函徽與導(dǎo)數(shù):翎線問(wèn)題、含參單調(diào)性詩(shī)論問(wèn)題?恒成立求參數(shù)問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)目錄

切線問(wèn)題恒成立求參數(shù)問(wèn)題

含參單調(diào)性討論問(wèn)題

題型一切戰(zhàn)問(wèn)題

1.（24-25高二下?廣西梧州?期末）曲線s=爐+且在％=2處的切線方程是（）

x

A.2z—g+4=0B.4x—y=0C.2x+y-12=0D.4i+y-16=0

【答案】A

【詳解】因?yàn)間=〃+&,所以d=2rr—亭，所以式_=4—與=2.

xx2工=24

又當(dāng)①=2時(shí)，y=4+4=8,故切點(diǎn)坐標(biāo)為（2,8）,所以切線方程為2N-V+4=0.

故選：A

2.（24—25高二下?陜西銅川?期末）曲線g=笠;在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程為（）

Jb1"/

A.5①一9g—2=0B.51+9g—8=0C.6c—3y—5=0D.6c+3g—7=0

【答案】A

【詳解】因?yàn)閒Q）=卷沫=2—累，所以/'3）=3，

而/⑴=,/⑴=',

因此曲線”=與［在點(diǎn)（?、牛┨幍那芯€方程為7/—!=堤3—1）,

X-v2.1.39

即5啰一%—2=0.

故選:A.

3.(2025?河北衡水?模擬預(yù)測(cè))曲線片ygcosN在2=與處的切線方程為()

A.y=e^x-^}B.y=-e{x-^}C.y=x-^D.y=-x+^

乙乙乙N

【答案】6

【詳解】設(shè)y=/(c)=esinxcosx,

則/'(i)=esinzcos2x+e8in3?(—sinx)=esina?(cos2x-sinx),

當(dāng)/=]時(shí)，/(])=es，，^cosy=0,f(y)=es，n2(cos2y-siny)=-e,

71

所以曲線g=esinxCOSJ：在％=彳處的切線方程為y=—elx

2

故選：R

4.（24—25高二下?江蘇徐州?階段練習(xí)）己知點(diǎn)尸（1,加）不在函數(shù)/Q）=爐一3m①的圖象上，且過(guò)點(diǎn)尸有

三條直線與的圖象相切,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.(O,；)”"B.(8,0)U(；,loo)

嗎，+8)

C?（哈）D.（-00-

【答案】C

【詳解】點(diǎn)P(1,向不在函數(shù)/⑺=]3-37皈的圖像上，

貝]/(I)=1—3mWm,即館W；,

4

設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與/(c)=x3—3mx的圖像相切于Q(t,t3—3mt),

財(cái)切線的斜率卜=/⑴=3廿-3m=?嗎-a,

&—1

整理可得2t3—3t2+4m=o,

則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為g(￡)=2#—3Z2+4m有三個(gè)零點(diǎn)，

且g'(t)=6十一6九令g'(t)=0,可得t=0或￡=1,

當(dāng)tG(-oo,0)時(shí),g，⑴>0,則g(t)單調(diào)遞增,

itG(0,1)時(shí)，g'(±)V0,則g(￡)單調(diào)遞減，

當(dāng)￡€(l,+oo)時(shí)，)⑴>0,則g(1)單調(diào)遞增，

即當(dāng)±=0時(shí)，g⑴有極大值，當(dāng)±=1時(shí)，g⑴有極小值,

要使g?)=2#—3t2+4m有三個(gè)零點(diǎn)，

。(°)>°即

貝"

。⑴vo'1臂鼠VL解得?！醇?

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,/).

故選：c

5.(24—25高三上?福建福州,階段練習(xí))若函數(shù)/⑺=e，-％圖象在點(diǎn)(羯/(3))處的切線方程為g=kc

+b,則k-b的最小值為()

A.1+—B.-1--C.1-—D.-1+—

eeee

【答案】6

【詳解】由f(x)=e，一/求導(dǎo)得：f(x)=ex-1,于是得/'(io)=e沏-1,

函數(shù)f(x)=e±—①圖象在點(diǎn)(g,f(的))處的切線方程為y——x0)=(e如—1)Q—g),

XoXoXt>

整理得：7/=(e-1)1+(1一處Jc%,從而得k=e的-1,6=(1-x0)e,k-b=xoe—1,

令g3)=xex—1,則g'3)=Q+l)ex,當(dāng)x<—\時(shí)，gf(x)<0,當(dāng)x>—l時(shí)，g'(x)>0,

于是得g(c)在(-co,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,4-co)上單調(diào)遞增，則g(%)min=g(-1)=-1,

e

所以k-b的最小值為一1一工.

e

故選：3

6.(24—25高二上?浙江杭州?期末)若點(diǎn)尸在曲線g="一《,上，曲線在尸處的切線的傾斜角為。，則a

的取值范圍是()

人[爭(zhēng)㈤B.[0受)c.[0晝)U[爭(zhēng),兀)D.[O,])U傳修]|

【答案】C:

【詳解】設(shè)尸(的,為)，由函數(shù)夕="'一瓜&，得y'=3x2—V3,

............B

r

所以過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k=y\s=Xu=3就—V3,

根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，可得k=3就一遍>-V3,

又k=tana,即tana>—V3,

又［0,兀)，所以得a的取值范圍是［O,5)U［V，7U).

故選：C

7.(2025?湖南永州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=ax(a>0,a^l)，直線g與函數(shù)y=/(。)的圖象相切，則

Ina=()

I

A.eB.—C.exD.2c

【答案】b

【詳解】設(shè)直線g=￡與函數(shù)/(1)=。］(。>0,。力1)相切于點(diǎn)的物),

因?yàn)?(c)=a"(a>0,aHl),所以/'(①)=axlna,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有了'(co)=ax"lna=1,

因?yàn)辄c(diǎn)(血,防))在直線g=c上，所以現(xiàn)=與，

因?yàn)辄c(diǎn)(電),加)在曲線/(⑼=a'(a>0,aWl)上，

所以物二優(yōu)氣?！?。,。1#：1),

所以有a%=c()(a>0,aWl),

所以1，即xolna=1,Ina=—,

lQ?'lna=lXQ

xx

對(duì)a"=c()兩邊取對(duì)數(shù)有，lna"=lnx0,即x(Jlna=1ng,

將lna=L代入?)1!1(1=111刈)，有l(wèi)n%=1,解得c()=e,

①u

又因?yàn)閘na=1-,所以lna=」.

xue

故選：石

8.(25—26高三上?河南安陽(yáng)?階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)尸(0,1)作曲線夕二d-2；?:+5的兩條切線,切點(diǎn)分別為河,汽,

則直線MN的方程為()

A.2x4-?/-9=0B.2c—g+9=0C.2c+g-1=0D.2x-y-i-l=0

【答案】力

【詳解】2%+5,.,.娟=2c—2,設(shè)切點(diǎn)M31,幼)，

/.在A/?”幼)處的切線斜率為總=2%—2,

:.在處的切線方程為y-納=(2勺1—2)3—g),

":“31,1)在曲線夕="一2/+5上，

/.劭=研一2x1+5,

:.在M?,%)處的切線方程為g—(若一2cl+5)=(2xi—2)(x—xj,

??,此切線方程過(guò)點(diǎn)。(0,1),

.??將P(0,l)代入切線方程成立，即1-(xi-2為+5)=(2g-2)(0-%)，

解得研=4,x{=±2,

當(dāng)皿=2時(shí)，%=5,當(dāng)叫=-2時(shí)，弘=13,???防2,5)或M(-2,13),

同理可得切點(diǎn)N(2⑸或N(—213),

?；MN是不同的切點(diǎn)，???不妨設(shè)”(2,5),M—2,13),

.??直線MN的方程為苓之=空?整理得22+g-9=0.

1J—5—2—2

故選

9.(2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)?多選)已知函數(shù)/(￡)=/+3c+Q,則滿足過(guò)點(diǎn)P(a,b)可作出3條直線與

fix)圖象相切的充分條件是()

A.a=1,4<6<4.5B.6=0

C.點(diǎn)P在射線g=5①3>1)上D.點(diǎn)P在曲線y=4爐3>2)上

【答案】ACD

【詳解】因?yàn)?(%)=d+3i+a,所以((c)=32+3,

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線與/(⑼的圖象切于點(diǎn)Q(d+3￡+a),

則切線斜率k=((。=~；甘,即3產(chǎn)+3=霆-，,

去分母整理得2#—3a廿一4Q+b=0,切線有3條，

設(shè)9(2)=2￡，-3a嚴(yán)一4a+b,則g⑴有3個(gè)零點(diǎn).

g'(￡)=Gt2—6a￡,令g'(￡)=0,得t=0或￡=a,

所以g(0)g(。)=(―4a+6)(—a3—4a+6)<0,

對(duì)于力，取a=1,得g(0)g(a)=(6—4)(6—5)<0tA正確：

對(duì)于B,取a>0,則g(0)g(a)=(-4a)(—。3-4a)>o,不滿足，反錯(cuò)誤;

對(duì)于。，令b=5Q,a>1,則g(0)=a>0,g(a)=-Q：'+aVO,滿足g(0)g(a)<0,。正確；

對(duì)于。，令b=4a。a>2,則g(0)=4a(a—1)>0,g(a)=-a(a—2下V0,滿足g(O)g(a)VO,。正確；

故選：ACD.

10.(25—26高三上?重慶?開(kāi)學(xué)考試?多選)己知函數(shù)/(①)=(。-2)/+2,gQ)=8-21rl々，則()

A.宜線g=/(c)是曲線y=g(c)的切線

B.曲線g=g@)有唯----條垂直于直線g=/(c)的切線

C.曲線j=g?)有唯一一條平行于直線9=/Q)的切線

D.當(dāng):rE(1,+8)時(shí)，/(x)<g(x)

【答案】460

【詳解】選項(xiàng)，g?)=ex-2lnx的定義域?yàn)?0,+m),

gl(x)=e1-2,顯然g'(x)=e，-2在(0,+oo)上為增函數(shù).

xx

設(shè)切點(diǎn)為(cod1—21nc()),則e-——=e-2,解得的=1,

故切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e),切線方程為y—e=(e—2)(c—1),即y=(e-2)a:+2,

所以/(⑼=(e-2)x4-2是曲線g=g(c)的切線，4正確，。錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)為(如鏟一21n珀,則e皿——=一一二，

為e—2

令Q(i)=ex——H---二，顯然Q(C)=ex——H---二在(0,+co)上單調(diào)遞增，

xe—2xe—2

又q(：)=U—6+七<0兇(1)=@-2+心>0,

e—ze—z

由零點(diǎn)存在性定理得，存在唯一的電￡使得q(為)=0,

鼓曲線y=g(x)有唯----條垂直于直線g=/(c)的切線，JB正確：

0選項(xiàng)，令八(re)=/(x)—g(x),xG(1,4-oo),

貝J拉(啰)=(e-2)x+2—e2+21nx,x6(1,4-co),

8]hr(x)=e-2—ex+—，顯然拉'Q)在二W(1,4-oo)上單調(diào)遞減，

又"(1)=0,故〃(i)VO在(1,I8)上恒成立，

故八(①)=(c-2)二+2—c，+2]n/在/6(1,4-co)上單調(diào)遞減，

又/i(l)—(e—2)+2—e=0,

故當(dāng)a:￡(1,+8)時(shí)，拉(％)=fix)—g(x)<0,f(x)<g(x),。正確.

故選：ABD

11.(2025?河北邯鄲?一模)已知函數(shù)/(/)=爐一2d一54,則曲線2/=/(乃在點(diǎn)(一1,。/(一1))處的切線方程

為.

【答案】y=2rr+4

【詳解】/'3)=3X2—4x—5,

所以切線的斜率為k=/'(-1)=3+4—5=2,

/(-1)=-1-2+5=2,

所以g=/(①)在點(diǎn)(一1,。/(—1))處的切線方程為y—2=2(^+1)，即沙=2%+4.

故答案為：g=2:r+4.

12.(25-26高三上?上海?開(kāi)學(xué)考試)曲線夕=!平行于直線y=-x的切線方程為

X-------

【答案】y=—⑦+2或夕=—⑦—2

【詳解】設(shè)平行于直線g=—1且與曲線U=L相切的切點(diǎn)為fx(b—),

X\x()/

由f(x)=一十，可得曲線g=9在卜0,吉)點(diǎn)處的切線斜率為r3。)=一點(diǎn)，

由切線與直線一％平行，得一1=一17,解得的=±1,

蛻

當(dāng)?)=1時(shí)，切點(diǎn)為(1,1),此時(shí)切線方程為y-1=—[x—1),即g=-c+2;

當(dāng)xn=-l時(shí)，切點(diǎn)為(―1,—1),此時(shí)切線方程為y+1=-Q+1),即9=一4—2,

故所求切線方程為y=—x+2或y=—x—2.

故答案為：g=—x+2或g=-x—2

13.(24—25高二下?山東濟(jì)南?期末)過(guò)點(diǎn)(0,o)可以作曲線/(0=Z的三條切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

：【答案】"),4)

\e7

；【詳解】設(shè)點(diǎn)。向，認(rèn))為曲線/⑺=三上的一點(diǎn)，則/(x0)=今,

?ee

Q...............

又由r3)=上竺，所以r(c.)=上空，即切線的斜率為k=上包，

exeXuex"

所以曲線/(x)在點(diǎn)PQo,%)處的切線方程為夕一曳=土&(x-%)，

e叼eXfl

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0?),可得Q—電=上3(0—竊)，即Q=W,

e的e10er"

令拉(0=/,可得"(/)=署*=述*,

exOe

當(dāng)cV0時(shí)，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)0<1<2時(shí)，"(①)>0,九(w)單調(diào)遞增：

當(dāng)2>2時(shí)，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

則當(dāng)①=0時(shí)，九(⑼取得極小值拉(0)=0,當(dāng)1=2時(shí)，力(①)取得極大值拉(2),

e-

又因?yàn)锳,(—1)=e>-^-=九(2),

e.

當(dāng)々>0時(shí)，拉(化)=>0恒成立，且CT+CO時(shí)，/，(/)->0,

e工

作出函數(shù)g=/i(c)的圖象，如圖所示，

當(dāng)0VaV3時(shí)，函數(shù)似切=—的圖象與直線g=a在區(qū)上有3個(gè)交點(diǎn)，

e-ex

印過(guò)點(diǎn)(0,Q)的切線有3條，所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍為(0,4).

14.(24—25高二下?廣東廣州?階段練習(xí))已知函數(shù)/Q)=ax2+bx+C(QW0)與g(x)=x3+ax的圖象都過(guò)

點(diǎn)(1,0),且在點(diǎn)(1,0)處有公切線.

(1)求/(c),g(c)的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)(1,0)處的公切線方程：

(3)過(guò)點(diǎn)(0,1)作曲線"=/(⑼的切線,使切點(diǎn)P在第三象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)/(%)=-x2+4x—3,g(x)=x3—x

(2)y=2x—2

(3)P(-2,-15)

【詳解】⑴由已知可得得Q=-l,b+c=l,

U+Q=O

則/3)=-x2+brc+c,gQ)=x3—x,f\x)=—2x+b,g'(x)=3a;2—1.

又在點(diǎn)(1,0)處有公切線，故可得『(1)=g〈l),；

即-2+b=2,得b=4,則。=-3,；

所以/(e)=—N4-4rr—=rr3—7：.

.............6

⑵由⑴知,r⑴=2,所以點(diǎn)(1,0)處的公切線方程為g=2Q—1),即y=2c—2.

,

(3)設(shè)切點(diǎn)為。(須|,枷)，則切線的斜率為k=f(x0)=-2x0+4,

故(喑二一2-4，解得卜亭或上二：，

［jo=—就+4為—3("()-15

又點(diǎn)尸(割,物)在第三象限，故解得{：；二二；5，即尸(-2,T5).

15.(2025?1=1.肅金昌?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(c)=sinc,gQ)=產(chǎn)(aGR).

亡+Q

⑴當(dāng)Q=4時(shí)，求gQ)在(0,4］上的值域；

(2)證明：曲線y=/(c)與y=g(①)在點(diǎn)(0,0)處存在公切線.

【答案】(1)(0」］;

(2)證明見(jiàn)解析.

【詳解】⑴若Q=4,則g(c)=-^■，得g<z)=，①￡(0,4］

d+4(a2+4y

令4(0=0,解得劣=2,

所以當(dāng)(0.2］時(shí).~3)>0.則g(c)單調(diào)遞增,

當(dāng).W(2,4］時(shí)H3)V0,則。㈤單調(diào)遞減,

所以當(dāng)c=2時(shí)，ff(x)有最大值，g(2)==1,

乙"lT：

當(dāng)c=0時(shí),g(0)=怒4=0,當(dāng)0=4時(shí),<7(4)=微等=4，

故g(x)在(0,4］上的值域?yàn)?0,1］.

⑵證明：由/Q)=simr,得/'(①)=cosa,則,f'(0)=1,

又/(0)=0,故f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.

同理，由g(c)=號(hào)一,得g'⑺=,則。'⑼=1,

x-+a(x2+a)-

又g(0)=0,故g(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x,

所以/(c)與g(c)在(0,0)處存在公切線y=x.

16.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(乃=1-。111心?！晷?/p>

(1)當(dāng)Q=2時(shí)，曲線g=/(c)與曲線/(z)=一爐+山恰有一條公切線寸=-%+￡,求實(shí)數(shù)m與t的值；

(2)若函數(shù)九(c)=x—alnx——有兩個(gè)極值點(diǎn)~i,g(①iVg)且乂g)一九(刈)>—2，求。的取值范圍.

xe

【答案】⑴M=V，￡=2

⑵

【詳解】(1)解：當(dāng)a=2時(shí)，/(%)=i—21nz,可得f'(x)=1——,

x

令((0)=1—2=—1,可得劣=1,

X

又由/(I)=1,所以切點(diǎn)(1,1)在直線g=—/+￡上，則￡=2,

因?yàn)?=一〃+7幾，所以式=—2/,令"=-1,則1=},

在直線g=-x+2方程中，令化■，可得g=

又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線g=-x2+m上，所以m=

⑵解：函數(shù)h(x)=x—alnx一!，可得h'(x}=1——4-二=①一隼。](x>0),

xxx2x2

x\+x2=a

由函數(shù)h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以/—QI+1=o有兩個(gè)不等正根，則《電；21

CL/

0<Xi<l<x2

由h(x)—九(①J=x—a\nx---為+a[nx+—

222XoxX\

gf二2+2,+^-)lng)-V,

(x2—xj+Q(lnci—Ing)+

XiX2

>4,

令g(c)=——x+(x+—)lna:(O<x<l),g'(x)i一1+(1一撲討+1+呆(1一奪1強(qiáng)>

XXX2

0,

所以g(⑼在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)間?)=e_1+已+e)X(T)=-f，

所以由---/J+(為+」-)1112]2一Z,可得J_&gVI,

\Xx/\x{fee

令函數(shù)rn3=%+人■,1￡,1),可得m'(%)=1—L=登二,<0,

2

cLe/xx-

所以mQ)在[Li)上單調(diào)遞成，可得7rM/)>Tn⑴=2,rn(o;)max=m(-)=e+—,

又因?yàn)閍=gH——，所以Q的取值范圍是(2,e+=].

17.(24—25高二下?河北邯鄲?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù):3)滿足/(乃=[r(0)-l]e，+/(0)e.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若/(⑼的一條切線I恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求切線，的方程；

(3)若曲線y=/Q+a)—a與?/=爐+1恰好存在兩條公切線，求。的取值范圍.

【答案】(1)/(C)=61+立

(2)夕=(e+l)c

(3)(-oo,21n2-2).

【詳解】(1)令c=0,則/(0)=[r(0)—1、°,解得/(0)=:(0)—1,

求導(dǎo)可得/(])=[/'(0)—1k工+/(0),令，=0,可得/(0)=1,

所以/'(0)=2,即fQ)=e，+N.

A,x;r

(2)設(shè)切點(diǎn)為(%e斯+g),則八&)=e+1,切線方程為y—e"-x0=(e"+l)(x—x0).

因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以一e?一處)=一例(儼+1),解得為)=1,?

故切線方程為g—c—1=(e+l)(c—1),即g=(e+l)c.

x+a

(3)y=/(C+Q)—a=e+x.

設(shè)直線2l：0=3￡+61/2出=無(wú)工+匕2,

..................................................................G

li與y=ex+a+x,y=x2+x的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(為，劭),(g,%)>

由0=。,+。+啰，求導(dǎo)得：yr=eIfa+1,在(2i,%)切線斜率為ex,+o4-1,

由y=c'2+c,求導(dǎo)得：式=2rr+1,在(憶2,統(tǒng))切線斜率為2g+1,

h=e'i+l=2g+l%>l),卜=ln(3-I)—%

貝"心點(diǎn)1+，=6皿+"+刈，可得<加2=&/，

Kig+b尸@+%［內(nèi)-1)32—0)=咫一種十°,

所以(品一1)(用］一ln(kLl)+Q)=~^U—(k1—1),整理得。=1!1(3-1)—笄1—1%>1).

l+a2

同理，當(dāng)直線l/.y=k2x+與與y=e+x,y=x+x的圖象都相切時(shí)，得a=ln(fc2-1)—與1—

1他>1).

故只需Q=ln(k—1)—"」—l(fc>1)有兩解.

令h(t)=lnt-l(t>0),則h'(t)=y-y=,

所以當(dāng)0VtV4時(shí)，〃⑹>0,當(dāng)t>4時(shí)，〃⑴VO,

所以拉(。在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,+8)上單調(diào)遞減，

則從川…=h(4)=ln4--1=21n2-2,

4

故Q的取值范圍為(一oo,21n2-2).

題型二恒成立求辦效問(wèn)題

18.(25-26高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))已知函數(shù)/小)=晝一(0,+oo),當(dāng)叫時(shí)，不等式

X

曲1<以頊恒成立，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為()

①2土1

A.(-co.e]B.(一8,e)C.(一0.)D.

【答案】。

【詳解】當(dāng)X2>3；!>0時(shí)，不等式V，(處)0電/(1])〈如汽電)恒成立，令函數(shù)g(c)

X)X\

0,

則函數(shù)g(c)=xf(x)=。]-a爐在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此W%>0,g'(i)=e，-2ax>0O2Q4e恒成立，

x

令函數(shù)九3)=邑,/>0,求導(dǎo)得》(名)=—―坐-

0X-

當(dāng)0V0Vl時(shí)，/i/(c)V0;當(dāng)]>1時(shí)，〃(c)>0,

函數(shù)八(°)在(0,1]上遞減，在[1,+8)上遞增，%(c)min=九⑴=e，則2a&e,解得,

所以a的取值范圍是(一8,1].

故選：。

19.(25—26高三上?四川綿陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)已知當(dāng)，>0時(shí)，女工-22>。+211世恒成立，則實(shí)教。的取值范圍

為()

A.(—co,l]B.(—co,2+21n2]C.(-oo,21n2]D.(—co,2—21n2]

【答案】。

【詳解】設(shè)/(。)=xeT-21nx—2x=elna:+x—2(lnrr+3；),則f(x)>a對(duì)任意rrW(0,+8)恒成立，

設(shè)￡=Ini+c,則￡ER,且f(x')=e'一2%

f

設(shè)g(t)=e—2tt則g，(t)=e*—2,

所以g(1)在(—8/n2)上是減函數(shù)，在(ln2,+8)上是增函數(shù)，

所以g&),g(ln2)=2-21n2,

所以g(t)的最小值為2—21n2,即/⑸的最小值為2—21n2,

所以a02—21n2.

故選：。.

20.(24-25高二下?黑龍江?期中)函數(shù)/⑸=(g一3)(ln/—b),若/⑸>0恒成立，則磯b+1)的取值范圍

是()

A.(一co,。3]B.(0,03e]C.[3,04-co)D.(-co,°e]

【答案】n；

【詳解】由題意，:

在/(乃—(ax-3)(lnx-6)中，若f(%)-0恒成立,

...............0

設(shè)QC—3=0的解為％=二，此時(shí)\nx—b=0需同時(shí)成立，

a

：.Inf—)=b,解得：b=ln3—Ina,

'Q/

Q

a(b4-1)=a(ln3—Ina4-1)=aln—+a,

a

令2=3,則Q=?,

at

Qq

a(b4-1)=aln—4-a=—(lni+1),

at

在gQ)=嗎+D中，g，(t)=一誓，

令。'⑴=0,得力=1,

當(dāng)g\t)V0即t>1時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,

當(dāng)g，⑶>0即OV￡V1時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

???函數(shù)在1=1處取最大值，g(f)max=g(l)=3義(1：1+1)=3,

a(b+l)=g(t)<3,

故選：A.

21.(24—25高二下?江西上饒?期末)已知函數(shù)/(rc)=az+2b,g(rc)=ln(x+2),若對(duì)Vc>-2,不等式/(c)

2gQ)恒成立，則立的最小值為()

a

A.4B.2C.—D.e

2e

【答案】A

【詳解】由f(x)>g(x),得fQ)-g(x)>0,

令h(x)=/(/)-gQ)=ai+2b—lnQ+2),即對(duì)Vrc>—2,hQ)>0恒成立，

①若aVO時(shí)，當(dāng)CT+OO時(shí)，拉(z)趨向負(fù)無(wú)窮，不滿足條件；

②若a>0時(shí)，則hf(x)=a----二，

c十2

令(p(x)=h\x)=a-.；2，得“(2)=(；2)2，則>0恒成立，

所以九'(c)在(一2,+8)上單調(diào)遞增，

令h!(x)=0,解得x=——2,且——2>—2,

所以當(dāng)啰€(—24一2)時(shí)，加⑶V0恒成立，所以無(wú)⑸單調(diào)遞減，

當(dāng)工€(工一2,+00)時(shí)，忖⑺>0恒成立，所以h(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)①=工一2時(shí)，函數(shù)九(口取得最小值，

CL

貝］h(x)>/i(x)mjn—/if——2)=a(工—2)+26—111((』—2)+2)=1—2a+2b+Ina>G,

aaci

整理得2b>2a—1-Ina,即上■二1一上普i,

a2a

令m(a)=l一上空處，則館'(。)=警，令館'(Q)=￥S=。，解得Q=1,

/Q2cr2a~

所以當(dāng)(0,1)時(shí)，？n'(Q)V0,ni(a)單制遞減，

當(dāng)a€(1,+00)時(shí)，rn\a)>(),rn(a)單調(diào)遞增,

當(dāng)a=1時(shí)，771(a)取得最小值，即771(1)=-y,

繪上所述，工的最小值為與.

故選：A.

22.(24-25高二下?廣東深圳?期末)已知函數(shù)/3)=^+6-=+."—2,/3)20在/?上恒成立,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

A.(-oo,o()]B.[-1,0]C.[-1,+切D.[0,0+00)

【答案】C

【詳解】因?yàn)?(—z)=e~+e，+a(—if-2=/(x),

所以『3)為偶函數(shù)，只需考慮即可，

因?yàn)閒(x)=ex+e~x+ax2-2

所以/'(c)=e1—e-1+2ax,

設(shè)g3)=ex—e~x+2ax,

貝Ig'(￡)=ex4-e~x+2a>24-2a,

當(dāng)a>一1時(shí)，g@)>0,所以g(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增，

f(x)=g(x)>g(0)=0,所以f(七)在[0,4-oo)上單調(diào)遞增,

所以/3)>/(o)=o,

所以a>-1符合題意，

取0=一8,此時(shí)/(0=e，+ef-8d一2,則/⑴=e+^-10V0,0=—8不合題意，4不正確，

e

綜上所述，實(shí)數(shù)Q的取值范圍是[—1,+8),

故選：C.

23.(24—25高二下?江西?期末)若對(duì)任意xG(0,4-oo),lgx<QC,則a的取值范圍是()

A.(喈',+8)B,(《，+8)C,(需+8)D.(等，+8

【答案】。

【詳解】由對(duì)任意I€(0,+co),lgcVar,得(思土),

'C'max

設(shè)上)=匣，則/⑸=就…=%也，

1X-X-

當(dāng)①€(0,e)時(shí)，rQ)>0JQ)單調(diào)遞增；

當(dāng)⑦當(dāng)(e,+8)時(shí)，/(c)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以/(x)</(e)=足，所以a>星.

ce

故選：。.

24.(25-26高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(c)=e-a〃,若對(duì)任意如為Wg,不等：

式,出)-/(切V為+物恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

Xr—X2------

.........畝

【答案】［晉一1,+8)

【詳解】設(shè)41>12,V如必€佶,2),電W配,—"電)V為+3

等價(jià)于/(X1)-f(X-2)V謂一卷，即/3J—X\</(x,)-x'i,

令g(x)=f(x)—x2=ex—ax~-x1,則g(ij<g(x)),

所以函數(shù)g(x)在(4,2)上單調(diào)遞減，

則不等式9'(0=曠一2(。+1)3：&0在(4,2)上恒成立，

即不等式—42(Q+1)在(.,2)上恒成立，令h(x)——txEd，2),

貝］"(%)=e3,，”,令h'(x)VOngVcVl,令hr(x)>0=>1<x<2,

x22

所以函數(shù)“4)在(y,i)上單調(diào)遞減，在a⑵上單調(diào)遞增，

又從卷)=2Vefh(2)=>，且2Ve<備,

所以月~V2(a+1),解得a)鼻—1,

24

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［與一1,+8).

故答案為：［1一1,+8).

25.(24—25高二下?江蘇南京?期末)己知函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為rQ)=吩一々一1,且函數(shù)/(c)的圖象經(jīng)過(guò)

(0,2)點(diǎn).若對(duì)任意一個(gè)負(fù)數(shù)c,不等式:砂VQ—/⑺+1恒成立，則整數(shù)。的最小值為

【答案】2

【詳解】由函數(shù)/(c)的導(dǎo)函數(shù)為『(①)=ex-x—1,所以設(shè)函數(shù)/(c)=c，-［?爐一x+c,

又函數(shù)/(c)的圖象經(jīng)過(guò)(0,2)點(diǎn)，代入/⑺，得2=心一:xO2-o+c,解得c=l,

所以f(x)=ex—■^x2—x+1,

因?yàn)閷?duì)任意一個(gè)負(fù)數(shù)1,不等式Ji?vQ-f(x)+1恒成立，印0Va—ex+^-x2+T,

得a>e］——①，％W(—oo,0),

4

構(gòu)造函數(shù)九(劣)=ex—~YX2—x,x6(-8,0),則"(n)=ex-—1,

42

令虱x)=?工―/=_1，則g'3)=e，-/,令/(郃)=0,解得4=—ln2,

所以當(dāng)aW(—00,—ln2)時(shí)，一(①)V0恒成立，即gQ)在(—co,—ln2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)/E(Tn2,0)時(shí),g\x)>0恒成立,即g(x)在(-ln2,0)上單調(diào)遞增，

JLg(Tn2)=:+-yln2—1=1氏］<0,g(0)=0,g(-2)>0,g(-l)<0,

所以存在比使g(g)=0,且一2Vi°V—1,

所以當(dāng)cW(一8,的)時(shí)，〃(％)>0恒成立，h(x)在(―oo,x())上單調(diào)遞增,

當(dāng).當(dāng)(%0)時(shí),h'{x)<0恒成立，h{x)在(xo,O)上單調(diào)遞成,

所以h(x)在c=g時(shí)取得最大值，為拉(須))=e""一:就一須)，

4

由〃(1o)=(),得到e^=^x0+l,

代入九(向)得到九(如)=e%一;就一g=-1■就-JR+1,￡O€(-2,-1),

44/

從而得函數(shù)似臉皿=九(竊)€(審,

由于0>拉(乃且a取整數(shù)，所以。的最小值為2.

故答案為：2.

26.(2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(1)=(ex—m)ln(a;4-n；，若f(x)20恒成立，則M+九的最小值為

【答案】2

【詳解】要使/(c)=(e1—m)ln(x+n)>0恒成立，需分情況討論：

當(dāng)ln(c+71)>0,即1+1,￡>1—71時(shí)，6/一77220,

即小《e土對(duì)二>1—n恒成立，所以M?e1-n.

當(dāng)ln(c+7i)=0,即c+?i=l,c=1—71時(shí)，/(c)=0,恒成立；

當(dāng)hi(4十〃)V0,即0V/十九<1,—fLVu;V1一〃時(shí)，tjH一,〃“W0,

即m》e，對(duì)—nVrcVl一九恒成立，

所以m>ei,

綜上，小=e”"，則771+九=e,-n4-n.

令。(九)=e1-n+n,

對(duì)。(九)求導(dǎo)，g'(n)=-el~n+1.

令g'(n)=0,即一e1f+1=0,解得九=1.

當(dāng)nV1時(shí)，g'(n)<0,g(n)單調(diào)遞減；當(dāng)九>1時(shí)，g\n)>0,g(n)單調(diào)遞增，

所以g(n)在n=l時(shí)取得最小值，g(l)=e°十1=2,

即771+71的最小值為2.

故答案為：2.

27.(25-26高三上?天津南開(kāi)?開(kāi)學(xué)考試)若關(guān)于c的不等式aln(ax)<2e21在(0,4-oo)上恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為.

【答案】0Va<2e

【詳解】由題意得a>0,當(dāng)In(ac)<0,不等式aln(ax)<2e2r在(0,+8)上恒成立，

當(dāng)hi(ar)>0,不等式axln(ax)M2xe2r在(0,+co)上恒成立,

所以不等式d”(31n(az)&24c及在(0,+oo)上恒成立，

令/(。)=趾/，則不等式川n(ar)]</(2x)在(0,+8)上恒成立，

因?yàn)椤?c)=3+1)6工>0,所以f(x)在(0,4-oo)上遞增，

所以In(ax)42①在(0,4-co)上恒成立，顯然In(ax)<0,不等式ln(ac)&2c在(0,4-co)上恒成立，

即Ina<2c—Inx在(0,+8)上恒成立，

令g(c)=2c—ln:r,則"⑺=2——=—―-,:

xx?

當(dāng)0VcV4時(shí)，"(0V0;當(dāng)J時(shí)，"(c)>0,

..........................................一

當(dāng)出=5