第14章全等三角形（復(fù)習(xí)講義）

單元目標(biāo)聚焦?明核心

1.掌握全等三角形的定義，理解"完全重合”的含義，理解全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系（對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、

對(duì)應(yīng)角）.

2.熟記5種判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）及其適用條件，能準(zhǔn)確運(yùn)用判定定理證明三角形全等.

3.會(huì)利用全等性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算（求邊長、角度等），能解決實(shí)際生活中的測量問題（如河寬、高度測量）

知識(shí)圖造梳理?固基礎(chǔ)

全等圖形：形狀、大小完全相同的圖形，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后籟全重首廠）

定義

全等三角形：對(duì)應(yīng)邊暗、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形，記作-AB6-DEF.）

SSS（硼邊）：H御噫）

頁"（邊角邊）：兩近遁莢角藐褥.:

判定方法ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)畸.

全AAS（角角邊）:兩角及其中一角的對(duì)應(yīng)相等.：J

［TT（直蒯-斜邊）；僅適用于直角三角形而邊和一M角邊對(duì)應(yīng)相等.：

等

第濟(jì)形的崛曲暗.）

第濟(jì)形8W酶吟［）

性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等.］）

角全等三角形的周長相等，繇相等二）

形幾何證明：證明線段或角崎、平行凝直關(guān)蒸）

應(yīng)用場景實(shí)際測量：利用全等三角形原理測量河寬、建筑物被等.）

對(duì)稱設(shè)計(jì)：建筑、藝術(shù)中的對(duì)稱結(jié)構(gòu)常隱含全等關(guān)家

SS6F能劃定全等：除非是百角三角形（HL）.）

易錯(cuò)點(diǎn)提醒對(duì)應(yīng)關(guān)系：寫全等符^時(shí)，頂點(diǎn)順腌瀕嚴(yán)格對(duì)瓦）

隱除件：公共邊、對(duì)頂角、平行線的內(nèi)錯(cuò)角等常作為全等的關(guān)鍵條件.

教材要點(diǎn)精析?夯重點(diǎn)

?一、全等三角形的概念

全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.

【注意】全等形的形狀相同，大小相同，與圖形所在的位置無關(guān)，因此平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

國2、全等三角形的有關(guān)概念和表示方法；

（1）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

（2）三角形全等的符號(hào)：“全等”用符號(hào)“紗表示.

全等的表示方法：AABCq叢FDE

【注意】在記兩個(gè)一角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上.

（3）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角：把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫

做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

（4）尋找對(duì)應(yīng)元素的規(guī)律

①有公共邊的，公共邊一般是對(duì)應(yīng)邊；

②有公共角的.公共角一般是對(duì)應(yīng)角：

③有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一般是對(duì)應(yīng)角；

④兩個(gè)全等三角形最大的邊是對(duì)應(yīng)邊，最小的邊也是對(duì)應(yīng)邊；

⑤兩個(gè)全等三角形最大的角是對(duì)應(yīng)角，最小的角也是對(duì)應(yīng)角.

團(tuán)32、三種常見的全等類型：

（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋轉(zhuǎn)型.

全等變化：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀和大小都沒有改變，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等.

?二、全等三角形的性質(zhì)

團(tuán)性質(zhì)1：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

拓展：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等.

②全等三角形的周長相等，面積相等.

【注意】

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角與對(duì)角的概念，i般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角形而言，而對(duì)

邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)邊，對(duì)角是指邊的對(duì)角.

?二、全等二角形的判定方法

★★利用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等

文字語言：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊''或“SSS”.

幾何語言：在△ABC和aDEF中，

八D

AB=DE

BC=EF/\

CA=FD/

???AABC^ADEF(SSS).“L_________

★★利用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等

1、文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，筒寫成“邊角邊”或“SAS”.

2、幾何語言：

A

在△ABC和△DEF中，

AB=DE/N

X

NB=NEWAII

IBC=EF

/.△ABC^ADEF(SSS).

3、方法：

(1)已知兩邊，可以找“夾角”；(2)已知一角和這角的一夾邊,可找這角的另一夾邊

【注意】1.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

2.說明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊的順序書寫.

3.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個(gè)三角形中.

★★利用“ASA”判定兩個(gè)三角形全等

1、文字語言：有兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成''角邊角”或“ASA”).

2、幾何語言：在Z\ABC和△DEF中，

D

工

<AB=DE/

=ZE/\

HL---------------------CEz

.,.△ABC^ADEF(ASA).

★★利用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等

1、文字語言：兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全察簡寫成“角角邊”或“AAS”.

2、幾何語言:

在ZXABC和4DEF中,

2=ND

NB=NE

IBC="

.??△AB3ZXDEF(AAS).

★★利用“HL”判定兩個(gè)三角形全等

1、文字語言：斜邊和?條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

2、幾何語言：

?：ZC=ZC'=90°

在Rt/XABC和RtAA'B'C'中,

(A8=口'口'

IBC=

ARtAABC^RtAA/B'C'(HL).

【注意】

“SSA”可以判定兩個(gè)直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.

3、判定兩個(gè)直角三角形全等的方法：

判定一般三角形全等的方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“SSS”“SAS”“ASA”

“AAS”“HL”這五種方法來判定兩個(gè)直角三角形全等.

考點(diǎn)題型突破?拓思維

題型一全等三角形的概念

【例1】（25-26八年級(jí)上?吉林?階段練習(xí)）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）

【答案】C

【分析】此題主要考查了全等圖形的概念，解題的關(guān)鍵是掌握形狀相同，大小相等的兩個(gè)圖形是全等圖形.

根據(jù)全等圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A.大小不相等，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.形狀不相同，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.形狀相同，大小相等，是全等圖形，故本選項(xiàng)符合題意：

D.大小不相等，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【變式1?1】（25-26八年級(jí)上?云南昆明?階段練習(xí)）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）

【分析】本題主要考杳了全等圖形的定義，掌握全等圖形為形狀相同、大小相同的圖形是解題的關(guān)鍵.

利用全等圖形的概念即可解答.

【詳解】解：A.兩個(gè)圖形形狀相同，大小不同，不是全等圖形，不符合題意;

B.兩個(gè)圖形的形狀和大小都不同，不是全等圖形，不符合題意;

C.兩個(gè)圖形形狀相同，大小不同，不是全等圖形，不符合題意;

D.兩個(gè)圖形能完全重合，符合題意.

故選：D.

【變式1-2］（25-26八年級(jí)上?江蘇徐州?階段練習(xí)）下列汽車標(biāo)志中，不是由多個(gè)全等圖形組成的是（）

GSSD

B.奧迪

【答案】A

【分析】本題考查的是全等形的識(shí)別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題.根據(jù)能夠完全重合的

兩個(gè)圖形叫做全等圖形對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.

【詳解】解：A、組成圖形的三個(gè)圖形不全等，故本選項(xiàng)符合題意：

B、組成圖形的四個(gè)圓形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、組成圖形的兩個(gè)圖形全等，故本詵項(xiàng)不符合題意：

D、組成圖形的三個(gè)圖形全等，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【變式1-2］（25-26八年級(jí)上?廣東東莞?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形

B.全等三角形的周長和面積分別相等

C.面枳相等的兩個(gè)三角形是仝等三角形

D.所有的等邊三角形都是全等三角形

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全

等三角形，全等三角形的周長和面積分別相等，再結(jié)合等邊三角形的定義，進(jìn)行分析，即可作答.

【詳解】解：A、全等三角形是指能夠完全重合的兩個(gè)三角形，故原說法是錯(cuò)誤的；

B、全等三角形的周長和面積分別相等，故原說法是正確的；

C、面枳相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，故原說法是錯(cuò)誤的；

D、所有的等邊三角形不一定是全等三角形，故原說法是錯(cuò)誤的；

故選：B.

型二利用全等三角形的性質(zhì)求角度

【例2】（25-26八年級(jí)上?云南保山?階段練習(xí)）如圖，AABC三AAB'C',則NC的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題主要考杳三角形全等的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算；根據(jù)全等得到乙8二51。，進(jìn)而

即可得到答案；

【詳解】解：???△481三△AB'C',乙B'=51°,

：.LB=乙B'=51°,

AZC=180°一4A—=180°-56°-51°=73°,

故答案為：B.

【變式2-1］（25-26八年級(jí)上?河南駐馬店?階段練習(xí)）如圖，AC。,4B=AC,BE=CD,乙B=50°,

乙4EC=120°,則NZME的度數(shù)等于（）

A.120°B.70°C.60°D.50°

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得：4AEO=

匕ADE,^AEC=120°,可以求出“DE=Z4EO=60。，利用三角形內(nèi)角和定理可以求出ND4E的度數(shù).

【詳解】解：???^ABE=￡^ACD,

???Z.AED=Z.ADE,

???LAEC=120°,

:./.AED=180°-Z,AEC=180°-120°=60°,

:.LADE=Z.AED=60°,

在A/lOE中，Z-DAE+Z-ADE+Z.AED=180°,

￡DAE=180°-Z.ADE-Z-AED=180°-60°-60°=60°.

故選：c.

【變式2-2]（25-26八年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，△OADOBC,且匕0=80°,IC=252則N0AC

的度數(shù)為().

100°C.105°D.130°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的?個(gè)外角等于與它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到ND=ZC=25°,再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???△。力0三△OBC,

=ZC=25°,

C.LDAC=AO+Z-D=80°+25°=105°.

故選：C.

題型三利用全等三角形的性質(zhì)求線段長

【例3】（25-26八年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，&ACE訃DBF,AD=10,BC=2,則48為（）

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì).由△4CE三4DB9可得4C=

BD,推出48=CD,結(jié)合AD=10,BC=2,即可求解.

【詳解】解：???△/CE三△DBF,

???AC=BD,

AC-BC=BD-BC,即力8=CD,

???AD=10,BC=2,

...AB=CD=^(AD-BC)=^X(10-2)=4,

故選：D.

【變式3-1](25-26八年級(jí)上?安徽阜陽?階段練習(xí))如圖，點(diǎn)8,C,。在同一直線上，若AABC三△CDE,

DE=6,8。=20,則48的長為()

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和線段和差.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4B=CD,BC=DE=6,再由線段的和差即可求解.

【詳解】?:AABCmbCDE,

：.AB=CD,BC=DE=6,

?:BD=20,

：,CD=BD-BC=20-6=14,

：.AB=CD=14,

故選：C.

見利用全等三角形的性質(zhì)證明

【例4】如圖，△ABC且△AQE,/而。=40°,ZD=50°,探索線段八。與BC的位置關(guān)系.并說明理由.

【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N8=NO=50°,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出/AOB=90°,

根據(jù)垂直的定義解答即可.

【詳解】解：AD±BC.

理由如下：*：△ABg/\ADE,ZD=50°,

???NB=NQ=50°,

在aAOB中,NAOB=180°-ABAD-ZB=180°-40°-50°=90°,

：.AD±BC,

【變式4-1】已知E與廠是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).證明4%?！?

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N8=NC,ZBAF=ZCDE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NAPE=/DEF,

根據(jù)平行線的判定得出即可.

【詳解】證明：，：XABF@XDCE、

:.土B=/C,NBAF=NCDE,

/.NB+NBAF=NC+NCDE,

???NAFE=/DEF,

J.AF//DE.

【變式4-2］如圖，XADF以CBE，且點(diǎn)E,B,D,r在一條直線上.

(1)試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

(2)試判斷與。E的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(l)ADIIBC,見解析

(2)BF=DE,見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,

注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出乙/WF="8E,求出"根據(jù)平行線的判定得出即可：

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DF=8E,即可求出答案.

【詳解】(1)解：ADWBC,理由如下:

證明：,:〉A(chǔ)DFw&CBE,

：.LADF=Z.CBE

*：LADF+Z.ADB=180°,Z.CBE+乙CBD=180°,

：.LADB=乙CBD,

：.AD\\BCi

(2)解：BF=DE,理由如下：

證明：＜&ADFWbCBE,

：.DF=BE,

：.DF+BD=BE+BD,

：.BF=DE.

題型五利用SAS證明全等

【例5】(24-25八年級(jí)上?江蘇徐州?階段練習(xí))如圖,OA=OC,OB=OD,^AOD=^COB.求證:

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理，即SSS,SAS,ASA,AAS、直角三角形全等有HL,熟練掌

握和靈活應(yīng)用判定是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)題意利用SAS即可證明.

【詳解】證明：=乙COB,

二Z.AOD-乙BOD=Z.COB-乙BOD,

艮|JZ.AOB=乙COD,

在△力。8和4C。。中

OA=OC

Z-AOB=Z.COD,

OB=OD

:心AOB三△COD（SAS）.

【變式5-11（25-26八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、￡AC在一直線上，DE||BF,DE=BF.AF=

CE,求證：△COE三△48F.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得=即可求證.

【詳解】證明：*：DE\\BF,

工乙DEF=乙BFE,

在ACOE和a/lB尸中，

'：AF=CE,Z.DEF=Z.BFE,DE=BF,

:?hCDE三△48"（SAS）.

【變式5-2]（25-26八年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）如圖，43=AE,LBAD=LEAC,AC=AD,求證：BC=DE.

____A_____E

【答案】見解析

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

首先木艮W居乙8A。=乙區(qū)4c可證明乙5AC=^EAD,然后根據(jù)SAS證明△ABC=^AED,即可證明SC=DE.

【詳解】證明；/-BAD=乙EAC,

/.BAD+Z.DAC=Z.EAC+Z-CADt即=Z.EAD.

在A/18C和△4ED中，

AB=AE（已知），

=（已證）,

二/。（已知），

:MABC三△4ED(SAS),

ABC=DE.

AAS證明全等

【例6】如圖，在RtZkABC中，直角頂點(diǎn)4在直線/上，AB=AC,過點(diǎn)8、C分別作直線/的垂線，垂足

分別為。、E.求證：A/IB。三△C4E.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形，熟練掌握一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵.根據(jù)已

知易得：乙BAD+/.CAE=90°,再利用垂直定義可得乙CEA=匕=90°,從而可得4480+/.BAD=90°,

然后利用同角的余角相等可得乙/BD="/IE,從而利用AAS證明三△01￡1,即可解答.

【詳解】證明：???NB4C=90。，

A/.BAD+Z.CAE=90°,

CE1l,BD1I,

???Z.CEA=￡BDA=90°,

/ABD+乙BAD=90°,

?*.Z.ABD=Z.CAE>

在A4B0和△心!￡中,

NADB=乙AEC

乙ABD=Z.EAC,

,AB=AC

2ABD空△CAE(AAS).

【變式6-1](25-26八年級(jí)上?湖北十堰?階段練習(xí))如圖，LA=乙B,前D在AC邊上,4E和3D相交于點(diǎn)O.

B

E

ADC

(1)求證：Z2=Z.AEB

(2)若N1=N2,AC=BD,求證：AAEC三&BED.

【答案】(1)證明見解析；

⑵證明見解析.

【分析】本題考查了全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)由乙4=48,Z.AOD=^BOE,LA+/.AOD+z2=4-LBOE+LAEB=180°,可直接得出結(jié)論：

(2)Fhz2=^AEB,41=42,得到Z.1=乙4￡^,進(jìn)而得到乙4EC=zBED,即可.得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：I?乙4二匕8,乙AOD=LBOE,Z-A4-LAOD+z2=zB+Z,BOE+Z.AEB=180°,

z2=Z.AEB；

(2)證明：VZ2=Z.AEB,41=42,

.,.zl=Z-AEB,

：.￡AEC=乙BED,

又?.?4A=乙B,AC=BD,

:MAEC斗BEDSAW

【變式6-2】如圖，。中，ADIBC,垂足為。，BELAC,垂足為E,/D與BE相交于點(diǎn)EBF=AC.

(I)求證：△力OC三ABO尸；

(2)若CF=2,AF=3,求8C的長.

【答案】(1)見解析

(2)7

【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定與性質(zhì).

(1)先證明匕8DF=^ADC=90\^CAD=乙DBF,然后根據(jù)AAS,再結(jié)合已知條件可得結(jié)論:

(2)根據(jù)DF=2,AF=3,得出/W=4尸+D5=3+2=5,根據(jù)△ADC三△BD尸得出8。=AD=5,CD=

DF=2,最后根據(jù)和差間的關(guān)系，得出答案即可.

【詳解】(1)證明：???4。18c.

:.乙BDF=/.ADC=90°,

\*BE1AC,

:?乙BEC=90。，

：.LCAD+Z.ACD=Z.ACD+乙DBF=90°,

：,ACAD=乙DBF,

在AADC和△8。尸中，

LADC=乙BDF

LCAD=乙FBD,

AC=BF

；?AADC"BDF(AAS)：

(2)解：VDF=2,AF=3,

：,AD=AF+DF=3+2=5,

,:hADCw〉BDF,

：,BD=AD=5,CD=DF=2,

：.BC=BD+DC=5+2=7.

題型七利用ASA證明全等

【例7】已知：如圖，在RI/V18C中，N8=90°,BCLCD,DE_LAC于點(diǎn)區(qū)AB=CE,求證：△4BC

在'CED.

【分析】由垂直的定義可知，/DEC=NB=90。，由平行線的性質(zhì)可得，ZA=ZDCE,進(jìn)而由ASA可得

結(jié)論.

【詳解】證明：???OE_LAC,N8=90°,

.,.ZZ)EC=ZB=90°，

VBC1CD,

：.CD//AB,

NA=NDCE,

在△(7￡￡)和△A4C中,

ZDCE=Z71

CE=AB

/DEC=乙B

/.△CED^AABC(ASA)

AE=BE,Z1=Z2,點(diǎn)D在AC邊上.求證：AAEC/ABED.

【分析】由/1=N2,得到NA￡C=N8EQ,又NA=/B,AE=BE,rtlASA即可證明△AEC空△8EQ.

【詳解】證明：???N1=N2,

；?/AEC=NBED,

在△AEC和△8￡7)中,

NAEC=乙BED

AE=BE

Z-A=Z-B

:?△AE84BED(ASA).

【變式7-2］如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，ZB=ZACD,AD//CE.求證：△AC。空△CBE.

【分析】由已知條件得到AC=CBNA=NBCE,根據(jù)三角形全等的判定定理ASA可證得△4CDgZ\C4￡.

【詳解】證明：???點(diǎn)C是人8的中點(diǎn),

：.AC=CB,

?:AD"CE,

???NA=NBCE,

在△AC。和△C8E中,

24=乙BCE

AC=CB

LACD=乙B

:.△M：n@4CBE(ASA).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.A4S、HL

(直角三角形).

題型八利用SSS證明全等

【例8】如圖，AB=DC,AC=DB.求i正：ABCDCB.

【答案】證明見詳解

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理SSS,通過找出兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等來證明全等即可.在

△4BC和△DCB中，已知48=Z)C,AC=BD,同時(shí)還隱含條件BC=8C這條公共邊，此時(shí)滿足全等三角形

判定定理中的“邊邊邊”，最終得出兩個(gè)三角形全等.

【詳解】證明：在△力質(zhì):和△OCB中，

AB=DC

AC=DB,

BC=CB

???小8。三ADC/SSS).

【變式8-1］如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，48=DE,AC=DF,BE=CF,求證：△ABC=△DEF.

【答案】見解析

【分析】本題考杳了全等三角形的判定定理，由8E=CF得出BC=EF,再利用SSS證明△ABC三△OEF即

可，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：???BE=CF,

：.BE+CE=CE+CF,即8C=E廣，

在A4BC和△OEF中，

AB=DE

AC=DF,

BC=EF

.\4/1FC=ADFF(SSS).

【變式8-2］如圖，已知在△4DF和ACBE中，AD=CB,DF=BE,AE=CF，求證:

(1讓ADF三ACBE；

(2)z.F=zD.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考杳了全等三角形的判定(SSS)與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段和差得到全等所需的邊，再

利用全等性質(zhì)推導(dǎo)角相等.

(I)通過4E=CF推導(dǎo)出力尸=CE,結(jié)合三組對(duì)邊相等，用“SSS”證三角形全等.

(2)利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出N8=4D.

【詳解】(1)證明：:AE=CF,

AE+EF=CF+EF,

:.AF=CE

(AD=CB

CBE^,IDF=BE,

=CE

：.^ADF=△CBE(SSS)

(2)證明：■:〉A(chǔ)DF±&CBE,

???/B=LD.

HJ」證明全等

【例9】（23-24八年級(jí)下?山東濟(jì)南?開學(xué)考試）如圖，在△/8C中，。是8C的中點(diǎn)，DELAB,DFLAC,

垂足分別是E,F，RDE=DF.求證：Rt^BDE^Rt^CDF.

【答案】見解析

【分析】本題考查了HL證明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)己知條件直接利

用HL證明即可求解.

【詳解】證明：-DE1AB,DFLAC,

???乙DEB=乙DFC=90°.

?.?D是8C的中點(diǎn)，

,BD=CD.

在RtABDE與RtZkCD正中,

(BD=CD

IDE=DF

Rt△BDE=RtACDF(HL)

【變式9-1］如圖，已知4D,BC相交于點(diǎn)O,AB=CDfAM_L8C于點(diǎn)M,DNLBC于點(diǎn)、N,BN=CM.

【分析】先根據(jù)BN=CM得出BM=CM再由垂直的定義得出/4MB=/ONC=90°,利用HL證明三角

形全等即可.

【詳解】證明：???BN=CM,

:?BN+MN=CM+MN,即8M=CM

VXM1BC于點(diǎn)M,DNA.BC于點(diǎn)N,

???NAMB=NQNC=90°.

在RtAABM和RtADCN中，

(BM=CN

lAB=CD'

ARtAABM^RtADC/V(HL).

【點(diǎn)睛】本題考查證明兩個(gè)三角形全等，熟練掌握"L證叨三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式9-2］(25-26八年級(jí)上.山東荷澤?階段練習(xí))如圖①，z/1=ZD=90°,=。。，點(diǎn)E,F在8c上,

且BE=CF.

圖①圖②

(1)求證：AF=DE.

(2)如圖②，連接力E,OF,設(shè)OE,力產(chǎn)交于點(diǎn)G,過點(diǎn)8作GH_LBC于點(diǎn)H,在不添加輔助線的前提下，直接寫

出圖②中的4對(duì)?全等三角形［(I)中已證明過的除外］.

【答案】(1)證明見解析；

(2)4對(duì)全等三角形分別為△ABE三△/)(：/,LAEF^LDFE,bAEGWADFG,AGEH"GFH,證明見解

析.

【分析】本題考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意可證8戶=CE,然后根據(jù)HL定理可證Rt△ABFWRt△DCE,進(jìn)而可得AF=DE；

(2)由圖可知，4對(duì)全等三角形分別為△ABE=△DCF,△AEF=△DFE,△AEG=△DFG,△GEH=△GFH,

然后根據(jù)SAS定理、SSS定理、AAS定理、AAS定理依次證明即可.

【詳解】(I)證明：???BE=CF,

BE+EF=CF+EF,即B"=CE,

在Rt^ABF和Rt/kDCE中，

(BF=CE

lAB=DC'

???Rt△ABF三Rt^DCE(HL),

AF=DE,

(2)圖②中的4乂寸全等三角形分別為△48E三△DCF,AAEFN^DFE,〉A(chǔ)EG￡△OFG,△GEH三△GF”,

證明如下：

vRt△ABF=Rt△DCE,

：.AF=DE,乙AFB=々DEC,乙ABF=^DCE,

在和ADCF中，

AB=DC

LABE=乙DCF,

BE=CF

???△/BE三△DC尸(SAS),

?.AE=DF,

在A71Er和ADFE中

AE=DF

EF=FE,

AF=DE

：.^AEFDFE(SSS),

:.Z.EAF=乙FDE,

Z.EAG=Z-FDG

在MEG和ZiMG中，

Z-AGE=ADGF

Z.EAG=乙FDG，

AE=DF

???△/EGSADFG(AAS),

vGH1EF,

:.Z.GHE=乙GHF=90°,

在AGE〃和△GF"中，

Z-GEH=乙GFH

乙GHE=乙GHF,

GH=GH

GEH=△GFH(AAS).

綜上所述，圖②中的4對(duì)全等三角形為△48E三△OCF,l^AEFmxDFE,AEG三△OFG,△GEH三△GFH.

【例10］如圖，已知21=42,則下列條件中，不能使成立的是（）

AD

A.AB=CDB.AC=BDC.44=±￡)D.乙ABC=^DCB

【答案】A

【分析】本題考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握三角形全等的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)條

件和圖形可得二42,BC=BC,再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)所給條件利用三角形判定定理逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)條件和圖形可得乙1二42,BC=BC,

A、添加力B=CD不能判定△4BC三aOCB,故此選項(xiàng)符合題意；

B、添加L4c=80可利用SAS定理判定△力BC三△DCB,故此選項(xiàng)不合題意；

C、添加k4=，。可利用4^定理判定4力8。三4/)。8,故此選項(xiàng)不合題意；

D、添力口乙48c=可利用ASA定理判定△48C故此選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

【變式10-1](25-26八年級(jí)上?浙江湖州?階段練習(xí))如圖，已知皿￡=AC=ADf增加下列條

件：@AB=AE,?BC=ED；?￡.C=zD：④乙B=△￡.其中能使△ABC三△力ED的條件有()

A.①②③④B.①②③C.①②④D.?@?

【答案】D

【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,SSA、HL.做

題時(shí)要根據(jù)已知條件在圖形上的位置，結(jié)合判定方法，進(jìn)行添加.根據(jù)乙二4七二乙》4。得出4b4C=4E/1D,

結(jié)合=根據(jù)三角形全等的判定方法，可加一角或夾已知角的另一邊.

【詳解】解：-/_CAE=^BAD,

：.LBAC=Z-EAD,

又4C=4。，

則添力口①AB=AE,△ABC6AED(SAS)；

添加②8c=ED,△ABC^^不全等；

添加③NC=ZD,^ABC=△ED(ASA)：

添加④NB=4E,△ABCzlFD(AAS).

則能使△ABC=△AED的條件是①③④.

故選：D.

【變式10?2】(25?26八年級(jí)上?陜西渭南?階段練習(xí))如圖,已知AB_LAC,CDA.BD,若用“HL”判定也△

ABC空RtADCB,還需補(bǔ)充一個(gè)條件，可以是()

A.AE=CEB.AB=DCC.Z-ACB=Z-DBCD.BE=CE

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)斜邊和一條直角邊

分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等求解即可.

【詳解】解：由題意可知，BC=BC,即兩直角三角形斜邊相等，

若用“HL”判定Rt△ABC^lRt△DCB全等,則還需一組直角邊相等，

即4B=CD或4c=BD,

只有B選項(xiàng)符合.

故選：B.

【變式10-3](25-26八年級(jí)上?全國?期中)如圖，點(diǎn)C,b在線段上，^ABC=^DEF=90\BC=EF,請(qǐng)

只添加一個(gè)合適的條件，使AABC三ADEF.

(1)根據(jù)“SAS”，需添加的條件是「根據(jù)“HL”，需添加的條件是

(2)請(qǐng)從(1)中選擇一種加以證明.

【答案】(1乂8=DE,AC=DF

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)“SAS”和“HL”證明三角形全等所需要的條件解答即可;

(2)根據(jù)“SAS”和“HL”證明三角形全等即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)“SAS”，題中已給出一組角一組邊，還缺以此組角為夾角的另一組邊，WAB=DE.根

據(jù)“HL”，題中已給出直角和一組直角邊，還缺一組斜邊，即4c=DF.

故答案為：AB=DE,AC=DF.

(2)解:添加28=0E”得證明過程如下:

在和△/)￡1產(chǎn)中，

BC=EF

乙ABC=乙DEF?

,AB=DE

???A/18CWADEF(SAS),

選擇"AC=D"”的證明過程如下；

,：LABC=乙DEF=90°,

C.LABC,△OEF都是直角三角形，

在RtZk/lBC/口RtaOEF中，

(AC=DF

(BC=EF'

:.Rt△△DEF(HL).

題型十一全等三角形的實(shí)際應(yīng)用

【例11】如圖，小虎用10塊高度都是3c〃?的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛

好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC=BC,NAC8=90。），點(diǎn)。在。E上，點(diǎn)A和8分別與木墻的頂端

重合，則兩堵木墻之間的距離為cm.

【答案】30.

【分析】根據(jù)題意可得AC=8C,ZACB=90°,ADLDE,BEIDE,進(jìn)而得到NAOC=/CEB=90。，再根

據(jù)等角的余角相等可得/BCE=NDAC,再證明△ADC&Z\C四即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【詳解】解：由題意得：AC=BC,NAC8=90。，ADA.DE.BE工DE,

：,N4OC=NCM=90。,

???N4CO+/BCE=90。，ZACD+ZDAC=90°,

：?4BCE=4DAC,

在44。。和4CEB中,

LADC=乙CEB

Z.DAC=乙BCE,

AC=BC

:.△AD84CEBCAAS)；

由題意得：AD=EC=9ctn,DC=BE=2\cm,

：,DE=DC+CE=30(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為30。〃.

故答案為：30.

【變式11-1］如圖，要測量池塘的長度，但點(diǎn)F,C之間不能直接測量，已知點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線

，上,小明想了個(gè)辦法先在，的一邊取了個(gè)點(diǎn)4連接48,再在/的另一邊取了個(gè)點(diǎn)D，使得ABIIDE,月=乙。，

同時(shí)48=DE.

(1)求證：AABCZADEF；

(2)若BE=10m,BF=3m,求FC的長.

【答案】(1)見解析

⑵4m

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì).

(1)先由平行線的性質(zhì)得到448C=/DEF,再利用ASA證明△ABCmDEF即可;

(2)利用全等三角形的性質(zhì)證明8C=EF,再結(jié)合已知條件即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???ABUDE,

：.AABC=乙DEF,

在AABC與△DEF中，

(LABC=乙DEF

AB=DE,

LA-乙D

：.LABC三△DEF(ASA)：

⑵解：\*^ABC=DEF,

；.BC=EF,

：,BF+FC=EC+FC,

：,BF=EC,

'：BE=10m,BF=3m,

：.FC=10-3-3=4(m),

答：FC的長是-4m.

【變式11-2](25-26八年級(jí)上?遼寧撫順?階段練習(xí))小麗與小琳在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的

起始位置4處，。4與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，小琳在距04水平距離BD=0.8m的B處接住她后

用力一推，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)C處時(shí)，小麗距離地面的高度EM為1m,已知NBOC=90°,BD1。力于點(diǎn)。，

CE10A于點(diǎn)E.

⑴求證：ACEOAODB；

(2)為了安全考慮規(guī)定戶外秋千設(shè)置高度在2m以卜.，小麗所在公園的秋千高度0M設(shè)置是否合理？為什么？

【答案】(1)見解析

⑵合理，理由見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).

(1)由同角的余角相等得到NCOE=，OBD,根據(jù)AAS即可證明ZiCE。三△ODB；

(2)由^CEO三△ODB得到0E=BD=0.8m,進(jìn)而可得0M=OE+EM=0.8+1=1.8m,即可得到答案.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意得C0=08,

???80_L。4于點(diǎn)。，CE上0A于點(diǎn)、E,

:?“EO=乙ODB=90°,

?:乙BOC=90°,

???乙COE=909_乙BOD=LOBD,

在ACE。和△。。8中，

Z.CEO=乙ODB

LCOE=Z.OBD，

CO=OB

/.4CE0=A0DF（AAS）；

（2）解：小麗所在公園的秋千高度設(shè)置合理，

理由:???點(diǎn)8到。4距離為0.8m,BDJ.OA于點(diǎn)、D,BD=0.8m,

由（1）得△CEO"ODB,

???0E=BD=0.8m?

vEM=lm.

:.OM=OE+EM=0.8+1=1.8m,

v1.8<2,

二小麗所在公園的秋千高度設(shè)置合理.

題型十二全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合

【例12](25-26八年級(jí)上?吉林松原?階段練習(xí))如圖,8。=BC,BE=CA,乙DBE"=61°/BDE=76°.

(1)求證：ABDEaBCA；

(2)求乙1尸。的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)33°

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì),熟練運(yùn)用全等三角形的性

質(zhì)是本題的關(guān)健.

(1)由SAS可證△BDE三△BC4；

(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得工BDE=LCBA=76。，再由三角形內(nèi)角和定理可求乙1=43°,然后由外角

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：在△80E和aBCA中，

BD=BC

乙DBE=Z.C，

BE=CA

???△8OEWABG4(SAS)；

(2)解：?：2BDEWXBCA,

:?乙BDE=Z.CBA=76°,

：.LA=180°一乙C一乙ABC=43°,

：.^AFD=乙BDE-^A=76°-43°=33°.

【變式12-1](25-26八年級(jí)匕浙江溫州?階段練習(xí))如圖，△ABC中，AB=AC=4,BC=6,點(diǎn)D、E

分別在BC、4c上，=Z1=ZC,^AD=DE.

(】)求證：^ABDSADCF；

(2)直接寫出4E的長.

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)乙8=41=iC,推導(dǎo)出484。=乙EDC,然后利用AAS證明△48Dw/iDCE即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)可得A8=CO=4,BD=CE=2,最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可

解答.

【詳解】⑴證明：?."8=△1=",

J.LBAD+Z.ADB=180°一乙B=180°-乙C,

又VZ/4DF+Z.EDC=180°-Z1,

=乙EDC,

在么A80和AOC上中,

乙B=zC

Z.BAD=Z.CDE，

AD=DE

：,LABD三△/)(?￡?(AAS)；

(2)解：由(1)可知，

：.AB=CD,BD=CE,

'：AB=AC=4,

：,CD=4,

?；BC=6,

：.CE=BD=BC-CD=2,

：,AE=AC-CE=4-2=2.

故答案為：2.

【變式12-2](25-26八年級(jí)匕四川南充?階段練習(xí))如圖，在A48。中，ADJ.BC于點(diǎn)D,E為力C卜一點(diǎn),

且BF=4C,DF=DC.

⑴求證：△BDF^^ADC

(2)若力F=2,F0=3,試求△4BC的面積.

【答案】(1)詳見解析

(2)20

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的判定方法；

(1)利用HL即可證明；

(2)根據(jù)△BDF=△ADC,可得A。=BD=AF+FD,進(jìn)而求出3。=AD=5,BC=BD+CD=8,再根

據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】⑴證明：??NOJLBC,

:?乙BDF=乙ADC=90°,

在乙80r和△ADC中｛工：:器，

ARtASDF^RtA/lDC(HL)；

(2)解：'：&BDF安&ADC,

：.AD=BD=AF+FD,

V/F=2,FD=3,DF=DC,

：,BD=AD=5,BC=BD+CD=8,

?'?S=-BC-AD=-x8x5=20.

hABC22

【變式12-2］如圖①，點(diǎn)A、E、尸、C在一條直線上，AE=CF,過點(diǎn)E、尸分別作。E_LAC,BFA-AC.連

接A6、CD,且使AB=CQ.

(1)求證：8。平分ER

(2)若將△O￡C的邊￡C沿AC方向移動(dòng)，△8布的邊E4沿C4方向移動(dòng)，變?yōu)槿鐖D②所示時(shí)，其余

條件不變，上述結(jié)論是否還成立；若成立，請(qǐng)說明理由.

【分析】(I)根據(jù)題干中給出的條件可以證明RIZX4B/gRl^COE,可以證明BF=OE,即可證明

^△DEG,可得BG=OG；

(2)求證方法和(1)相同.

【詳解】解：(1),：AE=CF,AF=AE+EF,CE=CF+EF

：.AF=CE,

DELAC,13FLAC,

???△A8F、△(?￡)￡為直角三角形，

在RlZXAB/7和RlZXCOE中，

\AB=CD

UF=CE'

：.Rl/\ABF^Rl^CDE(HL),

:,BF=DE,

在AOEG和ABFG中，

NEGD=乙FGB

乙DEG=乙BFG=90%

DE=BF

：?4DEG@LBFG(AAS),

:,EG=FG,即3G平分E尸;

(2)成立，求證如下：

\*AE=CF,AF=AE+EF,CE=CF+EF

:,AF=CE,

*：DEA.AC,BFVAC,

:.RABF、△€7)￡：為直角三角形，