量綱分析基礎(chǔ)試卷一、選擇題（每題5分，共30分）下列物理量中，量綱式為$LT^{-1}$的是（）A.加速度B.速度C.力D.功率在國(guó)際單位制（SI）中，力學(xué)領(lǐng)域的基本量綱不包括（）A.質(zhì)量（M）B.長(zhǎng)度（L）C.時(shí)間（T）D.溫度（Q）無(wú)量綱量的主要特征是（）A.沒(méi)有單位B.量綱指數(shù)均為零C.只能用于比較大小D.不參與物理公式運(yùn)算用量綱分析檢驗(yàn)物理公式時(shí)，需滿足的基本原則是（）A.量綱齊次性B.單位統(tǒng)一性C.數(shù)值合理性D.符號(hào)規(guī)范性π定理中，若某物理問(wèn)題包含n個(gè)變量和m個(gè)基本量綱，則可構(gòu)建的無(wú)量綱參數(shù)數(shù)量為（）A.n+mB.n-mC.n×mD.n/m單擺周期的量綱分析中，下列哪項(xiàng)不是關(guān)鍵影響因素（）A.擺長(zhǎng)（L）B.重力加速度（g）C.擺球質(zhì)量（m）D.振幅（θ）二、填空題（每空3分，共30分）物理量的量綱表示需滿足________和________兩個(gè)基本性質(zhì)。力的量綱式為_(kāi)_______，單位為_(kāi)_______（用SI單位符號(hào)表示）。萬(wàn)有引力常數(shù)G的量綱式為_(kāi)_______，其物理意義是________。量綱分析的核心定理是________，其主要作用是________。在流體力學(xué)中，雷諾數(shù)（Re）是表征________的無(wú)量綱參數(shù)，其定義式為_(kāi)_______。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共20分）簡(jiǎn)述量綱與單位的區(qū)別與聯(lián)系。量綱是物理量的基本構(gòu)成屬性，如長(zhǎng)度（L）、質(zhì)量（M）等，它獨(dú)立于具體單位制，反映物理量的本質(zhì)特征；單位則是量綱的具體度量標(biāo)準(zhǔn)，如米（m）、千克（kg）等，不同單位制下同一量綱的單位可以不同。例如，長(zhǎng)度的量綱為L(zhǎng)，但其單位可以是米、英尺或光年。量綱決定了物理量之間的運(yùn)算規(guī)則，而單位則影響數(shù)值大小的表示。說(shuō)明π定理在物理建模中的應(yīng)用步驟。π定理的應(yīng)用步驟如下：（1）確定物理問(wèn)題中的n個(gè)相關(guān)變量；（2）選取m個(gè)獨(dú)立的基本量綱（如M、L、T）；（3）從變量中選擇m個(gè)基本量作為重復(fù)變量；（4）通過(guò)量綱齊次性構(gòu)建n-m個(gè)無(wú)量綱π參數(shù)；（5）將原物理方程轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。四、計(jì)算題（每題10分，共20分）已知自由落體運(yùn)動(dòng)中，下落距離h可能與重力加速度g、時(shí)間t有關(guān)，試用量綱分析法推導(dǎo)h的表達(dá)式。解：（1）設(shè)h=f(g,t)，變量為h、g、t，基本量綱為L(zhǎng)、T（m=2），故無(wú)量綱參數(shù)數(shù)量為n-m=1。（2）h的量綱為[h]=L，g的量綱為[g]=LT?2，t的量綱為[t]=T。（3）設(shè)h=k·g?·t?，其中k為無(wú)量綱常數(shù)。（4）量綱方程：L=(LT?2)?·T?=L?·T?2???（5）對(duì)比指數(shù)得：對(duì)L：1=a對(duì)T：0=-2a+b?b=2a=2（6）因此，h=k·g·t2，實(shí)驗(yàn)表明k=1/2，即h=?gt2。已知單擺周期T可能與擺長(zhǎng)l、重力加速度g、擺球質(zhì)量m有關(guān)，用量綱分析法證明周期與質(zhì)量無(wú)關(guān)。解：（1）設(shè)T=f(l,g,m)，變量為T(mén)、l、g、m，基本量綱為M、L、T（m=3），無(wú)量綱參數(shù)數(shù)量為n-m=1。（2）各量綱式：[T]=T，[l]=L，[g]=LT?2，[m]=M。（3）設(shè)T=k·l?·g?·m?，k為無(wú)量綱常數(shù)。（4）量綱方程：T=L?·(LT?2)?·M?=L???·T?2?·M?（5）對(duì)比指數(shù)得：對(duì)M：0=c?c=0對(duì)L：0=a+b對(duì)T：1=-2b?b=-1/2，a=1/2（6）因此，T=k·√(l/g)·m?，即周期T與質(zhì)量m無(wú)關(guān)，僅與擺長(zhǎng)l和重力加速度g有關(guān)。五、綜合應(yīng)用題（20分）背景：流體在水平圓管中流動(dòng)時(shí)，管道兩端的壓強(qiáng)差Δp可能與管徑d、流體密度ρ、粘度μ、流速v有關(guān)。要求：（1）用π定理構(gòu)建無(wú)量綱參數(shù)；（2）推導(dǎo)壓強(qiáng)差的表達(dá)式形式。解：（1）確定變量與量綱：變量：Δp、d、ρ、μ、v（n=5）基本量綱：M、L、T（m=3），無(wú)量綱參數(shù)數(shù)量=5-3=2。（2）選擇重復(fù)變量：d（L）、v（LT?1）、ρ（ML?3）。（3）構(gòu)建第一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)π?=Δp·d?·v?·ρ?：[Δp]=ML?1T?2，代入量綱方程：ML?1T?2=L?·(LT?1)?·(ML?3)?=M?·L????3?·T??解得：c=1，b=2，a=0?π?=Δp/(ρv2)（4）構(gòu)建第二個(gè)無(wú)量綱參數(shù)π?=μ·d?·v?·ρ?：[μ]=ML?1T?1，代入量綱方程：ML?1T?1=L?·(LT?1)?·(ML?3)?=M?·L????3?·T??解得：c=1，b=1，a=1?π?=μ/(ρvd)=1/Re（雷諾數(shù)）（5）無(wú)量綱關(guān)系式：π?=f(π?)?Δp/(ρv2)=f(Re)因此，Δp=ρv2·f(Re)，其中f(Re)為雷諾數(shù)的函數(shù)。六、證明題（20分）題目：證明物理公式v2=u2+2as的量綱齊次性（其中v、u為速度，a為加速度，s為位移）。證明：（1）各物理量量綱：[v]=[u]=LT?1[a]=LT?2[s]=L（2）等式左側(cè)量綱：[v2]=(LT?1)2=L2T?2（3）等式右側(cè)量綱：[u2]=(LT?1)2=L2T?2[2as]=[a]·[s]=LT?2·L=L2T?2整體右側(cè)量綱：L2T?2+L2T?2=L2T?2（4）左側(cè)量綱（L2T?2）與右側(cè)量綱（L2T?2）完全一致，故該公式滿足量綱齊次性。七、分析題（20分）背景：1945年美國(guó)Trinity核試驗(yàn)中，G.I.Taylor通過(guò)量綱分析估算爆炸能量。已知沖擊波半徑R與能量E、密度ρ、時(shí)間t有關(guān)。問(wèn)題：（1）寫(xiě)出各物理量的量綱式；（2）推導(dǎo)R與t的冪次關(guān)系；（3）若某次實(shí)驗(yàn)中測(cè)得R∝t?·?，求能量E的量綱表達(dá)式。解：（1）量綱式：[R]=L[E]=ML2T?2（能量=力×距離=MLT?2·L=ML2T?2）[ρ]=ML?3[t]=T（2）設(shè)R=k·E?·ρ?·t?，量綱方程：L=(ML2T?2)?·(ML?3)?·T?=M???·L2??3?·T?2???對(duì)比指數(shù)：M：0=a+bL：1=2a-3bT：0=-2a+c解得：a=1/5，b=-1/5，c=2/5?R∝t2/?（3）由R∝t?·?=t2/?，代入E的指數(shù)a=1/5，得：E∝R?·ρ·t?2?[E]=L?·(ML?3)·T?2=ML2T?2，與能量量綱一致。八、應(yīng)用題（20分）題目：估算直徑為d的小球在粘性流體中下落的收尾速度v。已知影響因素包括重力加速度g、流體密度ρ、小球密度ρ?、流體粘度μ。解：（1）變量：v、d、g、ρ、ρ?、μ（n=6），基本量綱M、L、T（m=3），無(wú)量綱參數(shù)數(shù)量=3。（2）選擇重復(fù)變量：d、g、ρ，構(gòu)建無(wú)量綱參數(shù)：π?=v·d?·g?·ρ??[v]=LT?1=L?·(LT?2)?·(ML?3)??a=-1/2，b=-1/2，c=0?π?=v/√(gd)π?=ρ?/ρ（密度比，無(wú)量綱）π?=μ·d?·g?·ρ??[μ]=ML?1T?1=L?·(LT?2)?·(ML?3)??a=3/2，b=1/2，c=-1?π?=μ/(ρd√(gd))（3）無(wú)量綱關(guān)系：π?=f(π?,π?)?v=√(gd)·f(ρ?/ρ,μ/(ρd√(gd