第10節(jié)解三角形的綜合應(yīng)用

題型分析高考中解三角形的綜合應(yīng)用問題主要涉及的題型有:(1)利用正弦定理、余弦定理求解平

面多為形中的邊、角、面積問題.(2)結(jié)合均值不等式、三隹形恒等變換求解三角形中的最值(范圍)

問題.(3)利用正弦、余弦定理和三角恒等變換證明三角形中的恒等式.

題型一多邊形中的解三角形問題

例1如圖所示，四邊形/8CQ為圓。的內(nèi)接四邊形，其中力展企,80=3,8=2企,/>4=1.

(1)求sin。的值；

(2)求四邊形ABCD的面積及圓0的半徑.

解⑴連接4G

因為四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，

所以/4+/。=兀,所以cos5=-cosD.

在△力8c中，由余弦定理力O/BZ+BGl/BBCcosB,

可得力3cosD=\1+6V2cosD.

在中，由余弦定理D,

可得力G=1+8-2X1X2或cosD

=9-4\/2cosD.

所以11+6V2cos0=9-4&cosD,

得coso=q,

又。三(0,兀)，所以sin￡>=V1-cos2D=^.

(2)由(1)知,sin。哼，

因為/3+/。=兀,所以sinB=sin。4

所以加力也433點訪B

=ixV2X3X^=^-,

21010'

S^ADc=^ADDCs\nD

=1X1X272X^1,

所以四邊形ABCD的面積

■LUOL

結(jié)合（1）得,40=11+6&cosD

=ll+6V2X(-^)=y,

所以力。上真

設(shè)四邊形ABCD外接圓的半徑為R,

7V5

可得2火=V10,

sinB7V2

10

所以四邊形ABCD外接圓的半徑R筆

思維建模平面幾何中解三角形問題的求解思路

(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形,然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；

(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件,求出結(jié)果.

訓(xùn)練1如圖,在平面四邊形ABCD中,8。=百,于點E,BE=Vi,且△彳CO的面積為△/BC

面積的2倍.

（1）求/QsinND4c的值；

⑵當(dāng)CD=3時,求線段DE的長.

解（lUcfc/OsinNO/C,

S^ABC^ACBE,S&ACL^ZS4ABC,

：.1^C\4DsinZDAC=ACBE.

：.ADsinZDAC=2BE=2y/2.

⑵由題可得CE=1.

在△力。中，

sinz.DACsinz.ACD

.9.ADsmZDAC=CDsmZACD=2y/2.

又C7>3,?,?sinN力考

cosZACD=±J1-1=±1.

在△CQE中，DE^CU+CDZ-ZCECDcos/ACD.

當(dāng)cos//。。三時，

DE?=\2+32-2XlX3\i=8,：.DE=2y/2.

當(dāng)cosN/4CQ=q時，

Q￡2=l2+32-2X1X3X（-1）=12,

：.DE=2y/3.

綜上,QE=2V5或2V3.

題型二三角形中的最值（范圍）問題

例2（2025?長沙聯(lián)考）如圖，在△48C中，有J氣里-sinB-0.

（1）求的大小；

（2）直線BC繞點、。順時針旋轉(zhuǎn);與AB的延長線交于點D,若△力8C為銳角三角形,止2,求C。長

度的取值范圍.

解⑴由產(chǎn)央-蜘8=0得產(chǎn)學(xué)新叢

兩邊平方得畔1sin2/?,

將sii/B+cosZQl代入整理得2cos咽+cosB~1=0,

解得cos或cos8=T,

因為6仁（0,兀）,所以8甘

⑵由⑴知N/8。吟

貝!JNC助T

D

B，

A

由題意可知N8CD=^,

b

則

ND]o.

設(shè)BC=a,貝！]BD=BC=a.

在△BCO中，由余弦定理得CD^BD^BC?-IBDBCcosZDBC=a2+a2-2aa^-1)=3?2,

則CD=V5a

在△RBC中,由正弦定理得飴

sin乙ACB'

2sin售+"1CB)_bcos4ACB+sin"C8_W

所以於2sin4

sin乙ACBsinZ.ACBsinZ.ACBtanZ.ACB

因為△48C為銳角三角形,

IT

i0<乙ACB<

所以八2

0<z/1<-,

、L

(0<AACB<-f

即2n

(0<-n-^ACB<-,

l32

解彳春

所以tanN力住,+8),

則總，?圖

所以8=屬忌于國仁(V3,4⑸

即CD長度的取值范圍是(V5,4V3).

思維建模三角形中的最值、范圍問題的解題策略

(1)定基本量:根據(jù)題意畫出圖形,找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關(guān)的邊、角,

并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

(2)構(gòu)建函數(shù):根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換,將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.

(3)求最值:利用均值不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求函數(shù)的最值.

訓(xùn)練2已知△46C的內(nèi)的45c的對邊分別為a,b,c,且百a(l+cosB)=bsinA.

⑴求R;

⑵若b=6,求△/面積的最大值.

解(1)由正弦定理可得VSsin41+cos8尸sinBs\nA,

VsinA^=Of.*.V3(l+cos8)=sinB,

???sin（B冶）噂

又*式-冷）,

（2）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,

得36=〃2+c2+ac23ac,得12,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立,

???△,48C的面積為：acsinB=^-ac^X12=3心

244

故△/AC面積的最大值為3遍.

題型三三角形中的證明問題

例3(2022?全國乙卷)設(shè)△"C的內(nèi)角48,。的對邊分別為Ac,已知sinCsin(4-8)=sin8sin(C-

力).

⑴若力=28,求C;

(2)證明:2〃2=62+/

(1)解由4=2B,4+B+C=m可得A=~^.

將/=28代入sinCsin(4-8)=sinBsin(CT),

可得sinCsinB=sin8sin(CT).

因為BW(0,7i),所以sinBWO,

所以sinC=sin(C-J).

又4c￡(0,兀),所以C+C-J=7i,

即A=2C-n,與4上券聯(lián)立，解得。號.

⑵證明法一由sinCs\n(A-B)

=sin^sin(C-J),

可得sinCsin可os可sinCeosJsinB

=sinBsinCeos4-sin8cosCsinA,

結(jié)合正弦定理可得，

accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

BPaccosB+abcosC=2bccosA(*).

由余弦定理的推論得，

a2+c2-b2,「a2+b2-c2

accosBD=-----------,abcosC=----------,

lj11

2Z?ccosA=brc-ai

將上述三式代入(*)式并整理,得

法二因為力+3+。=兀，

所以sinCsin(/-6)=sin(［十6)sin(力-6)

=sin\4cos2^-cos2/4sin2^

=sin2.4(1-sin25)-(1-sin2^)sin25

=sin2.4-sin2^,

同理有sin^sin(C-J)=sin(C+J)sin(C-J)

=sin2C-sin2J.

又sinCsin(J-5)=sin3sin(C—/)、

所以sin2/4-sin25=sin2C-sin2?i,

即2sin24=sin28+sin2。，

故由正弦定理可得2次=按+c2.

思維建模對于解三角形中的證明問題，要仔細(xì)觀察條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異,利用

正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即為證明過程.

訓(xùn)練3(2025?合肥質(zhì)檢)在△43。中，內(nèi)角4伉。所對的邊分別是AC.

⑴請用正弦定理證明:若a>b,則48;

(2)請用余弦定理證明:若/>8,則a>b.

證明⑴由‘

sinAsinB

d>b得sinJ>sinB.

①若4則由尸inx在(0.上單調(diào)遞增,得上B.

②若力￡(0曰，則sinJ>sin8=sin(兀-8),

此時兀-8￡(04)，由尸sinx在(0可上單調(diào)遞增，

彳導(dǎo)兀-8<=>4+8>兀，舍去.

③若8W(0,3,4￡(Q),

則sin4=sin(兀-4)>sinB,

此時兀Te(0,3由產(chǎn)sinx在(0,4上單調(diào)遞增,得兀-/>8,4+8〈兀,貝[JA>B成立.

綜上,若則A>B.

(2)由》=8$x在(0,兀)上單調(diào)遞減，

得cosJ<cosB,

則空產(chǎn)吆產(chǎn)，

則a(b2-^-c2-a2)<b(a2+c2-b2),

即ab(b-a)+c2(a-b)+(b-a)(a2+b2^-ab)<0,

即(力一4)[(4+8)2-/]=3—a)(a+b+c)(a+b-c)<0.

而〃+b+c>0,-。>0,因此a>b.

課時對點精練

1.己知△48C的內(nèi)角44,C的對邊分別為b,c,COS2Q+4)+cos

⑴求力；

(2)若亭證明:△48C是直角三角形.

(1)解由已知得sin?4+cos力V

即cos24-cos4+^=0.

，1\21

所以(cosA--]A=-.

\LJ=0,cosL

由于0<A<n,故A=^.

⑵證明由正弦定理及已知條件可得

sinB-sinC=^sinA.

由⑴知3+。丹，

所以sin8-sin(g-B)=^sin*

即|sinB-yCOSg,sin(B-g)=|.

由于Ov/g,故B=^.

從而△/BC是直角三角形.

2.(2025?北京海淀區(qū)模擬)從條件①b-ccosJ=^(V3sinCH);②sin(4+8>cos(c-中任選一個,補

充在下面橫線中，并加以解答.

在△N5C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為％b,c,.

(1)求角。的大?。?/p>

(2)設(shè)。為邊的中點;，求牖的最大值.

解⑴若選條件①:由正弦定理得

sinB-sinCeosJ=sinJ(V3sinCT),

sin(J+C)-sinCeosA

=sinJcosC+cosJsinC-sinCeosA

=sinJcosC=sin/(V5sinCT),

V/ie(0,n),Asin4WO,

cosC=V3sinCT,

即VSsinC-cosC=2sin(c—7)=1,

又?！?。,兀)，???。一吉(一?年)，

???。-戈,解得

若選條件②:：sin(4+B)cos(C-J

=sinC(cosCeos+sinCsin§

冬CeosC4sin^C

=ysin2C-icos2C-4

4in(2C-9+H'

/?sin(2C-%)=1.

??,Ce(0W.2C/(V，陰,

???2。-河，解得

oL5

⑵丁麗=運5+函，

???|而/中刀2+而2+2刀石面，

即apq伍2+次+2abeos或

=\a2^-b2+ab),

4

.S_1(a2+b2+ab)

??。2+6-。2+M

觀鼻W衿黑書當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)，

???懸的最大值洋

3.如圖，在平面四邊形ABCD中,4CJ_4DAC=AD=7,AB=3.

⑴若&)=8,求△49C的面積；

(2)若NB4c=N4DB,求BD的長.

解⑴在△4班)中，由余弦定理，得

AB2+AD2-BD2

cos/BAD=

2ABAD

9+49-64_1

2X3X77'

又sinZBAC=s\n^BAD

=-cosZBAD=^,

一1D

所以B-ACsinZBAC3.

(2)i§.ZBAC=ZADB=0,

貝!JND42與■aZABD=^--20.

在△48。中，由正弦定理，得48_4。_BD

sin6s\n/-ARDs\nz.BAD

即37BD

sin0cos26cos8

所以3cos2^=7sin0,BD=3cos^

sin0

所以6sin?例"7sin小3=0,

解得sin或sin夕-|（舍去）.

由圖易知?！辏?弓），

所以cos因止匕BD=6y/2.

4.（2025?濟南模擬）如圖，在平面四邊形/BC力中，BC1CD"B=BC=&