第十五章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形

知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖.

軸對(duì)稱

軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱

線段的垂直平分線

?成岫對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸畫法

軸對(duì)稱的性廢

｛畫對(duì)稱圖形的方法

關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系

軸對(duì)稱圖形與

等腰三角形

r定義

r等腰三角形\性質(zhì)等邊對(duì)等角三線合一

等腰三角形

I含30度角的直角三角形的性質(zhì)

0角平分線性質(zhì)與判定

02知識(shí)速記

一、軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間有區(qū)別也有聯(lián)系，

1、區(qū)別是:軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是某一個(gè)圖形具有軸對(duì)稱這一特征.

2、聯(lián)系是:把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形時(shí)是軸對(duì)稱圖形;將軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這

兩個(gè)圖形關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.

二、線段的垂直平分線

線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定是互逆的，角平分線的性質(zhì)和判定也是互逆的，經(jīng)常配合三角形全等進(jìn)行

運(yùn)用.

三、對(duì)稱變換

1、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征:關(guān)于X軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于y軸對(duì)稱，橫坐

標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同.

2、等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的性質(zhì)乂1)等邊對(duì)等角;(2)三線合一.等腰三角形的判定與性質(zhì)

是互逆的，

判定有乂1)等角對(duì)等邊;(2)三線中只要有兩線合一就能判定.

3、等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有的性質(zhì)，

獨(dú)特的性質(zhì)：(1)三個(gè)角都相等，且都等于60。；(2)任意一邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線都合一

03題型歸納

題型一軸對(duì)稱圖形

例I.(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè))下列各組圖形中，右邊的圖形與左邊的圖形成軸對(duì)稱的有(

墨R

①②③④

A.①②B.②③C.??D.③④

【答案】B

【分析】本題考查軸對(duì)稱的定義，熟練掌握軸對(duì)稱的定義是關(guān)鍵，根據(jù)軸對(duì)稱的定義：“如果兩個(gè)平面圖形

沿一條更線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，則這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱“，進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解.】解：②③是軸對(duì)稱，①④不是軸對(duì)稱，

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

].(23-24八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)下列語句：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等；②兩個(gè)全等圖形一定成

軸對(duì)稱；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)一定在該直線的兩旁；④成軸對(duì)稱的是一個(gè)圖形；⑤如

果△A8C與△/）￡1/成軸對(duì)稱，那么它們的周長(zhǎng)一定相等.其中，正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題關(guān)鍵.分別根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)判

斷得出即可.

【詳解】解：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，此選項(xiàng)正確；

②兩個(gè)全等圖形不一定成軸對(duì)稱，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)不一定在該直線的兩旁，也可能在對(duì)稱軸上，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④成軸對(duì)稱的是兩個(gè)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤如果與aOEF成軸對(duì)稱，那么它們的周長(zhǎng)一定相等，比選項(xiàng)正確.

故選：B.

2.（2024八年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）如圖，△4BC與△4BC關(guān)于直線/對(duì)稱，且乙4=78。，/。=48。，則

△C的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)成軸對(duì)稱的個(gè)圖形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：???△4BC與△4BC關(guān)于直線/對(duì)稱，20=48。，

/.ZC=ZC=48°,

故選：A.

3.（21-22八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，球沿圖中箭頭方向百出后碰到桌子的邊緣會(huì)反彈，其中41叫做

入射角，42叫做反射線，如果每次的入射角總是等于反射角，那么球最后將落入桌子四個(gè)頂角處的球袋中

的（）

A.4號(hào)袋B.B號(hào)袋C.。號(hào)袋D.。號(hào)袋

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖示可直接得到答案.

【詳解】解：如圖所示：球最后將落入桌子四個(gè)頂角處的球袋中的。號(hào)袋中,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵是掌握每次的入射角總是等r反射角.

題型二平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱圖形

例2.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)網(wǎng)-3,5）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

是（）

A.（3,5）B.（3,-5）C.（5,-3）D.（一3,—5）

【答案】D

【分析】本題考查了關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特征.根據(jù)“橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”即可得到答案.

【詳解】解：點(diǎn)尸（-3,5）關(guān)于“軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（一3,—5）,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí)）如果點(diǎn)P（m,3）與Pi（5,n）關(guān)于y軸對(duì)稱，則〃?，〃的值分別為（）

A.m=-5,n=—3B.m=5,n=3

C.m=-5,n=3D.m=-3,n=5

【答案】C

【分析】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱問題：關(guān)于X軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)

于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)已知條件，。點(diǎn)和Pi點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，可知〃=3,

m=-5,即可得到〃？和九

【詳解】解：點(diǎn)P和點(diǎn)Pi關(guān)于y軸對(duì)稱，

根據(jù)題意，有n=3,m=—5；

故選:C

2.（24-25八年級(jí)上?廣東廣州?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（一2,加一1）與點(diǎn)8（九+2,3）關(guān)于X軸對(duì)稱，

則機(jī)+71的值是（）

A.-6B.4C.5D.-5

【答案】A

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)關(guān)于%軸

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)”橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)“，求解即可.

【詳解】解：???點(diǎn)4（一2即一1）與點(diǎn)8（n+2,3）關(guān)于%軸對(duì)稱，

???—2=n+2,m—1=—3,

?*.n=—4,m=—2,

二n+=-2+（—4）=-6,

故選：A.

3.（23?24八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）已知點(diǎn)Pi（a—1,5）和P2（2力一1）關(guān)于%軸對(duì)稱，則（。+32g值為（）

A.0B.-1C.1D.無法確定

【答案】B

【分析】本題考查了關(guān)于工軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)點(diǎn)Pi（a—1,5）和。2（2力-1）關(guān)于入軸對(duì)稱，可得1=2,b-l=-5,求出a和b的值，進(jìn)?步計(jì)算即可.

【詳解】解：???點(diǎn)Pi（優(yōu)一1,5）和「2（25—1）關(guān)于x軸對(duì)稱,

G—1=2,b—1=-5,

解得Q=3,b=—4,

.?.（。+力皿=（一1）初=7,

故選：B

題型三證明線段的垂直平分線

例3.(23-24八年級(jí)下?貴州畢節(jié)階段練習(xí))如圖所示，AD,8。相交于點(diǎn)。，AD=BC,zC=zD=90°.

⑴求證：△4C8三△BZL4；

(2)說明點(diǎn)O在AB的垂直平分線上.

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定

和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵.

(1)在RSACB和RtZXBDA中,利用HL定理判定即可.

(2)^Ri^ACB=Ri^BDA,證出力0=8。，即可證明；

【詳解】(1)證明:VZC=ZD=9O0,

???△力C8和△3ZM都是直角三角形，

在Rt△ACB^Rt△804中，

(AB=BA

\AD=BC'

Rt△/lCF=Rt△FDzl(HL)；

(2)證明：VRtAACB^Rt^BDA,

???/.DAB=Z.CBA,

'?AO=BO,

???點(diǎn)。在AB的垂直平分線上.

鞏固訓(xùn)練

1.(22?23七年級(jí)下?四川達(dá)州?期末)如圖，已知：AB\\CD,乙BAE=cDCF,AC,E尸相交于點(diǎn)有

AM=CM.

AB

E

F

D

(1)試說明：AE||CF；

(2)若AM平分N凡4E,試說明：FE垂直平分4c.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直平分線的判定.熟知平行線的性質(zhì)、垂直平分線的判定是解答此

題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)得出=再由=可知NE4M=NFCM,故可得出結(jié)論；

(2)先由4M平分ZR4E得出4E4M=N區(qū)4M,=/.FCM^^FAM=Z.FCM,得4r=尸。，再

由ZM=CM,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：YABIICD,

：,LBAC=LDCA.

又*：Z-BAE=乙DCF,^UBAC-Z.BAE=LDCA-乙DCF

：.z.EAM=Z.FCM,

：.AE\\CF；

(2),?NM平分NF4E,

?LE4M=NB4M.

又?,"EAM=4/CM,

：.LFAM=Z-FCM,

：.AF=FC.

又,,NM=CM,

???E/垂直平分4c.

2.(23-24八年級(jí)上?江蘇泰州?期中)如圖,已知ZL4BC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別為48,4；上的點(diǎn),

BE=CD.

A

（1）△ABD與△ACE全等嗎?為什么？

（2）連接4凡0E,求證：力/垂直平分QE.

【答案】（口△4BD三△ACE,見解析

Q）見解析

【分析】（1）根據(jù)力3=4C,8/二。。可得4￡*=40,利用SAS，進(jìn)而證明△力B0三△4CE；

（2）由Ab=/1〃則4在?；氐闹邪嗑€上，再證明△（；〃，三△3七產(chǎn)可得上/.二〃"，故〃在。E的中垂線上，貝1］力產(chǎn)

垂直平分D￡

本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理、中垂線的判定定理，理解題意是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：△4BD與△ACE全等；

理由：VAB=AC,BE=CD,

AB-BE=AC-CO即AE=AD,

在△48。與△人（?￡■中，

（AB=AC

\Z-A=44,

VAE=AD

.?.△48D三△4CE(SAS)；

(2)解：如圖：連接DE,AF

由（1）vAD=AEf

在DE的中垂線上,

ABD^△ACE,

."ABD=Z.ACE,

在“O/7與△8EF中,

乙ABD=LACE

乙BFE=cCFD,

BD=CD

CDF=△BEF（AAS），

:.EF=DF,

???/在DE的中垂線上，

.?j尸垂直平分

3.（22-23八年級(jí)上?廣東珠海期中）如圖，△力8C中，乙4cB=90。，40平分48/1C,DEJ.AB于E.

（1）若4BAC=48。，求/EDA的度數(shù)；

（2）求證：直線力。是線段CE的垂直平分線.

【答案】（1）66。

（2）見解析

【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵

是掌握相關(guān)的知識(shí)

（1）根據(jù)角平分線的定義求，44D的度數(shù)，利用垂線和三角形內(nèi)角和定理求解即可：

（2）利用角平分線和垂線的性質(zhì)潴備條件，根據(jù)AAS證明三△AC。，利用全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合

線段垂直平分線的判定即可證明.

【詳解】（1）解：V^BAC=48°,AD平分心BAG

,\￡EAD=^BAC=24°,

*：DE1AB,

，"EO=90°,

：.zFDy4=90°-24°=66°.

（2）證明：*：DE1AB,

:.N皿）=90°=4C8,

又平分N84C,

:.Z.DAE=ZDAC,

'：AD=AD,

:.^AED^^ACD（AAS）,

*.AE=AC,

,?"平分484C,

：.AD1CE,40平分線段EC,

即直線4D是線段CE的垂直平分線.

題型四利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)

例4.（24-25八年級(jí)上?山東濰坊階段練習(xí)）如圖，在BC中，的垂直平分線4交48于點(diǎn)交BCF點(diǎn)

D,4C的垂直平分線，2交力。于點(diǎn)M交8C于點(diǎn)E,4與％相交于點(diǎn)（），分別連接。4OB,0C,若△40E周

長(zhǎng)是6,AOBC周長(zhǎng)是16,求。1的長(zhǎng).

【答案】5

【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端

點(diǎn)的距離相等成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得4。=8。、OA=OR,EA=EC.OA=OC,則。4=。/?=QC：再根據(jù)三

角形的周長(zhǎng)公式及等量代換可得BC=6,進(jìn)而得到。3+。。=10,再結(jié)合04=08=。。即可解答.

【詳解】解：??NB的垂直平分線交48于點(diǎn)交8c于點(diǎn)。，

；?AD=BD,0A=OB,

??YC的垂直平分線12交4c于點(diǎn)N,交8C于點(diǎn)E,

：.EA=EC,OA=OC,

：.OA=OB=OC,

,：△ADE的周長(zhǎng)為6,

AAD+DE+AE=6,

：.BD+DE+EC=6,即BC=6；

丁aOBC的周長(zhǎng)為16,BC=6,

?,.O8+OC=10,

：,OA=OB=OC=5.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?山東濱州?期中）如圖，△48C中，EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)區(qū)

AD1BC,垂足為。，且8D=DE,連接/E.

（1）求證：AB=EC,

（2）若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC=7Cm?則DC的長(zhǎng)為多少?

【答案】（1）見解析

(2)ycm

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì):

3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得=EC，AB=AE,等量代換可得MB=EC；

（2）先根據(jù)已知條件得出48+BC=13cm，再通過等量代換得出718+80=OE+EC=OC,進(jìn)而得出

AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm?即可求解.

【詳解】（1）證明：:Er垂直平分4C,

??AE—EC,

1/ADLBC,BD=DE,

:?AB=AE,

??AB=EC；

（2）解：???△■「（?的周長(zhǎng)為20cm，

??AB+BC+AC=20cm，

AC=7cm，

??AB+BC=13cm，

?：AB=EC,BD=DE,

*.AB+BD=DE+EC=DC,

*：AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm，

，DC=Ucm.

2.（24-25八年級(jí)上?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，在△力8C中，BC的垂直平分線相交5C于點(diǎn)。，尸是直線機(jī)

上的一動(dòng)點(diǎn).

(I)連結(jié)2P,CP,求證：BP=CP-

(2)連結(jié)AP,若48=6,AC=4,BC=7,求△/PC的周長(zhǎng)的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)△力PC周長(zhǎng)的最小值是10.

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意知點(diǎn)C關(guān)于直線機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8,故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，4P+CP值的最小，即可求解.

【詳解】(1)證明：???〃?是BC的垂直平分線，P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，

???BP=CP；

(2)解:???直線，"垂直平分BC,

???8、C關(guān)于直線相對(duì)稱，

設(shè)直線加交A8于。，如圖：

m

A

,:BP=CP,

，當(dāng)尸和。重合時(shí)，4P+CP的值最小，最小值等于的長(zhǎng)，

.?.△4PC周長(zhǎng)的最小值是：

AP+CP+AC=AB+AC=6+4=10.

3.(22?23八年級(jí)上?廣西貴港,期末)如圖，在△ABC中,DM,EN分別垂直平分邊AC和邊BC,交邊2B于

M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)用

(1)若/8=3cm,求△CMN的周長(zhǎng).

(2)若4MFN=80。，求NMCN的度數(shù).

【答案】(l)3cm

(2)20°

【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到

線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到4M=CM,BN=CN,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案：

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙MNF+4NM凡進(jìn)而求出/力+48,結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：???/)”、EN分別垂直平分4c和BC,

???4M=CM,BN=CN,

；ACMN的周長(zhǎng)=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AR=3(cm),

故ZkCMN的周長(zhǎng)為3cm;

(2)vzMFjV=80°,

:.乙MNF+乙NMF=180°-80°=100°,

,乙BNE=LMNF,

LAMD+乙BNE=(MNF+Z.NMF=100°,

￡A+Z.B=90°一/.AMD+90°-Z.BNE=180°-100°=80°,

-AM=CM,BN=CN,

???Zi4=Z.ACM,Z.B=Z.BCN,

???/MOV=180°-2(〃+?=180°-2x80°=20°,

故，MCN的度數(shù)為20。.

題型五利用線段的垂直平分線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

例5.（23-24八年級(jí)上?北京西城期中）如圖，四邊形/18C0中，AB=AD,BC=DC,我們把這種兩組鄰邊

分別相等的四邊形叫做“箏形

⑴求證：△力8c三△40C；

（2）測(cè)量08與00、48cM與乙。CM,你有何猜想？證明你的猜想.

【答案】（1）見解析

（2）0B=0D,AB0A=^D0A,理由見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（2）測(cè)量得出。8=。。、^BOA=Z.DOA,故猜想：0B=0D.^BOA=^DOA,根據(jù)垂直平分線的判定和

性質(zhì)即可得出證明.

【詳解】（1）證明：在△ABC和a/lDC中，

（AB=AD

BC=DC,

VAC=AC

/.△ABC三△力。C(SSS),

(2)猜想：OB=OD、￡.BOA=Z.DOA,證明如下:

f

：AB=ADtBC=DC,

在BO的垂直平分線上，

：.ACLBD,4C、F分8D,

：.^BOA=ADOA=90°,OB=OD,

.\^BOA=^DOAfOB=OD.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?廣西南寧?期中）綜合與實(shí)踐

綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)

圖1圖2

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】對(duì)折△/WCG4B〉/1C）,使點(diǎn)。落在邊AB上的點(diǎn)E處，得到折痕AD,把紙片展平，如圖

1.小明根據(jù)以上操作發(fā)現(xiàn)：四邊形AEDC滿足=DE=DC.查閱相關(guān)資料得知，像這樣的有兩組鄰

邊分別相等的四邊形叫作“箏形請(qǐng)寫出圖1中箏形AEOC的一條性質(zhì).

（2）【探究證明】已知：如圖2,在第形4E0CU」，AE=AC,DE=DC,對(duì)角線40、EC交于點(diǎn)O.求證:

ADLEC

（3）【遷移應(yīng)用】如圖3,在RtZXABC中，44=90。，乙B=30°,點(diǎn)D、E分別是邊BC,48上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四

邊形4E0C為箏形時(shí)，N8DE的度數(shù)為多少？

【答案】（1）箏形力EDC是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線AD：（答案不唯一）

（2）見詳解

（3）ZFDF=30?；?0。

【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是理解“箏形”的性質(zhì);

（1）根據(jù)“箏形”定義即可解決問題；

（2）根據(jù)箏形4EDC是軸對(duì)稱圖形及線段垂直平分線的判定可直接進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)箏形4EDC是軸對(duì)稱圖形可直接進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：答案不唯一，以下任意一條均可，

①箏形力的。是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線4。：

②箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；

③箏形的對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④箏形的對(duì)角線4。是對(duì)角線EC的垂直平分線；

故答案為箏形4EDC是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線4D；

(2)證明：vAE=AC,DE=DC,

為線段EC的垂直平分線，

：,AD1EC.

(3)解：Vz/l=90o,48=30。，

AzC=60°,

當(dāng)四邊形4EDC為箏形時(shí)，由題意可分①如圖，

??,四邊形4EDC為箏形,

???由箏形的性質(zhì)可知:NC=N4ED=60。,

???乙BDE=/-AED-乙B=30°；

②如圖，

圖3?2

根據(jù)題意可知：箏形4EDC是軸對(duì)稱圖形，即4A=iCDE=90。,

，乙BDE=180°-乙CDE=90°.

綜上，NBOE的度數(shù)為30。或90。.

2.(23-24八年級(jí)上全國(guó)?課后作業(yè))如圖，四邊形4BCD中,AD=CD,力8=CB.我們把這種兩組鄰邊分別

相等的四邊形叫做“箏形

概念理解

⑴根據(jù)上面教材的內(nèi)容，請(qǐng)寫出“箏形”的一條性質(zhì)：;

（2）如圖1,在△力8c中，AD1BC,垂足為D,△E/W與△D4B關(guān)于力B所在直線對(duì)稱，△凡4。與△ZX4C關(guān)

于4c所在直線對(duì)稱，延長(zhǎng)E8,FC相交于點(diǎn)G.請(qǐng)寫出圖中的“箏形”：：（寫出一個(gè)即

可）

應(yīng)用拓展

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接EF,分別交AB,4C于點(diǎn)M,",連接求證：乙BAC=dEG.

圖1圖2

【答案】（1）8。垂直平分線段4c

（2）四邊形AOb（答案不唯一）

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)“箏形''的定義判斷即可：

（3）利用同角的余角相等證明即可；

【詳解】（1）vDA=DC,BA=BC,

二80垂直平分線段力。

故答案為：8。垂直平分線段4C

（2）由翻折變換的性質(zhì)可知力。=AF,AADC=Z-AFC=90°,

-AC=AC,

Rt△ACD^RI△4c/（HL）,

:.CD=CF,

???四邊形/oc尸是“箏形”，

故答案為：四邊形力。b(答案不唯一)

(3)由關(guān)于直線對(duì)稱可知4a40=凡/-BAD=Z.BAE,4ADB=2AEB=90。,AD=AF=AE,

LEAF=2z.BACfZ.AEF=Z.AFE,

???/EAF+2N4EF=180。，

...2,84C+244EF=180°,

???/B4C+4AEF=90。，

-￡FEG+^AEF=90O,

???LBAC=Z-FEG.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題.

3.(23-24八年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，A/IBC邊48,BC的垂直平分線交于點(diǎn)P.

(I)求證：點(diǎn)P在力。的垂直平分線上:

(2)若484c=80。，求NBPC的度數(shù);

⑶求證：乙48P+4CB為定值.

【答案】(1)證明見解析

(2)LBPC=160°

(3)證明見解析

【分析】(1)由△48。邊48,的垂直平分線交于點(diǎn)P,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得

PA=PB=PC,即可證得點(diǎn)尸在4C垂直平分線上；

(2)由P4=P8=PC,可得乙P4B=4P8A,Z.PAC=2LPCA,可求出々PBC+zPCB=20°,進(jìn)而可求出NBPC

的度數(shù)；

(3)由等腰三角形的性質(zhì)得乙1即=乙44￡,由三線合一得448P繼而可得+乙4CB=90。.

【詳解】(1)???△ABC邊48,8c的垂直平分線交于點(diǎn)P,

APA=PB,PB=PC,

???PA=PC,

???點(diǎn)P在AC的垂直平分線上；

(2),:PA=PB=PC,

??.P為三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

?，￡P(guān)AB=Z.PBA,Z.PAC=^PCA,

:.乙PBC+乙PCB=180°-160°=20°,

.-.zfiPC=180°-20°=160°：

(3)vPA=PB,

???Z.ABP=Z.BAE,

?.?4E是BC的垂直平分線，

???AB=AC,

NBAE=/CAE,

LABP=Z.CAE,

:.LABP+乙ACB=Z.CAE+4ACS=90°,

即尸+乙4cB為定值.

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

題型六利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)

例6.(24-25八年級(jí)上?四川瀘州?階段練習(xí))如圖，在△ABC中，AE=CD,乙46c=90。,。為48延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，點(diǎn)、E在BC邊上,RBE=BD,連接/IE,DE,DC.

⑴求證：^ABE=ACBD：

(2)若上CAE=30。，求48CC的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)75°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì),

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)先證明出==再利用HL證明△ABEw△CBD即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得力8=8C,乙BDC=LAEB,證明出△A8C為等腰直角三角形，得出

/8.4。=乙4。8=45。，再由三角形外角的定義及性質(zhì)得出乙力￡B="AE+/4cB=75。，即可得解.

【詳解】(1)證明:'?2<8C=90。，

：.LDBC=180°-/.ABC=90°,即/OBC=Z.ABE=90°,

在Rt△ABE^lRt△C80中，

(AE=CD

IBE=BD,

:.Rt△ABE^Rt△CFD(HL)；

(2)解：?:△ABEmACBD,

:.AB=BC,乙BDC=^AEB,

???△ABC為等腰直角三角形，

???Z8AC=4AC8=45°,

??'ME=30。，

：.LAEB=Z.CAE+Z.ACB=75°,

：./-BDC=^AEB=75°.

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25八年級(jí)上?河北邯鄲?階段練習(xí))已知：如圖1,在△4BC和△4DE中,LC=ZE,

NCAE=/DAB?BC=DE.

(1)請(qǐng)證明△A8C三△力。E；

(2)如圖2,連接CE和8D,DE,AD與8。分別交于點(diǎn)M和N,4DM8=56。，求zACE的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)62°

【分析】本題綜合考查了三角形的相關(guān)定理與證明，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，外角定理，全等三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由，乙4￡二乙》48,則/-CAE+Z-CAD=^DAB+/-CAD,即乙=i區(qū)4Q,即可根據(jù)AAS證明；

(2)證明N￡MB=NOM8=56。，貝此G4E==56。，i^Z-ACE=/.AEC=1(180°-56°)=62°,即可

求解.

【詳解】(1)證明：*：^CAE=￡DAB,

：,LCAE+Z.CAD=乙DAB+/.CAD,BPzMF=LEAD,

在△/18C和△八。乂中，

(ZC=Z.E

\Z.CAB=Z.EAD,

(.BC=DE

JRBC三△ADE(AAS)；

(2)解：???△ABC三△ADE,

：.LCBA=/.EDA,AC=AE,

在aMNO和△AN8中，

9：LEDA+乙MND+乙DMB=180°,Z.CBA+乙ANB4-乙DAB=180°,

乂?：乙MND=2ANB,

：.ADAB=ADMB=56°,

：.￡CAE=/LDAB=56°,

*：AC=AE,

LACE=Z.AEC=*180。-56°)=62°,

??ZCE=62°.

2.(24?25八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))在中,AB=AC.

AA

(1)如圖1,如果48Ao=40。，AZ)是△4BC的中線，AD=AE,則NEOC=；如圖2,如果

ABAD=70°,力。是△力8C的中線，AD=AE,則NEOC=；

(2)通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)匕840與NEOC數(shù)展之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表示；

(3)如圖3,如果4。不是△力BC的中線，AD=AE,是否仍有上述關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)20。，35°

(2)LEDC=

(3)仍有=理由見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì).熟練掌握等腰三

角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由力B=AC,可得=△(?,圖1中AD是△4BC的中線，則NEA。=Z,BAD=40。，A。1BC,即/ADC=90°,

由＜O=4E,可得々ADE=々HE。=18。°；一。,IjliJzEDC=Z.ADC-Z.ADE；同理，可求圖2中/EOC的度數(shù)；

(2)同理(1)可得，乙B=^C,/.ADC=90%Z,ADE=Z,AED=---y--,則

乙EDC=Z.ADC-LADE=90°-如。丁而=1^BAD.

(3)同理(1)可得，乙B=cC,^ADE=^AED,設(shè)zE/ID=z2,zF=zC=z3,

z.ADE=z.AED=z.4,乙EDC=LS,如圖，則N1+42+243=180°,42+2/4=180°,z.5=z4-z3,

可求乙1=2(乙4一43),進(jìn)而可得乙5=^41,即=g乙84D.

【詳解】(1)解：???AB=/1C,

?"8=乙C,

圖I中4。是△ABC的中線,

：.Z.EAD=Z-BAD=40°fADIBC,

Az/1DC=90°,

VAD=AE,

180。一4以。

：,z.ADE=Z.AED==70°,

，ZEDC=ZADC-ZADE=20°；

同理，圖2中NEDC=35。，

故答案為：20°,35°：

a

（2）解:同理（1）可得，Z-B=LC,4力OC=90°,^ADE=^AED=180-Z.BAD

2

:.乙EDC=Z.ADC-/-ADE=90°-1叫丁生="BAD,

：.Z.EDC=^Z.BAD,

故答案為：LEDC=^BADx

（3）解：仍有4。，理由如下；

同理（1）可得，Z-B=ZC,Z-ADE=Z.AED,

設(shè)N8力。=N1,Z-EAD=Z-2,zfi=zf=z3,^ADE=^AED=Z.4,4EDC=c5,如圖，

Azi+z2+2z3=180°,z24-2z4=180°,z5=z4-z3,

Azi+Z2+2Z3=Z2+2Z4,整理得，Z1+2z3=2z4,即N1=2（44一43）,

，/5斗1,

：.LEDC=\Z-BAD.

3.（24-25八年級(jí)上黑龍江哈爾濱階段練習(xí)）填空及解答；

（1）【教材例題展示】

如圖1,在△力BC中，4B=4C,點(diǎn)。在力。上，且BD=BC=AD,求△ABC各角度數(shù).

解：-A/i=AC,BD=BC=AD,.?.△ABC=zC=4,/A=/ABD（等邊對(duì)等角），

設(shè)乙4=%,則_=44+々18。=2右從而/ABC=4C=2X,于是在△A8C中，有

Z^+ZJBC+ZC=x+2x+2x=180°,解得％=36。，所以，在448。中，乙力=36。，^ABC=Z.C=72°.

AA

(2)］教材習(xí)題展示】

①如圖2,在△4BC中，AB=AD=DC,若ZB力。=26。，則NC=_；

②如圖3,在△48C中，z4BC=50。，AACB=80°,延長(zhǎng)C8至D,使DB=8工,延長(zhǎng)BC至E,使CE=&4,

連接AD,AE.則=

⑶【教材習(xí)題變式】

①如圖4,在△48E中，乙8A￡=90。，AB=BF,EA=EG,則乙G4F=_.

②如圖5,在△A8C中，AB=AC,乙8=0,點(diǎn)。，E分別為邊BC,八(；上的點(diǎn)，AD=AE,若/BAD=22",

則AEDC=_.

(4)【邊角規(guī)律再探】

如圖，△中，C4=C8,0在A/IBC外，=2乙。8/1=60。，148于〃，交8。于E,求證：△ACD

是等邊三角形.

【答案】(l)BDC；BDC；

⑵①38.5°：②115。

⑶①45。；②11。

(4)見解析

【分析】(1)結(jié)合條件以及部分解答內(nèi)容，根據(jù)等邊對(duì)等角，得43c=NC=NBOC,設(shè)乙4=x，則

/-BDC=Z.A+Z.ABD=2x,從而乙4BC=NC=2x.結(jié)合三角形內(nèi)角和即可列式作答：

（2）①根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和，得乙8=44）8=*二=77。，結(jié)合三角形外角性質(zhì)，求出

4=/即可；

當(dāng)1B（）

同理，NB4D=4a,LB=LADB=,.?—=90°-2a,即4C==45°—a：

②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBAC=180。-50。-80。=50。，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形外用性質(zhì)，求出

△D=ND/8=25。，NE=NE4C=40°,根據(jù)NDAE=zDAB+/BAC+4CAE求出結(jié)果即可；

（3）①設(shè)4G4E=x,則4G=90。一%,根據(jù)EA=EG,得出z￡YL4=/ENG=",結(jié)合三角形外角性質(zhì)，

LABE=x-（90°-x）=2x-90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和，歹U式4E=180。-2%,根據(jù)力8=B凡得出

Z.BAF=^BFA=Zf+LFAE,BP900-Z.FAE=180°-2x+Z.FAE,即4FAE=x-45。，故/G4F=45°：

②根據(jù)/18=4C,得出NC=乙8=/?,結(jié)合三角形外角性質(zhì)，得N/1OC=0+22。，根據(jù)三角形內(nèi)角和，得出

△ZZ4C=158°—23，根據(jù)力O=4E,得出N/1DE==11。+/?,根據(jù)NEOC=々ADC—Z4OE求出結(jié)果即

可；

（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出N4C〃=4C〃，28HE=90。，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出

乙CED=乙BEH=90°-30°=60°,乙CDE+LACH=180°-60°-60°=60°,

^.BCH+LCBD=Z-CED=60°,證明乙CDE=4C8D,得出CD=C4,根據(jù)=60。，即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：*：AB=ACtBD=BC=AD,

：,/ABC=NC=NBDC,ZJ=AABD（等邊時(shí)等角）.

設(shè)乙4=x,ABDC=乙4+2.ABD=2x,乙ABC=zC=2x,

在△ABC中，ZJ+ZJ5C+ZC=x+2x+2.r=180°.

解得％=36°.

，在△力BC中，NA=36°,z4BC=iC=72°；

（2）解：①???在△ABC中，AB=AD=DC,

:.乙B=^ADB,Z.DAC=Z.C,

,/乙口AD=26°,

:?乙B=4ADB=3180°-26°）=77°,

*：/.ADB=Z.DAC4-zC=2Z-C=77°,

?LC=38.5。；

②?：在△4BC中，N/BC=50°,LACB=80°t

：,LBAC=180°-50°-80°=50°,

?:DB=BA,CE=CA,

/.zD=￡.DAB,Z.E=Z-EACi

VzD+乙DAB=Z.ABC=50°,乙E+Z.EAC=LACB=80°,

：.AD=AB=25Q,2E=NE4C=400,

?"DAE=/.DAB+ABAC+Z-CAE=25°+50°+40°=115°；

(3)解：①設(shè)4G4E=x,則NBAG=90°—心

?：EA=EG,

'?LEGA=Z.EAG=x,

：.LABE=X-(900-x)=2x-90°,

.\ZF=9O0-Z/1FF=180°-2x,

'：AB=BF,

：.LBAF=Z.BFA=zE+Z,FAE,

:.90°-^FAE=180°-2x+zFZF,

即/F4E=x-45。，

:.LGAF=LGAE-LFAE=x-(r-45°)=45°：

?'：AB=AC,(B=B，

LC=乙B=p

：.AADC=NB+/.BAD=0+22。，

:.LDAC=180°一夕一0-22°=158°-20,

\'AD=AE,

:.Z.ADE=/.AED=-Oy。-2)=

^EDC=ZADC-ZADE=P+22O-\\O-P=\\°；

(4)證明：,：CA=CB,CHLAB,

?.Z.BCH=ZACH,LBHE=90°,

VzDC/l=2zD^=60o,

：./.DBA=30%

:.LCED=乙BEH=90°-30°=60°,

VzCDF+Z-DCA+Z.ACH+乙CED=180%

/.乙CDE+Z.ACH=180°—60°-60°=60°,

?"CH+Z.CBD=Z-CED=60°,

:.乙CDE=cCBD,

:?CD=CB,

*：CA=CBt

：.CD=CA,

VzDC4=60°,

???aACD為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).

題型七利用等腰三角形的性質(zhì)證明角的關(guān)系

例7.(24-25八年級(jí)上?陜西西安開學(xué)考試)小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完全等三角形后，發(fā)現(xiàn)可以通過添加輔助線構(gòu)

造全等三角形來解決問題.

E

圖(1)圖(2)

(1)如圖(1),40是△4BC的中線，且4B>4C,延長(zhǎng)<0至點(diǎn)E,使ED=4O,連接8E,可證得

△ADC^△EDB,其中判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)為.

(2)如圖(2),在△48C中，點(diǎn)E在BC上，KDE=DC,過￡作EFII/18,^.EF=AC.求證：AD^^BAC.

【答案】(l)SAS

(2)見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形,

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)全等三角形的判定方法，進(jìn)行作答即可；

(2)延長(zhǎng)4。至G,使得DG=DF,連接CG,先證明△DE/T△DCG(SAS)，得到NEFD=NCGD,

EF=CG,平行線的性質(zhì)，得至1吐￡尸。等量代換結(jié)合等邊對(duì)等角，得至1MzMc=/G,再利用等量

代換，得到NBA。=±ZMC,即可;

【詳解】(1)解：:人。是△48C的中線，

:?BD=CD,

：,ED=ADf乙ADC=cEDB,

:.△ADC^△EDB(SAS)，

故答案為：SAS；

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)力。至G,使得DG=D凡連接CG,

■

G

在△/)￡1小和△OCG中，

(DF=DG

\LEDF=LCDG,

IDE=DC

:.△DEF^ADCG(SAS)，

:?乙EFD=￡CGD,EF=CG,

V￡F\\AB,

，乙EFD=CBAD,

又VEF=AC.

：.CG=AC,

*.LDAC=乙G,

：.￡BAD=Z.DAC,

?"D平分484c

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)如圖，在△ABC中，力。平分/B",Cf_L4。于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)E,EF||BC

交HC于點(diǎn)F.求證：乙DEC=￡FEC.

A

【答案】詳見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等，由全等得

到GE=GC,再由線段垂直平分線得到DE=DC,最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】vAD1CE

:.乙AGE=Z.AGC=90°

?.FD平分

Z.DAE=Z.DAC

在△4GE和△4GC中

(/.GAE=/-GAC

AG=AG

Z-AGE=Z-AGC

AGE三△AGC(ASA)

:.GE=GC

是CE的垂直平分線

:.DE=DC

???/.DEC=Z-DCE

???EFIIBC

???乙FEC=Z.DCE

/.DEC=Z.FEC

2.(20-21八年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，在△?1"中，AB=AC,點(diǎn)、D,E,尸分別在邊上，且

DE=CF,BD=CE.

(1)求證：AOE尸是等腰三角形;

(2)求證:乙B=LDEF；

(3)當(dāng)乙4=40。時(shí)，求乙戶的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)70°

【分析】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三箱形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個(gè)

底角相等是解答此題的關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)條件證明△OBE三△￡(?「，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=進(jìn)而可得到尸是等腰

三角形；

(2)根據(jù)△08E三△￡1〃，可知=

乙DEF=180°一4BED-乙FEC=180°一(DEB-乙EDB=即可得出結(jié)論；

(3)由(2)知=再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出NDE尸的度數(shù).

【詳解】(1)證明：???48=4明

/.乙B=乙C,

(BD=CE

在△1和△ECF中乙B=乙C,

=CF

：.dDRE^AECF,

：?DE=FE,

???aDEF是等腰三角形：

(2)證明：?：ADBEwAECF,

:.乙FEC=LBDE,

工人DEF=180°-Z.BED-乙FEC=180°-乙DEB-Z.EDB=乙B：

<3)解：由(2)如4。

,：AB=AC^A=40°,

:.LDEF=/B=1800-401,=70°.

3.(23-24八年級(jí)上?福建度門期中)如圖，在△48。中，AB=AC,點(diǎn)。在上，連接CD,^BCD=z.A,

的垂直平分線與AC交于點(diǎn)E,連接BE交CD于點(diǎn)、F.以8尸為腰，在8尸的右側(cè)作等腰直角三角形89G,

BF=FG,連接。G.

E

(1)試探究：NBFC與24的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)若。產(chǎn)=見8。=小〃?<〃，用含血、n的代數(shù)式表示△/CG的面積.

【答案】(1)48”(7=90。+；乙4,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)