變軌問題及雙星、多星問題（5大考點）

目錄

考情探究.................................................................

知識梳理.................................................................

探究核心考點............................................................

考點一開普勒定律的應(yīng)用..................................................................

考點二變軌問題...........................................................................

考點三宇宙速度...........................................................................

考點=圖像問題...........................................................................

考點五雙星、多星問題....................................................................

三階突破訓(xùn)練............................................................

基礎(chǔ)過關(guān)....................................................................................

。匕

真題感知....................................................................................

＞考情探究＜

一、5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2021年全國乙卷，第5題

2021年全國甲卷，第5題

牛頓第二定律

2021年北京卷，第6題開普勒定律的應(yīng)用

機械能守恒定律

2023年浙江6月卷，第9題

2024年上海卷，第8題

1/65

2024年山東卷，第5題

2025年安徽卷，第9題

2025年廣東卷，第5題

2021年天津卷，笫5題

2022年浙江1月卷，第8題

牛頓第二定律

2022年浙江6月卷，第6題

變軌問題超重

2024年湖北卷，第4題

動能定理

2。24年浙江1月卷，第9題

2025年北京卷，第7題

2021年江蘇卷，第3題

2021年湖南卷，第7題

2023年湖南卷，第4題牛頓第二定律

宇宙速度

2024年湖南卷，第7題開普勒定律

2024年河北卷，第8題

2025年甘肅卷，第2題

2021年浙江卷，第10題

圖像問題

2023年北京卷，第21題

2023年福建卷，第8題雙星、多星問題

二、命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本講內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容。本類試題主要考杳開普勒定律的應(yīng)用，變軌問題，宇宙速

度以及雙星、多星問題，一般以選擇題形式出現(xiàn)。要求體會人類對自然界的探索是不斷深入的。要求關(guān)注

宇宙起源和演化的研究進(jìn)展。

【備考策略】1.理解、掌握開普勒定律。

2.理解、掌握變軌運行的規(guī)律。

3.理解、掌握三個宇宙速度。會計算第一宇宙速度。

4.理解、掌握雙星、多星問題的處理方法。

5.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識。

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以選擇題形式出現(xiàn)。

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A知識梳理＜

一、開普勒行星運動定律

定律內(nèi)容圖示或公式

所有行星繞太陽運動的軌道

開普勒第一定律（軌道定律）都是橢圓，太陽處在橢圓的一riA

陽

個隹點上

對任意一個行星來說，它與太

開普勒第二定律（面積定律）陽的連線在相等的時間內(nèi)掃?

過的面積粗笠

所有行星軌道的半長軸的三

不一k,衣是一個與行星

開普勒第三定律（周期定律）次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次T1

方的比都相等無關(guān)的常量

1.行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理.

1I1IV\V2

2.由開普勒第二定律可得門=34/2〃2，產(chǎn)門=,2幺「2解得一=一，即行星在兩個位置的速度大小與

到太陽的距離成反比，近日點速度量大，遠(yuǎn)日點速度最小.

3.開普勒第三定律1=女中，女值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不司的中心天體A值不同，且該定律只能用在

同一中心天體的兩星體之間.

二、寧宙速度

第一宇宙速度6=7.9km/s,是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運動的最太環(huán)

（環(huán)繞速度）繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的地上發(fā)射速度

第二宇宙速度

v2=ll.2km/s,是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度

（逃逸速度）

第三宇宙速度03=16.7km/s,是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度

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第一宇宙速度的推導(dǎo)

、nwnv21G〃堆(6.67XlO^11X5.98X1024

方法一：由G—―=m—,得。=----=?----------------------------m/s^7.9X103m/s.

R2RJAJ6.4X106

v1

方法二：由ag=〃?一得

R

9.8X6.4X106m/s^7.9X103m/s.

笫宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運行周期最短，rmin=

2心小尹s^5075s=85min.正是近地衛(wèi)星的周期.

三、衛(wèi)星的變軌和對接問題

變軌過程分析

(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道I和HI上運行時的速率分別為必、巧，在軌道I【上過力點和8點時速率分別為

vA.沏.在A點加速，則vA>V\,在B點加速，則5>DB，又因小>。3，故有力不

(2)加速度：因為在4點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道1還是軌道II上經(jīng)過/點，衛(wèi)星的加速

度都相同，同理，衛(wèi)星在軌道II或軌道HI上經(jīng)過8點的加速度也相同.

(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在I、II、山軌道上的運行周期分別為/、72、弓，軌道半徑分別為小、r2(半長軸)、「3,

r3

由開普勒第三定律開=〃可知八〈72c3.

(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒.若衛(wèi)星在I、II、川軌道的機械能分別為&、%、

扇從軌道I到軌道II和從軌道n到軌道HI都需要點火加速,貝：?VE2VB.

四、雙星或多星模型

1.雙星模型

(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng).如圖所示.

--L

(2)特點

—一..........................Gm\m2Gm\m2

①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即--;—=叫①12門,-------=m(O22^

L~L22

②兩星的周期、角速度相同,即Fj=7?>(i)\=(i)2.

③兩星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為片+r2=乙

4/65

④兩星到圓心的距離門、乃與星體質(zhì)量成反比,即竺=2.

〃?2r\

丁

⑤雙星的運動周期T=2it------------.

1G（mi+機2）

47d3

⑥雙星的總質(zhì)量用I+ni2=-,.

T-G

2.多星模型

所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同.常

見的多星及規(guī)律：

，，/M、\Gm2GMm

?---廠1——=nia向

\\RR,：22

■、?(2R)R

常見的三星模型

?■?、、

L/：\

/，人、\②——Xcos30°X2=ma向

O、、、］A2

m?:...........

m*筮

Gni2Gm2

?——Xcos45。X2+L=〃山向

L2(N

(NhXO*m

常見的四星模型m........

尸^Gm2GmM

?——Xcos30°X2H----------=ma向

/）M\Lt)2

，〃工二:。'/

五、星球“瓦解”問題黑洞

1.星球的瓦解問題

當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時，物體將會“飄起來”，進(jìn)一

GMm

步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條偏是赤道k的物體所受星球的引力恰好提供向心力,即一二=〃g2心得①

R2

\GMFGM[GM

=I一;".當(dāng)c。〉一時，星球瓦解，當(dāng)一時，星球穩(wěn)定運行.

小R3.口3

2.黑洞

黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的

運動規(guī)律間接研究黑洞.當(dāng)天體的逃逸速度（逃逸速度為其第一宇宙速度的拉倍）超過光速時，該天體就是黑

洞.

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A探究核心考點＜

考點一開普勒定律的應(yīng)用

典例1.（2025?廣東省廣州市培正中學(xué)?三模）2024年8月22日中星4A衛(wèi)星（簡稱A星）成功進(jìn)入預(yù)

定軌道I，為用戶提供了優(yōu)質(zhì)的通信傳輸業(yè)務(wù)。2025年2月22日，中星10R衛(wèi)星（簡稱R星）成功進(jìn)入預(yù)

定軌道H,為“一帶一路”沿線國家和地區(qū)提供了高效的衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)傳輸服務(wù)。已知軌道I為圓軌道，其半徑

為r,軌道II為橢圓軌道，其長軸為2兀圖中A星、R星與地心O共線，此時R星位于近地點，兩星均沿

逆時針繞行。下列說法正確的是〔）

A.R星的周期大于A星的周期

B.在圖示位置時，R星的速度大于A星的速度

C.從圖示位置運行至兩星速度方向均改變90。的過程中兩星經(jīng)歷的時間相同

D.任何相同時間內(nèi)A星與。連線掃過的面積與R星與O連線掃過的面積相等

【答案】B

【解析】A.A星的軌道半徑與R星軌道的半長軸相等，根據(jù)開普勒第三定律可知，兩星運動的周期相同,

故A錯誤；

C.R星在n軌道圖示位置的速度最大，在遠(yuǎn)地點速度最小，可知R星從圖示位置至速度方向改變90。所用

的時間小于A星從圖示位置至速度方向改變90。所用的時間，故C錯誤；

B.以。為圓心，過n軌道近地點作圓，記該圓軌道為in軌道，可知R星在n軌道近地點的速度大于其in

軌道上的線速度，根據(jù)y=，乎可知，R星HI軌道上的線速度大于A星在I軌道上的線速度，可知在圖

示位置時，R星的速度大于A星的速度，故B正確；

D.因橢圓半長軸與圓的半徑相等，故兩衛(wèi)星周期相同，且圓的面積大，由此可知，一個周期時間A星與。

連線掃過的面積大于R星與O連線掃過的面枳，故D錯誤。

故選Bo

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典例2.（2025?陜西省寶雞市?模擬檢測（一））中國的二十四節(jié)氣是中華民族優(yōu)秀的文化傳統(tǒng)與祖先廣博

智慧的世代傳承，被國際氣象界譽為中國''第五大發(fā)明”。如圖所示為地球沿橢圓軌道繞太陽運動所處的四

個位置，分別對應(yīng)我國的四個節(jié)氣。冬至和夏至?xí)r地球中心與太陽中心的距離分別為，小r2,下列說法正

A.冬至?xí)r地球的運行速度最小

B.地球運行到冬至和夏至?xí)r，運行速度之比為乜

r\

c.地球從秋分到冬至的運行時間為公轉(zhuǎn)周期的:

4

z\2

D.地球在冬至和夏至?xí)r，所受太陽的萬有引力之比為工

【答案】B

【解析】A.由開普勒第二定律可知，地球繞太陽做橢圓運動時，近地點的速度大于遠(yuǎn)地點的速度，所以冬

至?xí)r運行速度大，A錯誤；

B.行星從軌道的冬至位置經(jīng)足夠短的時間與太陽的連線掃過的面積可看作很小的扇形，其面積

5二空口：同理行星從軌道的夏至位置經(jīng)足夠短的時間人與太陽的連線掃過的面積可看伶很小的扇形,

2

其面積S=*2,；根據(jù)開普勒第二定律，得匕孕二年殳，即速度之比為a，B正確:

2224

c.由開普勒第二定律可知,冬至附近速度快,時間短,所以周期小于公轉(zhuǎn)的;'C錯誤;

/\2

D.由萬有引力公式尸二g”可知，尸與甯成反比，所以引力之比為廣D錯誤。

R~

故選B。

典例3.（2025?云南省麗江市第一高級中學(xué)?三模）某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑

為月球繞地球運動半徑的1，設(shè)月球繞地球運動的周期為27天，則此衛(wèi)星的運行周期為（）

9

7/65

A.1天

c.1天D.9天

9

【答案】C

【解析】由于5=^5，%=27天,由開普勒第三定律可得

則

心=1天

故選C。

跟蹤訓(xùn)練1.（2025-江蘇省蘇州市八校聯(lián)考?三模）哈雷彗星是目前唯一能用裸眼直接從地球看見的短周

期性彗星。哈雷彗星的質(zhì)量遠(yuǎn)小于地球的質(zhì)量，它繞太陽運動的周期約為76.1年。如圖所示，地球的公轉(zhuǎn)

軌道可近似看作圓，哈雷彗星的運動軌道是?個非常扁的橢圓，哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離只有

地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的假設(shè)哈雷彗星運動過程中只受太陽的引力作用，已知76.「B18,下列說法正確

的是（）

小二二十……°加彗星........-—

，，/入O地球

A.哈雷彗星在近日點運行的加速度小于地球繞太陽運行的加速度

B.哈雷彗星在近FI點運行的加速度等于其在遠(yuǎn)日點運行的加速度

c.地球公轉(zhuǎn)線速度約為哈雷彗星在近日點線速度的正

5

D.哈雷彗星在遠(yuǎn)口點到太陽中心的距離約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的35.4倍

【答案】D

【解析】本題考查開普勒第三定程。

【詳解】AB.根據(jù)萬有引力提供向心力有

GMm

丁二〃s

解得加速度

GM

a=^r

廠

3

哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離只有地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的-,因此哈雷彗星在近日點運行的加速度大

8/65

于地球繞太陽運行的加速度，AB項錯誤;

C.根據(jù)萬有引力提供向心力有

=m—

解得線速度

假設(shè)哈雷彗星以近日點與太陽中心的距離為半徑做勻速圓周運動，哈雷彗星在近日點到太陽口心的距離只

有地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的一，則地球公轉(zhuǎn)線速度為假設(shè)的哈雷彗星做勻速圓周運動的線速度的嚀，但實際

55

哈雷彗星在近日點的速度大于假設(shè)的哈雷彗星做勻速圓周運動的線速度，因此地球公轉(zhuǎn)線速度不等于哈雷

彗星在近口點線速度的正，C項錯誤：

5

D.哈雷彗星繞人陽運動的周期約為76.1年，方也=1年，設(shè)哈雷彗星軌道的半長軸為缶，根據(jù)開普勒第三

定律有

解得哈雷彗星橢圓軌道的半長軸為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的18倍，設(shè)哈雷彗星在遠(yuǎn)日點到太陽中心的距離為帆,

則有

生=35.4

則有哈雷彗星在遠(yuǎn)日點到太陽中心的距離約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的35.4倍，D項正確。

故選D。

跟蹤訓(xùn)練2.（2025?天津市耀華中學(xué)?二模）2025年4月24日17時17分，搭載神舟二十號載人飛船的

長征二號廠遙二十運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約10分鐘后，神舟二十號載人飛船與火箭成功

分離，進(jìn)入軌道高度約為300千米、傾角41.5度的圓軌道。之后經(jīng)過變軌，于2025年4月24日23時49

分與軌道高度約為400km的空間站成功對接。關(guān)于神舟二十號和空間站，下列說法正確的有：）

A.變軌前，神舟二十號的運行速度小于空間站

B.變軌前，神舟二十號和空間站各自與地心連線在相等時間內(nèi)掃過的面枳相等

9/65

C.變軌后，神舟二十號的機械能一定小于變軌前的機械能

D.變軌后，神舟二十號的運行周期一定大于變軌前的運行周期

【答案】D

【解析】A.根據(jù)G絲二加二

衛(wèi)星運行速度公式為

其中,?為軌道半徑（地球半徑+軌道高度）。變軌前，神舟二十號軌道高度（300km）低于空間站（400km）,

故其軌道半徑更小，運行速度更大，故A錯誤;

B.開普勒第二定律指出，同一軌道上的衛(wèi)星在相等時間內(nèi)掃過的面積相等。但神舟二十號與空間站軌道不

同，掃過的面積不相等，故B錯誤:

C.從低軌道（300km）變軌至高軌道（400km）需兩次加速，機械能增加。因此變軌后機械能應(yīng)大于變軌

前，故C錯誤;

D.根據(jù)開普勒第三定律尸”尹，軌道半徑越大，周期越長。變軌后軌道半行增大，周期必然增大，故D正

確。

故選D。

跟蹤訓(xùn)練3.（2025?湖北省新八校協(xié)作體?三模）隨著我國航天事業(yè)的蓬勃發(fā)展，天問二號成功發(fā)射開啟

對小行星的探測之旅。假設(shè)天問二號在圍繞某小行星做半徑為4的勻速圓周運動，為獲取更多小行星數(shù)據(jù),

探測器在某點沿軌道切線方向短時間噴射氣體，實現(xiàn)變軌到半徑為々（弓＞6）的圓軌道。已知該小行星的半

徑為凡引力常量為G。下列說法正確的是（）

A.探測器變軌時應(yīng)沿速度方向噴肘氣體

3兀R

B.若探測器在近小行星表面做圓周運動時的周期為《，則該小行星的平均密度為彳

C.變軌后探測器的運行周期是變軌前運行周期的

D.變軌后探測器的動能增加，引力勢能增加，機械能增加

【答案】C

【解析】A.探測器要從低軌變到高軌，需要進(jìn)行加速，應(yīng)向速度反方向噴射氣體，A錯誤;

「Mm4/八

B.根據(jù)=

M=-nRyp

3

10/65

3兀

聯(lián)立可得「=方TB錯誤;

C.由開普勒第三定律［=左

r'

T2

可得」7=

4

解得彳=J-j，C正確:

D.變軌到高軌道，根據(jù)G/二〃7匕

r~r

可知，軌道半徑變大，速度變小，動能減小，高度升高，引力勢能增大，因為只有萬有引力做功，機械能

守恒，D錯誤。

故選Co

考點二變軌問題

典例1.（2025?甘肅省慶陽市第一中學(xué)?一模）2024年10月30日，神舟十九號成功發(fā)射并對接中國空間站,

標(biāo)志著中國航天進(jìn)入新的階段。神舟十九號與中國空間站對接過程的示意圖如圖所示，神舟十九號先在近

地圓軌道I上運行，再變軌至橢圓軌道II,最后與在圓軌道H1上運行的中國空間站對接。己知地球表面的

重力加速度大小為9.8m/s2,則下列說法正確的是（）

A.中國空間站在軌道III運行的線速度大小可能為7.9km/s

B.神舟十九號在軌道II運動時的向心加速度大于9.8m/s?

C.對接后中國空間站中航天員處于超重狀態(tài)

D.神舟十九號在軌道I上運行的周期比中國空間站在軌道III上運行的周期小

【答案】D

【解析】A.第一宇宙速度7.9km/s近似等「近地11星的環(huán)繞速度，即近地圓軌道】的線速度近似等J-

7.9km/s，根據(jù)G——=m—

r~r

11/65

解得人怦

由于圓軌道III的軌道半徑大于近地圓軌道I的軌道半徑,則網(wǎng)軌道III的線速度大于近地網(wǎng)軌道I的線速度,

即中國空間站在軌道III運行的線速度大小一定小于7.9km/s,故A錯誤;

B.根據(jù)牛頓第二定律有G警二加。

GM

解得。二

-2

則近地圓軌道I的向心加速度近似等于9.8m/s2,由于軌道II上衛(wèi)星與地心連線間距大于或近似等于地球

半徑，則神舟十九號在軌道H運動時的向心加速度小于或等于9.8m/s2,故B錯誤；

C.對接后中國空間站在圓軌道HI上做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則中國空間站中航天員處

于完全失重狀態(tài)，故C錯誤;

R3

D.根據(jù)開普勒第三定律有弓白二

11不

由于圓軌道III的軌道半徑大于近地圓軌道I的軌道半徑，則神舟十九號在軌道I上運行的周期比中國空間

站在軌道HI上運行的周期小，故D正確。

故選D。

典例2.（2025-天津市北辰區(qū)?三模）（不定項選擇）國家深空探測實驗室預(yù)計在2030年前后實現(xiàn)載人登

月并建設(shè)月球基地，為此成功發(fā)射了天都一號環(huán)月衛(wèi)星負(fù)責(zé)通信和導(dǎo)航。如圖所示，天都一號在地月轉(zhuǎn)移

軌道A點實施“剎車”制動，成功進(jìn)入環(huán)月圓形軌道。已知環(huán)月軌道離月面高度為力，月球質(zhì)量為“，月球

半徑為R,引力常量為G。則（）

A.衛(wèi)星在環(huán)月軌道運行時向心加速度小于月球表面的重力加速度

B.環(huán)月圓形軌道上衛(wèi)星的線速度大小為

環(huán)月圓形軌道上衛(wèi)星的運行周期為2兀

GM

D.進(jìn)入環(huán)月圓形軌道前衛(wèi)星在A處的速度大小等于

R+h

【答案】AC

12/65

-Mm'

【解析】A.由環(huán)月軌道運行時的向心加速度關(guān)系6丁干二〃心和月球表面的重力加速度關(guān)系

（R+h）

「Mm

O—

所以有“<g，故A正確；

-Mmv2

B.由G；-----=~~

(R+h)R+h

有y"也,故B錯誤;

NR+h

C.由G=~-=m—(R+h)

(R+h\T2

有T=2%J(R+'?)，故C正確；

D.因為進(jìn)入環(huán)月圓形軌道前衛(wèi)星需要在A處減速，故速度大小應(yīng)大于JRC,故D錯誤。

NR+h

故選ACo

典例3.（2025?江蘇省南京市?二模）2024年6月25日，嫦娥六號返回器實現(xiàn)了世界首次月球背面采樣

并順利返回，為后續(xù)載人探月工程打下了堅實基礎(chǔ).設(shè)想載人飛船先在軌道I做勻速圓周運動，選準(zhǔn)合適時

機變軌進(jìn)入橢圓軌道H,到達(dá)近月點再次變軌到近月軌道III（可認(rèn)為軌道半徑等于月球半徑），最后安全落

在月球上，其中力、4兩點分別為橢圓軌道H與軌道I、HI的切點，已知月球半徑為R,月球表面重力加速度

為go,通過觀測發(fā)現(xiàn)載人飛船在橢圓軌道H的周期為近月軌道III的周期的2&倍.求：

（1）載人飛船在軌道IH上的角速度例

（2）軌道I的半徑?

(2)r=3R

【解析】

13/65

【小問1詳解】

載人飛船在軌道ni做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則行G^=根1R

R

「1￡

在月球表面有26二〃吆。

解杼。=

【小問2詳解】

（火+尸丫

根據(jù)開普勒第三定律有&=CJ2>_

T^~~個-

其中4=2/5（

解得尸=3R

跟蹤訓(xùn)練1.（2025?甘肅省白銀市?二模）2023年2月23日，我國首顆超百Gbps容量的高通量衛(wèi)星一

中星26號搭乘長征三號乙運載火箭從西昌衛(wèi)星發(fā)射中心起飛，隨后衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿

成功。假設(shè)該衛(wèi)星發(fā)射后先在近地圓軌道I（軌道高度忽略不計）做勻速圓周運動，在2點瞬時點火進(jìn)入橢

圓轉(zhuǎn)移軌道H,之后通過橢圓轉(zhuǎn)移軌道H進(jìn)入地球同步圓凱道川，定點于東經(jīng)125°，如圖所示。。點和。

點分別為軌道I與軌道H、軌道H與軌道IH的切點。若同步圓軌道HI距地面的高度約為35600km,地球

半徑A約為6400km,地球自轉(zhuǎn)周期為24h,地球表面的重力加速度為g。下列說法正確的是（）

一、同步軌道IH

P,）近地圓歲

X轉(zhuǎn)移軌道II

A.中星26號在轉(zhuǎn)移軌道H上從尸點運動到。點的過程中，機械能減小

B.中星26號在轉(zhuǎn)移軌道II點運行的速率為

C.中星26號在P點和。點的重力加速度之比約為6.6

D.中星26號在近地圓軌道I上運行的周期約為1.4h

【答案】D

【解析】A.在轉(zhuǎn)移軌道H上從尸點運動到。點的過程中，萬有引力對中星26號做負(fù)功，動能轉(zhuǎn)化為引力

勢能，機械能守恒，故A錯誤；

B.根據(jù)萬有引力提供向心力，有G粵二相五

R?R

在地球表面，有G-^~=mg

R

14/65

解得中星26號在近地圓軌道I上運行的速率為匕二質(zhì)

中星26號從近地圓軌道I變軌到轉(zhuǎn)移軌道H,做離心運動，需在2點加速，所以中星26號在轉(zhuǎn)移軌道H上

p點運行的速率V2>y[gR,故B錯誤；

C.根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系，在P點有G粵二〃7gl

R

Mm

在0點有G『二〃倏

中星26號在P點和。點的重力加速度之比約為

&(R+h『(6400km+35600km)2

"3

R2-一(6400km)2

故C錯誤;

(R+1_T2

D.由開普勒第三定律可得

—-產(chǎn)

中星26號在近地圓軌道I上運行的周期廣?1.4h

故D正確。

故選Do

跟蹤訓(xùn)練2.（2025?河北省滄州市-二模）（多選）如圖所示是嫦娥六號奔月的示意圖，嫦娥六號在地球轉(zhuǎn)

移軌道。點第一次制動后進(jìn)入橢圓軌道I,第二次制動后變?yōu)闄E圓軌道n,第三次制動后變?yōu)閳A軌道in。已

知嫦娥六號在軌道I、n、III的運行周期分別為12h、4h和2h,圓軌道III的半徑為一軌道I、H的半短軸

分別約為逐廠和后尸，月球的質(zhì)量為嫦娥六號的質(zhì)量為相，引力常量為G,橢圓的面積公式為5=乃川

（。為橢圓的半長軸，b為橢圓的半短軸），衛(wèi)星在同一軌道上運行時與中心天體的連線在單位時間掃過的

面積為常數(shù)，即;匕L=%（L為衛(wèi)星到中心天體的距離，也為速度垂直于衛(wèi)星與中心天體連線的分量）。

下列說法正確的是（）

A.橢圓軌道I的半長軸為6祈〃

B.嫦娥六號在軌道II和軌道III上經(jīng)過P點的加速度相同

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[GM

c.嫦娥六號在軌道II上經(jīng)過P點的線速度大小約為

D.嫦娥六號在P點制動，從軌道I變到軌道H的過程中，制動力所做的功約為也+浜）GMm

2r

【答案】BC

【解析】A.橢圓軟道I、H和HI的周期之比為1：4：7；=6：2:1

根據(jù)開普勒第三定律得/二者=?

解得％=y/36r,%=i/4r

故A錯誤；

B.嫦娥六號在軌道n和軌道in上經(jīng)過p點時，萬有引力提供加速度色翌二機。

r~

「1/

所以加速度均為a二十

且方向均指向月球，故B正確;

C.設(shè)在軌道HI上經(jīng)過。點時速度大小為1，3,由萬有引力提供向心力得空”二絲L

解得v3=

設(shè)嫦娥六號在軌道I和軌道H上經(jīng)過產(chǎn)點時的線速度大小為匕和電，由/匕L二左

故C正確；

D.設(shè)嫦娥六號在。點制動，從軌道I變到軌道n的過程中，制動力所做的功為什，山動能定理可得

w=一

解小陋-浜）GMm

故D錯誤。

故選BCo

跟蹤訓(xùn)練3.（2025?湖南省邵陽市?三模）（多選）2024年3月20日，鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空,

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為嫦娥六號在月球背面的探月任務(wù)提供地月間中繼通訊。鵲橋二號采用周期為24h的環(huán)月橢圓凍結(jié)軌道(如

圖)，近月點力距月心約為2.0xl0%m，遠(yuǎn)月點〃距月心約為1.8xl()4km，C。為橢圓軌道的短軸，已經(jīng)

萬有引力常量G=6.67xl(r"N-n?/kg2。下列說法正確的是(

月球//D

A

A.利用題中的條件可以估算月球的質(zhì)量

B.鵲橋二號從C經(jīng)8到D的運動時間為12h

C.鵲橋二號在4、8兩點的速度大小之比約為1：9

D.鵲橋二號在4、8兩點的加速度大小之比約為81：1

【答案】AD

【解析】A.假設(shè)有一圓軌道的衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，該圓軌道半徑等于環(huán)月橢圓凍結(jié)軌道的半長軸,

根據(jù)開普勒第三定律可知，該圓軌道的運行周期為24h,由萬有引力提供向心力可得0華二〃7”一

2qp2

4萬2尸3

可得月球的質(zhì)量為M=

GT2

則利用題中的條件可以估算月球的質(zhì)量，故A正確：

B.鵲橋二號圍繞月球做橢圓運動，根據(jù)開普勒第二定律可知，從力一C-8做減速運動，從4一。一力做加

速運動，則從C-8-O的運動時間大于半個周期，即大于12h,故B錯誤：

C.鵲橋二號圍繞月球做橢圓運動，根據(jù)開普勒第二定律可得g吟?弓=；以

43

可得鵲橋二號在力、4兩點的速度大小之比為匕j:以=rB,rA=1.8xl0:2.0xl0=9:1

故C錯誤；

D.根據(jù)牛頓第二定律可得色您二〃m

r~

42

可知橋二號在力、8兩點的加速度大小之比為」二々(1.8xl0)81

(2.0x|()3)2-T

故D正確。

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故選ADo

考點三宇宙速度

典例1.（2025?山東省濰坊市?二模）中國空間站繞地球運行方向如圖所示，由于地球遮擋陽光，空間站

內(nèi)宇航員在一天內(nèi)會經(jīng)歷多次日落日出。太陽光看作平行光，空間站經(jīng)歷一次日落到日出轉(zhuǎn)過的圓心角為

2仇則空間站線速度大小與第一宇宙速度大小之比為（）

1

B.Vsin0D.sin。

y/s\n3

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知，空間站的軌道半徑為廠=1；

sin0

根據(jù)萬有引力提供向心力可得G華=〃?二，6曾=

r2rR2

聯(lián)立可得上=Jsin6

v,

故選B。

典例2.（2025?遼寧省丹東市?二模）宇航員在某星球表面（不考慮星球自轉(zhuǎn)）完成下面實驗，在半徑為

2.4cm的豎直放置的光滑圓軌道內(nèi)部，有一個質(zhì)量為0.01kg的小球（可看作質(zhì)點）以0.3m/s的速度恰好通

過軌道最高點。該星球的半徑約3395km,引力常量G=6.67xlO^'N-m2/kg2o以下說法正確的是（）

A.該星球表面的重力加速度為g=3.75m/s?

B.該星球的第一宇宙速度約為7.9km/s

C.該星球的質(zhì)量約為6.4xl（）2°kg

D.若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的近倍，則該星球的第二宇宙速度約為3.57km/s

【答案】A

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【解析】A.小球在最高點時,重力恰好提供向心力=〃?L

r

解得g=3.75m/s?

故A正確；

2

B.該星球的第一宇宙速度為近地H星的速度，根據(jù)牛頓第二定律〃?g=〃?/

解得Ma3568m/s

故B錯誤；

C.星球表面的物體的重力等于萬有引力G粵=〃?g

解得八6.48x1（）23kg

故C錯誤；

D.若已知第二宇宙速度是第一宇宙速度的五倍，則該星球的第二宇宙速度約為

v2=6%x5046m/s=5.046km/s

故D錯誤。

故選Ao

跟蹤訓(xùn)練1.（2025?山西省太原市-一模）（多選）木衛(wèi)二繞木星做勻速圓周運動，某同學(xué)收集到一些數(shù)據(jù)

進(jìn)行估算，下列運算公式正確的是（）

物理量木星木衛(wèi)二

質(zhì)量MM=1.9x1(Pkg22

M2=4.8xiokg

天體半徑R/?i=7.1xio7m%=L6xl06m

片8

軌道半徑r=77x10"mr2=6.7xl0m

自轉(zhuǎn)周期r7=10h4=85h

667xlO-nNm2/kg2

引力常量G?

A.木衛(wèi)二做勻速圓周運動的周期為2月，牛"

B.木星和木衛(wèi)二表面的重力加速度之比為今冬

M此

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M風(fēng)

C.木星和木衛(wèi)二的第一宇宙速度之比為%"

44尸2

D太陽和木星質(zhì)量之比為無k

【答案】BC

【解析】A.由G"％=%苔）

解得7=2兀

故A錯誤;

GMm

B.由一^=〃?g

K

解得g二黑

GM}

則木星和木衛(wèi)二表面的重力加速度之比為旦

g2G%M2R；

~RT

故B正確;

c.GMmv2

c.rh———=m——

R2R

解得y=

GM

則木星和木衛(wèi)二的第一宇宙速度之比為2M4

V

2GM}M2R\

X

故C止確;

4乃一

D.由——"二M

解得"人4=7答rO,

A72

由于木星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期未知，所以太陽的質(zhì)量無法求出，故D錯誤。

故選BCo

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跟蹤訓(xùn)練2.（2025?西藏自治區(qū)日喀則市-二模）中國航天的下一個重大任務(wù)——火星探測器天問二號，

也即將踏上征程。“天問二號”發(fā)射后將沿霍身轉(zhuǎn)移軌道運動，可認(rèn)為地球和火星在同一平面沿同一方向繞太

陽做勻速圓周運動。已知火星公轉(zhuǎn)半徑是地球公轉(zhuǎn)半徑的1.5倍，則下列說法正確的是（