第2章特殊三角形

一、軸對(duì)稱(chēng)圖形與圖形的軸對(duì)稱(chēng)

1.粕對(duì)稱(chēng)圖形的定義：如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠互相去合，那么這個(gè)圖

形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.

2.粕對(duì)稱(chēng)是一個(gè)圖形的性質(zhì)，一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸是一條直線，不是線段或射線；

3.粕對(duì)稱(chēng)圖形至少有一條對(duì)稱(chēng)軸，但是可以不止一條對(duì)稱(chēng)軸，如圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條，每條直徑所在的直

線均是圓的對(duì)稱(chēng)軸。

4.如對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)軸理直至今二連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線段

5.圖形的軸對(duì)稱(chēng)定義：由一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，并使這兩個(gè)圖形沿某一條直線折疊后能夠互相重合，這

樣的圖形改變叫做圖形的軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.

6.圖形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是圖形.圖形成軸對(duì)稱(chēng)是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系.

二、等腰三角形

1.等腰三角形定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。

2.等功三角形定義：有三條功相等的三角形叫做等功三角形。等功三角形是?特殊的等三三角形：等腰三

角形的對(duì)稱(chēng)軸有1條或3條.

3.等腰三角形的性質(zhì)定理：

性質(zhì)定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱(chēng)等邊對(duì)等角。

性質(zhì)定理2等腰三角形的頂憑平分線、底邊上的中線和高線互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)等腰三角形三線合一.

4.等邊三角形三個(gè)角都等于@二，三邊均存在“三線合一”.

5.等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。簡(jiǎn)稱(chēng)等角對(duì)等

逅.

6.等腰三角形判定的其他方法:

①定義法：有兩條邊長(zhǎng)相等的三角形叫做等腰三角形；

②“三線合一”的逆應(yīng)用：

當(dāng)三角形一邊上的高線和這邊的二L幺L重合時(shí)，可通過(guò)全等證邊相等得等腰三角形；

當(dāng)三角形一內(nèi)角的上與這個(gè)角對(duì)邊的高線重合時(shí)，可通過(guò)全等證邊相等得等腰三角形；

7.等邊三角形的判定定理

①定義法：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

②有一個(gè)叫是④二的等腰三角形是等邊三角形

③底邊與腰相等的等腰三角形是等邊三角形

④有兩個(gè)角是6（）。的三角形是等邊三角形

三、逆命題和逆定理

1.互逆命題：如果第一個(gè)命題的條件是第一個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命題的條件，那么

這兩個(gè)命題叫做互逆命題；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。

2.逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理；這兩個(gè)定理叫做

互逆定理。

3.線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

四、直角三角形

1.直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形

2.直角三角形的性質(zhì)：

（1）直角三角形兩銳角互余

（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

（3）30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

3.直角三角形的判定定理：

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角三

4.判定直角三角形的其他方法：

（1）定義法；

（2）一邊上的中線等于這邊長(zhǎng)的一半的三角形可以證的是直角三角形:

（3）勾股定理的逆定理；

5.勾股定理：直角三角形兩條直集邊的平方和等于斜邊的平方；

如圖則有：在RsABC中，a?+b2=C?.

6.勾股定埋的逆定埋

如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形;

如圖：若a2+b2=c?,則有ZiABC為直角三角形，ZC=90°

7.在使用勾股定理的逆定理時(shí)，先確定數(shù)據(jù)符合a2+b2=c2,再得AC2+BC2=AB2,最后再寫(xiě)AABC為直角三

角形

8.直角三角形全等的判定方法——HL

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)為“斜邊、直角邊”或“HL”)

9.使用HL證明兩個(gè)直角三角形全等的一般格式：

例：如圖，已知直角AABC與直角ADEF中，ZC=ZE=90°

AC二DE,AB=DF,求證：RtAABC^RtADEF

證明：在RSABC和Rt^DEF中

ARtAABC^RtADEF(HL)

10.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.

易錯(cuò)總結(jié)

一、軸對(duì)稱(chēng)圖形與圖形的軸對(duì)稱(chēng)

1.粕對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)

錯(cuò)誤：不能通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，比如通過(guò)找到對(duì)稱(chēng)軸兩邊對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)來(lái)判斷邊長(zhǎng)相等。

注意：軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)軸兩邊對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)的圖形全等，因此對(duì)應(yīng)的圖形的面積和周長(zhǎng)

也相等。

例I如圖，將沿BC翻折，使點(diǎn)4落在點(diǎn)A處，過(guò)點(diǎn)8作80I4C交4。于點(diǎn)D,若乙A'RC=30。，乙BDC=

140。，則的度數(shù)為.

【答案】1307130度

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別

圖形是解題的關(guān)鍵.根據(jù)折疊的怛質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到=根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得

到結(jié)論.

【詳解】解：???將△A8C沿8c翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，

：,LABC=LA:BC=30°,Z.ACB=LA!CB,LA=匕A',

'：AC||BD,

：,AACB=乙CBD,

:?乙BCD=乙CBD,

,:乙BDC=140°,

："CBD=乙BCD=：x(180°-140°)=20°,

??2CB4=30°,

：,LA'BD=10°,

=乙BDC-乙A'BD=140°-10°=130°,

Az/4=乙4'=130°,

故答案為：130。.

2.畫(huà)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖

錯(cuò)誤：在畫(huà)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖時(shí)，不按照對(duì)稱(chēng)軸的要求去畫(huà)。

注意：畫(huà)已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖，要注意原圖形的位置，并確認(rèn)對(duì)稱(chēng)軸的位置，才能畫(huà)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，形成對(duì)應(yīng)

圖形。

例2(2526七年級(jí)上?全國(guó)?課后伍業(yè))如圖，△4BC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(2,4),B(3,3),C(0,2).

(1)請(qǐng)畫(huà)出△力8C關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)的△A】8】G；

(2)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的4A282c2；

⑶求△ABC的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)2

【分析】本題考查作圖一軸對(duì)稱(chēng)變換、坐標(biāo)與圖形、三角形面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相

關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

(1)作出點(diǎn)力,5。關(guān)于K軸對(duì)稱(chēng)的再順次連接即可；

(2)作出點(diǎn)48,C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的42,6,Q，再順次連接即可；

(3)利用割補(bǔ)法求解即可.

【詳解】⑴解:如圖：即為所作:

(2)解：如上圖,△&82C2即為所求;

(3)解：△NBC的面枳：2x3-ix2x2-|xlxl-|xlx3=2.

3.圖形的軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

錯(cuò)誤：已知條件明確了某點(diǎn)、某線關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和線的，不能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行等量代換，獲得對(duì)

稱(chēng)軸另一側(cè)的有用條件。

注意：圖形的軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸兩邊的圖形全等，因此對(duì)應(yīng)邊、角也相等；對(duì)稱(chēng)軸是連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段的垂

直平分線。

例3如圖，已知乙44c=45。，。為N8AC內(nèi)一點(diǎn)，且力。=8,若點(diǎn)。關(guān)于45,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別記作點(diǎn)￡,

F,連接￡4、凡4、E凡則尸的面積為.

【答案】32

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及三角形的面枳，熟知軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的

性質(zhì)得出匕E4F=90。及E/1=FA=DA,再結(jié)合三角形的面積公式即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖所示，

???點(diǎn)。關(guān)于4RMC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別記作點(diǎn)E，F(xiàn),

：,EA=FA=DA,^EAB=乙DAB,乙FAC=Z.DAC,

又=45tAO=8,

???EA=FA=DA=8,^EAF=2x45°=90°,

???AAEF的面積為］x8x8=32.

故答案為:32.

4.“將軍飲馬”作圖

錯(cuò)誤：作圖時(shí)沒(méi)有正確作已知點(diǎn)關(guān)于“河”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

注意：“將軍飲馬''問(wèn)題在作圖時(shí)，一定要正確作已知點(diǎn)A關(guān)于“河”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)AL正確步驟是作垂線并延長(zhǎng)

一倍。然后將該點(diǎn)與“河”對(duì)岸的另一個(gè)點(diǎn)B相連。

例4（2425八年級(jí)上?廣東東莞?期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,網(wǎng)格中有一個(gè)

格點(diǎn)△4BC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

⑴作出△4BC關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)的△先名的（要求A與4i，8與團(tuán),。與Ci相對(duì)應(yīng)）；

（2）求△ABC的面積

（3）在直線I上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小.（保留作圖痕跡）

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）5

（3）見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖軸對(duì)稱(chēng)變換，三角形的面積，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)變

換的性質(zhì).

（1）利用軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)分別作出4，B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4，Bi，G，依次連接即可；

（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周?chē)娜齻€(gè)三角形面積即可；

（3）連接481交直線/于點(diǎn)P,連接PB,則P8=P8i，i^24+PB=PA+P8i=4B］，根據(jù)西點(diǎn)之間線段

最短可得此時(shí)PH+PB最小，即點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】（1）解：如圖，△力即為所求；

1X2X2-1X1X4=5;

1.等腰三角形兩腰相等相關(guān)的分類(lèi)討論

錯(cuò)誤：題目沒(méi)有明確等腰三角形哪兩邊是腰的，沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)討論。

注意：在題目未明確等腰三角形哪兩邊是腰時(shí)，要進(jìn)行任意兩邊可能相等的分類(lèi)討論。尤其，在根據(jù)已知

兩點(diǎn)，找第三點(diǎn)與其組成等腰三角形的，就更要有分類(lèi)討論的意識(shí)。

A

（在直線a上找一點(diǎn)P使得aABP是等腰三角形；AB可能是腰也可能是底）

例5若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,則它的周長(zhǎng)為.

【答案】12

【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系分情況

討論是解題的關(guān)鍵.

分腰長(zhǎng)為2和腰長(zhǎng)為5兩種情況，分別確定三邊，然后再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷，最后再求周長(zhǎng)即可。

【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為2時(shí)，底邊長(zhǎng)為5,

V2+2<5,

???不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5時(shí)，底邊長(zhǎng)為2,

V2+5=7>5,

???能構(gòu)成三角形；

???等腰三角形的周長(zhǎng)5+5+2=12.

綜上所述：等腰三角形的周長(zhǎng)為12.

故答案為：12.

2.等腰三角形兩底角相等的運(yùn)用

錯(cuò)誤：在已知等腰三角形的前提下，沒(méi)有將“兩底角相等”的已知條件運(yùn)用起來(lái)

注意：在已知三角形是等腰三角形時(shí)，要第一時(shí)間將兩底角相等標(biāo)注在圖形中，作為重要的推論。

例6如圖，的點(diǎn)A、C在直線I上，48=120。，LACB=40°,若點(diǎn)P在直線，上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)4ABP成為

等腰三角形時(shí)，貝吐48P度數(shù)是.

【答案】10?；?0?；?0?；?40。

【分析】分三種情形：AB=AP,PA=PB,BA=BP分別求解即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，

在ZL4BC中，:乙BAC=1800-Z.ABC-^ACB=180°-120°-40°=20°,

①當(dāng)/IB=4P時(shí)，Z-ABP1=乙AP$=100,Z,ABP3=Z,AP3B="180。-20°)=80°,

②當(dāng)P4=P8時(shí)，Z-ABP2=Z.AP2B=20°,

③當(dāng)84=BP時(shí)，Z.ABP^=180°-20°-20°=140°,

綜上所述，滿足條件的乙48P的值為10?；?0?；?0。或140。.

3.等腰三角形兩角相等相關(guān)的分類(lèi)討論

錯(cuò)誤：和"腰相等''所犯的錯(cuò)誤一樣，忘記分類(lèi)討論

注意：在題目未明確等腰三角形哪兩邊是腰時(shí)，要進(jìn)行任意兩角可能相等的分類(lèi)討論。

例7等腰三角形一個(gè)外角為100。，則它的頂角為（）

A.40°B.80°C.100°D.80?；?0。

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，利用平角定義，分100。的角是底角的外角和

頂角的外角兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：①當(dāng)100。的角是底角的外角時(shí),則底角度數(shù)為①0。-100。=80。,

則它的頂角為180。-80°-80°=20°：

②當(dāng)100。的角是頂角的外角時(shí)，則頂角度數(shù)為180。-100°=80°；

綜上，這個(gè)等腰三角形的頂角為20?；?0。.

故選:D.

4.注意等邊三角形的三個(gè)角都是60。

錯(cuò)誤：在已知等邊三角形的前提下，沒(méi)有將“三個(gè)角都是60?！钡囊阎獥l件運(yùn)用起來(lái)

注意：在已知三角形是等邊三角形時(shí)，要第一時(shí)間將三個(gè)內(nèi)角都是60。標(biāo)注在圖形中，作為重要的推論。

例8如圖，△4BC是等邊三角形，點(diǎn)E、尸分別在AB、BC、4。上，若乙1=Z2,乙DFE=80°,貝尸=

度.

【答案】40

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，先由等邊三角形的

性質(zhì)得到=60。，再由三角形外角的性質(zhì)證明乙DEr="=60。，據(jù)此利用三角形內(nèi)角和定理可得答案.

【詳解】解：???△/!"是等邊三角形，

=60%

,:乙DEC=+z.1=42+(DEF,z.1=z.2,

/.zDFF=LB=60°,

XVzDFF=80%

:.乙EDF=180°-乙DEF-乙DFE=40°,

故答案為：40.

5.“三線合一”在計(jì)算中的運(yùn)用

錯(cuò)誤：在等腰三角形中，不能將底邊上的中線、高線和頂角的角平分線聯(lián)系成一條線段，典型的比如已知

頂角的角平分線，則不能推出這條線段平分了底邊，并與底邊垂直。這樣的話，兩條線段的位置關(guān)系，以

及底地上的數(shù)量關(guān)系相關(guān)的已知條件就沒(méi)有了。

注意：等腰三角形中，底邊上的中線、高線和頂角的角平分線要聯(lián)系到一起，已知其中任何一個(gè)條件，就

要能推導(dǎo)出另外兩個(gè)條件，這在計(jì)算中非常重要。

例9如圖,在等腰△4BC中，力8=4C,4D13C于點(diǎn)D,E,F兩動(dòng)點(diǎn)分別在線段力。、力8上運(yùn)動(dòng)，若M4c=40°,

則當(dāng)BE+E/取得最小值時(shí)，NBE/的度數(shù)為.

【答案】40度或40°

【分析】依據(jù)題意，連接CE,先證明△CDEwzi8DE(SAS),得到CE=BE,從而推出當(dāng)C、E、"三點(diǎn)共線

且CFJ.71B時(shí)CE+EF最小，即此時(shí)8E+EF最小，過(guò)點(diǎn)。作CV1A8于點(diǎn)尸，交AD于點(diǎn)E，,連接BE',由

三線合一定理得到48力。=：2ZMC=20。，則乙43。=70。，故當(dāng)8E+EF最小時(shí)，Z-CF'B=90°,乙BCP=

20%同理可得C可=8%則乙CBE'==20。，利用三角形外角的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接CE,

*：AB=AC,AD1BC,

：.CD=BD,乙ADC=Z.ADB=90°,

乂?；OE是公共邊，

??.ACOE三△BOE(SAS),

???CE=BE,

：.BE+EF=CE+EF,

???當(dāng)C、E、F三點(diǎn)共線且CF1A8時(shí)CE+EF最小，即此時(shí)BE+EF最小，過(guò)點(diǎn)C作CF，1A8于點(diǎn)〃，交4。于

點(diǎn)E',連接3口，

*：LBAC=40%

：

,LBAD=-2Z-BAC=20°,

*：AD1BC,

：,LABD=70°,

同理可得CE'=BE',

VZCF5=90°,

???，CBE'=乙BCE，=20°,

?LBEF=乙BCE，+乙CBE，=40°,

???當(dāng)BE+E/取得最小值時(shí)，乙8E尸的度數(shù)為40。,

故答案為：40°.

6.“三線合一”在證明中的運(yùn)用

錯(cuò)誤：與“5”類(lèi)似，如果不能在三者之間作相互推到，就沒(méi)有辦法在證明中找到捷徑。

注意：在有等腰三角形的作圖環(huán)境中，如果證明與角有關(guān)，要注意底邊上的中線或者高線也是頂角的角平

分線；如果要證明垂直，就可能需要通過(guò)證明底邊上的中線，或者頂角的角平分線來(lái)證明這條線段與底邊

垂直；如果是證明線段長(zhǎng)的相互關(guān)系，那么可以通過(guò)證明頂角的角平分線，底邊上的高線來(lái)證明底邊被均

分。

已知：AB二AC已知：AB=AC已知：AB=AC

點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。AD1BCAD平分乙BAC

結(jié)論：?AD1BC;結(jié)論?AD平分/BAC;結(jié)論：①AD_LBC;

②AD平分乙BAC②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。

7,用兩邊或兩角相等證明三角形是等腰三角形

錯(cuò)誤：證明兩邊相等的方法不只有計(jì)算得到兩條邊的長(zhǎng)，對(duì)其他方法證明兩邊長(zhǎng)相等卻沒(méi)有掌握。

注意：出了直接已知兩邊長(zhǎng)相等，如果已知條件給的是線段長(zhǎng)，可以通過(guò)計(jì)算得到兩邊長(zhǎng)相等，如果給的

是角度數(shù)的已知條件，則可以通過(guò)計(jì)算得到兩個(gè)角相等；如果給的條件是有關(guān)邊或者角的等量關(guān)系的，那

么需要通過(guò)幾何證明解決問(wèn)題，如通過(guò)線段或角的等量代換得到兩邊/兩角相等，如通過(guò)兩邊所在三角形全

等得到對(duì)應(yīng)邊相等V

例10如圖，在MBC中，AM=CM,AD=CD,DM//BC,判斷ACM8的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】△CMB是等腰三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得/AMD二NCMD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAMD=NB,Z

CMD=ZMCB,再根據(jù)等量代換可得NB=NMCB,根據(jù)等角對(duì)等邊可得MC=MB,進(jìn)而得到aCMB是等腰

三角形.

【詳解】在^AMC中，VAM=CM,AD=CD,（已知），

???NAMD=NCMD（等腰三角形三線合一），

VDM//BC（已知），

Z.ZAMD=ZB（兩直線平行，同位角相等），ZCMD=ZMCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）：

/.ZB=ZMCB（等量代換），

AMC=MB（等角對(duì)等邊），

即ACMB是等腰三角形.

8,證明三角形是等邊三角形

錯(cuò)誤：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)沒(méi)有調(diào)理，證明等邊三角形不能一蹴而就。

注意：（1）一般情況下，要證明一個(gè)三角形是等邊三角形，可以通過(guò)先證明它是等腰三角形，然后再添加

一個(gè)條件證明是等邊三角形，具體如下：

①己知^ABC是等腰三角形，AB=AC,且NA=60。（或NB=60。）；

②已知IAABC是等腰三角形，AB=AC,且AB=BC；

（2）也可以直接通過(guò)三邊相等或者有兩個(gè)角是60。證明三角形是等邊三角形，這需要已知條件給出明

確的較多的信息。

例11如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，。是BP延長(zhǎng)線_L一點(diǎn)，^ABP=乙ACD,BP=CD,求證：△APD

是等邊三角形.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得48=

AC，Z.BAC=60°,進(jìn)而依據(jù)“SAS”判定△力8P和△力CD全等得AP=AD,^BAP=Z.CAD,由比得NB4C=

Z-PAD=60。，據(jù)此即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???△48C是等邊三角形，

=AC,Z,BAC=60°,

在么48P和△力CD中，

(AB=AC

l^ABP=Z.ACD,

(BP=CD

：.△ABP^△/ICD(SAS),

：.AP=AD,Z.BAP=/.CAD,

：.LBAP+乙PAC=Z-CAD+4PAC,

即NB4C=/.PAD=60°,

?M4PD是等邊三角形.

9.確認(rèn)“如果”和“那么”來(lái)寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題

錯(cuò)誤：規(guī)范的如果…那么…描述的命題能夠?qū)懩婷}，但簡(jiǎn)短的如“對(duì)頂角相等“就不會(huì)組織語(yǔ)言

注意：學(xué)會(huì)擴(kuò)句，從結(jié)論出發(fā)反過(guò)來(lái)描述，先確認(rèn)結(jié)論，在描述已知條件。如“對(duì)頂角相等“，結(jié)論是角相等,

條件是對(duì)頂角，將其具體化就是“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等“，其逆命題是“如果兩個(gè)角相等,

那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角

例12說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷其逆命題的真假.

(1)兩個(gè)全等三角形的面積相等.

(2)如果ab>0,那么Q>0,b>0.

【答案】(D見(jiàn)解析；

⑵見(jiàn)解析.

【分析】(1)其逆命題是如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等.

顯然是假命題.

(2)逆命題是如果a>0,b>0,那么ab>0,是真命題.

本題考查了逆命題，命題真假的判斷，熟練掌握命題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)逆命題：如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等.

判斷：逆命題是假命題.

(2)逆命題：如果Q>0,h>0,那么ab>0.

判斷：逆命題是真命題.

10用“三線合一”證明三角形是等腰三角形

錯(cuò)誤：在證明三角形是等腰三角形時(shí)忽視用三角形“三線合一”的性質(zhì)定理的逆定理證明。

注意：當(dāng)已知三角形一邊邊上的中線、高線和對(duì)角的角平分線這三個(gè)條件中的兩個(gè)時(shí)，可以證明這個(gè)三角

形是等腰三角形。

已知：?AD1BC;已知燈〕AD平分乙BAC;已知：①AD1BC;

②A3平分乙BAC②點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。②點(diǎn)、D是BC中點(diǎn)

結(jié)論：AB=AC.結(jié)論：AB=AC,AD1BC結(jié)論：AB=AC

點(diǎn)D是BC中點(diǎn)。AD平分乙BAC。

例13如圖所示，AABC和AADE其中一點(diǎn)重合，旦AD正好經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)P,而點(diǎn)C也正好是邊DE的中

點(diǎn)。已知/BAD=/DAC=NCAE=25。，連結(jié)BD.

（1）證明NABD是直角；

（2）求NCBD的度數(shù)。

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）25。

【分析】本題主要考查用“三線合一”的逆定理證明三角形是等腰-:角形,

同時(shí)考查了全等的證明和全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。

本題第（1）小題中，結(jié)合中點(diǎn)P和中點(diǎn)C,以及角平分線AP和AC可

以分別證明4ABC和AADE均為等腰三角形，通過(guò)等腰三角形腰相等的性質(zhì)可以得到4ABD經(jīng)ZXACE,再根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NABD=NACE=90。：

第（2）小題中，要求NCBD的度數(shù)，只要求出NABC的度數(shù)即可，在已知頂角NBAC=25o+25o=5（r^H^

況下，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)馬上可以求出NABC的度數(shù)，進(jìn)而求解。

【詳解】⑴證明：點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，所以PB=PC,因?yàn)镹BAD=NDAC

所以AABC是等腰三角形，所以AB二AC；

同理AADE也是等腰三角形，所以AD=AE,AC1DE,即NACE=90。.

在么ABD與4ACE中，

AB=AC

Z.BAD=Z.CAE,

AD=AE

所以AABD組ZXACE（SAS）

所以NABD=NACE=90。，NABD是直角。

（2）等腰.ABC中,ZBAC=25°+25°=50°,所以NABC=（180°-50°）-5-2=65°,所以NCBD=90065°=25。。

三、直角三角形

1.直角三角形相關(guān)的求角問(wèn)題

錯(cuò)誤：對(duì)直角三角形的性質(zhì)不熟悉，求角時(shí)不能使用性質(zhì)得到相關(guān)條件。

注意：直角三角形的性質(zhì)中，兩銳角互余可以快速求出直角三角形內(nèi)角；斜邊中線定理則可以獲得兩個(gè)等

腰三角形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求角。

例14等腰三角形一腰上的高與兄一腰所夾的角為40。，則頂角的度數(shù)為（）

A.50°B.120°C.50。或120。D.50°或130°

【答案】D

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵.分

這個(gè)三角形為銳角三角形和鈍角三角形，再利用三角形內(nèi)角和定理和可求得頂角的度數(shù).

【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖①，

A①

高與右邊腰成40。夾角，由三角形內(nèi)角和為180?？傻茫斀菫?0＞；

②當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí),，如圖②，

②

此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180。，

由圖可以看出等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為50。，所以三角形的頂角為130。，

所以該等腰三角形的頂角為50?；?30。，

故選：D.

例15（2425七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?期末）如圖，在中，NB=90。，4c=32。，以力C為斜邊作等腰直角

三角形力DC,則NB4D的度數(shù)為.

IBXC

【答案】13?；?03。

【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N84C,分

△4DC與△ABC在斜邊AC的兩側(cè)、同側(cè)兩種情況計(jì)算，得到答案.掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：???在△48c中，ZF=90°,4c=32。，

：.LBAC=90°-Z.ACB=90°-32°=58°,

??N4DC為等腰直角三角形，

：.￡ADC=90°,DA=DC,

：,￡DAC=LDCA=1(180°-90°)=45°,

當(dāng)AADC^L48c在斜邊AC的兩側(cè)時(shí)，乙DAC=45°,

/-BAD=￡BAC+^DAC=580+45°=103°,

當(dāng)么ABC在斜邊AC的問(wèn)測(cè)時(shí)，乙D'AC=45。,

/.BAD1=Z.BAC-Z.D'AC=58°-45°=13°,

綜上所述，的度數(shù)為13。或103。.

故答案為:13。或103。.

2.斜邊中線定理在計(jì)算中的運(yùn)用

錯(cuò)誤：斜邊中線定理為我們帶來(lái)很多等量關(guān)系，不能作出有關(guān)推論的，在求角問(wèn)題和求邊問(wèn)題中會(huì)導(dǎo)致條

件不足。

注意：斜邊中線定理說(shuō)明：斜邊上的中線是斜邊的一半，那么斜邊上的中線將直角三角形分為兩個(gè)等腰三

角形“如下圖所示，CD是RJABC斜邊上的中線，那么CD=AD=BD=^AB,所以^DBC與aDAC都是等

腰三角形，即有：ZB=ZBCD：ZA=ZACDo

例16（2425八年級(jí)下?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）如圖，在△48C中，乙1C8=90。，DE垂直平分分別交48、

BC于點(diǎn)。、E,平分484C,LB=30°,DE=2,則BC的長(zhǎng)為.

A

B

EC

【答案】6

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)中垂線的性質(zhì),

得到=含3()度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出8c的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：???DE垂直平分力8,

：,BE=AE,

：.LBAE=Z.B=30°,

：,BE=AE=2DE=4,

VzC=90°,LB=30°,

：,LBAC=60°,

??3E平分MAC,

：,LCAE=30°,

/.CE=-AE=2,

2

：,BC=BE+CE=6；

故答案為：6.

3.斜邊中線定理在證明中的運(yùn)用

錯(cuò)誤：斜邊中線定理為我們帶來(lái)很多等量關(guān)系，不能作出有關(guān)推論的，在幾何證明過(guò)程中中會(huì)導(dǎo)致條件不

足。

注意：在“2”我們知道了，斜邊中線將宜角三角形分成了兩個(gè)等腰三角形，同時(shí)對(duì)于特殊的直角三角形還有

更多的結(jié)論：

①如果直角三角形中有一個(gè)角是30。，

那么30。所對(duì)的邊是斜邊的一半(如圖，

只要證明4BCD是等邊三角形即可得

證)，即BC^AB.

②如果直角二角形中有一個(gè)弟是45。，

那么直角三角形是等腰直角三角形，

且斜邊中線將其分成了兩個(gè)全等的小

等腰直角三角形，且該直角三角形直

角邊與斜邊比為1：V2.

例17如圖，△4BC中，8E平分乙4BC,BE1AF^F,。為中點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明。尸〃8c的理由.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)在直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半得，BD=DF,乙DFB=￡DBF,根據(jù)角的平分線

的定義知""="8。，則=再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相筆兩直線平行得出結(jié)論.

【詳解】解：■8E14尸,

?"AFB=90°

???點(diǎn)。是A8邊上的中點(diǎn)，

：.DF=BD=加，

:.乙DFB=乙DBF,

「BE平分匕ABC,

，乙FBC=乙FBD,

:?乙DFB=乙FBC,

：.DF//BC,

例如圖，在△4BC中，40垂直平分BC,垂足為。，過(guò)點(diǎn)。作DF1力氏垂足為P,FO的延長(zhǎng)線與AC邊的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)七，ZE=30°.

(1)求證：△A8C是等邊三角形;

(2)求證:BF=-AE.

6

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)力D垂直平分BC得力B=AC,再根據(jù)E/1AB,NE=30。得zB/C,由此即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)AD垂直平分3C得出BD=CD=38C.再證明CE=CD,然后根據(jù)等邊三角形與直角三角形的

性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???力。垂直平分BC,

:.AB=AC,

VEF工AB,乙￡1=30°,

:.Z.BAC=90°-ZF=60°,

???△/WC為等邊三角形；

（2）解：AE=6BF,理由如下：

??ND垂直平分8C,

:.BD=CD=\BC,

2

???448。是等邊三角形，

???曲60°,

又.：乙BFD=90°,

：.￡BDF=30°,Z.EDC=30°,

又,：乙E=30°,

：.CE=CO,

，在直角aBD9中，BF=；BD=；CD=4CE=：BC,

2224

：,AE=AC+CE=BC+CE=4BF+2BF=6BF,

：,BF=-AE.

6

4.用“勾股定理”時(shí)注意分類(lèi)討論

錯(cuò)誤：在使用“勾股定理”計(jì)算直隹三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，沒(méi)有明確已知邊是直角邊還是斜邊，導(dǎo)致列式錯(cuò)誤，尤

其的，如果沒(méi)有指明，不進(jìn)行討論。

注意：使用勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，一先確認(rèn)已知邊長(zhǎng)和所求是直角邊還是斜邊，如果沒(méi)有明

確則進(jìn)行分類(lèi)討論；然后再結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算。

例中，AB=15,AC=13,高力0=12,則8C=

【答案】14或4

【分析】本題考查了勾股定理在三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是考慮高4。的位置（在三角形內(nèi)部或外部），

分情況計(jì)算BC的長(zhǎng)度.

利用勾股定理分別在Rt△力BD和Rt△4CD中求出BD和。C的長(zhǎng)度；分4。在4力BC內(nèi)部和外部?jī)煞N情況，計(jì)

算BC的長(zhǎng)度（內(nèi)部時(shí)8c=BD+DC,外部時(shí)8c=\BD-DC|）.

【詳解】解：:N。是△ABC的高，

AAABD和△4C0均為直角三角形，LADB=LADC=90°.

在RtA/lBO中，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2

222

即BO?+12=15,BD=225-144=81,

解得80=9（負(fù)值舍去）.

222

在Rta/CD中，由勾股定理得：DC+AD=ACf

即DC?+122=132,DC2=169-144=25,

解得DC=5（負(fù)值舍去）.

分兩種情況討論：

①當(dāng)?1。在4內(nèi)部時(shí)，BC=8D+。。=9+5=14;

②當(dāng)/1。在4/8C外部時(shí)，BC=\BD-DC\=|9-5|=4.

故答案為：14或4.

5.用方程思想構(gòu)建“勾股定理”等量關(guān)系，并求解

錯(cuò)誤：只會(huì)直接用勾股定理列計(jì)算式求線段長(zhǎng)，不會(huì)通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求線段長(zhǎng)。

注意：直接告知兩邊求直角三角形第三條邊長(zhǎng)的，可以直接進(jìn)行計(jì)算；但如果只告知了一條邊長(zhǎng)的，那么

就需要再增加其他的已知條件才行，典型的比如告訴你另外兩條邊長(zhǎng)的和，或者倍數(shù)關(guān)系，這時(shí)候只要設(shè)

未知的其中一條邊為x,另一條邊就能用x表示，然后用勾股定理的等式列方程計(jì)算即可。這列題目最典型

出現(xiàn)在折疊問(wèn)題中。

例19（2425八年級(jí)下?河南平頂山?期末）如圖，在RtaABC中，NACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊4c

的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn),連接B。、DE.將ACDE沿。E翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)尸處，則

【答案】|

【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，勾股定理求出BD的長(zhǎng)，折疊得到CD=DF,CE=EF,乙EFD=90°,

設(shè)CE=x,在Rt/kBFE中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：'：LACB=90°,AC=6,BC=4,。是邊4c的中點(diǎn)，

：,CD=-AC=3,

2

:.BD=\BC2+CD?=5,

???將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)。落在8。上的點(diǎn)尸處,

ACD=DF=3,CE=EF,乙EFD=90°,

：,BF=BD-DF=2,乙BFE=90°,

設(shè)CE=x,WijEF=x,BE=BC-CE=4—x,

在RtABWE中，由勾股定理，得：（4一幻2=/+22,

解得：％=看

???CE=?

故答案為：|.

6.用“勾股定理”證明三角形是直角三角形

錯(cuò)誤：只知道用直角三角形的定義或簡(jiǎn)單性質(zhì)證明三角形是直角三角形，不知道結(jié)合勾股定理證明三角形

是直角三角形。

注意：“勾股定理''的逆定理成立，即，如果三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,那么三角形是直角三角形，

且c是斜邊，c所對(duì)的角是直角。

例20如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn)，則ZA8C的度數(shù)為.

【答案】45。/45度

【分析】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，先計(jì)算4c=12+22=5,BC2=12+22=5,

AB1=I2+32=10,再進(jìn)一步解答即可.

【詳解】解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，連接AC,由勾股定理可得：

B

cAB2=l2+32=10,BC2=I2+22=5,AC2=l2+22=5,

：,AC2+BC2=AB2^AC=BC,

???A4BC是等腰直角三角形,Z-ABC=45°.

故答案為:45°

例21如圖，在四邊形A8CD中，LB=90°,AB=2,BC=CD=4,/ID=6,連接力C.

(1)判斷△力CD的形狀，并說(shuō)明理由;

(2)求四邊形48CD的面積.

【答案】(1)直角三角形；理由見(jiàn)解析

(2)4+4V5

【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是通過(guò)勾股定理求

出4C的長(zhǎng)度，再利用逆定理判斷A4CD的形狀，進(jìn)而計(jì)算四邊形的面積.

(1)在Rt△力8c中，由勾股定理求出力C的長(zhǎng)度；通過(guò)計(jì)算AC2+c/)2與的關(guān)系，利用勾股定理的逆定

理判斷△4CD為直角三角形；

(2)將四邊形A8C。的面積轉(zhuǎn)化為△48。和的面積之和，分別計(jì)算兩個(gè)三角形的面積后相加.

【詳解】(1)△4C0是直角三角形.

理由：vZ,B=90°,AB=2,BC=4,

:.AC2=AB24-BC2=22+42=20,

???AC2+CD2=20+42=36=AD2,

??.△ACD是直角三角形.

(2)由(1)可知，AC=>/2Q=2V5,Z.ACD=90°,

,0*S四邊形.BCD=S&ABC+S“c。=^x2x44-1x2>/5x4=4+4V5.

7.“HL”可以證明兩個(gè)直角三角形全等

錯(cuò)誤：混淆SAS和HL證明兩個(gè)直角三角形全等的區(qū)別。

注意：兩個(gè)直角三角形一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等，是“HL”證明兩個(gè)直角

三角形全等，但不是所有的直角三角形的全等都是用“HL”為依據(jù)證明的，比如若已知直角三角形兩直角邊

分別對(duì)應(yīng)相等，是根據(jù)“SAS”證明兩個(gè)直角三角形全等。

例22如圖，在乙408的兩邊上，分別取0M=0N,再分別過(guò)點(diǎn)M、N作04、0B的垂線，交點(diǎn)為P,畫(huà)射

線0P,貝IJ0P平分N40B的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用以及基本作圖，利用判定力法“HL”證明RtZiOMP和RS0NP全等,

進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：?.?PM1。力，PN10B,

：.L0MP=4。NP=90°,

在RS0MP和RS0NP中，

（014=0N

10P=OP'

???Rt△OMP三Rt△ONP（HL）,

:.乙MOP=乙NOP,

.??02是乙人。8的平夕｝線.

故選：D.

易錯(cuò)訓(xùn)練

1.（2425八年級(jí)下?貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）如圖，ZB=ZE=90。,48=DE,若要直接依據(jù)“HL”判定△A8C三

ADEF,則還需要補(bǔ)充的一個(gè)條憐是（）

AD

A.BC=EFB.AC=DFC.Z.A=zDD.zC=ZD

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.用“HL”判定A/IBC也ADE幾只需要滿足斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)

相等的兩直角三角形全等即可.

【洋解】解：添加條件：AC=DF,

?:乙B="=90。，

在R」△力和RtaDEF中,

（AB=DE

lAC=DF'

:.Rt△ABC三Rt△DEF（HL）,

故選：B.

2.（2425八年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí)）下列命題的逆命題不成立的是（）

A.兩條直線平行，同位角相等

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

C.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

D.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上

【答案】B

【分析】本題考查了命題與逆命題，真命題與假命題的判定，掌握平行線及平行四邊形的判定和性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線及平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三

角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判定即可求解.

【詳解】解：A、“兩條直線平行，同位角相等”的逆命題為“同位角相等，兩條直線平行“，是真命題，不符

合題意；

B、“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆命題為“兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，則兩個(gè)三角形全等”，逆命題是假命題，

符合題意；

C、“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的逆命題為“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形"，是真命題，不符

合題意；

D、“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的逆命題為“在角的內(nèi)部，角平分線上的點(diǎn)到

角兩邊的距離相等“，是真命題，不符合題意；

故選：B.

3.（2425九年級(jí)上?陜西西安?期末）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。，CO平分44CB,

則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】此題主要考杳了等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)48=4。得△力8c為等腰三角形，進(jìn)而得n8=

/-ACB=72°,再根據(jù)角平分線定義得4=乙DCB=36°,則乙0C4=Z/1=36°,進(jìn)而得△HCO為等腰三

角形，再通過(guò)計(jì)算得出乙。。8=28=72。，則△CDB為等腰三角形，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：???44=AC,

為等腰三角形，

??Z=36°,

:.乙B=乙ACB=*180。-匕力）=72°,

平分〃C8,

：,LDCA=乙DCB=36°,

：.￡DCA=4力=36°,

???ZMCD為等腰三角形，

?:HDB=Z.A+Z.DCA=36°+36°=72°,

：.LCDB=Z,B=72°,

???ACDB為等腰三角形，

綜上所述：圖中共有3個(gè)等腰三角形.

故選：C.

4.（2425八年級(jí)下?安徽合肥?階段練習(xí)）如圖網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)

弧，交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，=()

A.V5B.V6C.2D.2\f2

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，

先連接4D，根據(jù)題意可知4D4E，再根據(jù)勾股定理可得答案.

【詳解】解：連接AD,根據(jù)題意可知4D=4B=3,AE=2,

根據(jù)勾股定理，得DE=>JAD2-AE2=V32-22=V5.

5.(2425八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí))如圖，在△48C中，AB=AC,/-BAC=50°,^ABC^^ADE,AB,CE

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

和平行線的性質(zhì)，求出“AC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.由全等三角形的性質(zhì)可得々D4E=^BAC=50。,4E=AC,

再由平行線的性質(zhì)得N/X4E=4AEC=50。，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得/E4c的度數(shù)，

即可求解.

【詳解】解：???△A8C三△AOE,

：.￡DAE=LBAC=50°,AE=AC,

*：ADIICE,

：.￡DAE=Z-AEC=50°,

'：AE=AC,

：,LAEC=Z.ACE=50°,

：.LEAC=180°-50°-50°=80°,

LBAE=AEAC-Z-BAC=80°-50°=30°,

故選:C.

6.(1920八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))如圖，在等邊三角形中，。是4c邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)8C到

點(diǎn)E,使CE=CD,則乙E的度數(shù)為()

A.15°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得4AC8=60。，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出乙E=然后根據(jù)三角形的一

個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求解得到的度數(shù).

【詳解】解：???△ABC是等邊三角形，

：,LACB=60°,

VCD=CE,

.'.zE=Z-CDE,

,:乙BCD=ZE+乙CDE=24E=60°,

ALE=30%

故選：C.

7.（2425七年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，△4BC與△《夕關(guān)于直線Z對(duì)稱(chēng)，連接力N,BBLCG,

其中分別交4C,AC'于點(diǎn)D,D1下列結(jié)論:①A4'llBB\②乙4DB=4TDB；③直線2垂直平分44；

④直線與4B'的交點(diǎn)不一定在直線，上.其中正確的是（）

C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：:△ABC和關(guān)于直線2對(duì)稱(chēng),

：.AAr||BB\故①正確,

△48。和44'?C'關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，

點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

C.LADB=LA!D'B\故②正確；

???AABC^hAB'C'關(guān)于直線］對(duì)稱(chēng)，

???線段44、BB\CC'被直線［垂直平分,

??.直線Z垂直平分/A,故③正確；

?；△48。和^AB'C'關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，

???線段力C、4C'所在直線的交點(diǎn)一定在直線I上，故④錯(cuò)誤,

???正確的有①@③.

故選：A.

8.（2526八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，梯子斜靠在墻面.匕ACIBC,AC=BC,當(dāng)梯子的頂端A沿

力。方向下滑xm時(shí)，梯足B沿C8方向滑動(dòng)ym,則x與1y的大小關(guān)系是（）

C.x<yD.不確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條

直角邊分別為4、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.設(shè)AC=8C=am,利用梯子下滑過(guò)程中力B的長(zhǎng)度保持

不變，建立a,x,y的等式，然后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：設(shè)力C=BC=am,

由勾股定理得：

ABZ=a2+a2=(a—x)2+(a+y)2>

22222

.*.G2+a=a—2ax4-x+a4-2ay+y,

化簡(jiǎn)得：2Q(%-y)=/+丫2,

,:x>0,y>0,

2

AA2+y>0,

2a(x—y)>0,

VG>0,

—y>0,

:.x>y.

故選：B.

9.(2425八年級(jí)下?四川成都?階段練習(xí))如圖，△4BC中，Z-CAB=90°,4c=36。，D為BC中點(diǎn),貝U乙4DB

的大小為.

B

【答案】72。/72度

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，可得AD=DC,從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得4C==36。，然

后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：；為△。48,Z.CAB=90°,ZC=36°,。為CB中點(diǎn)，

AD=BD=CD,

ZC=Z.CAD=36°,

.?ZDB=360+36°=72°,

故答案為:72°.

10.(2122七年級(jí)下?湖南婁底?期末)如圖，在△力以;中，乙48。和乙AC8的角平分線相交于點(diǎn)U,過(guò)點(diǎn)。作

交8c于點(diǎn)E,DF〃/1C交8c于點(diǎn)F,若BC=a,AB=c,AC