第四章整式的加減（舉一反三講義）全章題型歸納

【人教版2024]

■題型歸納

【培優(yōu)篇】............................................................................3

【題型1整式及整式有關(guān)的概念】................................................................3

【題型2（合并）同類項(xiàng)】.......................................................................4

【題型3去（添）括號(hào)】.........................................................................4

【題型4整式加減運(yùn)算與化簡求值】..............................................................4

【拔尖篇】............................................................................5

【題型5整式加減中的無關(guān)項(xiàng)問題】..............................................................5

【題型6整式加減中的多結(jié)論問題】..............................................................6

【題型7整式加減的實(shí)際應(yīng)用】..................................................................7

【題型g行絕對值有關(guān)的化簡】..................................................................8

【題型9探索與表達(dá)規(guī)律（數(shù)字變化類）】........................................................9

【題型10探索與表達(dá)規(guī)律（圖形變化類）】........................................................10

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1單項(xiàng)式

1.定義：如果一個(gè)代數(shù)式是數(shù)或字母的積，那么這個(gè)代數(shù)式叫作單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單

項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫作這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫作這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).對于一個(gè)非零的數(shù)，規(guī)定

它的次數(shù)為。.

次數(shù)2+3=5

早

系數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2多項(xiàng)式

1.定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫作多項(xiàng)式.

2.多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫作多項(xiàng)式的項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫作常數(shù)項(xiàng),一個(gè)多項(xiàng)式含

有兒項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式.

3.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),叫作這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

知識(shí)點(diǎn)3整式

L定義：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

2.單項(xiàng)式、多項(xiàng)式與整式的關(guān)系如圖所示.

3.判斷整式、單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的方法

（1）單項(xiàng)式不含加減運(yùn)算，多項(xiàng)式必含加減運(yùn)算；

（2）多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，多項(xiàng)式不包含單項(xiàng)式；

（3）單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都是整式，分母中含有字母的都不是整式.

知識(shí)點(diǎn)4同類項(xiàng)

所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫作同類項(xiàng).幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)5合并同類項(xiàng)

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng),叫作合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系

數(shù)的和，字母連同它的指數(shù)丕變.

合并同類項(xiàng)的一般步驟：

知識(shí)點(diǎn)6去括號(hào)

1.去括號(hào)方法

一般地，i個(gè)數(shù)與一個(gè)多項(xiàng)式相乘，需要去括號(hào)，去括號(hào)就是用括號(hào)外的數(shù)乘括號(hào)內(nèi)的型二項(xiàng)，再把所得

的積相加.如果括號(hào)外的乘數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同：如臭括號(hào)外的乘

數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反.

2.依據(jù)：分配律4（什C）=4〃+4C.

3.多層括號(hào)的去法：一般由內(nèi)向外，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào).

知識(shí)點(diǎn)7整式的加減

整式加減的運(yùn)算法則：幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).

應(yīng)用整式加減的運(yùn)算法則化簡求值時(shí)，一般先去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，再代入字母的值進(jìn)行計(jì)算，簡記為“一

化、二代、三計(jì)算”.在具體運(yùn)算中，也可以先將同類項(xiàng)合并，再去括號(hào)，但是要按運(yùn)算順序去做.例如,

—2,—3x4-5x-7x4-6）=-2（-4x+6）=8%—12.

【培優(yōu)篇】

【題型1整式及整式有關(guān)的概念】

【例1】（24-25七年級(jí)上?河南商丘?期中）多項(xiàng)式（m-4）/m-2|+x-5是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則?n取值為

（）

A.0B.4C.4或0D.-4或1

【變式1-1］（24-25七年級(jí)上?河南駐馬店?期中）下列式子：一；，g-n,-5%2y3,2肛2,與，_L,其中

3322—X

屬于單項(xiàng)式的是,屬于多項(xiàng)式的是,屬于整式的是.

【變式1-2］下列說法中正確的是（）

A.多項(xiàng)式一亭的常數(shù)項(xiàng)是不二次項(xiàng)的系數(shù)是-:

444

B.單項(xiàng)式—57rxy2z3的系數(shù)和次數(shù)分別是一5,7

C.］不是單項(xiàng)式

*2342

D.把％3+xy-y+2%2y按V的降累排歹|J為-y3+Xy2+/+2xy

【變式1-3】已知多項(xiàng)式一7。小L+5岫2-1（m,九為正整數(shù)且a的指數(shù)不相同）是按a的降幕排列的四次三

項(xiàng)式，則（一九）皿的值為（）

A.-1B.3或一4C.一1或4D.-3或4

【題型2（合并）同類項(xiàng)】

【例2】（24-25九年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）若關(guān)于》的單項(xiàng)式正與岫2。24相加等于0,則次九

【變式2-1]（24-25七年級(jí)上?全國?期末）下列各組式子中是同類項(xiàng)的是（）

A.ac^jabB.3a與5a?C.3ab2^5a2bD.a2b與—ba?

【變式2-2]（24-25七年級(jí)上?北京?期中）請寫出一個(gè)與為同類項(xiàng)的整式：.

【變式2-3】已知-5。2，〃匕和8a6戶-〃是同類嘰則下列各組中的單項(xiàng)式是同類項(xiàng)的是（）

A.-”y與）2ynB.2/-1、2與ooi無2y"

C.%3y4與一4%m+ly〃+2D.—%2my4與6”yn+l

【題型3去（添）括號(hào)】

【例3】(24-25七年級(jí)上?河北衡水?階段練習(xí))下列去括號(hào)正確的是()

A.a+(b+c)=ab十cB.a2—[—(—a+5)]—a?—a-b

C.a+2(b-c)=a+2b-cD.a-(b+c-d)=a-b-c-^-d

【變式3-1]已知x=l；,y=z=p則x-(-y)+(-z)=________

326

【變式3-2]已知%—()=x—y-z,則括號(hào)里的式子是()

A.y—zB.z-yC.y+zD.-y-z

【變式3-3】已知/+2xy=4,y2+xy=5,則2M+3xy-y2=.

【題型4整式加減運(yùn)算與化簡求值】

【例4】（24-25七年級(jí)匕上海?期中）我們約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)，例

如：在圖1中，即5+6=11,若a,b滿足m一3|+（b+l）2=0,則圖2中），的值為.

圖I圖2

【變式4-1]（24-25七年級(jí)上?陜西寶雞?階段練習(xí)）計(jì)算.

（l）2（x2-2xy）-3（y2-3xy）；

(2)(-x2+2xy-y2)-2(xy-3x2)+3(2y2-xy).

=5x2—3xy+5y2

【變式4-2](24-25七年級(jí)匕貴州遵義?期中)設(shè)時(shí)=%2+4小之一3,N=2x2+4mx-2,那么M與N的

大小關(guān)系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.無法確定

【變式4-3](24-25九年級(jí)上?江蘇南通?期中)已知3/一4xy+7y2-2m=一17,x2+5xy+6y2-m=12,

則式子/一14xy-5y2的值為()

a-c41.7「7

A.-41B.——C.--D.-

222

【拔尖篇】

【題型5整式加減中的無關(guān)項(xiàng)問題】

【例5】(24-25七年級(jí)上?江蘇南通?期中)關(guān)于X,y的多項(xiàng)式+ax—y+b與多項(xiàng)式bx?—3K+6y—3的

差的值與字母工的取值無關(guān)，則代數(shù)式3(。2一2ab-7)-(4a2+ab+/)的值為.

【變式5-1](24-25七年級(jí)上?吉林?期中)若關(guān)于x、y的多項(xiàng)式8(%2-3盯一y2)-2(/+小X、+2y2)化

簡后不含xy項(xiàng)，則m=.

【變式5-2](24-25七年級(jí)上?山東日照?期末)已知含字母m,n的代數(shù)式是：3[m2+2(n2+mn-3)]-

3(m2+2n2)—4(mn—m—1).

⑴化簡這個(gè)代數(shù)式.

(2)小明取m,n互為倒數(shù)的一對數(shù)值代入化簡的代數(shù)式中，恰好計(jì)算得代數(shù)式的值等于0.那么小明所取

的字母n的值等于多少？

⑶聰明的小智從化簡的代數(shù)式中發(fā)現(xiàn)，只要字母n取一個(gè)固定的數(shù)，無論字母m取何數(shù)，代數(shù)式的值恒

為一個(gè)不變的數(shù)，那么小智所取的字母n的值是多少呢？

【變式5-3](24-25七年級(jí)上?廣東韶關(guān)?階段練習(xí))閱讀與思考:閱讀下列材料，完成后面任務(wù).

一天，我在某雜志上看到這樣一道題：小紅和小英在完成題目“化簡TQ-1)+3(%-4)+5"時(shí)，發(fā)現(xiàn)系數(shù)“廣

被墨跡污染了，下面是她倆的對話：

小紅：小英，我想，被墨跡污染的系數(shù)7是-4

小英：你猜錯(cuò)啦!我查了一下，這道題的答案是一個(gè)常數(shù)呀！……

任務(wù)：

⑴根據(jù)材料中小紅的話，化簡式子7。-1)+3(%-4)+5.

⑵根據(jù)材料中小英的話，求這道問題中的系數(shù)7〃及該式子的結(jié)果.

【題型6整式加減中的多結(jié)論問題】

【例6】（24-25七年級(jí)上?浙江寧波?期末）如圖，在一個(gè)大長方形中放入了標(biāo)號(hào)為①，②，③，④，⑤五

個(gè)四邊形，其中①，②為兩個(gè)長方形，③，④，⑤為三個(gè)正方形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙.若

想求得長方形②的周長，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)提出了自己的想法：

甲說：只需要知道①與③的周長和；

乙說：只需要知道①與⑤的周長和；

丙說：只需要知道③與④的周長和；

丁說：只需要知道⑤與①的周長差；

下列說法正確的是（）

A.只有甲正確B.甲和乙均正確C.乙和丙均正確D.只有丁正確

【變式6-1]（24-25六年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期末）關(guān)于X,,，的單項(xiàng)式，若x的指數(shù)與），的指數(shù)是相等的正整數(shù),

則稱該單項(xiàng)式是“等次單項(xiàng)式〃.給出下面四個(gè)結(jié)論：①-5/y3是“等次單項(xiàng)式”；②“等次單項(xiàng)式〃的次數(shù)可

能是奇數(shù)；③兩個(gè)次數(shù)相等的“等次單項(xiàng)式〃的和一定是“等次單項(xiàng)式J④若五個(gè)"等次單項(xiàng)式”的次數(shù)均不

高干8,則它們中必有同類項(xiàng).上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.①④C.①②④D.①③④

【變式6-2】有依次排列的兩個(gè)整式：x,x+3,對任意相鄰的兩個(gè)整式，都用右邊的整式減左邊的整式，將

所得之差寫在這兩個(gè)整式之間，可以得到一個(gè)新的整式串：”,3.+3,這稱為第一次操作；將第一次操作

后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推.通過下列實(shí)際操作，

①第一次操作后的整式串為：x,3-x,3,x,x+3；

②第二次操作后，當(dāng)了<-3或%>3時(shí)，所有整式的積為正數(shù)；

③第四次操作后的整式串共有19個(gè)整式；

④第2022次操作后，所有整式之和為2無+6069；上述結(jié)論中，正確的是（）

A.①②B.①③C.①④D,②④

【變式6-3]（24-25七年級(jí)下?山東青島?期末）有依次排列的2個(gè)整式：％+y,x-y.

將第1個(gè)整式乘以2再與第2個(gè)整式相加，得到第3個(gè)整式3x+y,稱為第一次操作；

將第2個(gè)整式乘以2再與第3個(gè)整式相加，得到第4個(gè)整式5%-y,稱為第二次操作；

將第3個(gè)整式乘以2再與第4個(gè)整式相加，得到第5個(gè)整式llx+y,稱為第三次操作，

以此類推，下列說法：

①第六次操作得到的整式為85x-y；

②第20個(gè)整式中含%項(xiàng)的系數(shù)的2倍與第21個(gè)整式中含x項(xiàng)的系數(shù)之差為1；

③第2025個(gè)整式和第2026個(gè)整式中含工項(xiàng)的系數(shù)之和等于22。25.

其中正確的有—.

【題型7整式加減的實(shí)際應(yīng)用】

【例7】（24-25七年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）我市某小區(qū)居民使用自來水2024年標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi)如下（水費(fèi)按月

繳納）：

用戶月用水量單價(jià)

不超過12立方米的部分a元/立方米

超過12立方米但不超過20立方米的部分1.5a元/立方米

超過20立方米的部分2a元/立方米

⑴某戶4月份用了15立方米的水，求該戶4月份應(yīng)繳納的水費(fèi)；（用含a的式子表示）

⑵設(shè)某戶月用水量為幾立方米，當(dāng)a=2.5時(shí)，若該用戶繳納水費(fèi)110元，則該用戶這個(gè)月的用水量是多少立

方米（列方程求解）？

⑶當(dāng)Q=2時(shí)，甲、乙兩戶一個(gè)月共用水32立方米，己知甲戶繳納的水費(fèi)超過了24元，設(shè)甲戶這個(gè)月用水

“立方米，試求甲，乙兩戶一個(gè)月共繳納的水費(fèi)（可用含％的式子表示）

【變式7-1]（25-26七年級(jí)上?全國?隨堂練習(xí)）某地居民的生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每月用水量不超過15m3,

每立方米a元；超過部分每立方米（a+2）元.若該地區(qū)某家庭上月用水量為20m3,則應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

【變式7-2]（24-25七年級(jí)上?廣東韶關(guān)?階段練習(xí)）項(xiàng)目式學(xué)習(xí).

【主題】剪紙.

【素材】一張邊長為a的正方形紙片、剪刀等.

【操作】從一個(gè)邊長為a的正方形紙片（如圖1）上剪去兩個(gè)相同的小長方形，得到一個(gè)美術(shù)字“5〃的圖案（如

圖2）,再將剪下的兩個(gè)小長方形拼成一個(gè)新長方形（如圖3）.

h

⑴求新長方形的周長（用含有Q,b的代數(shù)式表示）；

⑵求美術(shù)字"5〃的圖案的周長（用含有Q,匕的代數(shù)式表示）；

⑶若。=8,剪去的小長方形的寬為1,求新長方形的周長和美術(shù)字的圖案的周長.

【變式7-3]（24-25七年級(jí)上?福建莆田?期末）在小學(xué)，我們知道像12,27,36,45,108,...這樣的自然數(shù)

能被3整除.一般地，如果一個(gè)自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)自然數(shù)就能被3整除.事

實(shí)上，我們可以證明這個(gè)結(jié)論的正確性.

以兩位數(shù)為例，若一個(gè)兩位數(shù)的十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,則通常記這個(gè)兩位數(shù)為適，于是林=10a+

b=9a+（a+b）,顯然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+（a+b）,就能被3整除，

即誣能被3整除.

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

⑴下列各數(shù)中，能被3整除的有（填序號(hào)）

①25：@225：@1025.

（2）用含a、b、c的代數(shù)式表示三位數(shù)次二（其中Q是百位數(shù)，b是十位數(shù)，c是個(gè)位數(shù)）；

⑶類比上述的過程，嘗試說明：如果?個(gè)三位數(shù)而的所有數(shù)位之和能被9整除，那么這個(gè)三位數(shù)就能被9

整除.

【題型8與絕對值有關(guān)的化簡】

【例8】（24-25七年級(jí)下?重慶?開學(xué)考試）x是有理數(shù)，優(yōu)一5|+歸一7|+氏+6|+氏-9|的最小值

是.

【變式8-1]（24-25七年級(jí)上?全國?期末）己知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,

C.化簡：|a+b|-2|c—〃一|c—Q|=.

CBA

-ch6a

【變式8-2]（24-25七年級(jí)上?北京?期中）1.己知,有理數(shù)叫力、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,

c0ab

（1>化簡：|3a+—|c-2a|+|c+2b|=；

（2）若a,c兩數(shù)的倒數(shù)是他們自身，當(dāng)％的范圍是時(shí)，-a|+-c|有最小值，最小值為.

（3）在（2）的條件下，若未知數(shù)X、y滿足（|x-a|+|x—3|）（|y-2|+|y-c|）=6,則代數(shù)式％+2y的最

大值是.

【變式8-3]（24-25七年級(jí)上?安徽滁州?期中）有理數(shù)小仇c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)

論：@abc>0；②Q-b+cVO；③乎+與+手=-1：④|。+川一俗一。|+|。一。|=一2<:其中正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是（）

IIII?

bc0a

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【題型9探索與表達(dá)規(guī)律（數(shù)字變化類）】

【例9】在“點(diǎn)燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可衡〃數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對

依次排列的兩個(gè)整式/〃，〃按如下規(guī)律進(jìn)行操作：

第1次操作后得到整式中切，〃，n-m；

第2次操作后得到整式中〃?，〃，n-m,-m；

第3次操作后...

其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)

命名為"回頭差"游戲.

則該"I川頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是（）

A.m+nB.inC.n-mD.2n

【變式9-1]（24-25七年級(jí)上?福建三明?期中）有一列按規(guī)律排列的代數(shù)式：b,2b-a,3b-2a,4b-3a,

5b-4a.......相鄰兩個(gè)代數(shù)式的差都是同一個(gè)整式，若第4個(gè)代數(shù)式的值為8,則前7個(gè)代數(shù)式的和為（）

A.28B.56C.84D.112

【變式9-2】借助符號(hào)，數(shù)學(xué)語言變得簡潔明了.例如可用代數(shù)式？一W+嗒來表示“左丁二，三J〃（題

’227丁一丙二甲一乙一

目選自1905年清朝學(xué)堂課本）.觀察其中的規(guī)律，將"」」JL三T三〃化簡后得（）

四乙一甲一乙-

A.一貯+/B.巨+從C.—g+廿D.貯+廿

2