第3節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

.知識(shí)分類落實(shí)--------------回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

⑴判斷“⑹是極值的方法

一般地，當(dāng)函數(shù)/"）在點(diǎn)助處連續(xù)且/（助）=0,

①如果在心附近的左側(cè)/（x）＞0,右側(cè)/（x）VO,那么/Uo）是極大值;

②如果在xo附近的左側(cè)/（x）＜0,右側(cè)/（x巨0,那么風(fēng)啕是極小值.

⑵求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

①求了⑴；

②求方程了（2=（）的根:

③檢查/⑴在方程/（1）=（）的根的左右兩側(cè)的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么?r）在這

個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么/U）在這個(gè)根處取得極小值.

2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

（1）函數(shù)7U）在m，以上有最值的條件

如果在區(qū)間切上函數(shù)y=/（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和

最小值.

（2）設(shè)函數(shù)/w在團(tuán)，切上連續(xù)且在（〃，份內(nèi)可導(dǎo)，求心）在口，加上的最大值和最小

值的步驟如下：

①求人X）在3,8）內(nèi)的極值；

②將布）的各極值與血），,勿比較,其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最

小值.

?一常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒

1.若函數(shù)/U）的圖象連續(xù)不斷，則兀丫）在切內(nèi)一定有最值.

2.若函數(shù)/U）在m,切內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則凡》一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.

3.若函數(shù)人元）在開區(qū)間（〃，份內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的

最值點(diǎn).

4.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減

少失分的可能.

5.求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下

結(jié)論.

診斷自測

I.判斷下列說法的正誤.

⑴函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.（）

（2）函數(shù)的極大值不一定比極小值大.（）

⑶對(duì)可導(dǎo)函數(shù)/U）,/（加）=（）是xo為極值點(diǎn)的充要條件.（）

（4）函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.（）

答案（1）X（2）V（3）X（4）V

解析（1）函數(shù)在某區(qū)叵上或定義域內(nèi)的極大值不一定唯一；（3）知為/U）的極值點(diǎn)

的充要條件是了（燦）=0,且加兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)異號(hào).

2.（選修2—2P32A4改編）如圖是/U）的導(dǎo)函數(shù)［（x）的圖象，則＜此的極小值點(diǎn)的

個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

答案A

解析由題意知在工=一1處/（-1）=0,且其左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正.

3.函數(shù)yu）=-v+3x+l有（）

A.極小值-1,極大值1B.極小值-2,極大值3

C.極小值-2,極大值2D.極小值-1,極大值3

答案D

解析因?yàn)?U）=-V+3x+l,故有y=-3f+3,令了=-3/+3=（）,解得x

=±1,

于是，當(dāng)x變化時(shí)，/&),的變化情況如下表:

X(—8,—1)-1(-1,1)I(1,+°°)

f(x)—0+0—

fix)極小值極大值

所以J&)的極小值為；(-1)=-!,./(幻的極大值為/(1)=3.

4.函數(shù)y(x)=lnx—如在x=l處有極值，則常數(shù)。=.

答案1

x===

解析*?*f()T.—〃，：?/(1)=1—ClOf6/1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

5.已知函數(shù)犬1)=方『+(〃+4比―2111%在區(qū)間(1,2)上存在最值，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

答案(一9,-5)

解析???/a)=3i+m+4)—?=-———~~:—,故可將題意等價(jià)的轉(zhuǎn)化為

/(1)/(2)<0,即(a+5)(a+9)<0,解得一9<々<一5,故答案為(一9,-5).

6.已知y=/U)在點(diǎn)(1,11))處的切線方程為y=x—l,且/(x)=lnx+l,則函數(shù)

yu)=,函數(shù)ju)的最小值為.

答案x\nx—1

解析由f(x)=\nx4~1得兀v)=xlnx+c,又?1)=0,則c=0,所以/(x)=xln工.又

工￡(0,§時(shí)，/(x)<(),?幻單調(diào)遞減，工￡仁，+8)時(shí)，/(x)>(),/U)單調(diào)遞增，則

/(X)min=X[)=—

.考點(diǎn)聚焦突破，-----------------考點(diǎn)聚焦?題型剖析?

考點(diǎn)一用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

【例1】求下列函數(shù)的極值：

(l)/(x)=x2—Zr—41nx；

(2)/U)=a?—3f+1一翔CR且"0).

解(1求幻的定義域?yàn)?0,+8),

42(x—2)(x+1)

J\x)=2x-2X=X

令/(x)=0得x=2或一1(舍).

隨著x的變化，/(x)與Kr)的變化情況如下表:

X(0,2)2(2,+°0)

r?—0十

於)極小值

???/0：)有極小值火2)=—4皿2,無極大值.

(2)由題設(shè)知/(x)=3or—6x=3aj(\x—^.

2

令/(x)=0得x=0或7

當(dāng)。＞()時(shí)，隨著X的變化，/(?與)㈤的變化情況如下表:

(—8,0)2

X0G%+8

/(X)+0—0+

於)極大值極小值

3

極大值=五0)=1—

J(x)極小值4a-^a1.

當(dāng)。＜0時(shí)，隨著x的變化，/(幻與火工)的變化情況如下表:

2

X(0,+00)

J，三a0

/(X)—0+0—

./W極小值極大值

3

，人工)極大值=/(0)=1-7

?+L

/(1)極小值aa

綜上，/U)極大值=/(o)=i-

段)極小值=尢力=_^_'+1.

感悟升華函數(shù)極值的兩類熱點(diǎn)問題

(1)求函數(shù)yu)極值這類問題的一般解題步驟為：

①確定函數(shù)的定義域：②求導(dǎo)數(shù)/(X):③解方程/(的=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所

有根；④列表檢險(xiǎn)/。)在/(x)=0的根X0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那

么凡T)在X0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么兀。在X0處取極小值.

(2)由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍.

討論極值點(diǎn)有無(個(gè)數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為討論/(x)=0根的有無(個(gè)數(shù)).然后由已知條

件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,而

導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢臉導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào).

【訓(xùn)練1】⑴設(shè)函數(shù)左)=［加一(44+1)無+44+3月.若府)在尸2處取得極小值,

求。的取值范圍.

(2)設(shè)函數(shù)凡1)=(?—Inx,a￡R.若7U)有極小值2,求a.

解(1)因?yàn)?U)=[ar-(4〃+1)x+4〃+3]ev,

所以f(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ev

=(x-2)(ar-l)ev.

若公4，則當(dāng)2,t,/(x)<0：

當(dāng)x￡(2,+8)時(shí)，f(x)>0.

所以,/W在x=2處取得極小值.

若。母，則當(dāng)x￡(O,2)時(shí)，X—2<0,ar—1W%—1<0,

所以/(x)>0.

所以2不是凡r)的極小值點(diǎn).

綜上可知，a的取值范圍是Q，+8)

(2加為的定義域?yàn)?0,十8),八#=嚏一:=竺蜉.

①當(dāng)cWOEl寸，/W<0,

此時(shí)人工)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以不存在極小值.

4

②當(dāng)。>0時(shí)，令/(x)=0可得x=滔，

當(dāng)x變化時(shí)，/(工)與火幻的變化情況如下表:

所以極小值為.候)=2一1*,

所以2—嘮=2,解得4=2.

考點(diǎn)二用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題

【例2】已知函數(shù)/U)=lnx+加+叢(其中小〃為常數(shù)且〃W0)在x=l處取得極

值，且?r)在(0,e］上的最大值為1,求。的值.

解因?yàn)?U)=lnx+a*+bx,所以?￥)的定義域?yàn)?0,+°°),

又函數(shù)/)在x=l處取得極值,則/(1)=0.

因?yàn)?(此=:+2依+。，則/(l)=l+2a+/>=0，b=-2a-\t

人

,、.4n,口2or—(2〃+1)x+1

求導(dǎo)得

7(x)=Inx+ax---(2a+l)x,f(x)=---------人---------=

C2ax~1)(x—1)

：(x>0)，

令/(x)=0,得xi=l,X2=2af

因?yàn)?(x)在x=1處取得極值，所以12=五#工1=1.

①當(dāng)"0,即方<0時(shí)，氏￥)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,c］上單調(diào)遞減，

所以兀v)在(0,e］上的最大值為川),令<1)=1,

解得。=一2.

②當(dāng)〃>0,即X2=y->0時(shí)，

若/<1，段)在(°，35時(shí)上單調(diào)遞增，在七，1)上單調(diào)遞減，所以最大值

可能在尸土或尸e處取得，而七—(2a+l).務(wù)In之4一

1<(),

令/(e)=lne+ae?—(2〃+l)e=l,解得4=

C乙

若l<京<e，段)在(0，1)，e上單調(diào)遞增，

在歸上單調(diào)遞減’

所以最大值可能在x=l或x=e處取得，

而川)=ln1+。一(2。+1)<0,

令人e)=lne+ae?—(2。+l)e=1,

解得。=」7，與l<X2==vc矛盾.

e-22M

若X2==?e,K0在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,e]上單調(diào)遞減，所以最大值可能在

x=l處取得，而次l)=hi1+。一(2。+1)<0,矛盾.

綜上所述，\或"=—2.

e—2

感悟升華(1)求函數(shù)yu)在m,句上的最大值和最小值的步驟：①求函數(shù)在(〃，b)

內(nèi)的極值：②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值式4),<加；③將函數(shù)犬x)的極值與/?),

/(〃)比校，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(2)含參數(shù)的函數(shù)的最值一般先討論函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求出最值.含參

函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間，二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間，

這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來分類討論.

【訓(xùn)練2】(2017.浙江卷)已知函數(shù)段)=即一5一1)亡?詞.

(1)求兀0的導(dǎo)函數(shù);

⑵求於)在區(qū)間與+8)上的取值范圍.

解(1)f(x)=(x—y]2x—1)feY+(x-,\/2x—1)(e~XY

I?-卜

=(1)1_忘寸｛片

r2、

(2)令/a)=(i_此[1_：^耳%]=0,

解得x=l或|.

當(dāng)X變化時(shí)，於),/⑶的變化如下表:

5

X11

2&02(|,+8)

f(x)—0+0—

1115

危)2e-202e-2

又均=表_‘網(wǎng)尸。，w)=y

則7U)在區(qū)間+8)上的最大值為

又j[x)=(x—yj2x—1)e七=1—l)2ex^0.

綜上，段)在區(qū)間I，+00)上的取值范圍是[o,1e-1

考點(diǎn)三函數(shù)極值與最值的綜合問題

【例3】已知函數(shù)?￥)=ei—at,。>().

(1)記?r)的極小值為g(a),求g(〃)的最大值；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有4x)20,求/5)的取值范圍.

解(1)函數(shù)ZU)的定義域是(-8,4-00),/(x)=ev-

令/(1)=0，得％=lna,

易知當(dāng)x￡(lno,+8)時(shí)，/(#>0,當(dāng)x￡(—8,Ina)時(shí)，/(x)<0,

所以函數(shù)/U)在x=lna處取極小值,g(4)=/U)極小值=/(lnt7)=e,na—tzlna=a-a\na.

g<a)=l—(1+ln6z)=—Ina,

當(dāng)0<Q<1時(shí)，g'(〃)>0,g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)公>1時(shí)，g?vO,g⑷在(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以4=1是函數(shù)g(a)在(0,+8)上的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以g(a)nax=

g⑴=L

(2)顯然,當(dāng)xWO時(shí),e'—or20(a>0)恒成立.

當(dāng)心>0時(shí)、由於)20,即6A一辦20,得。忘器.

v

令力(x)=一e,工￡((),+°°),

X

口?evx_evev(工-1)

則，

h\x)=?~V2-=/7V2

當(dāng)04<1時(shí),如)<0,當(dāng)x>l時(shí),h'(x)>0,

故的最小值為/z(l)=e,所以aWe,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,e］.

j{a}=e-(r,?！?0,e］,f(a)=ea-2a,

易知e"—2〃20對(duì)〃e(0,e］恒成立，

故?〃)在(()，e］上單調(diào)遞增，

所以貝0)=1勺(〃)勺匕)=?。一62,

即火。)的取值范圍是(1,ec-e,

感悟升華此類問題，關(guān)鍵是確定極值點(diǎn)、極值表達(dá)式，再用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)來解決.

【訓(xùn)練3】已知函數(shù)加幻=2?一加+2.

(1)討論/U)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)0<〃<3時(shí)，記人心在區(qū)間［0,1］的最大值為M,最小值為加，求M一根的取

值范圍.

解(1)/U)的定義域?yàn)镽，j\x)=6^-2ax=2x(3x-a).

令/(x)=。，得x=0或x=/

若。>0,則當(dāng)工仁(一8,O)ug,+8)時(shí)，/(九)>0,

當(dāng)xe(0,孑時(shí)，/(x)<0,

故/U)在(一8,()),作，+8)單調(diào)遞增，在(()，胃單調(diào)遞減；

若4=0,則/(X)在(-8,+8)單調(diào)遞增；

若〃<0,則當(dāng)天￡(一8,^U((),+8)時(shí)，/(力>0,

當(dāng)x需,0)時(shí),/(x)<0,

故段)在(一8,。(0,+8)單調(diào)遞增，在備0)單調(diào)遞減.

⑵當(dāng)Ov〃<3時(shí)，由（1）知，?x）在（0,外單調(diào)遞減，在g，1）單調(diào)遞增，所以7U）在

［0,1］的最小值為閭=—余2,最大值為/（0）=2或川）=4—.

4—a,0<a<2f

于是加=一行+2,M=

2,2W〃<3.

2—。+%0<a<2f

（2Wav3.

①當(dāng)0<汨2時(shí)，可知y=2—〃+引單調(diào)遞減,

4t

所以M—加的取值范圍是得，2）.

②當(dāng)2W〃v3時(shí)，,，=,單調(diào)遞增，

所以M—機(jī)的取值范圍是島1）

綜上，M—〃?的取值范圍是多2）.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升微力

基礎(chǔ)鞏固題組

一、選擇題

I.若函數(shù)久丫）的導(dǎo)函數(shù)了（無）的圖象如圖所示，則（）

A.函數(shù)人r）有1個(gè)極大值，2個(gè)極小值

B.函數(shù)兀r）有2個(gè)極大值，2個(gè)極小值

C.函數(shù)40有3個(gè)極大值，1個(gè)極小值

D.函數(shù)人0有4個(gè)極大值，1個(gè)極小值

答案B

解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知函數(shù)/U）的單調(diào)性為增一減一增一減一增，所以函數(shù)y（x）

有2個(gè)極大值，2個(gè)極小值，故選B.

2.函數(shù)?￥）=］「一InX的最小值為（）

A，2B.1

C.0D.不存在

答案A

解析八#=工一1=三]，且QO.令/a）〉o,得入＞1；令得oa＜i.；?yu）

人人

在x=l處取得極小值乜是最小值，且y（l）=；—ln1=；.

3.（2018?全國HI卷）函數(shù)），=一/+『+2的圖象大致為（）

答案D

解析當(dāng)x=0時(shí)，y=2,排除A,B.由y=-4/+21=0,得x=0或

結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征，知原函數(shù)在（一1,1）上有三個(gè)極值點(diǎn)，所以排除C,

故選D.

4.若工=-2是函數(shù)人工）=，+如―1＞^一|的極值點(diǎn)，則./U）的極小值為（）

A.-1B.-2e'C.5e3D.1

答案A

解析f（x）=[^+（a+2）x+a-,

則/（-2）=[4—2（。+2）+。-1]?屋3=0=。=一1,

2v-1

則/U）=（A一4一1）七,一1,j\x）=（『+4—2）-tr,

令/（犬）=。，得x=-2或x=l,

當(dāng)不＜一2或Q1時(shí)，/（x）＞0,

當(dāng)一2＜xvl時(shí)，/（x）＜0,

則7U）的極小值為次i）=—i.

17

5.若函數(shù)人冷二才+^2—Q在區(qū)間（〃，。+5）上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[—3,0)D.(-3,0)

答案C

解析由題意，/(?=/+2x=x(x+2),故在(-8,—2),(0,+8)上是增函

數(shù)，在(一2,())上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示.

1223W〃<0,

令我+?一彳=一彳得，x=()或工=一3,則結(jié)合圖象可知，「八解得

333匕+5>0,

々￡[—3,0),故選C.

6.若函數(shù)、4一)=殍一(l+2a)x+21nxm>0)在區(qū)間仁，1)內(nèi)有極大值，則。的取值

范圍是()

A.&+8)B.(I,+8)

C.(1,2)D.(2,+8)

答案C

解析/(x)=ar—(1十2。)十彳="『一1+2(=0/〉0),若凡q在區(qū)間])

內(nèi)有極大值，

即/(犬)=()在&1)內(nèi)有解，且了⑴在區(qū)間(；，1)內(nèi)先大于()，后小于()，

^~2(2a+1)+2

則.信)>6即<

--------j-------->0,

f(1)<0,2

a—(2。+1)+2<0,

解得l<tz<2,故選

二、填空題

7.函數(shù)的極大值為,極小值為

答案4e-20

解析/（九）的定義域?yàn)椋ㄒ?.+8）,/F（jc）=-e-rX-v-2）.

當(dāng)x￡(—8,0)或x￡(2,+8)時(shí)，/(x)vo；

當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，/(x)>0.

所以7U)在(-8,()),(2,+8)上單調(diào)遞減，在①，2)上單調(diào)遞增.

故當(dāng)x=0時(shí)，於)取得極小值,極小值為人0)=0；當(dāng)x=2時(shí)，段)取得極大值,

極大值為.火2)=4。2.

8.已知函數(shù)次x)=lnx—j(〃?WR)在區(qū)間［1,e］上取得最小值4,則〃z=.

答案一3e

解析了(1)=；+?=節(jié)"1若〃220,段)在［1,e］上為增函數(shù)，有危)min

=火1)=一m=4,m=—4,舍去.若用<0,令/(n)=0,則x=一m，且當(dāng)x<一〃?

時(shí)，/(x)〈0,於)單調(diào)遞減,當(dāng)x>—/n時(shí),/(x)>0,危)單調(diào)遞增.若一/nWl,即加2

—1時(shí)，1)=—m^1,不可能等于4；若1<-/n^e,即一eW〃z<一1時(shí),

7(x)min=fi—m)=1n(—m)+1,令ln(—m)+1=4,得w=-e3^［—e,—1)；若一m>e,

III/>/

即〃7<—e時(shí)，/U)min=Xe)=l-"7，令1—二=4,得加=—3e,符合題意.綜上所

述，m=-3e.

9.(2020?浙江名師預(yù)測卷三)可導(dǎo)函數(shù)的凹凸性與其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有關(guān)，如果函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)是向下凹的，反之則是

向上凸的，曲線上凹凸性的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)，則函數(shù)兒r)=?一3+1的極

大值點(diǎn)為,拐點(diǎn)為.

答案x=()(1,

解析由題意可知/(x)=f—2x=Mx—2),故函數(shù)應(yīng)￥)在(一8,())上單調(diào)遞增，在

(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，故其極大值在x=0處取到，所以/U)

的極大值點(diǎn)為X=0,由/(1)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所

以其拐點(diǎn)為(1，

X3-3x,xWm

io.設(shè)函數(shù)yu)=JC、

(i)若。=o,則TU)的最大值為；

(2)若yu)無最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

答案(1)2(2)(—8,-1)

fx3—3x,xWO,

解析(1)當(dāng)。=0時(shí)，義幻=,、八

I—2A-,X>0.

若xWO,則了(刈=3?—3=3(f—1).

由/(.r)>()得xV—1,由f(x)<Q得-14W0.

???/&)在(一8,一1)上單調(diào)遞增;在(-1,0)上單調(diào)遞減，.??當(dāng)xWO時(shí),

,/U)勺(一1)=2.

若x>0,則次x)=-2x單調(diào)遞減，

所以|此勺0)=0.

所以凡丫)的最大值為2.

(2)函數(shù)—3x與y=-2x的圖象如圖.

顯然當(dāng)。2—1時(shí)，,/U)有最大值，為2與a3-3a中較大的值.

當(dāng)〃V—1時(shí)，y=-2A?在時(shí)無最大值，且一2a>2.

所以々V—1.

三、解答題

II.已知函數(shù)共幻=仃(~+0￥+1),〃￡R(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若x=e是火幻的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求./U)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解(l?a)=eUf+(a+2)x+a+l]

=如+1)。+。+1),

由/(e)=0,得。=—e-l,此時(shí)x=e是y(x)的極小值點(diǎn).

(2)由/(x)=0,得x=—1或x=-a—1.

①當(dāng)。=()時(shí)，一〃一1=一1,

/&)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,H-oo).

②當(dāng)。<0時(shí)，一4—1>—1,

7U)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,-1),(-a-l,+8)；

③當(dāng)4>0時(shí)，-4一1<一1,

7U)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-67-1),(-1,十8).

12.(202()?北京卷)已知函數(shù)危)=12T.

(1)求曲線)，=/U)的斜率等于一2的切線方程；

⑵設(shè)曲線)，=/㈤在點(diǎn)(“⑺)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S⑺，求S(。

的最小值.

解(l?a)=-2x,

令/(#=一2，得一21二-2,解得x=l,11)=12—1=11，

所以切點(diǎn)為(1,11),

切線方程為)，-11=一2。-1),即2v+y—13=0.

(2)二次函數(shù)凡E)=12—x2為偶函數(shù)，其圖象是開口向下的拋物線，且關(guān)于y軸對(duì)

稱，故只需考慮一側(cè)的情形即可.

不妨考慮%>0時(shí)的情形.

設(shè)切點(diǎn)為(f,12—戶)，f>O由(1)知/。)=一2匕可求得切線方程為

廠(12—尸)=一2心一/),

得y=-2/x+f+12,

所以切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為40,產(chǎn)+12),

/+12

4百0

11尸+]2/+24戶+144

?(尸+12)=

S⑺=習(xí)。川?10B|=2/4/

3/+24尸一1443(3+12)(產(chǎn)一4)

S'。)=

當(dāng)「變化時(shí)，S")，S⑺的變化情況如下表所示:

t(0,2)2(2,+8)

S”)—0十

S3極小值

故當(dāng)1=2時(shí)，S⑺取得最小值，為S(2)=32.

能力提升題組

13.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)/)=?—1)(工一1)人代=1,2),則()

A.當(dāng)左=1時(shí)，段)在工=1處取到極小值

B.當(dāng)攵=1時(shí)，|此在工=1處取到極大值

c.當(dāng)k=2Ei寸，兒丫)在工=1處取到極小值

D.當(dāng)k=2時(shí)，兀￥)在x=l處取到極大值

答案c

解析當(dāng)左=1時(shí)，/(?=—,/(l)W0.

：.x=］不是/&)的極值點(diǎn).

當(dāng)k=2時(shí),/(x)=(x-l)(xev+ev-2),

顯然/(1)=0,且x在1的左邊附近/(x)v0,

x在1的右邊附近/(x)〉0,

??JU)在x=l處取到極小值.故選C.

14.(202()?浙江二聯(lián))已知函數(shù)凡t)=elnx和g(x)=i+1的圖象與直線y=m的交點(diǎn)

分別為P(n,yi),Q(mV2),貝UH—m的取值范圍是()

rB(2+5

Ac.?l,

-

rl-3十

2D8

_2

答案A

解析由題意知/Ui)=g(x2),所以elnxi=K2+1,即X2=elnxi—1,則xi—X2=xi

ex—e

—elnx\+1,xi〉O.令A(yù)(JI)=X—elnx+l(.r>0),貝(Ih\x)=1一二=—-.當(dāng).v>e時(shí),/?/(x)>0,

XX

當(dāng)0a<e時(shí)，〃(x)v0,所以〃(幻在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增,所

00

以/7(X)min=/7(C)=l.又當(dāng)XfCT時(shí)，h(x)^+,當(dāng)工一十8時(shí)，/7(A-)->+00,所以

"(x)在(0，+8)上的值域?yàn)椋?,+8),所以X］一尤的取值范圍為［1,+°°).

In?Y

15.(2021?南京、鹽城模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)-則/(?=審言的值域?yàn)?

答案［。，；

解析令lnx=r,則尸el，g(f)=彳，

令尸="7,〃z20,???〃("?)=焉，

C

e"(1—"?)

=，令〃'(〃?)解得

h'(ni)C2m=0,m=1,

當(dāng)08〃<1時(shí)，1(〃?！?,函數(shù)〃(M單調(diào)遞增，

當(dāng)機(jī)21時(shí)，〃(〃2)<0,函數(shù)力(〃7)單調(diào)遞減，

/?/z(/W)max=/l(1)=",

?-7(0)=0,當(dāng)"Z-+8時(shí)，萬("。->0,

??JU)=黑的值域?yàn)椋踥,5.

16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足41+*=1,則2巾+3戶1的取值范圍是

答案(2,V13J

解析由4葉尹=1得2為+3勺=1,3V=/不，其中22》￡(0,1),所以2工￡(0,

1),所以2日1+3/?=2義21+3X3，=2義21+3。1-2^,令t=2\則/(/)=2/+

3y1-1(0<<1),則/⑺=2—、i,令/⑺=2——^=0得，=‘所以函

數(shù)加在(o,2倒上單調(diào)遞增，在(2彎，1)上單調(diào)遞減，且人0)=3,《陪習(xí)=小,

#1)=2,所以2戶1+3"的取值范圍為(2,V13],

17.(2019?北京卷)已知函數(shù)./U)=%?一『+x.

(1)求曲線)，=/(冷的斜率為1的切線方程；

(2)當(dāng)x￡[—2,4]時(shí)，求證：為一6WJ(九)Wx.

(3)設(shè)F(x)=|/(x)-(x+a)|(aeR),記尸(工)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(a).當(dāng)

M(a)最小時(shí)，求〃的值.

13，

⑴解由<x)=封一『+工得f(x)=~^c—2A+1.

3X

令了(幻=1，即下2—2x+l=l，得x=?；騲=§.

又人())=()，周=探

QQ

所以曲線y=,/(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y—方■=?—3，即y=x與y=x

_64

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