設(shè)P,Q,M,N在工黜上方.

因?yàn)樗?罟=*NTPG,N7,MC2均為鈍角，

\TC2\|C2Ml2

易知△7PGs2X77VC2,則N7PC產(chǎn)N7MC2,故。,〃。2必故A正確；

同理可得GQ〃C2N,

所以NPG。=NMC2N.

因?yàn)楹?黑=今所以△尸GQsaMCzN,黑=今故B正確；

|C2Ml|C2/V|2\MN\2

取尸。中點(diǎn)S,連接GS,則汴-TQ=(jfS+SP)-(jfS+SQ)=TS2-SP2=(TCf-C^S2)-

(正：一室2)=]6-1=15,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)樾?3而，喬?TQ=3'PQ?4而=12而2=]5,所以|。0|=必.

2

因?yàn)閨MN|=2|尸Q|,且|7。|二4|尸Q|,

所以|QM=|QN|-|MN|=|7Q-2|PQ|二2|PQ|=V5,D選項(xiàng)正確.故選ABD.

13.8解析不妨設(shè)點(diǎn)。在第一象限.如圖，設(shè)以48為直徑的圓的圓心為E,F(2V3,0).

因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，

所以|0月二4微田川，

又0￡1為AAB/7的中位線，

所以|OE|二；|BF|,

所以33月二4二|84|=|84|+|52|=8>48，

22

所以點(diǎn)B的軌跡為以A尸為焦點(diǎn)的橢圓(左、右端點(diǎn)除外),

22

設(shè)其方程為標(biāo)+

貝1]2t/=8=>?=4,c*=2V3,/?=Va2-c2=416-12=2,

顯然當(dāng)B為橢圓短軸端點(diǎn)即(0,±2)時(shí),SABCD的面積最大，最大值為jBOHCDlWX2x8=8.

14.BC解析由題意,“8C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4),8(-l,2),C(l,0),在圓M:(x-

a)2+y2=\中,M(“,0),過(guò)點(diǎn)A作圓M的切線，切點(diǎn)為P,如圖所示，半徑

R=PM=\^\AM\=J(3-Q)2+(4-0產(chǎn)=J(3_Q)2+16.

714

O\CVMJX

易