專題4.3對數(shù)（舉一反三講義）

【人教A版】

題型歸納

【題型1對數(shù)的概念判斷與求值】.................................................................2

【題型2指數(shù)式與對數(shù)式的互化】.................................................................2

【題型3對數(shù)的運(yùn)算】...........................................................................4

【題型4對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】.................................................................4

【題型5運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算】.................................................................4

【題型6指、對數(shù)方程的求解】...................................................................5

【題型7帶附加條件的指、對數(shù)問題】............................................................5

【題型8運(yùn)用換底公式證明恒等式】..............................................................6

【題型9對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】.......................................................................8

舉一反三

知識點(diǎn)1對數(shù)的概念

1.對數(shù)的定義、性質(zhì)與對數(shù)恒等式

⑴對數(shù)的定義：一般地，如果*Ma>0,且存1），那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中〃

叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

（2）對?數(shù)的性質(zhì)：

①k）g“l(fā)=0,log,M=l5>0,且時(shí)1），負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).

②對數(shù)恒等式:，/如v=N（M>OM>0,且葉1）.

（3）對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：

根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)心0,且於1時(shí)，o'=N=x=log.N.

用圖表示為：

騫值真數(shù)

\I

d=N0lcg“N=x

[底數(shù)]

指數(shù)對數(shù)

2.常用對數(shù)與自然對數(shù)

名稱定義符號

賞田對數(shù)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)logwN簡記作IgN

1/9

以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，e是無理數(shù)，e

自然對數(shù)logcN簡記作InN

12.71828

【題型1對數(shù)的概念判斷與求值】

【例1】（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若代數(shù)式log8a2-2%-3）有意義，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（）

A.（-8,—1）B.（—1,3）

C.（3,+8）D.（—oo,—1）u（3,+8）

【變式1-1］（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）有下列說法：

①以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；

②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對數(shù)式：

③以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)；

④零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1?2］（24-25高一上?天津西青?期中）1。隊(duì)（1唯%）=0,則x=（）

A.0B.1C.5D.625

【變式1-3］（24-25高一上?全國?隨堂練習(xí)）對數(shù)log（a+3）（5-a）中實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-oo,5）B.（一3⑸C.（-3,-2）U（-2,5）D.（-3,+8）

【題型2指數(shù)式與對數(shù)式的互化】

【例2】（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若租2。24=九（血＞0且小看1）,則（）

A.Iogmn=2024B.lognm=2024

c.log2024m=nD.Iog2024〃=加

【變式2?1】（24?25高三上?江蘇南京?開學(xué)考試）已知謨=4,loga3=y,則a'+v=（）

A.5B.6C.7D.12

【變式2-2］（24?25高一上?全國?課后作業(yè)）將下列指數(shù)式化為對數(shù)式：

⑴6廠二32；

（2）103=wo。；

（3）e2=x.

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【變式2-3](24?25高一上?上海?隨堂練習(xí))將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化.

(1)53=125；

⑵擊

(3)logi8=-3；

2

(4)log3^=-3.

知識點(diǎn)2對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

1.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,且分1，M>0,20,〃￡R,那么我們有:

運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式自然語言描述

正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)的

積的對數(shù)log"(MN)=log?M+log。N

對數(shù)的和

兩個(gè)正數(shù)的商的對數(shù)等于同一底數(shù)的被除

商的對數(shù)A/

log。-=log“M—log“N數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)

正數(shù)基的對數(shù)等于哥指數(shù)乘同一底數(shù)的哥

塞的對數(shù)logM"=nlog。M

(/的底數(shù)的對數(shù)

2.對數(shù)的換底公式及其推論

C)換底公式:設(shè)。>0,且存1,c>0,且crl,b>0,則log“/?=J

(2)換底公式的推論：

①log“b?log〃a=l(a>0,且。且厚1)：

②log"?logftC?log,d=log“dm>0,且存1力>0,且厚l,c>0,且存1,辦0)；

③log"""=—log,/(4>0,且"1力>0,〃?和,〃￡R).

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3.對數(shù)運(yùn)算的常用技巧

（1）在對數(shù)運(yùn)算中，先利用塞的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化戌分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使幕的底數(shù)最簡，然

后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.

（2）先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用走數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、

商、制再運(yùn)算.

（3）儂互化：/=N—〃=lo4,Ng>0,且在1）是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意

互化.

【題型3對數(shù)的運(yùn)算】

【例3】（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：Iogi53-log62+logi55-log63=（）

A.-2B.0C.1D.2

【變式3-1］（25-26高一上?全國課后作業(yè)）求值：21og510-log54=（）

A.1B.log516C.2D.log596

【變式3-2］（24-25高一上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）對于一個(gè)聲強(qiáng)為/（單位：W/n?）的聲波，其聲強(qiáng)級L（單

位：dB）可由如下公式計(jì)算：L=101g5（其中/o是能引起聽覺的最弱聲強(qiáng)）.設(shè)聲強(qiáng)為八時(shí)的聲強(qiáng)級為70dB,

10

聲強(qiáng)為/2時(shí)的聲強(qiáng)級為60dB,則口等于（）

A.10B.100C.IO10D.10000

【變式3-3］（24-25高一上?江蘇常州?期中）一個(gè)39位整數(shù)的64次方根仍是整數(shù)，這個(gè)64次方根是（）

（參考數(shù)據(jù)：ig2?0.301,lg3?0.477）

A.2B.3C.4D.5

【題型4對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用】

【例4】（24-25高一上?重慶黔江?期末）計(jì)算電2+出50-2］喻3=（）

A.-2B.-1C.4D.5

【變式4-1］（24-25高一上?上海?期中）設(shè)。是不等于1的正數(shù)，N是任意給定的正數(shù)，c是任意給定的

實(shí)數(shù)，則下列性質(zhì)中錯(cuò)誤的是（）

jVf

A.log?a=1B.loga-=log（iM-log?N

c

C.logaM=c\ogaMD-loga（MN）=log。"?log”

【變式4-2］（24-25高一上?上海嘉定?期末）已知k）g52=a,5b=3,則logs12=（）.

A.2Q+bB.2abC.a2+bD.a2b

【變式4-3］（24-25高一上?江蘇南京?期中）我們知道，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)P可以表示成P=ax；0"lWaV

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10,71WZ）,此時(shí)lgP=7i+lga（1<a<10）,當(dāng)71>0時(shí)，P是n+1位數(shù)，則喘聲是（）位數(shù)（參考

數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.14B.15C.55D.56

【題型5運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算】

【例5】（24-25高一上?甘肅武威?階段練習(xí)）己知lg2=a,lg3=b,則log3°18=（）

.a+2bna+2ba-2b、a-2b

Ao.C.D?

fe+1b-1h+i

【變式5-1]（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）設(shè)lg2=a,lg3=b,則log^lS=（）

Ab-a+1b+a+1「b—a+1-6+a+l

A，g2bo

a+2ba-2ba-2b

【變式5-2]（2025?青海?模擬預(yù)測）若。=log35,5b=6,則就一log?2=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【變式5-3]（24-25高一上,福建南平?期末）已知log/=6,log/=10,logcM=15（a>。，且一工1；

b>0,且bH1；c>0,且c=#1；M>0）,則lo&飯M的值為（）

A.\B.3C.上D.30

330

【題型6指、對數(shù)方程的求解】

【例6】（24-25高一上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）若Iga,Igb是方程5/一10%+3=0的兩個(gè)實(shí)根，則ab的值等

于（）

A.2B.1C.100D.V10

【變式6-1]（24-25高一上?廣東韶關(guān)?階段練習(xí)）已知Iga,Igb是方程6/一4%-3=0的兩根，則（但（了

等于（）

A.9B.C.9D.胃

9999

【變式6-2]（24-25高一山東棗莊?課后作業(yè)）若方程（丘）2+（亞7+恒5）館工+但7,但5=0的兩根為%/?,

則a/=（）

A.Ig7-lg5B.Ig35C.35D.看

【變式6?3】（25?26高一上?全國?單元測試）甲、乙兩人同時(shí)解關(guān)于x的方程：log2X+b+dog/=0.甲

寫錯(cuò)了常數(shù)從得兩根為*及右乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,得兩根為g及64,則這個(gè)方程的真正的根為（）

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A.x=2B.x=4

C,x=4或％=8D.x=2或x=8

【題型7帶附加條件的指、對數(shù)問題】

【例7】（24-25高一上?河南開封?期末）求滿足下列條件的各式的值:

（1）若10巾=4,10"=5,求租+2九的值；

（2）若Xog32=1,求4、+4r的值.

【變式7-1］（24-25高一上?全國?周測）（1）已知2a=5力=1000,求工+1的值;

ab

（2）已知32#=43y=126,求之+漸值.

*y

【變式7-2］（24-25高一上?吉林廷邊?期末）（1）若;dog23=L求3、+3一、的值:

（2）已知Ig2=a,lg3=匕，試用a,b表示lgl5.

【變式7-3］（24-25高一上?江蘇南京?期末）已知6m=2,6n=5.

⑴求62i的值；

（2）用m,n表示log2（）15.

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【題型8運(yùn)用換底公式證明恒等式】

【例8】（24-25高一上?陜西渭南?價(jià)段練習(xí)）己知：2%=3'=122工1,求證：-+-=

xyz

【變式8-1]（24-25高一下?廣西崇左?階段練習(xí)）求滿足下列條件的各式的值

（1）若xlog34=1,求4》+4r的值；

（2）設(shè)3、=業(yè)=6Z,求證：工+4=2

x2yz

【變式8-2](24-25高一?全國?課后作業(yè))證明:

(1)log?b-loghc-logca=1；

(2)log?mbn=?Oga匕.

【變式8-3]（24-25高一下?上海?課后作業(yè)）已知在中，ZC=90°,角力，B,C所對應(yīng)的三條邊長分

別為“，b,c.求證：log（b+c）a+log（c—b）Q=21ogg+c）alog（c—b）a.

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知識點(diǎn)3對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運(yùn)算的問題.求解對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，一是要合理建立數(shù)學(xué)模

型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對數(shù)的性質(zhì)以及式子兩邊取對數(shù)的方法求解.

對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致H以分為兩類：

（1）建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實(shí)際求值，計(jì)算時(shí)要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化：

（2）建立指數(shù)式，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時(shí)往往將等式兩邊同時(shí)取對數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

【題型9對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】（2025?陜西?模擬預(yù)測）2025年1月西藏定日發(fā)生6.8級地震，已知M（里氏震級）的計(jì)算:公式為時(shí)=

lg^-\gA0（其中力是被測地震最大振幅，常數(shù)力°是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅），5級地震給人的震感已比較明顯，

則定日這次地震的最大振幅大約是5級地震最大振幅的（）倍.（參考數(shù)據(jù)：10L8?63）

A.1.8B.18C.63D.128

【變式9-1］（24-25高一上?安徽合肥?期水）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測

量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V間的關(guān)系為

L=5+lg匕已知五分記錄法的評判范圍為［4.052］