進(jìn)階5解析幾何中的定值問題

解析幾何中的定值問題是近幾年高考和競賽中的熱點(diǎn)題型，是指某些幾何量(如線段長度、圖形面積、直線

斜率、角的度數(shù)等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值與題目中的參數(shù)無關(guān)，不隨參數(shù)的變化而變化，始終是一

個確定的數(shù)值.

解決定值問題的基本方法是函數(shù)方法

⑴從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

⑵直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

常見的定值問題有：①斜率為定值；②斜率和(積、比)為定值；③角度為定值；④距離、面積為定值；⑤

數(shù)量積為定值；⑥系數(shù)和為定值.

題型一與斜率、角度有關(guān)的定值問題

例1已知拋物線￡：/=2PMp>0)的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求獨(dú)物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)T(t,()),若E上存在一點(diǎn)乙使得麗?可=-\,求/的取值范圍；

⑶過％-4,0)的直線交E于A,8兩點(diǎn)，過M-4,48)的直線交E于A,C兩點(diǎn),B，。位于x軸的

同側(cè)，證明：N8OC為定值.

(1)解由題意可知，焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為〃二2,

所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4x

⑵解設(shè)P(x,>-)，可知寸=4x,B0,

則而二(-x,-y),PT=(t-xt-y),

可得而/=-x(r-x)+/=A2-rx+4.r=^+(4-t)x=-1,

顯然4不滿足上式，

貝jlx>0,可得/-4=x+：,

又因?yàn)楣?工22「3二2,當(dāng)且僅當(dāng)x=

XXX

即x=l時，等號成立，

則1-422,即B6,

所以i的取值范圍為[6,+8).

(3)證明設(shè)A監(jiān),%),B償,y2),eg,y3)，

則直線AA的斜率心〃二鐺二

土今乃》

可得直線AB的方程為)，?yi=’一(％—寺，

，1+為\4/

整理得4x-()，|+yi)y+y]y2=0,

同理可得，直線AC的方程為4x-（y\+y3）y+y\yy=0,

-16+%%-0,

-16-4V5（7I+y）+丫1為二°，

（3

整理得4（J>3-y2）=百（竺”+16）,

又因?yàn)橹本€OB,OC的斜率分別為koB=^=J,

4

顯然N80C為銳角,則

tanNBOC=火。8-火。。

1+^OBkOC

代（力為+16）

4。,3-九）=V3,

y2y3+16y2y3+16

所以N8OC為定值1

思維升華解決定值問題的處理技巧

(1)思路：可從特殊情況入手(如直線的斜率不存在時)，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

(2)運(yùn)算：在運(yùn)算過程中，應(yīng)盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以利于向目標(biāo)靠攏.

跟蹤訓(xùn)練1(2025?邯鄲模擬)已知雙曲線。：*-、=1(6/>0，歷>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A(-2,0),

3(2,0),離心率為，.過點(diǎn)(4,0)的直線/與C的右支交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM,BM,8N的斜率分

另U為匕，k?,A

(I)若扇=5，求23；

(2)證明：k2{k\+依)為定值.

(1)解設(shè)雙曲線C的焦距為2c,

由題意得，a=2,￡=t，所以c二夕.

a2

因?yàn)閏2=672+b2,

所以6二百，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1

43

直線AM的方程為)，二1(x+2),

62必

由(y7=一i§(x+2'),

消去y化簡并整理得f?218=0,

解得上=4或%=-2,

又因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3).

又直線過點(diǎn)所以直線的方程為,所以

MN(4,0),MNA=4N(4,-3),^=—4—2=-2

(2)證明設(shè)M(x\,y\),N(X2,M,則k\力

x2-2

因?yàn)辄c(diǎn)M,N在雙曲線C：江-g=1上，

43

乃31__1L_.(瓷-4)_3

所以k\ki—

勺+2七-2-好-4-X?-4-4,

代一日二1

設(shè)直線MN的方程為x=〃2)，+4,由143'消去X化簡并整理得(3〃-4))，2+24〃?+36=0.

lx-my+4,

37n2-4工0,

4=144(/+4)>0,

則，-24m

…2二

36

故k&==—2—=----------2-----------

2+

Xi-2X2-2(my,+2)(my2+2)myiy22m(yt+y2)+4

36

3m2-49

?>36.——24m

/?—x—+2m-------x-4

3m—43771-4

所以木出+自)二女曲+42自=：+"I.為定值,

4\4/2

題型二與距離、面積、系數(shù)和有關(guān)的定值問題

例2已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在工軸上，斜率為I且過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢

圓于A,8兩點(diǎn)，0A+0B^a=(3,-1)共線.

(1)求強(qiáng)圓C的離心率；

⑵設(shè)M為橢圓C上任意一點(diǎn)，且兩二切X+〃礪(4,//eR),證明：下+/為定值

(1)解設(shè)橢圓。的方程為烏+4=1(?>/;>0),F(c,0),則直線A8的方程為y=x-c,

Q/

消去y并整理得(/+/力x2-2a2ex+-b2)=0,zf>0,

設(shè)點(diǎn)A(xi,yi),13(X2,)?2),由根與系數(shù)的關(guān)系可得M+X2=2aC,MX?二"一"),

a2+b2a2+b2

由耐+前=(X1+X2,)'l+)'2),。=(3,-1),

且引+赤與。共線，

得3(\1+Y2)+(Xl+X2)=0,

又y\=xi-c,yi=X2-c,

則35+M-2c)+(x\+M)=0,

???M+X2=,，即二,，

2a2+b22

可得a2=3b2=3(a2-c2)，.嗎=|,

???橢圓。的離心率為e=￡=)|=竺.

ay]33

(2)證明由⑴知々2=3/,

所以橢圓C的方程馬+4=1可化為?+3r=3b2,

設(shè)OM=(x,y),由。M=AOA+〃而得(x,y)=晨汨，9)+"(松,)2),

Ix=A%1+HX2,

卜=辦1+"2，

,：M(x,y)在橢圓上,

(Ari+/4V2)2+3(Ayi+〃J2)2=3吩,

2

***A(xf+3弁)+/(好+3y分+2A//(XIX2+3yly2)=3吩,①

由(1)知，鶯+刈二手，。、^2，//d，

X1X2+3yi),2=MM+3(xi-c)(X2-c)

=4X|X2-3c(X\+X2)+3。2

=Ie2-^c2+3c?2=0,

22

又於+3y”3b2,資+3歷=3b2,

代入①得，產(chǎn)+“2=1,

故乃+"為定值1.

思維升華解析幾何中的定值，從代數(shù)角度看，定值與參數(shù)的取值無關(guān)，選擇適當(dāng)?shù)淖兞恳约跋麉⒎椒ǎ?/p>

就可以得出定值.解答解析幾何問題，方法的選擇至關(guān)重要，如果方法選擇不當(dāng)，那么會導(dǎo)致計算量過大，

就不易得到正確的運(yùn)算結(jié)果，在分析清楚解題思路的基礎(chǔ)上，樹立優(yōu)化意識，即算法的內(nèi)在邏輯分析，優(yōu)

化解法.

跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓C：g+§=1(心〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F.,F2,以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半

軸長為半徑的圓與直線y=Vlr+3相切，點(diǎn)?在橢圓C上z|PFi|=2,/F"=60°.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/:y=k.x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且koA-koB=-《，試判斷△AO8的面積是否為定

值.若是，求出定值；若不是，請說明理由.

解(1)依題意有8=—==百，.'?"=3,

由|PR|=2及橢圓的定義得|PFd=2a-2,

由余弦定理得|PR|2+|PF2|2-2|PRHPF2|COS/BPF2=|F1F2|2,

即/-3。+3=c2,

又a?-c2二人2=3,'.a=2,

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+=二I.

43

任+=1

(2)易知〃[W0,聯(lián)立《43

(y=依+m,

可得(3+4Ar).r+Sknvc+4nr-12=0,

貝ij4=48(3+4F-/n2)>0,①

2

T-7,8km4(m-3)

又加+X2=----------，XiX2=----------,

3+4k23+4k2

yiy2=(kxi+ih)(kx2+m)

,,..23(m2-4k2}

=k~x\X2+mk{zx\+X2)+nr=-----------,

3+4/c2

_￡..,b2

田ko^'koH=-,

7TT4曰3111y23.3

可得二=-7.?->w=,

即3(924k2)__34(m2-3)

3+4上243+4fc2

解得2〃P?40=3,滿足①,

**?SAAOB=^d-\AB\

故S』O3為定值，定值為遙.

課時精練

［分值：34分］

1.(17分)已知橢圓C：9+)，2=1,A,8是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A,8的任意一點(diǎn).

(1)證明：直線PA與直線PB的斜率之積為定值；(7分)

⑵設(shè)經(jīng)過D(l,0)且斜率不為0的直線/交橢圓于M,N兩點(diǎn)，直線AM與直線BN交于點(diǎn)。，求證:

而?麗為定值.(10分)

證明(1)由題意，設(shè)點(diǎn)P(xo，泗)，4-2,0),BQ,0),

則直線處的斜率為Q八二二

X0+2

直線P8的斜率為心8=3,

又由點(diǎn)P(xo,泡在楠圓上，可得票+歷=1,

即必=1-靜二平，

所以kpA-kpii=-577=-7,

即直線PA丐直線PB的斜率之積為定值.

(2)由直線/過點(diǎn)。(1,0),且斜率不為0,

可設(shè)直線/的方程為1二6+1,

聯(lián)立白…

匕+y2二L

整理得(必+4*+2心，-3=0,J>0,

設(shè)M(x\,yi),N(xi,2),

貝ij)，i+)，2=-J-,y\y2=--7—,

則安2k

3

即3y+3y2=2ky\y2,

又由直線AM：)，二U匚4+2),

Xi+2

直線BN:y=B#?2),

聯(lián)立方程組，可得上」(1+2)=2("2),

八+2X2-2

整理得X+2=曠2燈+2=為?l+3

x-2X2-2yxky2TXi

=上.+3%=——乃-3為=3

kyiy2-yi5,2一%

解得二二4,即點(diǎn)。(4,%),

又由向量萬5=(-2,0)，麗二(4,%),

Pfi&JOAOQ=-2X4+0Xy<?=-8,

即的為定值.

2.(17分)已知雙曲線C:g-g=1QO,/?0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,且頂點(diǎn)到漸近線的距離為等，

點(diǎn)尸是雙曲線C右支上一動點(diǎn)(不與4重合)，且滿足處一的斜率之積為4.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(7分)

⑵過點(diǎn)2(-2,0)的直線/與雙曲線。交于x軸上方的M,N兩點(diǎn)，若E是線段MN的中點(diǎn)，尸是線段MN

上一點(diǎn),且篇二耦，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OE,OF的斜率之積是否為定值.若為定值，求出該定

值；若不是，請說明理由.(10分)

解⑴雙曲線C:4-77=13>0,/?0)的漸近線方程為y=±-A,即hx±ay=0,

Q/廿a

因?yàn)轫旤c(diǎn)到漸近線的距離為w,

所以母==生=獨(dú)，

M+>2c5

設(shè)P(.vo,yo)(-ro>6r),人1(-a,0),A：(a,0),

所以羽=4(x^-a2),

因?yàn)辄c(diǎn)P(M),外)在雙曲線上，

所噓-*1,

所以*=9（詔?〃），所以9=4,

又c2=/+