第六章數(shù)列

§6.1數(shù)列的概念

【課標(biāo)要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）2了解數(shù)列是自變量為正整

數(shù)的一類特殊函數(shù).

---------------------------落實(shí)主干知識(shí)---------------------------

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)

如果數(shù)列｛?！ǎ牡凇?xiàng)必與它的序號(hào)〃之

通項(xiàng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那

么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)

遞推公式系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子

叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式

數(shù)列｛而的把數(shù)列伍”｝從第1項(xiàng)起到第〃項(xiàng)止的各項(xiàng)

前n麻口之和，稱為數(shù)列｛呢｝的前〃項(xiàng)和，記作

S,t,即S“=0L口土二t四

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

遞增數(shù)列斯+124”

其中

遞減數(shù)列

項(xiàng)與項(xiàng)a,l+i<an

間的大常數(shù)列

an+i=a?

小關(guān)系從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些

擺動(dòng)數(shù)列

項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列口/是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)〃，對(duì)

應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第〃項(xiàng)記為斯=/（〃）.

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“4”或“X”）

⑴數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個(gè)不同的數(shù)列.（?）

（2）數(shù)列I,0,1,0,1,0,…的通項(xiàng)公式只能是呢產(chǎn)：（x）

⑶任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（x）

（4）若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).（Y）

2.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用小石子來(lái)研究數(shù).如圖中的數(shù)1,5,12,22,…稱為五邊形數(shù)，則

第8個(gè)五邊形數(shù)是

151222

答案92

解析V5-1=4,12-5=7,22-12=10,

，相鄰兩個(gè)圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3,

???第5個(gè)五邊形數(shù)是22+13=35,第6個(gè)五邊形數(shù)是35+16=51,第7個(gè)五邊形數(shù)是51+19=70,第8個(gè)五邊

形數(shù)是70+22=92.

3.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足m=l,。產(chǎn)〃+*1(心2,〃七N*),則所

”(〃+1)

U殺-2~

解析數(shù)列｛an｝滿足m=1,。產(chǎn)22,肉￡N*),

可得的=1,

6?。1=2,

。3-。2=3,

4“一。仆尸〃,

以上各式相加可得。產(chǎn)1+2+3+…+〃當(dāng)2〃N2),

又。尸1符合該式，所以。尸的羅.

4.已知數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和為S?,且S”=〃2-4〃+1,則a產(chǎn).

(-2,?1=1,

口汆l(xiāng)2n-5,n＞2

解析當(dāng)〃=1時(shí)，m=Si=-2；

22

當(dāng)〃22時(shí)，at)=S,rSn.1=z/-4/?+1-[(/?-l)-4(w-l)+1]=2〃-5.

因?yàn)楫?dāng)〃=1時(shí)，不滿足an=2n-5,

所以處尸｛十九:丁＞2

口微點(diǎn)提醒

1.靈活應(yīng)用兩個(gè)常用結(jié)論

⑴若數(shù)列俗〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，則斯=作1':；1'力＞277c中

(2)在數(shù)列3｝中,若詼最大，貝喂:若如最小，貝噴或②N1

2.掌握數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

由于數(shù)列可以看作T關(guān)于〃(〃eN*)的函數(shù)，因此它具備函數(shù)的某些性質(zhì):

⑴單調(diào)性一若35,則｛而為遞增數(shù)列；若硒則｛而為遞減數(shù)列，否則為擺動(dòng)數(shù)列或常數(shù)列

（a”+[=z7"）.

（2）周期性——若如+產(chǎn)代為非零常數(shù)），則｛〃"｝為周期數(shù)列，〃為伍〃｝的一個(gè)周期.

---------------------------探究核心題型----------------------------

題型一由。.與，的關(guān)系求通項(xiàng)公式

例1（1）（2025?漳州模擬）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為工，若3s廣為+1,則鄧等于（）

“7

C.|D.1

答案A

解析因?yàn)?S〃=a”+l,則3S"-I=4〃*+1,

兩式相減可得3an,i=4n+i-a”，

即2a^i=-afr,

令〃=7,可得2。8=-。7,

且“H0,所以詈

?72

n

（2）已知數(shù)列伍〃｝滿足￡含=〃十1，則。2025等于（）

/c=11

A.2025B.2024C.4049D.4050

答案C

解析由題意可得內(nèi)申>…告=〃+1,①

35Za-1

當(dāng)〃=1時(shí)，a1=2；

當(dāng)心2時(shí)，⑶喈?…十片凡②

5□ZH—5

①②兩式相減得產(chǎn)「1,即

zn-1

又。1=2不滿足an=2n-\,

綜上所述，小=｛黎

izn—1,n>z.

所以。2025=4049.

思維升華小與&的關(guān)系問題的求解思路

⑴利用?！?￡5/（心2）轉(zhuǎn)化為只含￡,的關(guān)系式，再求解.

⑵利用￡5『服（心2）轉(zhuǎn)化為只含仇味的關(guān)系式，再求解.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）已知數(shù)列㈤｝的前〃項(xiàng)和￡43〃-1）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.ai=1

B.數(shù)列｛〃”｝為遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛〃/是等比數(shù)列

Do“=2X3"”

答案ABC

解析V5?=1(3M-1)/

/?<ZI=SI=1X(3-1)=1,故A正確;

當(dāng)〃22時(shí)，樂］自3"」-1),

.?必=<5/93"-1)劣3〃-」尸3叫田=1也適合，???斯=3叫故D錯(cuò)誤；

?■a〃+1_3,

?"aT護(hù)腦

???數(shù)列｛為｝是公比為3的等比數(shù)歹九故C正確；

??"1,公比大于1,???數(shù)列｛詞為遞增數(shù)列,故B正確.

(2)(2024?廣州模擬)已知數(shù)列伍的前〃項(xiàng)和S廣〃2+〃，當(dāng)2取得最小值時(shí)，〃=_____

un

答案3

解析因?yàn)椤?序+〃，

22

則當(dāng)侖2時(shí)，an=Sn-Sn-i=n+n-(n-1)-(w-1)=2w,

又當(dāng)片1時(shí),a\=S\=2,滿足a“=2〃，

故an=2n,

則罟『G+M

又尸《在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)〃=3時(shí)，取得最小值，即當(dāng)〃=3時(shí)，"取得最小值.

nan

題型二山數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

命題點(diǎn)1累加法

例2(2025-常德模擬)已知數(shù)列｛%,｝滿足6=1,1=2〃&0"，則a?=.

答案—i―

口木2九一1

解析若飆+1=0,則a〃-a,r+i=0,

即廝=。肝［=0,這與671=1矛盾，所以a〃+iW0,

由。廠內(nèi)田=2""以〃+1,兩邊同時(shí)除以,

彳#

an+lan

ancn-l

]]

Q〃-1an-2

。3a2

Q2fl1

上面的式子相加可得口=2+22+23-???+2"/嗜上=2"-2(〃22),

a”ai1-2

所以許弓乙(〃22),

又3=1符合該式，所以如弓片.

命題點(diǎn)2累乘法

2

例3若數(shù)列｛a,,｝滿足?1=12,a\+2。2+3。3+,??+nan=nalll則ai025=.

林室—

口木675

解析因?yàn)閙十2a2十3。3十…十”=島"，①

所以。1+2472+3。3+…+〃斯+(〃+1)斯+1=(〃+1)20汁I,②

②-①｛導(dǎo)，(〃+1)小+|=(〃+1尸4汁|-〃％〃=>°”J：;,

ann+1

所以，7“=恐&a--------?i=|x|x|x-x—X12當(dāng)〃22),

v

a\a2。3an-i234nn

又41=12也符合，所以。〃=工，

n

所以‘72。”裝

思維升華⑴形如加"=/(〃)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

⑵形如如乜/(〃)的數(shù)列，利用累乘法，即可求數(shù)列｛端的通項(xiàng)公式.

an

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列｛。中,內(nèi)=1,〃4〃+1=2(41+02+…+a〃)(〃￡N*),則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式

為.

答案a.,=n

解析?.?〃斯+1=2伍1+。2+…+?！?，①

，當(dāng)〃22時(shí)，(〃-1)。“=25]+〃2+—+而1),②

①■②得〃麗1?(〃-1)。”=2?！ǎ?/p>

即na^\=(n+1)an,

?a，+l”+1

n

當(dāng)n=\時(shí)，結(jié)論也成立.

alt=n.

(2)(2024?鹽城模擬)凸五邊形有5條對(duì)角線，那么凸〃+2(〃22)邊形的對(duì)角線條數(shù)為()

n(n-2)B，(—+2)

Q(n+2)(n+l)(n-l)(n+2)

,2?2

答案D

解析凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角線，

則得到在凸〃+1(〃23)邊形的基礎(chǔ)上，多一個(gè)頂點(diǎn)，則多〃條對(duì)龜線，

設(shè)凸〃+2邊形有./(〃+2)條對(duì)角線，

所以4〃+2)：/(〃+1)=〃，

則人5)么4)=3,46)次5)=4,…，火什2)次〃+1)=〃，

累力口彳導(dǎo)大〃十2)7(4)=3+4十,??十%

貝!1處計(jì)2尸2+3+4+…+〃_°T—+2),〃，3,

當(dāng)〃=2時(shí)，/(4)=2也滿足此式，

所以加+2)-31器力42.

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性

例4(2024?阜陽(yáng)模擬)已知數(shù)列加〃｝滿足劣=2〃2+力?(2WR),則“｛斯｝為遞增數(shù)列”是“*0”的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

2

解析由｛四｝為遞增數(shù)列得,an+1-dn=[2(?+1Y+X(n+1)]-(2?+A?)=A+4W4-2>0,//GN\

則A>-(4〃+2)對(duì)于〃￡N.恒成立，得,Z>-6,可得i20n?-6,反之不成立.

命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性

例5(2025?孝感模擬)在數(shù)列伍”｝中，m=-2,atlan^an-\,則數(shù)列｛?。那?025項(xiàng)的積為()

A.-1B.-2C.-3

答案A

解析因?yàn)槿缧?1=〃”-1,MH0,

所以。葉1=11,

Q1

又m=-2,貝Us),a3=r,CIA=-2,

所以數(shù)列｛斯｝的周期為3,且〃Q43=?1,

設(shè)數(shù)列S“｝的前〃項(xiàng)積為7”,

則4025=41。2〃3…025=(-1)675=-1.

命題點(diǎn)3數(shù)列的最值

例6數(shù)列仍〃｝滿足乩若，則當(dāng)〃=時(shí)，乩取最大值為

.5

答案45

解析方法一,：be-b,廣3n-43n-710-3n

2n2“T2n

，當(dāng)后3時(shí)，狐｛兒｝單調(diào)遞增,

當(dāng)〃24時(shí),b?u<bni｛兒｝單調(diào)遞減,

故當(dāng)片4時(shí)，(^,)max=Z>4=^.

O

3n-73n-4

方法二2n-1-2"'

妃即3n-73Q-40

I2“一1一"-29

解若?中,

又〃WN.,???〃=4,

故當(dāng)片4時(shí)，(Z>n)max=Z>4=1.

O

思維升華⑴解決數(shù)列的周期性問題，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

(2)解決數(shù)列的單調(diào)性問題，常用作差比較法，根據(jù)差的符號(hào)判斷數(shù)列｛。〃｝的單調(diào)性.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024?周口模擬)在數(shù)列｛④｝中，41=1,42=5,。〃+2=4"+l"(〃WN),則。202s的值為()

A.5B.-5C.4D.-4

答案C

解析因?yàn)?71=1,42=5,即2=如+1-的(〃金N*),

所以。3=。2-小=4,。4=。3-。2=-1,怒=04-。3=-5,。6=〃5-。4=-4,。7=。6也5=1,。8=。7-。6=5,

故數(shù)列｛?。闹芷跒?,

所以*72025=46x337+3=43=4.

(2)已知數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為府2_小2,若｛〃”｝為遞增數(shù)列，則A的取值范圍為()

A.(l,+°°)B.(0,+°0)

C6+00)D,g,+co)

答案D

解析a〃=k〃j-2,若為遞增數(shù)列，

則猴+i>〃〃(〃￡N)

有“(〃+1)2-(〃+1')-2>kn--n-2(nGN*),

解得后熹(〃七N)

則日熹)max，

當(dāng)〃=1時(shí)，(*?，所以嗎

則攵的取值范圍為+8).

課時(shí)精練

［分值:90分］

知識(shí)過(guò)關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)

1.觀察數(shù)列1,ln2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…，則該數(shù)列的第12項(xiàng)是()

A.1212B.12C.ln12D.sin12

答案D

解析通過(guò)觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項(xiàng)是按正整數(shù)順序排列，且3個(gè)為一循環(huán)節(jié)，由此判斷第12項(xiàng)是

sin12.

2.已知數(shù)歹的前〃項(xiàng)和為s,“若s；,則等于()

A.-5B.5C.7D.8

答案B

解析因?yàn)镾尸〃2_1,

所以<73=5?-52=(32-1)-(22-1)=5.

3.已知數(shù)列｛〃”｝的項(xiàng)滿足斯+|=~^如，且41=1,則?！ǖ扔?)

B，

A?而

c?六D?圭

答案B

nccpig2_l叱二縱-L=〃-2

解析由。向小風(fēng)得手/3〃22),所以

n+Zann+2"［吟T笠'024'a75斯一2

....an-l.an-1X-X-X…義“：X?1所以七高，因?yàn)槊?1，所以?亡高，又因?yàn)閙=l滿足上

1

a\a2a3an_2*1345nn+171(71+1)n(n+lj

式，所以嶗品?

4.已知數(shù)列］〃”｝的通項(xiàng)?！?布，貝」數(shù)列伍〃｝中的最大項(xiàng)的值是()

A.3VTUB.19*D警

答案C

解析令.危)=,葉式。0),

運(yùn)用基本不等式得./&)26V10,

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)3師口寸，等號(hào)成立.

因?yàn)椋糧M=-90，〃￡N*,所以一,

nd-nnd-6V1Un

所以當(dāng)〃=9或〃=10時(shí)，?！?最大

5.已知數(shù)列｛〃”｝滿足。i=l,Q”"+I=MM:41(〃￡N"),則小等于()

22

An+ncn-n+2

A.——B.---

22

22

C,-f-D.-2

M+nnz-n+n2

答案D

解析易知?！?0,由題意，得」一工〃，

an+lan

貝U當(dāng)日22時(shí)，-1-n-\,---^—=n-2,…，-^-=1,

Q”%—1即—1%-2。2

以上各式相加得

今旨1+2+…+(〃-1尸"*1)(〃29.),

,n2-n+2

所以產(chǎn)尹i=^~

o

即""KT#*),

當(dāng)〃=1時(shí)，〃i=l適合此式,

所以嶗鼻

6.（2025?江門模擬）物理學(xué)家法蘭克本福特提出的定律：在〃進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的

概率為巧（〃）=1。劭?.應(yīng)用此定律可以檢測(cè)某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤若

80

EPlO（zi）喏嗅（攵UN）則R的值為（）

,l+log25

n=k

A.7B.8C.9D.10

答案C

80

解析￡P(guān)IOS尸乃0（左）+尸］0（人］）+…+PM80）=lg警44g絳…+及籍地和

n=k

Ig8141g3

而諼端渣尸吐旭9,故A=9.

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知數(shù)列｛*的前〃項(xiàng)和公式為S”扁,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列｛說(shuō)的首項(xiàng)為⑶乏

B.數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為Q”-:

n（n+l）

C.數(shù)列｛為｝為遞減數(shù)列

D.若數(shù)列｛S,｝的前〃項(xiàng)積為Tn,貝I」叫

答案ABC

解析對(duì)干A,數(shù)列｛扇｝的首項(xiàng)為。產(chǎn)故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)心2時(shí)，適合上式，故B正確；

n+1nn（n+l）2

對(duì)于°因?yàn)槲瘪R即京扁而齊，所以數(shù)列｛〃｝為遞減數(shù)列，故C正確；

對(duì)于D,北蔣乂白瑟…所以數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)積△心,故D錯(cuò)誤.

zo4n+1n+1n+1

2

8.已知數(shù)列｛a”｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且Sn-an=（n-1）,4=寫,則（）

A.S?=n2

B.a”=2〃

C.數(shù)列｛/%｝是遞減數(shù)列

D.數(shù)列｛'｝的最小值為等

O1

答案AD

解析,:a〃=S『S”.1（〃析2）,

:.Sn-an=Sn.\,則1)2,

即S“=〃2(〃￡N)

22

.*.6/1=1,當(dāng)〃22時(shí)，an=n-(n-1)=2n-1,

又a】=1滿足上式,。產(chǎn)2〃?1（〃￡N）故A正確，B錯(cuò)誤；

o2n-1.2乙+1

易知兀>(),,."”=■1）肝尸

(n+1)4

，銘*（黑）1當(dāng)修1時(shí)，心后1

當(dāng)IW〃<3時(shí)，bn>bn+l,當(dāng)3時(shí)，bn<bn+\,

，數(shù)列出｝不是遞減數(shù)列，且當(dāng)〃=3時(shí)，兒取得最小值羌故C錯(cuò)誤，D正確.

oi

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.已知數(shù)列｛小｝滿足四=〃2-加，〃WN',數(shù)列｛〃/是遞增數(shù)列，試寫出一個(gè)滿足條件的實(shí)數(shù)，的

值：.

答案1（，取滿足/<3的任意一個(gè)詡值即可）

解析因?yàn)閿?shù)列m〃｝是遞增數(shù)列，且斯=〃2-加，則%>如，

即（〃+1）2-7（〃+1）>n2-An,

整理可得2〃+1辦0,即太2〃+1,

因?yàn)椤ā闚*,即〃21,

所以2〃+1^3,所以*3.（2取滿足/.<3的任意一個(gè)實(shí)數(shù)值即可）

10.九連環(huán)是中國(guó)傳統(tǒng)民間智力玩具，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無(wú)窮.現(xiàn)假設(shè)

有〃個(gè)圓環(huán)，用小表示按照某種規(guī)則解下〃個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，且數(shù)列m〃｝滿足0=1,。2=2,

（〃23,〃￡N"）,則解開九連環(huán)最少需要移動(dòng)次.

答案341

解析由題意，。產(chǎn)即2+2叫

故430=2?,

45-43=24,

。力川?。力，-3=22"-2,

以上各式相加,可得。2〃-"1=22+24+…+22+2=41+42+…+4",

1一4〃4n—1

BP42n.l=]+甲+42+??.+4"一：:一J

所以按規(guī)則解開九連環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為加卓=341.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知數(shù)列｛網(wǎng)｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S?,且滿足m=l,4〃+I=26^+1.

（1）求政的值;（5分）

（2）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.（8分）

解(l);m=l,?！?1=2屬"1,

a2=2y[s[+1=2701+1=3.

(2)方法—由Q”+I=2，^+1,

得S*+i?￡=2底+1,故Sm=(6；+1片

*.*4”>0,/.S”>0,y/Sn+l=y[S^+1,

即JSn+i-J5/l,

則店-A7=I（〃、2）,

???/6't

由累加法可得居=1+（〃-1尸〃,

.?.￡=/(〃22),

又S=ai=l,滿足上式，..出尸〃2.

22

當(dāng)〃22時(shí),a,i=S,rSn-i=n-(n-1)=2w-1,

又。1=1適合上式，，?！?2〃?1.

方法二由a"+i=2JT+1，

得向-1)2=4，，

2

當(dāng)〃22時(shí)，(a?-1)=45fl.1,

**?(fl/i41-1Y-(an-1y=4(Sn-Sn.\)=4an.

Q：+i-Q津-2a“+i-2a”=0,

即(即1+詞(4〃+”"-2)=0.

Vf7n>0,.,??！?|/”=2(〃22).

又?.?“2-0=2,

???｛?。秊榈炔顢?shù)列，且公差為2,

.*.<7n=l+(/?-1)X2=2〃-1.

12.（15分）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，且小=1,S〃a.即。?1+1+1

4

⑴求；小｝的通項(xiàng)公式；(6分)

⑵若對(duì)于］壬意〃￡N*,2，"2S”恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.(9分)

解⑴因?yàn)閿?shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S”

且0=1,$產(chǎn)。7+1,即4S〃=%G+I+1,

當(dāng)〃22時(shí)，可得4S,t.\=an.\a?+\,

兩式相減得4?！??！?飆+1-加),

因?yàn)樗笻0,故a”+ra”-i=4,

所以41,。3,…，42nL…及。2,"4,…，S”，…均為公差為4的等差數(shù)列,

當(dāng)〃=1時(shí)，由。1=1及,解得俏=3,

逆4;+1

所以*1=1+4(〃-1)=2(2〃-1)-1,。2"=3+4(〃-1)=2X2w-l,

所以數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為?！?2〃-1.

(2)由⑴知an=2n-\,

可得工上若3十2,

因?yàn)閷?duì)于任意〃￡N*,2"X2S”恒成立，

所以;亙成立，

設(shè)小能則后也弋學(xué)下暝瀘,

當(dāng)1-加<〃<1+或，即〃=1,2時(shí),

t>n+\-bt>0,bH<bn^\f

當(dāng)心1+加，即〃23,〃￡N”時(shí)，

bn+1-兒<0,b”>b“+it

所以bi〈b2Vb3>1)4>1)5>…,

故S/maxY^q，所以

即實(shí)數(shù)2的取值范圍為+8).

ID能力拓展

每小題5分，共10分

13.（2024?武漢模擬）在研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過(guò)〃層薄膜，記光波的初始功

率為Po,記A為光波經(jīng)過(guò)第〃層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過(guò)第攵層薄膜時(shí)，光波的透過(guò)率八其

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中I,2,3,…，n,為使得?22-2必，則〃的最大值為（）