重慶市青木關(guān)中學(xué)校學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的斜率和直線傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線的傾斜角為，則直線的斜率，故選：C.2.已知直線：，：，若，則的值為（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式計算即可.【詳解】因為直線：，：，，所以，解得.故選：C.3.雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第1頁/共18頁【分析】由雙曲線的漸近線方程公式，即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A4.已知圓，若圓與圓外切，實數(shù)（）A.9B.C.18D.【答案】B【解析】【分析】求出對應(yīng)圓的圓心與半徑，進(jìn)而根據(jù)外切關(guān)系列式解方程即可.【詳解】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：圓，故圓心為，半徑為，圓，故圓心為，半徑為，因為圓與圓外切，所以，即，解得，所以實數(shù).故選：B5.已知直線，點為圓上一動點，則點到直線的最小距離為（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】求出圓心及半徑，再利用點到直線距離公式，結(jié)合圓性質(zhì)求出最小值.【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，則直線與圓相離，所以圓上動點到的最小距離為.故選：A第2頁/共18頁6.設(shè)拋物線的焦點為點A在C上，過A作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B.若直線BF的方程為，則（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】求出焦點和即拋物線B次求出和，再由焦半徑公式即可得解.【詳解】對，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C7.加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時，蒙日圓方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（）第3頁/共18頁A.橢圓的離心率為B.若為正方形，則的邊長為C.橢圓的蒙日圓方程為D.長方形的面積的最大值為【答案】B【解析】AC的對角線長和基本不等式可求得BD錯誤.【詳解】對于A，由橢圓方程知：，，則，橢圓的離心率，A正確；對于BC，由A知：橢圓對應(yīng)的蒙日圓方程為：，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對角線長為圓的直徑，正方形的邊長為，B錯誤，C正確；對于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，長方形的對角線長為圓的直徑，，長方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)即長方形的面積的最大值為，D正確.故選：B.8.與雙曲線有共同的右焦點第4頁/共18頁限的交點分別為A、B，直線與雙曲線右支的另一個交點為，形成以為斜邊的等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓及雙曲線定義，結(jié)合等腰直角三角形，計算求解離心率.【詳解】設(shè)左焦點為，則，，，，在中用勾股定理，化簡得，所以所以，所以.故選:C.二、多選題9.已知橢圓，則下列說法正確的是（）第5頁/共18頁A.是橢圓的一個頂點B.是橢圓的一個焦點C.橢圓的離心率D.橢圓的短軸長為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程，判斷焦點位置，求得的值，繼而寫出頂點，焦點,離心率，長短軸，根據(jù)選項逐一判斷即可.【詳解】由，可知橢圓的焦點在軸上，且，橢圓有四個頂點，分別為，焦點有兩個，分別為，橢圓的短軸長為，離心率為.故A錯誤；B,C,D均正確.故選：BCD.10.已知點分別為雙曲線為）A.雙曲線與雙曲線有相同的漸近線B.若，則的周長為C.若，則的面積為2D.若直線與雙曲線的兩支各有一個交點，則直線的斜率【答案】ABC【解析】漸近線方程即可判斷A，判斷B，設(shè)，利用勾股定理求出，再由面積公式計算即可判斷C，根據(jù)漸近線的斜率判斷D.【詳解】對于A：雙曲線，則，，故漸近線方程為，即，第6頁/共18頁對于B：由題意得，，，由雙曲線的定義得，，，，，故周長為，B正確；對于C：對稱性不妨設(shè)在右支上，設(shè)，則，，因為，所以，解得或所以的面積為，故C正確；對于D：若直線與雙曲線的兩支各有一個交點，則直線的斜率必須介于兩條漸近線的斜率之間，即，D錯誤，故選：ABC．已知橢圓的右焦點為，拋物線以為焦點，過的直線交拋物線于兩點，下列說法正確的是（）A.若，則B.，直線的傾斜角為或C.若為拋物線上一點，則的最小值為D.的最小值為9【答案】AD【解析】【分析】A選項，先得到和拋物線方程，由焦半徑公式得到；B選項，設(shè)直線的斜率為CCDB選項基礎(chǔ)上得到，由基本不等式得到.第7頁/共18頁【詳解】A選項，由題意得，故拋物線方程為，由拋物線定義得，A正確；B選項，由于直線的斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不合要求，舍去，設(shè)直線，聯(lián)立，得，設(shè)，由于，則由韋達(dá)定理得，故，解得，故直線的斜率為，傾斜角不為或，B錯誤；C選項，由題意得，準(zhǔn)線方程為，過點作垂直于直線于點，由拋物線定義得，故，要想求得的最小值，則過點作垂直于直線于點，故的最小值為，最小值為，C錯誤；D選項，由題意得，由于，故，，第8頁/共18頁因為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為9，D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．三、填空題12.等軸雙曲線的一個焦點是，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)方程為，根據(jù)焦點坐標(biāo)，可求得，即可得答案.【詳解】設(shè)等軸雙曲線方程為，一個焦點是，則，則.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.13.已知橢圓的左右焦點分別為，在橢圓上且在的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可知，，再結(jié)合等腰三角形求高和面積.第9頁/共18頁【詳解】由橢圓方程可知：，因為分別為的中點，則，可得，因為，則，且，所以的面積為.故答案為：.14.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，動點滿足，則動點的軌跡方程為__________；點為拋物線上的動點，點在上的射影為，則的最小值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，進(jìn)而結(jié)合距離公式化簡整理得點的軌跡方程為，再結(jié)合拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，則，因為，所以，整理得，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，設(shè)拋物線的焦點為，則，故是拋物線的準(zhǔn)線，所以，第10頁/共18頁因為，所以，所以，此時，分別為線段與圓和拋物線的交點.所以，的最小值為故答案為：；四、解答題15.已知圓C的方程為（1）若直線l經(jīng)過圓C的圓心，且傾斜角為，求直線l的方程；（2）若直線與圓C交于A，B兩點，求弦AB的長.【答案】（1）（2）【解析】1）首先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心坐標(biāo)可求，再由點斜式方程求解即可得答案；（2）利用點到直線的距離公式結(jié)合勾股定理知識可求解.【小問1詳解】由題意得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，由直線的點斜式方程可得直線方程為，即；【小問2詳解】第11頁/共18頁所以弦AB的長為.16.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角；（2）若的面積，，求邊的大小.【答案】（1）（2）【解析】1）由正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求出，即可得解；（2）由面積公式求出，即可求出、，再由余弦定理計算可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，∴，∴，在中，，得，，，，.【小問2詳解】，又，，所以，得，又∵，∴或，由余弦定理得，第12頁/共18頁所以.17.所在的平面垂直于底面．（1）求證：平面．（2）若，求二面角的夾角余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】1）取中點，連接，根據(jù)是等邊三角形和平面平面，得到平面，進(jìn)而有，再由，利用線面垂直的判定定理證明；（2）構(gòu)造二面角平面角后利用等面積法可求，從而可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：如圖所示：取中點，連接，是等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，又平面，平面.第13頁/共18頁【小問2詳解】解：因為，故.如圖，連接，在平面內(nèi)過點作，垂足為，平面，平面，，又∵平面，平面，平面，，為二面角的平面角.在直角梯形中，，，故，故，故，所以，即二面角的夾角余弦值為.18.已知雙曲線的實軸長為2，且焦點到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程和離心率；（2過雙曲線MN線與圓相切．【答案】（1）方程為：，離心率為2.第14頁/共18頁【解析】1）根據(jù)實軸長和焦點到漸近線的距離可求方程；（2）先聯(lián)立方程得出的表達(dá)式，進(jìn)而求得直線的方程為，再判斷直線與圓的位置關(guān)系即可證明.【小問1詳解】解：該雙曲線的漸近線為，即，設(shè)焦點為，因為雙曲線的實軸長為2，且焦點到漸近線的距離為所以解得所以雙曲線的方程為,離心率為.【小問2詳解】解：由雙曲線的對稱性，可設(shè)直線的方程為，且.聯(lián)立直線與雙曲線方程，即可得，所以，.從而.由，即，解得，則直線的方程為，即.第15頁/共18頁所以圓心到直線的距離，則直線與圓相切,所以當(dāng)時，直線與圓相切.19.已知橢圓的左右兩個焦點分別為的直線與橢圓相交于兩點，當(dāng)軸時，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點的直線與橢圓交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，.①求證：為定值；②求面積的最大值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】1）由題知，，進(jìn)而解方程即可得答案；（20和直線斜率不為0兩種情況討論求解，當(dāng)斜率不為0而結(jié)合韋達(dá)定理求解即可證明；②由①先求出，再由面積公式結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】