2025高一秋季數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},則A∩B等于（）A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|-1<x<1}D.?2.“x>1”是“x2>1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.若命題p:“存在x∈R,使得x2+x+1=0”,則命題p的否定“?p”是（）A.存在x∈R,使得x2+x+1≠0B.對(duì)任意x∈R,都有x2+x+1≠0C.對(duì)任意x∈R,都有x2+x+1=0D.不存在x∈R,使得x2+x+1=04.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.0D.-35.若函數(shù)g(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π,且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則φ的一個(gè)可能值為（）A.π/2B.π/4C.-π/4D.3π/46.“a>0”是“函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.不等式|2x-1|<3的解集是（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)8.函數(shù)h(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）A.2B.8C.-2D.4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）9.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x是A中的偶數(shù)},則集合A與B的并集A∪B=________.10.若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b=3且a2+b2=5,則ab=________.11.寫(xiě)出命題“對(duì)任意x∈R,都有x2≥0”的否定形式：__________.12.函數(shù)f(x)=cos(x-π/3)的圖象關(guān)于________對(duì)稱(chēng)（填直線(xiàn)方程）.三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）13.（本小題滿(mǎn)分12分）解不等式組：{2x-1>x+1{|x|≤314.（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)命題p:“存在x?∈R,使得sin(x?)=2”,命題q:“對(duì)任意x∈R,都有cos(x)<1”.（1）判斷命題p和命題q的真假；（2）寫(xiě)出命題“p∧?q”的形式，并判斷其真假。15.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2.（1）若f(x)在x=1處取得最小值，求a的值；（2）若對(duì)于任意x?,x?∈R,都有|f(x?)-f(x?)|≤4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。16.（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)g(x)=sin(x+π/6)+cos(x).（1）求函數(shù)g(x)的最小正周期和最大值；（2）若x∈[0,π],求函數(shù)g(x)的值域。17.（本小題滿(mǎn)分15分）用反證法證明：若a,b是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，則a,b不同時(shí)大于1/2.18.（本小題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|.（1）作出函數(shù)f(x)的圖象；（2）解關(guān)于x的方程|x-1|+|x+2|=k;（3）若函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y=t僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.B5.A6.A7.D8.B二、填空題9.{1,2,3,4}10.211.存在x∈R,使得x2<012.x=π/3三、解答題13.解不等式2x-1>x+1,得x>2.解不等式|x|≤3,得-3≤x≤3.故不等式組的解集為{x|2<x≤3}.14.（1）命題p:“存在x?∈R,使得sin(x?)=2”.由于sin(x)的值域?yàn)閇-1,1],所以不存在x?∈R使得sin(x?)=2.故命題p為假命題.命題q:“對(duì)任意x∈R,都有cos(x)<1”.由于cos(x)的值域?yàn)閇-1,1],所以存在x∈R(例如x=0)使得cos(x)=1.因此“對(duì)任意x∈R,都有cos(x)<1”不成立.故命題q為假命題.（2）命題“p∧?q”的形式為：“存在x?∈R,使得sin(x?)=2”且“存在x∈R,使得cos(x)≥1”.由于命題p為假命題，且命題q為假命題，則?q為真命題.但是，一個(gè)合取命題(p∧?q)為真，當(dāng)且僅當(dāng)p和?q都為真。由于p為假，所以p∧?q為假命題.15.（1）f(x)=x2-2ax+2是二次函數(shù)，其圖象為拋物線(xiàn)，開(kāi)口向上.對(duì)稱(chēng)軸方程為x=a.若f(x)在x=1處取得最小值，則對(duì)稱(chēng)軸x=a必須經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,f(1)).對(duì)稱(chēng)軸x=a即x=1,所以a=1.（2）|f(x?)-f(x?)|≤4等價(jià)于-4≤f(x?)-f(x?)≤4.f(x?)-f(x?)=(x?2-2ax?+2)-(x?2-2ax?+2)=(x?2-x?2)-2a(x?-x?)=(x?+x?)(x?-x?)-2a(x?-x?)=(x?-x?)(x?+x?-2a).令t=x?-x?,則t∈[-∞,∞].需要滿(mǎn)足-4≤t(x?+x?-2a)≤4對(duì)任意的t∈[-∞,∞]恒成立。令h(t)=t(x?+x?-2a).當(dāng)x?+x?-2a=0時(shí)，h(t)=0,恒滿(mǎn)足-4≤0≤4.當(dāng)x?+x?-2a≠0時(shí)，h(t)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)。為使不等式恒成立，必須同時(shí)滿(mǎn)足：①h(t)的最大值≤4②h(t)的最小值≥-4考慮a的不同取值：若a>0,則x?+x?-2a的取值范圍是(-∞,2a]。此時(shí)h(t)在t→-∞時(shí)趨于-∞，不滿(mǎn)足恒成立。若a=0,則x?+x?-2a=x?+x?。h(t)=t(x?+x?)。若x?+x?=0，則h(t)=0。若x?+x?≠0，則h(t)單調(diào)。此時(shí)h(t)的最小值是0，最大值是+∞，不滿(mǎn)足恒成立。若a<0,則x?+x?-2a的取值范圍是(-∞,2a)。此時(shí)h(t)在t→-∞時(shí)趨于+∞，不滿(mǎn)足恒成立。若a=1,則x?+x?-2a=x?+x?-2。h(t)=t(x?+x?-2)。需要滿(mǎn)足-4≤t(x?+x?-2)≤4對(duì)任意的t∈[-∞,∞]恒成立。當(dāng)x?+x?-2=0時(shí)，h(t)=0,恒滿(mǎn)足-4≤0≤4。當(dāng)x?+x?-2≠0時(shí)，h(t)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)。為使不等式恒成立，必須同時(shí)滿(mǎn)足：①h(t)的最大值≤4②h(t)的最小值≥-4考慮a=1的情況：x?+x?-2的取值范圍是(-∞,2]。此時(shí)h(t)在t→-∞時(shí)趨于-∞，不滿(mǎn)足恒成立。所以，唯一滿(mǎn)足條件的a值是a=1。16.（1）g(x)=sin(x+π/6)+cos(x)=sin(x)cos(π/6)+cos(x)sin(π/6)+cos(x)=(√3/2)sin(x)+(3/2)cos(x)=√3/2sin(x)+3/2cos(x)=√3/2[sin(x)+√3/2cos(x)]=√3/2[2/(2)*(sin(x)+√3/2cos(x))]=√3/2[2*(sin(x)cos(π/3)+cos(x)sin(π/3))]=√3/2*2sin(x+π/3)=√3sin(x+π/3).函數(shù)g(x)=√3sin(x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π.當(dāng)sin(x+π/3)=1時(shí)，g(x)取得最大值√3*1=√3.（2）若x∈[0,π],則x+π/3∈[π/3,4π/3].在區(qū)間[π/3,4π/3]內(nèi)，sin(x+π/3)的取值范圍是[-1/2,1].因此，g(x)=√3sin(x+π/3)的值域?yàn)閇-√3/2,√3].17.假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)a,b同時(shí)大于1/2。則a>1/2且b>1/2。兩式相加，得a+b>1/2+1/2=1。兩式相乘，得ab>(1/2)*(1/2)=1/4。由已知a2+b2=1，且(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab。代入a+b>1和ab>1/4，得(a+b)2>1+2(1/4)=1.5。但根據(jù)a2+b2=1，有(a+b)2=1+2ab≤1+2(1/4)=1.5。這導(dǎo)致(a+b)2>1+2ab，即1>1+2ab，矛盾。矛盾說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤。故原命題成立：若a,b是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，則a,b不同時(shí)大于1/2。18.（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示為：當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1.當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3.當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1.因此，f(x)={-2x-1,x<-23,-2≤x≤12x+1,x>1函數(shù)圖象為：在x=-2處，f(x)=5；在x=1處，f(x)=3。在區(qū)間(-∞,-2)上，圖象為下降的直線(xiàn)y=-2x-1；在區(qū)間[-2,1]上，圖象為水平線(xiàn)y=3；在區(qū)間(1,+∞)上，圖象為上升的直線(xiàn)y=2x+1。（2）解方程|x-1|+|x+2|=k.分三種情況：①x<-2,-2x-1=k,得x=(-k-1)/2.需要(-k-1)/2<-2,即k>3.②-2≤x≤1,3=k.需要k=3.