第四章三角函數(shù)與解三角形

第20講弧度制,任意角的三角函數(shù)

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必一Pl76T7（2））若a為第一象限角，則:是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

2.下列各式不正確的是（)

77T97r

A.-210°=-B.405。=

64

。=兀。=信

C.33523D.705

12

當a為第二象限角時，IsinW_cosa的值是（）

3.

sina|cosa|

A.1B.0

C.2D.-2

4.（多選）已知角。的終邊上有一點P（4,2a）,若QVO,則（）

25

A.sin9=-5B.s\nO=-

55

C.tan8=一D.tan?=2

2

5.（人A必一P175練習T6改）已知圓心角為：的扇形所對的弧長為2兀，則

6

該扇形的面積為

聚焦知識

1.角的概念的推廣

平面內(nèi)一條射線繞著—從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖

定義

形

按旋轉方向____、____、____

分類

按終邊位置____、軸線角

終邊相所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構成一個集合S={夕正=a

同的角+2E,在Z}

2.弧度制的定義和公式

定義長度等于—的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

角，的弧度數(shù)同」（/表示弧長）

公式r

①1。=nrad：

角度與弧度180

公式的換算m

②1rad=l7iJ°

弧長公式/=____

扇形面積公S=___=____

式

注意：在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

3.任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設P（X，四是角G終邊上異于原點的任意一點，其到原點。的

距離為r

定義

X

sina—Vcosa=tana="(x#0)

/?X

I+++

各象

II+——

限符

III——+

號

IV—+—

(1)/?,a的終邊關于x軸對稱=夕=一a+2E,kGZ.

(2)/?,a的終邊關于y軸對稱Q/?=7i—a+2E,%￡Z.

(3)或，a的終邊關于原點對稱0￡=兀+0+2e，kb.

研題型能力養(yǎng)成

舉題說法

目標打象限角及其表示

例1(1)若夕是第二象限角，則：+夕是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)已知角a的終邊在如圖所示的陰影部分所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那

么角。用集合可表示為.

<總結提煉A

(1)象限角

第一象限角){aM<a<2E+，AEZ}

象

浪第二象限角),|2E+今<a<2kt+a&EZ}

角

的

集第三宗,限角),|2七1+兀<?<2版+咨*EZ}

合

第舊象限角］{?|2Ajt+y<a<2^+2n.AGZ!

(2)軸線角

終邊落在X軸上的角{a\a=iiit.AGZ)

線

角

的終邊落在y軸上的角(a|a=-y+A7t.AEZ)

集

a|a=等兀,AEZ)

變式1(多選)若a是第二象限角，則下列說法正確的是()

A.一a是第三象限角

B.鵑第三象限角

c.:+。是第二象限角

2

D.2a是第三或第四象限角或終邊在y軸負半軸上

目標間弧度制與扇形的弧長、面積公式

例2已知一扇形的圓心角為a,半徑為七孤長為/.

(1)若a=60。,7?=10cm,求扇形的弧長/;

(2)已知扇形的周長為10cm,面積是4cm，求扇形的圓心角；

(3)若扇形的周長為20cm,當扇形的圓心角a為多少弧度時，這個扇形的面

積最大？

＜總結提煉A

應用弧度制解決問題的方法：

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方

法使問題得到解決.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

變式2(2024?青島一模)2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖

文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖

案.如圖(1),出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾云紋黃玉璜”就是這樣一件

珍寶.玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，

造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積(厚度忽略不計)，測得各項數(shù)據(jù)如圖(2)：cm,

AD^2cmAO^5cm,若sin37。有，兀七3.14,則璜身(即曲邊四邊形/BCQ)

f5

的面積近似為()

圖(2)

A.6.8cm2B.9.8cm2

C.14.8cm2D.22.4cm2

目標?任意角的三角函數(shù)

例3(1)(2024?深圳一調(diào))若角a的終邊過點(4,3),則sin["+2)=()

C5D--5

(2)(多選)在平面直角坐標系xQn中，以原點。為角a的頂點，以x軸的非負

半軸為始邊，終邊經(jīng)過點P(1,〃z)(〃?V0),則下列各式的值恒大干。的是()

Asina

A.B.cosa—sina

tana

C.sinacosaD.sina+cosa

＜總結提煉A

(1)當已知角1終邊上一點P的坐標時，可利用三角函數(shù)的定義求出角。的三

角函數(shù)值.

(2)當已知角1的三角函數(shù)值時，也可以利用三角函數(shù)的定義求出點尸的坐

標.

變式3(2024?福州、廈門三檢)己知角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸非

負半軸重合，cosa=53P(m，2)為其終邊上一點，則〃7=()

A.-4B.4

C.-1D.1

新視角I三角函數(shù)線

例4（多選）已知sina>sin夕,那么下列結論正確的是（）

A.若角a,夕是第一象限角，則cosa>cos^

B.若角a,■是第二象限角,則tan夕>lana

C.若角a,夕是第三象限角，則cosfi>cosa

D.若角a,￡是第四象限角，則tana>tan/?

變式4（2018?北京卷）在平面直角坐標系中，標,cb,EF,6%是圓爐

+產(chǎn)=1上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角a以Ox為始邊，OP為終邊,

若tanaVcosaVsina,則夕所在的圓弧是（）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

隨堂內(nèi)化

1.與一2026。終邊相同的最小正角是（）

A.136°B.134°

C.57°D.43°

2.（2020?全國II卷理）若。為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2c<0

3.（2024?濟南、青島、棗莊三模）已知角a的頂點與原點重合，始邊與x軸

（.兀?兀］［_兀］

sm

的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點從8s3,3J,則cosf—6j=（）

1

A.0B.

2

23

C.D.

22

4.（2022-全國甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其

中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖，AB是以。為圓心，。4為半徑的

圓弧，。是力8的中點，D在AB上，CDVAB.“會圓術”給出薪的弧長的

近似值s的計算公式：尸48+呼2.當。力=2,N4O8=60。時，s=()

0A

5.(人A必一P180練習T3改編)已知角a的終邊經(jīng)過點P(2,—3),則sin6t

,cosa=,tana=

配套熱練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.sin2?cos3?tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

2.(2024?呂梁二模)已知角。的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊

經(jīng)過點(-3,1),則b]=()

3

A.-3B.-

3

3

C.D.3

3

3.(2025?青島默初)在平面直角坐標系xQy中，角。與角外均以x軸的非負

半軸為始邊，它們的終邊關于x軸對稱.若cosa=一；,貝ijcos(a一份=()

17

A.B.

99

9

C.1D.

7

4.中國古代數(shù)學專著《九章算術》的第一章“方田”中載有“半周半徑相

乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓的面積.南北朝時期杰出

的數(shù)學家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替弋”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)

接正多邊形的邊數(shù)〃，使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”

地估計圓周率兀.據(jù)此，當〃足夠大時，可以得至胸與〃的關系為（)

二、多項選擇題

5.若:VaV：，那么下列不等式成立的是（）

42

A.sina<cosa<tanaB.cosa<sina<tana

C.sina<a<tanaD.aVsinceVtana

6.（2024?溫州二模）已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重

合，尸（一3,4）為其終邊上一點，若角彼的終邊與角2fz的終邊關于直線歹=一x對稱,

則（）

371

A.cos（兀+a）=B.￡=2,E++2a（攵￡Z）

5

C.ta叨=（D.角夕的終邊在第一象限

7.如圖，力，B是單位圓上的兩個質(zhì)點，點3的坐標為（1,0）,

質(zhì)點/以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質(zhì)點3以2rad/s的角

速度按順時針方向在單位圓上運動，則（）

A.經(jīng)過Is后，/8O4的弧度數(shù)為;+3

B.經(jīng)過二s后，扇形力。8的弧長為1:

1212

C.經(jīng)過:s后，扇形/08的面積為;

D.經(jīng)過;s后，A,3在單位圓上第一次相遇

三、填空題

8.如圖，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角［的集合是,

9.已知角。的頂點與坐標原點重合，始邊為了軸正半軸，終邊過點4(3,歷,

4

且sin(兀+。)=,則cosO=____,tanO=____.

5

10.已知一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的;，面積等

于圓面積的士，則扇形的弧長與圓周長之比為.

27----

四、解答題

11.已知?J1=-J,且Ig(COSGC)有意義.

|sincc|sm?

(1)試判斷角。所在的象限；

(2)若角a的終邊上有一點/5,"L且。股=1(。為坐標原點)，求〃?的值

及sina的值.

12.如圖，在平面直角坐標系xQy中，角a的始邊與x軸的非負半軸重合，

且與單位圓相交于點兒它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點&始邊不動,

終邊在運動.

(1)若點8的橫坐標為一；，求tana的值；

⑵若△408為等邊三角形，寫出與角a終邊相同的角夕的集合.

B組滾動小練

13.(2024?韶關一模)若函數(shù)?r)=log2(x2—4)在(一8,0)上單調(diào)遞減,則實

數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,—2]B.[2,4-°°)

C.(—8,o]D.[0,4-°°)

14.(2024?揚州期中)若關于x的不等式P+px+gVO的解集為(一1,2),則

不等式爐+p―12>。的解集為()

x~\~q

A.(-4,2)U(3,-Foo)B.(-3,2)U(4,+?.)

C.(-co,-3)U(2,4)D.(-8,-4)U(2,3)

15.(2025?黃岡期初)已知函數(shù)—)=2出11丫+；9一(4+3.5￡1<).

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程為》=一%+4求。和6的值:

(2)討論Qx)的單調(diào)性.

第四章三角函數(shù)與解三角形

第20講弧度制、任意角的三角函數(shù)

激活思維

I.D【解析】因為a為第一象限角，所以2E<a<2質(zhì)+幾，在Z,所以<E+7c,

224

%￡Z.當A=2〃，時，2nit<a<2〃兀+7c,屬于第一象限角；當％=2〃+1,〃￡Z時，2〃兀

24

+兀<：<2nn^,屬于第三象限角，所以:是第一或第三象限角.

242

2.C【解析】對于A,—210。=-210、71=一7虱，故A正確；對于B,4050=405x%

1806180

=9n,故B正確；對于C,3350=335xn=67n,故C錯誤；對于D,705o=705xn

418036180

=管，故D正確.

3.C【解析】因為a為第二象限角，所以sina>0,cosa<0,所以.113—cosa=sin”

sina|cosa\sina

?cosa

-2.

cosa

4.BD【解析】由題知sin。==2"=-^5,tan＜9=^a=2.

a2+4a2-5a5a

■yr27111

5.12?r【解析】因為a=,/=w,，所以r=1r=12,所以扇形面積S=lr=*2"12

6兀22

6

=I2n.

聚焦知識

I.端點正角負角零角象限角

2.半徑長|a|r；lr；同戶

3.MPOMAT＞＞

舉題說法

例I(l)A【解析】方法一：因為角夕是第二象限角，所以;+2桁〈夕＜兀+2?伏，￡Z),

則2兀+2E＜：+你彳+2kn(k￡Z),故:十“是第一象限角.

方法二：因為角夕是第二象限角，取用=彳，則B,所以:+0是第一象限角.

(2)｛夕|￡-360。+45。＜。＜"360。+150。，k《Z)【解析】在0。?360。內(nèi)，終邊落在陰

影部分內(nèi)的角表示為45。＜。＜150。，所以所求知的集合為｛卻1,360。+45。＜。＜小360。+150。,

kGZ].

變式1AD【解析】由a是第二象限角，可得;+2EVaV兀+2E,k￡Z.對于A,

可得一九一2EV—aV—"-2kn,GWZ,此時一a位于第三象限，故A正確；對于B,可得

2

7r十版十人兀，kS,當攵為偶數(shù)時，〃位于第一象限：當攵為奇數(shù)時，”位于第三

42222

象限，故B錯誤：對于C,可得乃+2EV；+aV：+2而，k￡Z,所以;+a位于第三象

限，故C錯誤：對于D,可得兀+4EV2aV27t+4E,k《Z,所以2a是第三或第四象限角或

在y軸負半軸上，故D正確.

例2【解答】(1)因為。=60。=；rad,所以/=aR=；x10=(cm).

2R+Aa=10,R=4,

R=1故扇形的圓心角為;.

(2)由題意得火2=4解得，(舍去)或

2a=82,

(3)由已知得/+2R=20,所以S=；IR=；(20-2H)R=10R-R2=-(R—5)2+25,所以

當寵=5時，S取得最大值25,此時/=10,a=2.

變式2C【解析】顯然△408為等腰三角形，OA=OB-5,力歷=8,則cosN0.48=

ABAaCT—

2U,sinZOAB^,即NO48七37。，于是44。8旬06。=，所以璜身的面枳近似為

0A5590

；ZAOB(OA2~OD2)^x53nx(52-32)~14.8(cm2).

44

例3(1)A【解析】因為角a的終邊過點(4,3),所以cosa=42+32=5'所以sin

a+兀4

=cosa=

5

(2)AB【解析】由題意知sinaVO,cos?>0,tanct<0,則出n。>0,故A正確；

tana

cos?—sina>0,故B正確；sin?cos?<0,故C錯誤；sina+cosa的符號不確定，故D錯

誤.

變式3D【解析】由題意可得cos。=m=5,且加>0,解得加=1.

加+45

例4BCD【解析】設角a,夕的終邊分別為射線。尸，。。.對于A,如圖(1),sina=

MP>NQ=s\n0,此時cosa=OM,cosON,OM〈ON,所以cosa<cos//,故A錯誤；對

于B,如圖(2),sina=MP>NQ=s\np,此時tana=AC,tanp=AB,且4所以tana<tan

B，故B正確；對于C,如圖(3),sina=MQN0=sin/，此時cosa=OM,cos0=ON,且

0M<0N,所以cosQcosa,故C正確；對于D,如圖(4),sina=A/P>NQ=sin夕，此時tana

=AC,tanfi=AB,AB<ACf即tan夕〈tana,故D正確.

(例4)

變式4C【解析】方法一：設尸(X,y),如圖，有向線段OM為余弦線，有向線段

M尸為正弦線，有向線段八為正切線.對于A,當點、P在上時，^>0,cosa=x,sin

=y，所以coso>sina,故A錯誤；對于B,當點、P在CD（不含端點Q）上時，0cx

cosa=x,sina=y,tana—>1,所以tana>sina>cosa,故B錯誤；對于C,當點P在EF

x

上時，x<0,v>0,[y|>|x|，cosa=x,sina=y,tana=^<—1,所以sina>cosa>tana,故C

x

正確；對于D,當點、P在GH上且GH在第三象限時，xpYO,貝l]tana>0,sina<0>cos

a<0,故D錯誤.

方法二：若點P在4B或8上（不含端點4。），則a在第一象限，此時tana—sin

a=tana（l—cosa）>0,與tana〈sina矛盾,故排除A,B.若點P在GH上（不含端點G）,則

以在第三象限,此時tana>0,cos?<0,與tana〈cosa矛盾,排除D,故選C.

（變式4）

隨堂內(nèi)化

1.B【解析】因為一2026。=一360。乂6+134。，所以與一2026。終邊相同的最小正角

是134。.

2.D【解析】方法一：由a為第四象限角，可得3兀+2E<a<27r+2E,k^Z,所以

2

3兀+4E<2a<4兀+4E,k￡Z,此時2a的終邊落在第三或第四象限或），軸的非正半軸上，所

以sin2a<0.

方法二：當a=一瓦時，cos2a=cos[3）>0,B錯誤；當a=—"時，cos2a=cos

63

f-^1,

I3J<0,A錯誤；由a在第四象限可得sina<0,cosa>0,WOsin2a=2sinacosa<0,C錯

誤，D正確.

即PC'2）,所以sina=',cosa=^,

22

=1X3+,31X=3.

22222

4.B【解析】如圖，連接OC,因為。是力8的中點，所以OC_L48,又CD上4B,

所以。C,。三點共線，即00=04=08=2.又N/O8=60。，所以48=04=08=2,則

，所以

0C=3，故CO=2一TV—

（第4題）

5.-3J3之J3_3【解析】因為尸2,尸一3,所以點尸到原點的距離〃

13132

j_/2—工日?y-3313x2213

=2o2I+（-3）2=13.于是sina=」==一,cosa===?tan

r1313r1313

a0—V—_3?

x2

配套精煉

1.A【解析】因為:<2<3<兀<4<：，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad

的角是第三象限角，所以sin2>0,cos3<0?tan4>0>所以sin2cos3tan4<0.

2.A【解析】方法一:由角。終邊經(jīng)過點（一3,1）,可得tana=-3,，所以tan（"-

3.

I+tanatan

6

方法二：因為角a的終邊經(jīng)過點（一3,1）,所以a為笫二象限角，tan。=-3,，則a

（_7l,|

=5n+2E,%￡Z,故tanC6）=tan2H=-3.

63

3.B【解析】因為角a弓角/均以x軸的加負半軸為始邊，它們的終邊關于x軸對稱，

?88

所以cosa=cos0=—,sina=-sin0,且sin2a=1-co/a=,sinasin-sin2a=—,

399

8_7

故cos(?—/?)=costtcos/?+sinasinP=

9-9

4.A【解析】設圓的半徑為/?，將內(nèi)接正〃邊形分成〃個小三角形，由內(nèi)接正〃邊形

的面積無限接近圓的面稅即可得入修-sin37，解得吃出它。

5.BC【解析】對于A,B,如圖，在單位圓中分別作tHa的正弦線余弦線

正切線47,很容易地觀察出。WVMPV/r,即85。＜疝1“〈面16(.對于?,D,如圖，在單

位圓中分別作出。的正弦線A/P、正切線力T，則A/P=sina,/fT=tana.連接40，因為S,MOP

；OAMP=；sin?,形/”=；ai2；a,S；MOT=2OAAT=2tana.因為S/MOPVS胡形XOP

<S3OT，所以?sina<a<tana,即sina<a〈lana.

222

(第5題)

6.ACD【解析】因為角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過

點P(—3,4),所以。0=5,所以sina=4,cosa=一；,所以cos(兀+。)=-cosa=3,

555

故A正確.因為§畝2a=2$由1P0§61=2義x15J=—,cos2a=cos2?—siira=

525

[5]-Cj2=一(，所以2a的終邊與單位圓的交點坐標為1—25，-25).因為角￡的終

邊與角2a的終邊關于直線》=—%對稱，所以角少的終邊與單位圓的交點為025),所以

【an?，且4的終邊在第一象限，故C正確，D正確.因為終邊在直線)，=一》的角為E

一兀，AeZ,角2a的終邊與角夕的終邊關于y=-x對稱，所以加+"=桁一兀=￡=2履一兀

4242

-2?(^eZ),故B錯誤.

7.ABD【解析】經(jīng)過1s后，質(zhì)點/運動1rad,質(zhì)點8運動2rad,此時N8。4

的弧度數(shù)為7t+3,故A正確：經(jīng)過冗s后，/月。8='+九+2X71=77c，故扇形力。8

3121231212

的弧長為77cX|=77C,故B正確；經(jīng)過兀s后，NAOBJ+"+2X71=5兀，故扇形

121266366

408的面積為S=JX571XP=5H,故C不正確；設經(jīng)過/s后，A,8在單位圓上第一次

2612

相遇，則(+2)+：=2n,解得/=；s,故D正確.

57r

(Z-+1)兀,kGZ

8.I16

9.：一，【解析】因為角。的終邊過點4(3,y),所以sin9=,cos6=

533~十產(chǎn)

3./IA

.因為sin（7c+0）=,所以一sinO=即sin6=一4VO,所以點力在第四象限,

32+/55

所以y=-4,解得y=-4,所以cos?=3,tan9=y=-4.

32+/55x3

10.5【解析】設圓的半徑為/,，則扇形的半徑為2「?記扇形的圓心角為圓由扇

183

cal3Jcq宜/

形面枳等于圓面積的?，得2=:，解得a="，所以扇形的弧長與圓周長之比為I

27口2276C

5兀2r

=63=5