專題1.3集合的基本運算

?.理解交集、并集、補(bǔ)集運算的含義，會利用定義求簡單集合的交集、并集和補(bǔ)集;

教學(xué)目標(biāo)(2)能夠用集合語言和圖形語言(Venn圖和數(shù)軸)表示交集、并集和補(bǔ)集；

(3)讓學(xué)生體會到圖形(數(shù)形結(jié)合思想)對理解抽象概念的作用；

(4)會利用數(shù)軸求無限集的交集、并集的運算，體會數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用.

1重.點

(1)集合的交集、并集與補(bǔ)集概念的理解；

(2)求集合的交集、并集和補(bǔ)集.

教學(xué)重難點

2難.點

(1)對集合運算概念的理解；

(2)利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合中的含參問題.

知識清單

知識點()1交集

1.交集的概念

知

識自然語言符號語言圖形語言(Venn圖)

點

交對于兩個集合A、B,由既屬于集合/_又屬

Ar\B=且xe￡?!

集于集皂”的所有元素組成的集合,叫械集合

A與麗交集.記作AcB,讀作“A交B”.

2.交集的性質(zhì)

Ac8=8cAAcBuA,Ac8uB.AcA=A.Ac0=0

【即學(xué)即練】

1.已知集合4={-4,0,1,2,8},4=3丁=4則4「8=()

A.{0,1,2}B.11,2,8)

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】B={x|d=x}={0,Tl},故7nB={0,1},

故選：D.

2.設(shè)集合4=卜卜2<工<3},6=卜卜301工2},則AC8=()

A.{x|-3￡x<3}B.{止3sx￡3}C.1x|-2<x<21D.{x|-2<x<2}

【答案】C

【解析】集合A={M-2Vx<3},B=卜卜3WxW2},則4八8=卜卜2<、42}.

故選：C.

知識點02并集

1.并集的概念

知

圖形語言(Venn

識自然語言符號語言

圖)

點

并對于兩個集合A、B,由所有屬于集合A或

集屬于集合B的元素組成的奧合,叫做集合A與A\JB={x|XGB}

B的并集.記作4。A,讀作“A并B”.SB

ABB

2.并集的性質(zhì)

AkJB=BA^JB,BA\JB.A<JA—A'A<J0=A.

【即學(xué)即練】

,.、fx>0,

I.已知集合"={%-2vxv3},N=〈x〈>,則M.N=()

[x+3<0,

A.{x|-2<x<3}B.{x|-3<x<3}C.{x|-2<x<0|D.|x|-3<x<2}

【答案】B

【解析】因為集合M={H-2VX<3},N={X|-3</<0},

故M7N={H_3<XV3}.

故選:B.

2.己知集合用=k￡2|2c<5},N={1,2,3},則MuN=()

A.{3}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,3,4)

【答案】D

【解析】由M=(X|XGZ|2<X<5}={3,4},N={1,2,3}

所以MuN={l,2,3,4}

故選：D

知識點03全集與補(bǔ)集

1.全集與補(bǔ)集的概念

知識

自然語言符號語言圖形語言(Venn圖)

點

(1)全集：如果一個集合含有我們研究

全-H問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集

7

4

與

卜合為全集，記作U.C”=

集(2)對于一個集合A,由全集U中近自{x|U,且x任A}

不屬于A的元素組成的集合,叫做U中子

集4的補(bǔ)集(或余集).

2.補(bǔ)集的性質(zhì)

(1)補(bǔ)集是全集的子集，即C〃(C“A)=A

(2)Au(Cb.A)=U,Ac(gA)=0.

【即學(xué)即練】

1.設(shè)全集。=卜卜是小于9的正整數(shù)},集合A={1,3,5},則Q,A中元素個數(shù)為()

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【解析】因為U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以析1={24,6,7,8},4A中的元素個數(shù)為5,

故選：C.

2.已知集合U={x|T"v3,xeZ},A={xeN小<2"則Q/=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,2}D.{1}

【答案】B

【解析】因為集合。={-1，0,1,2},A={XGNX|X<2}={1},故Q/={-l,0,2}.

故選：B.

知識點04德.摩根定律(拓展)

(1)交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集：

(桐)

(2)并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集:

①(AU陰二(楸)n(/).

利用這些性質(zhì)能簡化集合的交、并、補(bǔ)的綜合運算.

【叩學(xué)即練】

1.設(shè)集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},/?={2,3,4),貝1」(aA)八@B)等于().

A.{1}B.{5}C.{2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】B

【分析】本題可按先后順序直接計算，也可利用德?摩根定律求解.

【解析】解法1：Q,,A={2,4,5}和即B={l,5},故?A)門@8)={5}.

解法2：AUB=[123,4},由德?摩根定律得

@A)n08)=e(4U8)={5}.

2.設(shè)集合(/=tA={x\x>\}^={x\x<2},則(aA)U?,8)=.

【答案】{x|E,颯>2}

【解析】因為AB={x\l<x<2},所以由德?摩根定律得

@A)U@3)=Qj(AnB)={x|E,%>2}.

知識點05容斥定理——求集合中元素的個數(shù)(拓展)

1.容斥定理

在部分有限集中,我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，我們常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ),

如果用card表示有限集合中元素的個數(shù)，即card(A)表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：

(1)card(AuB)=card(A)+card(B)-card(AClB)：

(2)card(AUBuC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(cnB)-card(AnC)-card(BnC)+card(AnBnCi.

這一結(jié)論被稱為容斥定理.

2.容斥定理的兩種重要變形

card(A)+card(B):card(AUB)+card(AnB)

card(AAB)=card(A)+card(B)-card(AuB).

【即學(xué)即練】

1共有50名學(xué)生參加甲、乙兩項沐育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學(xué)生有30名，參加乙項的學(xué)

生有25名，則僅參加了一項活動的學(xué)生人數(shù)為

A.50B.45C.40D.35

【答案】B

【分析】思路1：先轉(zhuǎn)化為集合語言，再用Venn圖來分析解決問題：思路2：先轉(zhuǎn)化為集合語言，再利用上述結(jié)

論：Card(AB)=Card(4)+Card(B)-Card(AB)求解.

【解析】解法1：

設(shè)集合A,6分別表示參加甲項、乙項活動的學(xué)生的集合，則A有30個元素，6有25個元素，AU8有

50個元素，設(shè)AC18中元素的個數(shù)為x個.由Venn圖可知，4U8的元素有三部分：(1)屬于4但不屬于8的

元素，有(30-x)個；(2)屬于3但不屬于A的元素，有(25-x)人；(3)A、8的公共元素，有x個.所以(30-

x)+(25-x)+x=50,解得x=5,所以僅參加一項活動的學(xué)生人數(shù)為50-x=45.

解法2:設(shè)集合A,B分別表示參加甲項、乙項活動的學(xué)生的集合，則

Card(A)=30,Card(B)=25,Card(A(b)=50,所以Qrd(AB)=Card(A)iCard(B)-Card(AB)=5,即兩項活

動都參加的學(xué)生人數(shù)為5,所以僅參加了一項活動的學(xué)生人數(shù)為45.

2.高三1班有12名同學(xué)讀過《牡丹亭》，有8名同學(xué)讀過《醒世恒言》，兩者都讀過的同學(xué)有4名，則該

班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有()

A.16人B.18人C.20人D.24人

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的容斥原理即可求解.

【解析】設(shè)集合"高三1班讀過《牡丹亭》的學(xué)生“，其元素個數(shù)記為card(A)；

集合3="高三1班讀過《醒世恒言》的學(xué)生”，其元素個數(shù)記為card(5)；

則card(4)=12,card(B)=8,card(A4)=4,

則card(4B)=card(A)+card(8)-card(A5)=12+8-4=16

故該班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有16人.

故選：A.

題型精講

題型01交集、并集或補(bǔ)集運算

【典例1】已知集合4={1.2.3、4},4=卜僅=},則Ac3=()

A.{1,2}B.{1,4}C.{2,3}D.{9J6}

【答案】B

【分析】先求出集合B中的元素，再找A與B的公共元素.

【解析】VA={1,2,3,4},B=[1,4,9,16）,

??.A與B中的公共元素有1,4,=

【典例2】已知集合4={高，考，必，勝},4川四，中，必，勝}，則A8=（）

A.{四，中，必，勝}B.{必，勝}

C.{金，榜，題，名}D.{四，中，高，考，必，勝}

【答案】D

【分析】將兩個集合中的所有元素合并在一起即得并集.

【解析】因為A={高，考，必，勝},8={四，中，必,勝},

所以A3={四，中，高，考，必,勝}.

故選：D

【典例3】設(shè)全集U={XEN[T<X<5},集合A={1,3},則集合QA的子集的個數(shù)是（）

A.16B.8C.7D.4

【答案】B

【解析】因為U={X￡N|TV_V5}={0,1,234},A={1,3},所以QA={0,2,4},集合C^A的子集

的個數(shù)是23=8,故選B.

方法技巧

在進(jìn)行集合間的交、并、補(bǔ)運算時，需注意以下兩點：

（1）集合間的運算得到的新集合一定要滿足集合中元素的確定性、互異性、無序性，因此，在求解含參數(shù)

的問題時，注意隱含的條件.

（2）如果集合間的元素已知，或集合間的關(guān)系相對復(fù)雜，又涉及集合中的元素問題，解題過程中常借助于

Venn圖，這樣處理相對來說較形象、直觀，且解題時不易出錯.

【變式I】已知集合從={2,4},8={1,4,9},則AJ8的子集的個數(shù)為（）

A.4B.8C.15D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)集合并集的概念與運算，求得AD8={1,2,4,9},進(jìn)而求得其子集的個數(shù)，得到答案.

【解析】因為A={Z4},8={1,4,9},所以析18={1,2,4,9},

所以AJ8的子集的個數(shù)為24=16.

故選:D.

【變式2】已知集合4={劃/一刀=0},集合8=*￡N+|—lWx<3},則下列結(jié)論正確的是

A.l=（AcB）R.IE（ACA）C.AryR=0DA<JB=B

【答案】B

【解析】由題意得4={0,1},3={1,2},結(jié)合各選項知B正確.

【變式3】若全集U=R.A={x|xvl},8={.r|x>—l},則()

A.AqBB.&/工BC.D.3cA=0

【答案】B

【分析】利用交集，補(bǔ)集與子集的意逐項判斷即可.

【解析】因為A={x|xvl},B={x\x>-\},所以A<Z8,AB={x[—1<x<l},故AD錯誤;

所以q」A={x|x?1},^8={x\x<-\},所以=Bu,A,故B正確，C錯誤.

故選：B.

題型02交、并、補(bǔ)混合運算

1.分步求解法

【典例1】已知全集。={%6川一2〃46},A={-1,0,1,2},5={2,3,4,5,6},則AC&5)={)

A.{1}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

【分析】先求全集U,進(jìn)而求屯8,最后根據(jù)集合的交集運算即可求解.

【解析】依題意得^={0,123,4,5,6},電8={0,1},所以A48)={0,1}.

故選:C.

方法技巧

解決解合的交、并、補(bǔ)混合運算時，一般先運算括號內(nèi)的部分，如求(CuA)n/，)時，可先求出(CuA),再求

交集;求時，可先求出A_B,再求補(bǔ)集，即將集合的混合運算分成多步分別進(jìn)行.

【變式1】設(shè)集合S={x|x為平行四邊形},A={x|x為菱形},B={_r|x為矩形}，則?(A|8)=()

A.{x|x為正方形}B.{x|x為菱形或矩形}

C.{x|x為不是正方形的平行四邊形}D."1%為不是平行四邊形的四邊形}

【答案】C

【解析】A8={x|x是正力形},Q(A6)={x|x為不是正方形的平行四邊形}.

【變式2】已知全集。=卜卜=&b+，匚京工￡2},集合A={1,2,3},B={-2,0,1,2},QiJ

Q,,(AD8)=()

A.{-1}B.{-3,—2,—1.0,3,4}C.{-3,4}D.{-3,—1,4}

【答案】D

【分析】先求U,再結(jié)合集合并集和補(bǔ)集概念，求出結(jié)果.

x+3>0,

【解析】由題知〈,八解得-30<4,

4-x>0,

所以全集〃=3—3。44,xeZ}={-3,—2,-1,0,1,2,3,4},

因為A={1,23},B={-2,0,l,2},所以A=B={-2A123},

所以。(AJB)={TT4}.

故選:D.

2.數(shù)形結(jié)合法

【典例2】已知全集11=兒A={x|-4<x<2},B={x|-l<x<3},P={xx&0或x咬},

求(CuB)uP,(AHB)n(CuP).

【答案】(CuB)uP=[xxWO或xjL(AnB)n(CuP)={xO<x<2}.

【分析】本題考杳應(yīng)用交集、并集的定義進(jìn)行集合的運算.因給定的集合滿足的條件是不等式，故可借助

于數(shù)軸求解.

【解析】??,CuB={x|x<—1或x>3},QP={x0<x<|

在數(shù)軸上表示集合A,B,CuBfuP如下圖.

..-，SnB)c(C0

..I，AGR-￡-/]YJ，

-4-10234-4-1023

圖(1)圖(2)

由圖(1)可知(CuB)UP=[xX0O或W).

由圖(2)可知(AC!B)n(CuP)={x|0<x<2}.

方法技巧

求涉及含不等式的集合的混合運算時，借助于數(shù)軸是常用的方法.交集找數(shù)軸上折線重整的區(qū)域，并集

找數(shù)軸上折線掃過的所有區(qū)域.

【變式】已知全集U=R,0={#_]＜工＜]},Q={0vx＜2}，則6(PUQ)=()

A.(x|-i<x<2}B.{x|x<-l,3tv>2)

C.{x|-l<x<0}D.{A|X<-1,^CX>2}

【答案】A

【解析】利用數(shù)軸表示集合，如圖所示,

取P,Q所有元素，得戶U。={1|一1<”<2},故今（尸11。）="次《-1,曲22}.

題型03由Venn圖給出的集合混合運算

【典例】設(shè)集合A={3,4,5},B={2,3,4,8},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{2,8}B.{3,4}C.{2,5,8}D.{3,4,5}

【答案】C

【分析】先求出集合的交集AcB,然后求出集合A8的并集AuB,最后求出陰影部分的元素組成.

【解析】因為A={3,4,5},8={2,3,4,8},

所以4cA={3,4},AuB={2,3,4,5,8},

所以陰影部分表示的集合為{2,5,8}.

故選：C.

方法技巧

對于給出Venn圖的集合混合運算,求解的關(guān)鍵是：通過觀圖將陰影部分對應(yīng)的集合轉(zhuǎn)化為已知集合

間的混合運算，再進(jìn)一步求其結(jié)果.

【變式1】已知全集。=%集合M={xsZ[T<x<3},N=（O,+8）,則圖中陰影部分表小的集合為

C.{-1,0}D.(-1,0)

【解析】由f—2x—3=(x-3)(x+l)<0,解得一lvx<3,

所以M={xeZ'_2x_3<0}=kwZ|_]<x<3}={0,1,2},

又因為N=(0,+8),所以q,,N=(Y),0],圖中陰影部分表示的集合為Mca，N={0},

故選:A

【變式2】已知全集〃=R，集合4={0J2,3},B={-Z-1.0,i},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0.1}C.{2,3}D.{-2,-1}

【答案】D

【分析】由陰影部分口」知對應(yīng)的集合為即口J得到結(jié)論.

【解析】陰影部分對應(yīng)的集合為Bc(Q/A),

..?全集U=R,集合A={o,l,2,3},3={-2,-1,0,1},

.?.8c&A)={-2,T}.

故選：D.

題型04構(gòu)造Venn圖破解集合的混合運算

【典例】已知全集1；={乂收取不大于9的正整數(shù)},A、B是U的次個子集，且API(CUB)={2,4,8},(G⑷

nB={l,3},(04)n(CUB)={6,9},求集合A,B.

【答案】A={2,4,5,7,8;8={1,3,5,7}.

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義，A,B都是全集U的子集，可以利用集合交集、并集的關(guān)系求出A,B中的元素，

從而解決問題，也可以用Venn圖直接得到結(jié)果.

【解析】解法1：解法1：U=*|x是不大于9的正整數(shù)}={1,2,3,4,5,6,789}

??,(桐)c8={l,3},(rB)nA={2,4,8),

.-.{1,3}CB,{2,4,8}CA

―楸)門(a)={64。8)={6,9},

ADB={1,2,3,4,5,7,8},

,:1,3促42,4,8品B,，AcB={5,7},

.?.4={2,4,5,7,8;3={1,3,5,7}.

解法2：U={x|x是不大于9的正整數(shù)}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

「.(楸)c8={l,3},(a)cA={2,4,8},

(楸)c(/)=%(AD8)={6,9},

畫出Venn圖，如圖所示，由圖可知4={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7).

方法技巧

對于兀素是離散型的兩個有限集，如果集合間的關(guān)系相對繁雜乂牽扯到集合中的兀素問題，解答過程中

常常借助于Venn圖來求解，這樣處理起問題來，相對來說較形象、直觀，且解答時不易出錯.

【變式】己知全集U={x|x取不大于30的質(zhì)數(shù)},4、B是U的兩個子集，且API(CuB)={5,13,23},(CM)

08:{11,19,29},(CuA)A(Cufi)={3,7},求A,B.

【答案】A={2,5,13,17,23),B={2,11,17,19,29}

【解析】依題意得,U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}

用Venn表示出An(G8),(C/)CW及(Cd)A(CUB)

U

,17)19BI

,JA3

(297

義7

觀圖可得Cu(AU8)={3,7},4AB={2,17),

M={2,5,13,17,23},B=(2,11,17,19,29).

題型05利用集合的運算結(jié)果求參

【典例】(1)設(shè)集合A={”，2A-1,一4},B=(x-5,1-x,9},若AClB={9},求實數(shù)x的值及AuB；

(2)已知全集(7={2,3,5,7,11},人={2,|〃—5|,7},Q,A={5,11},求實數(shù)。的值.

【答案】(1)x=-3,AUB={-8,-7,-4,4,9)；(2)2或8.

【分析】(I)根據(jù)AAB={9},列出關(guān)于x的方程，求出x：(2)先根據(jù)補(bǔ)集的定義確定A,再看|a-5|與哪個

元素相等.

【解析】(1)由于9WA,可得x?=9或2x—1=9,解得x=±3或x=5.

①當(dāng)x=3時，A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素違背了互異性，舍去.

②當(dāng)x=-3時，A={9,-7,-4},B=[-8,4,9},ADB={9},符合題意，故AUB={-7,-4,

一8,4,9}.

③當(dāng)x=5時，A={25,9,-4},B={0,-4,9},AClB={-4,9},與AAB={9}矛盾，故舍去.

綜上所述，x=-3,AUB={-8,-7,-4,4,9}.

(2)根據(jù)補(bǔ)集的定義知，(，M)UA=U，且A與慶「電乂=0,故4={2,3,7},所以|。—5|=3,a=2

或8.

方法技巧

對「已知集合的運算結(jié)果求參數(shù)值的問題，可直接根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運算的概念得到不同集合中元

素之間的關(guān)系，再列方程組求解.這類有時也可借助數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化求解.

【變式1】已知集合4={xlx?a}.8={x[l<x<2},且(金3)=A,則實數(shù)。的取值范圍是：)

A.(2,+oo)B.⑵+◎C.(5)D.

【答案】D

【解析】由3={動<1<2}得Q8={dxKl或x?2}.乂A(詼B)=A,所以A=(Q8),故.

【變式2】集合A={x|-lVxVl},B={x|x<a}.

(1)^AAB=0,求a的取值范圍；

(2)若AUB={x|xVl),求a的取值范圍.

【答案】(1)a<—1；(2)-1<a<l

【分析】本題主要考查有關(guān)集合的交集與并集的運算問題.ACB=0,那么集合A,B中沒有公共部分.利

用數(shù)軸可以直觀、形象地表現(xiàn)出數(shù)集A,B所表示的范圍，從而求出a的值.

【解析】(1)如圖所示,A={x|-l<x<l),B={x|x<a(,且AHB=0，二數(shù)軸上點a在一1的左側(cè)(含點

-1).1.

-9a-\nI93

(2)如圖所示，A={X|-1<X<1},B={x|x<a},且AUB={x|x<l},.??數(shù)軸上點a在一1和1之間(含點1,

但不含點一1),J.-lVaWL

-2-10uI9

題型06利用集合的運算性質(zhì)求參

【典例】已知集合4={劃12+以=0},5={回爐+2伍+1)工+/2-1=()}

(1)若4。3=&求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)若A,B=￡求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)。=1或。<一1；(2)a=\.

【分析】因為Ar8=8的含義是BqA；AJB=B的含義是AqB_S.A={x|f+以=0}={0,一4].另外在討論

的過程中，還需注意3=0是A的一種情況，不要漏掉.

【解析】(1)因為A。8=從所以B=A

4止8=0時,△=4(。+1)2-4(/—1)〈0,解得〃〈一1；

2蘭5={0}或6={-4}時,△=(),解得〃=-1,此時B={0};

3當(dāng)B={0,-4}時,0,-4是方程/+2(。+l)x+/-1=o的兩個根,

A=4(?+1)2-4(6Z2-1)>0

則有<一2(。+1)=-4，解得a=l.

?2-1=0

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a=1或aW-1.

(2)因為Al，8=B,所以A=B.因為A={0,-4},且集合8中至多有兩個元素，所以A=5.

由(1)知。=1.

方法技巧

利用集合的交、并集運算，容易推得以下性質(zhì)成立：

(1)AL仗(2)AC|B=8oB=A

合理運用上述性質(zhì)，可以把AUB=3(Ari3=B)轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系41區(qū)(3e4),便轉(zhuǎn)化為上一

節(jié)我們所學(xué)習(xí)過的題型,最后再化歸為常見的方程、不等式問題.

【變式1】已知集合A={M-2M7},8={M*H￡2〃L1}.

(1)當(dāng)用〃?=5時，求AC8,AU6：

(2)若人CW=B,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)103={(6朵7},A\JB={x\-2Sv<9}；(2)(-oo,4].

【分析】(1)求出集合B,由此能求出ACI8,AU8.

m+1<2m—1

(2)由AUB=A,得8GA,當(dāng)3=0時，，〃+1>2〃?-1,當(dāng)瓊0時，m+1>-2，由此能求出實數(shù)一的

2m-1<7

取值范圍.

【解析】(1)??喋合A={x|-2三吆7},B=(x\m+\<x<2ln-1}.

機(jī)=5時，B={x|6<r<9},

MAS=M6<x<7},AUB={x|-2Sc<9}.

(2)???集合>={M-2夕W7},B={x\m+\<x<2in-1},

若ACI8=B,則3口，

.?.當(dāng)8=0時，m+l>2m-1,解得用<2,

[m+1<27n-1

當(dāng)時，m+1>-2,解得29W4,

(2m-1<7

綜上，實數(shù)機(jī)的取值范圍是(?8,4].

【變式2]已知集合A=3?3g},B={xl2nt-l<x<m+3}.

(1)當(dāng)〃?=0時，求CR(AAB)；

(2)若AU8=A,求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】(1){小<-1或1>2}；(2){6|團(tuán)>4或〃?=-1}.

【分析】(1)當(dāng)帆=0時，求出集合B={x|-吆3},進(jìn)而求出AfW,由此能求出CR(ACB)；

2m-1<m+3

(2)由AUB=A,得8GA,當(dāng)B=0時，2機(jī)-1>切+3,當(dāng)由。的，2m-1>-3,由此能求出實數(shù)機(jī)的

m+3<2

取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)，〃=0時，集合A={R-3人2},B={A1-1<^<3},

AA6={A|-1<X<2},

.??CR(AC\B)={X|XV-1或Q2}：

(2).?,AUB=A,

當(dāng)8=0時，解得陽>4,

2m—1<77i+3

當(dāng)班0時，2m-lN-3，

TH+3<2

解得m=\,

綜上,實數(shù)m的取值范圍是{加〃>4或m=-1}.

題型07利用補(bǔ)集思想求參

【典例】已知集合A={小2—4%+6—2。=0},8={小<0},若4門段0,則實數(shù)。的取值范圍為一.

【答案】43

【分析】由集合4B及4nB#0可知，方程/-4]+6—2〃=0有實數(shù)根，且至少有一個負(fù)根，即有兩個負(fù)

根，或一個負(fù)根和一個零根，或一個負(fù)根和一個正根三種情況.如果分別求解會比較麻煩，可以先求出方程

有實數(shù)根時實數(shù)”的取值范圍作為全集，然后考慮方程的兩根都非負(fù)時〃的取值范圍，最后利用補(bǔ)集求得

符合條件的實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】設(shè)全集t/={?|16-4(6-2?)>0}={a\a>1}.

%+七=420,

若方程『一4at+2a+6=0的兩根都非負(fù)，則花&且《

中2=6-2?>0,

解得13/W3,即方程兩根都非負(fù)時，實數(shù)〃的值組成的集合為｛a|lWaW3卜

其在全集U=｛a\a>1｝中的補(bǔ)集為｛所>3｝.

.??滿足題意的實數(shù)。的取值范圍是a>3.

方法技巧

對于一些比較發(fā)雜、抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的問題，在解題時，應(yīng)及時調(diào)

整思路，從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這時能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決..

【變式】若集合A=｛x|ax2+3x+2=0｝中至多有1個元素，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】［aa>8figa=o'

a#),

【解析】假設(shè)集合A中含有2個元素，即ax2+3x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則

A=9-8a>0,

9

解得aVg且a和，

.??實數(shù)a的取值范圍是*卜<］且aw｝.

在全集U=R中,集合卜卜〈|且a和｝的補(bǔ)集是卜屑或a=。1

.??滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是1a卜寸或a=o｝。

題型08求集合中元素的個數(shù)

【典例】在開秋季運動會時，某班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加徑賽，有8人參加田賽，有14人

參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的后3人,同時參加徑賽和球類比賽的有3人，沒白同時參加二項比

賽的同學(xué)，問：同時參加田賽和球類比賽的有多少人？只參加徑賽的同學(xué)有多少人？

【答案】同時參加田賽和球類比賽的有3人，只參加徑賽的同學(xué)有9人.

【分析】本題考查集合命題中的實際應(yīng)用問題,涉及元素個數(shù)問題時，可用公式card(AUB)=card(A)+card(B)

一card(ADB)的推廣形式card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)—card(ACB)-card(BDC)-card(ADC)+

card(AABnC),或利用Venn圖解決.

【解析】解法-：設(shè)同時參加田賽和球類比賽的共有x人，參加徑賽的為集合A,參加田賽的為集合B,

參加球類比賽的為集合C,

則有card(A)=15,card(B)=8?card(C)=14,

由條件知card(ADB)=3,card(AQC)=3,AClBnC=，HPcard(AnBnC)=0.

故有15+8十14—3—3—x十0二28,解得X—3.

即同時參加田賽和球類比賽的共有3人.

只參加徑賽的有15—3—3=9(人).

解法二：設(shè)參加徑賽的為集合A,參加W賽的為集合B,參加球類比賽的為集合C,根據(jù)題意畫出Venn

圖，如圖所示.

Af\H

(9)h](8-3-x)

((14-3-x))

key

在圖中相應(yīng)的位置填上數(shù)字，設(shè)同時參加田賽和球類比賽的人數(shù)為X.由題意得

9+3+3+(8-3—x)+x+(14—3—x)=28,

解得x=3.

即同時參加田賽和球類比賽的人數(shù)為3人，只參加徑賽的人數(shù)為9人.

方法技巧

對于這類問題，一般有兩種策略：一是畫出Venn圖，設(shè)出天知數(shù)，借助Venn圖列出方程(組)求解;

二是利用容斥定理速解.

【變式1】為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開設(shè)了籃球社團(tuán)、A1社團(tuán)、圍棋社團(tuán)，高?某班學(xué)生共有30

人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加A1社團(tuán)，有14人參加圍棋社團(tuán)，同時參加

籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒有人同時參加三個社團(tuán)，只參

加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為().

A.10B.9C.7D.4

【答案】A

【分析】由題意，根據(jù)容斥原理，結(jié)合集合的運算即可求解.

【解析】有15人參加籃球社團(tuán)，同時參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時參加籃球社團(tuán)和圍棋

社團(tuán)的有3人，沒有人同時參加三個社團(tuán)，所以只參加籃球社團(tuán)的9人；

設(shè)同時參加AI社團(tuán)和圍棋社團(tuán)有x人，因為有8人參加AI社團(tuán)，

同時參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，所以只參加AI社團(tuán)的有8-3-x=5-x人；

又因為有14人參加圍棋社團(tuán)，同時參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，

所以只參加圍棋社團(tuán)的有14-3T=11-x人.綜上所述，共有30人參加了學(xué)校社團(tuán)，

所以9+3+3+(5-x)+x+(l1)=30,解得x=l.

故只參加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為10人.

故選:A.

【變式2】某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、化學(xué)講座，其中有70人聽了數(shù)學(xué)講座，62人聽了歷史講座,

58人聽了化學(xué)講座，記4={x*是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生},8={x|x是聽了歷史講座的學(xué)生},C={x|x是

聽了化學(xué)講座的學(xué)生}.用card（M）來表示有限集合M中元素的個數(shù)，若card（A為=17,

card（A「C）=13,card（?AC）=5,A「8CC=0,則（）

A.card（A「B、C）=35B.card（AB）=l15

C.card（BC）=120D.card（ALBJC）=190

【答案】B

【分析】根據(jù)card（M）的定義，結(jié)合集合A,B,。的元素個數(shù)可得解?.

【解析】A選項：由己知413C=0,則caixl（ABC）=0,A選項錯誤；

B選項：card（Afi）=card（A）+card（5）-card（Ai5）=70+62-17=115,B選項正確：

C選項：card（3C）=card（8）+card（C）-card（80）=62+58-5=115,C選項錯誤；

D選項：card（ABC）=card（/l）4-card（B）+card（C）-Ccird（AB）-card（AC）-card（BC）

=70+62+58-17-13-5=155,D選項錯誤；

故選：B.

題型09與集合運算有關(guān)的開放題

【典例】已知集合A={x|-5<x<2},4={x|%一3Vx<〃+1}.

⑴若C={3,4,/+2?—3},0e（&C）,求實數(shù)a的值;

（2）從條件①②③中選擇一個作為已知條件，求實數(shù)〃的取值范圍.

條件：①AB=B：②8c他力=0；③AL（dA）=R.

【答案】（l）a=l;（2）答案見解析

【解析】⑴由于0c（3C）,所以［：'+丁1二°，解得q=i.

（2）若選①，由八8二8得BqA.

當(dāng)8=0時，則2a-3加+1,解得。24,滿足條件：

2“-3<a+1,

當(dāng)8工0時，貝42〃-32-5,解得TWaWl.

a+\<2,

綜上，實數(shù)a的取值范圍是［-1Je）.

若選②，8c@4）=0.

當(dāng)8=0時，2a-3>a+\,解得。之4,滿足條件:

2。-3<a+1,

當(dāng)時，QA={XxN2或xK-5),則、2a—3N—5,解得一

fl+1<2,

綜上，實數(shù)〃的取值范圍是[T,l]J[4,+oo).

若選③，AJ(QB)=R.

當(dāng)6=0時，2。一33々+1,解得。N4,滿足條件：

2a-3v。+1,

當(dāng)時，"B={x|+1或xW2a-3},則<2〃-32-5,解得一iWaWl.

a+i<2,

綜上，實數(shù)〃的取值范圍是[-口]巴+oo).

方法技巧

與集合運算有關(guān)的開放題常以結(jié)構(gòu)不良型解答題的形式出現(xiàn)，對于這類問題，要注意從中挑選一個不易

出錯甚至得滿分的條件進(jìn)行作答.

【變式】設(shè)全集為U—R,集合4=卜卜2一7..8>0},B={x\a+\<x<2a-3\.

(1)當(dāng)a=6時，求A8和Ac\B

(2)在①BC?A=0；②AC|8=B；③AU8=A這三個條件中任選一個作為已知條件，求實數(shù)〃的取值

范圍.

【答案】(1)AU3={X|XVT或x>7}；Ac48={x|xv—1或kN9}.

(2)I-CO,4]V[7,-KO)

【分析】(1)首先解二次不等式求得集合A,然后將，代入確定集合〃，最后根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運算

法則進(jìn)行求解即可；

(2)首先根據(jù)集合間運算的結(jié)果可得BqA,然后分8=0和B=0兩種情況分類討論求解參數(shù)取值范圍

即可

【脩析】(1)由不等式f一7%-8>0,解得：x<—l或x>8,因此可得：A={x|x<-1或x>8},

將4=6代入集合“中可得：B={J|7<X<9},

因此Au8={x|x<-1或x>7}；

又&B={x|xW7或xN9},得：Ac.4={x|xvT或XN9}.

(2)選①由區(qū)1?A=0,可知BqA,

當(dāng)3=0時，?+l>2r/-3,解得：?<4；

。+1<2。一3。+1<2。-3

當(dāng)時，可得：I,無解，或〈，解得：a>lx

2?-3<-1^+1>8

綜上所述a?Y>,4]i[7,-boo）；

選②由AB=B,可知BqA,

當(dāng)8=0時，a+\>2a-3,解得：t?<4；

心。+-13v2-。-「3無,解’或f[a+"1整<28。-3

當(dāng)8/0時，可得:解得：fl>7：

綜上所述ae（-8,41[7,+<?）；

選③由A18=A，可知8qA,

當(dāng)3=0時，67+I>2r/-3,解得：a<4；

。+1v2。-3。+1<2。-3

當(dāng)3/0時，可得：\,無解，或〈，解得：a>l\

2?-3<-1[a+128

綜上所述a?-8,4]i[Z+oo).

題型10與集合運算有關(guān)的新定義題

【典例】任意兩個集合M、N,定義新運算“一”，M-N其運算結(jié)果為Venn圖中陰影部分表示的集合，定

義新運算“△”，且A/AN=（M-N）=（N-M）,若M=[）?=/，為￡?，N=3一3￡3},則

M\N=.

【答案】MA/V={x|—3Wx<0或x>3}.

【分析】由Venn圖可知，M-N=5(McN),從而把問題轉(zhuǎn)化為集合的運算問題.

【解析】M={x|x>0},N=[x\-3<x<3],

.-.MryN={x\0<x<3},

：.M-N=yMcN)={x\x>3],N—M=dv(^nM)={x|-3<x<0},

又?'M\N=(M-N)D(N-M),

.?.MA7V={X|-3WXVOJ^X>3}.

方法技巧

與集合的運算有關(guān)的新定義題求解的關(guān)鍵是：通過讀題、審題，充分挖掘問題中所隱含的信息，弄懂運

算的規(guī)律，進(jìn)而求解.

【變式I】已知集合4={123},B={1,2},定義集合間的運算4+8={兄工=內(nèi)+石,玉￡A&￡3},則

集合A+8中元素的最大值是.

【答案】5

【解析】集合A+B是由A中的?個元素與B中的?個元素相加構(gòu)成，故集合4+B中元素最大值是4中

的最大元素與8中的最大元素相加而成，即3+2=5,故答案為5.

【變式2]已知4B是非空集合，若asA,beB,且滿足Ia-AU3,則稱a,。是集合A,8的一對

“基因元若集合4={2,359},8={1,3,6.8},則A,8的“基因元”的對數(shù)是

【答案】13

【解析】A3={L2,3,5,6,8,9},當(dāng)々取2時,|。一川分別為1,1,4,6,共3對;當(dāng)。取3時,\a-b\

分別為2,0,3,5,共3對：當(dāng)。取5時，|。一"分別為4,2,1,3,共3對；當(dāng)。取9時，|。一方|分別

為8,6,3,1,共4對.3+3+3+4=13.

【變式3】集合為進(jìn)入高中數(shù)學(xué)的第一章節(jié)，在高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識中占據(jù)一定的地位.已知集合A為非空數(shù)

集，我們根據(jù)數(shù)學(xué)知識和定義，規(guī)定如下5={中=4+〃,4〃€小T=[x\x=\a-b\,a,beA^

⑴若集合4={1,3},直接寫出集合S,T（請寫出計算過程）；

（2）若集合八={內(nèi),七,七，七}，用〈/<%3<%，且丁=4，求證：用+%=%+工3；

⑶若集合4口卜|?！豆ぃ?021?￡邛，Sc7=0,記|川為集合A中元素的個數(shù)，求|川的最大值.

【答案】（1）S={2,4,6},T={0,2};（2）證明見解析；（3）1348

【分析】（1）根據(jù)集合S,T的定義，即可求解.；

（2）首先寫出集合T,再根據(jù)7=A,推理集合中元素的對應(yīng)關(guān)系，即可證明；

（3）根據(jù)ScT=0,|Su7j=|S|+|T|>3A:-l,以及|S5T|W2q+1,再由不等式的關(guān)系得到比的取值范

圍，即可證明.

【解析】（1）根據(jù)題意,由A={L3},則