專題01對(duì)數(shù)的概念

對(duì)數(shù)概念的理解

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

對(duì)數(shù)的概念利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值

題型精講

利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化求值

指數(shù)、對(duì)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

利用對(duì)數(shù)解指數(shù)型方程

「練基礎(chǔ)

q強(qiáng)化訓(xùn)練練提升

-練創(chuàng)新

k教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重睚點(diǎn)\

1.理解對(duì)數(shù)的定義，明確對(duì)數(shù)與指數(shù)的相互關(guān)系，能進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化。

教學(xué)目標(biāo)

2.學(xué)會(huì)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、求值等對(duì)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。

重點(diǎn)：

(1)’。數(shù)的定義(含底數(shù)、真數(shù)范圍)；

(2)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化。

教學(xué)重難點(diǎn)

難點(diǎn)：

(1)理解對(duì)數(shù)是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算：

(2)正確運(yùn)用互化關(guān)系解決問題，避免混淆底數(shù)、真數(shù)限制。

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)的概念(重點(diǎn))

1/15

1.對(duì)數(shù)的定義

如果〃x=N(a>0，且存1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),

N叫做真數(shù).

2.幾種特殊的對(duì)數(shù)

。)常用對(duì)數(shù)：以10為底,記價(jià)lg_N；

(2)自然對(duì)數(shù)：以e為底，記作也上.

3.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化

當(dāng)a>0,arl時(shí)，ax=N=logaN=x.

用圖表示為：

------1將勃|以4為底-----

.一I|真數(shù)|~|

V

4=N~"logaN=X

-------dU--------

【知識(shí)剖析】

為什么規(guī)定底數(shù)a>0,且a中1?

(1)當(dāng)a=0時(shí)，a'恒等于0,沒有研究的必要.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)于某些取值，a'無(wú)意義，即不利于定義的擴(kuò)充.

(3)當(dāng)a=l時(shí)，則無(wú)論x取何值，1恒等于1,沒有研窕的必要.

【即學(xué)即練】

1.(24-25高一上?江蘇宿遷?期末)若》=1。氐2,則3'的值為()

A.2B.4C.8D.9

【答案】A

【解析】因?yàn)楣?唾32,所以，v=2.

故選：A.

2.在對(duì)數(shù)式6=1。&叫3)(5-。)中，實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-co,3)u(5,+x)B.(3,5)

C.(3,4)D.(3,4)U(4,5)

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，底數(shù)大于。且不等于1,真數(shù)大于0,列不等式組即可求解.

。-3>0

【解析】要使對(duì)數(shù)式6=1。&“-3)(5-。)有意義，需滿足

5-a>0

解得3<。<4或4<。<5,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(3,4)U(4,5).

2/15

故選:D.

知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的性質(zhì)（難點(diǎn)）

（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù);

（2）1的對(duì)數(shù)為雯，即logj=8。>0且。1）；

（3）底數(shù)的對(duì)數(shù)為1，即log^=i（f/>0且存1）.

（4）對(duì)數(shù)恒等式:〃電"=N嗨。'=x.（a>0,且孫1,N>0）.

【即學(xué)即練】

1.（24-25高一上?北京大興?期末）方程Iog2x2=l的解集為（）

A.{1}B.{-U}

C.{啦}D.{-五心

【答案】D

【分析】先根據(jù)真數(shù)大于零解得/<0或x>0,再將1轉(zhuǎn)化為1。當(dāng)2,即可解得》=±&,都使得方程有意

義，即可知正確選項(xiàng).

【解析】由題意，x2>（）,解得x<0或x>0,

由bg2.，=i,得logz/nlog",則—=2,解得x=±&，所以方程log?/=1的解集為{-VJ,右}.

故選：D.

2.（24-25高一上?上海浦東新?期中）Eftllog3（log2x）=0,那么x=（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,先求出log2%，進(jìn)而求出x.

【解析】因?yàn)?%（噫力=0,所以10g2X=l,則尸2.

故選：B.

愿型精講

題型一對(duì)數(shù)概念的理解

【典例1?1】（24-25高一上?河北衡水?隨堂練習(xí)）給出下列說(shuō)法:

①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；

②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；

③以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；

④以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3/15

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì).數(shù)的概念和定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.

【解析】零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，命題①正確；

（-1）2=1，不能寫成對(duì)數(shù)式，命題②錯(cuò)誤，；

以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，命題③正確：

以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)，命題④正確；

故正確命題是①③④，

故選：C.

【典例1-2]（24-25高一上?山東德州?階段測(cè)試）對(duì)數(shù)式log但.2）（6-。）中實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-oo,6）B.（1,6）C.|,1D（L6）D.停位）

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，得到關(guān)于。的不等式組，求解即可得到答案.

3d—2>0,

【解析】由對(duì)數(shù)式1。%.2）（6-。）有意義得3”2/1,解得"住,

6-a>0,

故選：C.

方法技巧

一好「「血豆癡茱徉~

在對(duì)數(shù)式中，必須注意：真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1.

晨FliiaAs需二工限的沏至瓶而一惠而拉一遍二；彳3二刀百而豪媼而最?；╥fm

A.'|,+8）B.f1,l）u（l,3）C.（-00,2）D.（|收）

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式有意義可得出關(guān)于/的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.

3/-2>0

【解析】要使對(duì)數(shù)式1。跖.2）（3一）有意義，需卜-2",解得:<z<3且f",

所以，實(shí)數(shù)/的取值范圍是（|,1）U（L3）.

故選：B.

【變式1-2]（24-25高一上?遼寧?課后練習(xí)）使對(duì)數(shù)log“（-2a+l）有意義的。的取值范圍為（）

4/15

A.且B.0<fl<-C.〃>0且。工1D.a<—

222

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)成立的條件，是立不等式即可得到結(jié)論.

-2a+1>0

【解析】要使對(duì)數(shù)有意義，貝”。>0，解得

-12

故選：B.

題型二指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化（重點(diǎn)）

【典例2]（24-25高一上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式:

（1）3』；（2）4X=~；（3）10v=6;（4）v=25;

6e

（5）x=log527；（6）x=log7-：（7）x=lg0.3；（8）x=In出.

【解析】（1）因?yàn)?、=1，則X=log31.

（2）因?yàn)?、二—,

6

（3）因?yàn)?0、=6，則X=愴6.

（4）因?yàn)椋?25，則x=ln25.

（5）因?yàn)閤=logs27,則5、=27.

（6）因?yàn)閤=log7（,則7"=".

（7）解：因?yàn)閤=lg0.3,則10'=0.3.

（8）因?yàn)閤=]n\/^，則e'=.

方法技巧

指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化的技巧

指數(shù)式ab=N與對(duì)數(shù)式logaN=b的互化規(guī)則是“底數(shù)不變，左右交換”，即：①兩式均以a為底；②b,

加兩個(gè)字母在等號(hào)左右互換其位置.顯值相等的指數(shù)式問題，求解時(shí)一般設(shè)相等的指數(shù)式為同一個(gè)常數(shù)，

:然后取對(duì)數(shù)求解.

7菱式W1蒼商二工:江湘麗:麻醺芍廠標(biāo)下河疳藪黃西懿好藪黃丁君嚼送加標(biāo)瞬命茨：

⑴274⑵⑶電1i7.

【分析】直接利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系實(shí)現(xiàn)對(duì)指互化.

【解析】（1）由2-3=:可得logj=_3：

88

5/15

(2)由得*6=。；

(3)由］g—!—=-3可得103=—L.

10001000

【變式2-2］(24-25高?上?全國(guó)?課堂練習(xí))將下列對(duì)數(shù)式為指數(shù)式或指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式:

⑴4:64：⑵10gx3=2；⑶(；)=〃；(4)牌丁二一3.

【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化求解.

【解析】(1)解：因?yàn)?，?64、所以.1。&64=3

(2)因?yàn)閘og,,3=2,所以/=3.

因?yàn)楸叮邸?〃，所以皿〃="

(3)

⑴2

(4)因?yàn)橥質(zhì)8=-3,所以

題型三利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值

【典例3】(24-25高一上?安徽蚌埠?階段練習(xí))求下列各式的值：

(1)logs25；(2)log041；(3)In-；(4)IgO.OOl.

e

【解析】(1)1。&25=1華552=2；

(2)log041=0；

(3)In—=Ine1=—1；

e

(4)IglO-3=-3.

方法技巧

利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值的兩注意：

利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值時(shí)，一是要注意底數(shù)與真數(shù)之間的關(guān)系，以免用錯(cuò)性質(zhì)；二是要注意結(jié)合對(duì)數(shù)的定義.：

I

彳友三3777年*商二工賽也血親5?耒下前客式的

(l)log±2;(2)log7V49.

16

【解析】⑴設(shè)logj_2=x廁位)'=2,即2小=2,

16V10/

.??-4x=1,x=T，即Iogj_2=—.

⑵設(shè)log?游關(guān)x,則7X=V49=75.

6/15

???x=1,即log?V49=

【變式3-2](24-25高一上?福建?期中)①lg(lgl0)=0；@lg(lne)=0；③若lgx=10,則x=10；

④若lnx=e，則x=e?.其中正確的是()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算逐一判斷可得選項(xiàng).

【解析】解：對(duì)?、?，Ig(lglO)-Igi-0,故①正確：

對(duì)于②，lg(lnc)=lgl=0,故②正確；

對(duì)于③，若lgx=l。，則x=IOZ故③不正確；

對(duì)于④，若Inx=e,則x=e，，故④不正確.

故選：C.

題型四利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化求值

【典例4】(2425高一上?山東聊城?階段練習(xí))求下列各式中x的值：

(2)log49=4；

(3)1g0.00001=x；(4)Inyje=-x.

【解析】⑴因?yàn)榈貜V二一3,所以x==27；

(2)因?yàn)閘ogv49=4,所以x4=49，所以x=士J亍，因?yàn)閤>0U/wl,所以x=-J1；

(3)因?yàn)閘g0.00001=x,所以10、=0.00001=10-5,所以工二一5：

(4)因?yàn)镮n二—x，所以二3一"，即，所以—x二一，所以》=一彳

匕—&22

方法技巧

.—.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■-****■?■■■■■??■■.■-?****■■―-*************■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■,

利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化求值■

I

利用指數(shù)、對(duì)數(shù)式互化求值時(shí)：要注意方程思想的應(yīng)用，即通過解方程及指對(duì)互化的策略，求得相應(yīng)未；

知量的值.:

I

彳孌黃。門7萬(wàn)書商二工無(wú)親諫后碗面-泰下明客式甲G麗蒞1

⑴x=log也4；(2)x=log93；

~2

(3)logx8=-3；(4)log'x=4.

7/15

【解析】（1）由x=k）g,匚4,得（X—『=4,

T2

所以22=22,-x=2,x=-4.

2

（2）由X=log93，可得9、=3,即3"=32所以2x=l,x=l.

24

（3）由已知得x—=8,即（1）3=23,1=2,x=l.

Xx2

（4）由已知得x=（；）4=；.

【變式4-2］（24-25高一上?河南鄭州?階段練習(xí)）求x的值：2喝'

【答案】x=1

【分析】先化簡(jiǎn)為log""-2,再通過對(duì)指互化即得解.

【解析】由題得2麟"=2-2,/.log,H=-2,.*.X=3-2=1.

題型五指數(shù)、對(duì)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典例5】（24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?課后作業(yè)）計(jì)算下列各式：

2,olo

（l）log2（log93）；（2）2-g25+2823+2|Og31-3log77+21n1；（3）3啕4-晦2.

［解析］⑴設(shè)logg3=x，則9*=3,即32x=3,.-.x=1.

設(shè)1。晝乂則2y=1=2L

.*.y=-l..*.log2（log93）=-l.

（2）2,0g23+21og31-31g10+3Inl=3+0-3+0=0.

⑶3*4*2=餐=；=z

方法技巧

7旨藪「好救桂康防察看應(yīng)甬裝南一

對(duì)■于指數(shù)、對(duì)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，要注意利用指數(shù)鼎的性質(zhì)（含運(yùn)算性質(zhì)），將所求代數(shù)式分割成多

個(gè)對(duì)數(shù)式的運(yùn)算，而對(duì)于每一個(gè)對(duì)數(shù)式，則可以考慮對(duì)數(shù)的性質(zhì)求得其值.

彳變「，三3屋篙二L百番深算:麻酶由,訐竟示方話法;..................................

（l）lgl-lne2+21+i°g23；（2）3”喝7

【解析】（1）原式=0-2+2x2^23=2+2x3=4.

8/15

（2）35一岷"=工=243

310g377

【變式5-2］（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知1嗚［|咆（1%切=0,那么—等于（）

A.-B.—C.—D.2

3643

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出，再代入x弓計(jì)算即可.

3

【解析】由條件知四3（唾2》）=1,所以log2x=3,g［Jx=2=8?

所以;3=8-；='=：=也

加以62及4-

O-

故選：C.

題型六利用對(duì)數(shù)解指數(shù)型方程

【典例6］（24-25高一上?天津?期末）已知2x9x-28=（；）f,則x=（）

A.Iog37-log32B.log1^C.Iog34D.Iog37

【答案】C

【解析】選C.2X9X—28=（；）—X,

所以2X（3X）2-28-3X=0,BP（3X-4）（2-3X+7）=0,解得3*=4,則x=log.M.故選C.

方法技巧

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解與指數(shù)有關(guān)的方程的策略

，利用對(duì)數(shù)解與指數(shù)有關(guān)的方程的策略有二：一是將方程轉(zhuǎn)化為某個(gè)具體數(shù)的x次方為一具體數(shù)的形式，i

:再轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式求得x的值；二是將方程左右兩邊都化為同底的指數(shù)式或?qū)?shù)式，再利用指數(shù)相等或真數(shù)i

；相等列方程求解.

，金證3nx三?高二工百趣加加j語(yǔ)高丁三至3嬴浜辟意....二.....一......

【答案】：

O

（解析】???3i°g2x==3-3,，log2x=-3,，x=2-3二.

278

【變式6-2］（24-25高一上?陜西渭南?隨堂練習(xí)）方程302、T）=I的解為.

【答案】2

【分析】將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)為指數(shù)式即可求出解.

9/15

【解析】由題意得lg（2x—3）=0,得2x—3=1,解得x=2.

練基礎(chǔ)

1.（24-25高一上?江蘇南通?期末）將2?=8化為對(duì)數(shù)式正確的是（）

A.Iug23=8B.lug,8=3C.lug82=31%2=8

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義判斷.

【解析】23=8化為對(duì)數(shù)式為1%8=3,

故選:B.

2.（24-25高一上?安徽亳州?期中）若工=嘀2,則3、的值為（）

A.2B.4C.8D.9

【答案】A

【分析】由指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化可得結(jié)果.

【解析】因?yàn)閤=log32,所以，3、=2.

故選：A.

3.（24-25高一上?四川成都?期末）式子*3+k）g?25+（（）.125）4的值為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解盯可.

【解析】由題意可得：原式=3+log&（石『+=3+4出）=7+4=11

故選：C.

4.（多選）（24-25高一上?河北保定?階段練習(xí)）（多選題）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的是?）

C.Iog39=2與J=3D.log?7=l與7=7

【答案】AD

【分析】利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)判斷求解即可.

【解析】首先，我們給出指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系式"=Nox=log0N,

10/15

對(duì)于A,e0=l可化為bg」=O，故A正確,

對(duì)于B,81=2可化為=故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,1。氐9=2可化為32=9,故C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,log]7=l可化為丁=7，故D正確.

故選：AD

5.（多選）（24-25高一上?遼寧沈陽(yáng)?期中）（多選題）下列說(shuō)法等式正確的有（）

A.lg（lglO）=OB.lg（lnc）=O

C.若lgx=10,則x=10D.若bx=e,W!1x=e2

【答案】AB

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：lg（lglO）=lgl=0,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：lg（lne）=lgl=0,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)c：若ig》=io,則x=i（y°,故c錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：若lnx=e,則％=6*:，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

6.[24-25高一上?江蘇南通?課后作業(yè)）（多選）下列選項(xiàng)中，使有意義的a的取值范圍是（）

C.-,4D.（-8,4）

13/

【答案】BC

【分析1利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義列出關(guān)于a的不等式組，求解即可.

3。一1＞0

【解析】要使1。&皿）（4—。）有意義，則3〃-1工1,解得1:＜（2或2

4-a＞0

所以a的取值范圍是.

故選：BC.

7.（24-25高一上?山東淄博?隨堂練習(xí)）通常我們將的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把logioN記為

1g".

【答案】以10為底

8.（24-25高一上?江蘇無(wú)錫?課堂作業(yè)）在對(duì)數(shù)式中l(wèi)og,z）（3-x）,實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】1＜尤＜3且x/2

11/15

x-l>0

【解析】由對(duì)數(shù)式logg）（3—x）可知：、x—1/1,解之得：1<》<3且"2

3-x>0

9.（24-25高一上?山西晉中?階段練習(xí)）計(jì)算：弓產(chǎn)+3>崛4=.

【答案】3

【解析】（勺-2+3|-皿4=弓、+3x3啕L，3X）=3.

10.（24-25高一上?廣州湛江?隨堂練習(xí)）計(jì)算：logC+l；）=.

【答案】4

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義和指數(shù)靠運(yùn)算求解.

【解析】由題意可知：k>g39+R[=2+2=4.

11.（24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：

⑴log327=3：⑵嗔8=-3；⑶&J=9；⑷2一?=；.

【分析】（1）（2）（3）（4）利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系式求解即可.

【解析】（1）首先，我們給出指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系式，=Nox=log.N,

對(duì)于log：27=3,可化為33=27.

（2）對(duì)于1°g『二-3,可化為（；）-8.

（3）對(duì)于（；）=9,可化為唾。=-2.

（4）對(duì)于2,=：,可化為1og,：=-2.

4-4

練提升

12.（24-25高一上?河北滄州?階段練習(xí)）（多選題）下列命題正確的是（）

A.若loge%=3,則

12

B.^log—=則x=64

163

C.若/陽(yáng)。=?!■,則x=4

4

D.若logjb'l,則a=b

【答案】AB

12/15

【分析】對(duì)于ABC根據(jù)對(duì)數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)'幕運(yùn)算求解；對(duì)于D：舉反例即可.

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若log、/=3,所有x=（0]=20,故A正確:

17--1

對(duì)于選項(xiàng)B：^log-=-4,則X3=_L=2-,

16316

所以x=（27）+=2^=64,故B正確：

對(duì)于選項(xiàng)c：因?yàn)閕og31=—2,nPx,O8^-x-2-4---

9x-4

可得/=4,即工=±2,故C錯(cuò)誤；

22

對(duì)于選項(xiàng)D：例如。=2,8=-2,yija=b=4^可得logjb'l,

符合題意，但。=-8，故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

2/]、-4

13.（24-25高一上?江蘇南通?期末）3嗝2+（0125尸