立體幾何解答題（8大題型）

目錄

01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基.......................................................1

02題型精研?技巧通法提能力.......................................................5

題型一求空間異面直線夾角.................................二............"..............5

題型二求直線與平面的夾角..............................................................15

題型三求平面與平面的夾角..............................................................24

題型四求空間中的距離...............................................................34

題型五求空間幾何體的體積..............................................................39

題型六翻折問題........................................................................50

題型七動(dòng)點(diǎn)存在性問題的探究............................................................58

題型八立體幾何新定義問題..............................................................70

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)-分層突破驗(yàn)成效......................................................80

檢測(cè)I組重難知識(shí)鞏固....................................................................80

檢測(cè)II組創(chuàng)新能力提升..................................................................109

01

知識(shí)重構(gòu)-重難梳理固根基

一、空間中的角

1、異面直線所成角

①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線6'〃〃，把。'與加所成的銳角（或直角）

叫做異面直線4與8所成的角（或夾角）.

②范圍：（0，y]

③求法：

1）平移法：將異面直線。，〃平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

2）向量法：設(shè)異面直線4和4所成角為其方向向量分別為i，V；則異面直線所成角向量求法：①

一一II?V——

cos<",V>=一一（2）cos。=|COS<W,V>|

|w||v|

2、線面角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范I韋I：[0,―]

③求法：

1）常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)8做88'_L平面a,交平面a于點(diǎn)工：連接力",則N848'即為直線48與平面a

的夾角.接下來在應(yīng)中解三角形.即sin/胡8'=蛉（其中人即點(diǎn)4到面a的距離，可以

AB斜線長(zhǎng)

采用等體枳法求/?，斜線長(zhǎng)即為線段48的長(zhǎng)度）；

2）向量法：設(shè)/為平面。的斜線，Z為/的方向向量，[為平面。的法向量，0為/與。所成角的大小，則

（1）定義：一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角

（2）范圍：0。464180°

（3）求法，傳統(tǒng)法5個(gè)+向量法

①定義法

在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖

在二面角a-/_〃的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足，分別在半平面a和尸內(nèi)作垂直于棱的射線04和08,

則射線Q4和08所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于

求兩條異面直線的夾角即可）.

Oi

②三垂線法

在面a或面〃內(nèi)找一合適的點(diǎn)/,作/O，夕于O,過/作力81c?于8,則80為斜線AB在面夕內(nèi)的射影,

480為二面角a-c一夕的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)力，作力01夕于O；

②過點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過力作力8_Lc于3,連接4。；

③計(jì)算：480為二面角a-c-0的平面角，在R/Z\480中解三角形.

③射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公

式（cose=&=2"C,如圖2）求出二面角的大??；

S科S.ABC

④補(bǔ)棱法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)

棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，也可直接用法三的射影面積

法解題.

⑤垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面

角的平面角.

⑥向量法

設(shè)標(biāo)是二面角a-l-0的兩個(gè)當(dāng)平面的法向量，

若二面角為銳二面角（取正），則cos0=|cos<%,〃2>1；

若二面角為頓二面角（取負(fù)），fflcos6>=-|cos</?!，/?,>|；

（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是

鈍二面角.）

二、空間中的距離

1、點(diǎn)線距

己知直線/的單位方向向量為4是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn).設(shè)而=￡,則向量后在直線/

上的投影向量力。，在R/AJP。中，由勾股定理得：PQ=|2_|~XQ|2=yja1-(ci-u)2

2、點(diǎn)面距

如圖，己知平面a的法向量為4是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面。的垂線/,

交平面。于點(diǎn)。，則［是直線/的方向向量，且點(diǎn)月到平面。的距離就是不在直線/上的投影向量詼的

3、線線距

設(shè)兩條異面直線〃的公垂線的方向向量為萬，這時(shí)分別在。，〃上任取4,8兩點(diǎn)，則向量在萬上的正射

影長(zhǎng)就是兩條異面直線。，b的距離.則"=1萬,￡1=尊空即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上

I〃II川

分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.

4、線面距和面面距：一般轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距

02

題型精研-技巧通法提能力

?題型一求空間異面直線夾角?

【技巧通法?提分快招】

泵異面直線麗晟鬲二艇步面

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線.

（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

/■

（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角夕的取值范圍是0,-,所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面

I2」

直線所成的角.

2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法

（I）直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；

（2）中位線平移法；

（3）補(bǔ)形平移法（在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線）.

3、異面直線所成角：若晨%分別為直線4%的方向向量，。為直線44的夾角，則

-----|」?無|

cos0-cos<〃”〃，>二，二,

W1〃2

1.如圖1,四邊形45c。為邊長(zhǎng)為2的菱形，乙48。=60'，PB=PA=3,"為48的中點(diǎn)，將△218沿48

邊折起，使PC=2JJ，連接尸。，如圖2.

（1）證明：ABtPC；

（2）求直線BD和PC所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（I）根據(jù)給定條件，連接利用線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.

（2）連接8OnCM=E,在PM上取點(diǎn)產(chǎn)，使M/=gpM,可得為異面直線所成的角，再利用余弦

定理求解即可.

【詳解】（1）連接PM,4C,由菱形/BCO內(nèi)角//BC=60。，得△力BC是正三角形，

山M為力笈的中點(diǎn)，得OV/_L加，山依=&=3,得尸M工43,

而門必口。W=”,尸加,（7“<=平面尸?！?，則力8，平面尸。也，又PCu平面PCM,

所以4?J_PC；

(2)連接8OPICM=E,則七為正義8C的重心，ME=-CM=-BCsin60^=—,

333

在PA/上取點(diǎn)尸，使M尸=lpM=1j尸82-8^2=辿,則空=皚=［，

333PMCM3

EFUPC,EF='PC=^~，

「是4BEF是直線BD和PC所成角或其補(bǔ)角,

在ABE/中，BE=—,BF=>jBM2+MF2=—

33

苧+（竽「受7

BE2+Ef2-BF2

由余弦定理得8$/4月/=

2BEEF~~2x空x還一二

33

7

所以直線BD和PC所成角的余弦值為力.

2.如圖，在三棱錐力-8CO中，8C_L8,N8Z）C=60。，M是力。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸,。分別在線段8,%ZC上,

且3P=2PW,/0=2QC.

A

⑴求證：夕?！ㄆ矫?CQ；

(2)求異面直線BC與尸。所成角的大小.

【答案】(I)證明見解析

(2)30°.

【分析】(1)法一：在線段用。上取一點(diǎn)E,使得BE=2ED,連接尸石，可證四邊形尸E尸。為平行四邊形，

進(jìn)而得??！ㄋ?，可得結(jié)論；

法一：連接/P并延長(zhǎng)交皿于點(diǎn)M.連接NC.利用中位線定理可得PQ//NC,可證結(jié)論：

(2)法一：設(shè)。。=，則延長(zhǎng)￡凡班?交于點(diǎn)，，可得即為異面直線與P。所成的角,

求解即可.

法二：由(1)可得N5CN即為異面真線8c與P。所成的角，逆而求解即可.

【詳解】(1)法一：如圖，在線段50上取一點(diǎn)E,使得BE=2ED,連接尸E.

22I1

由己知8尸=2PM得，且尸￡=一歷。=一又一力。二一力。.

3323

在線段CD上取一點(diǎn)尸，使得。尸=2/C,連接產(chǎn)區(qū)。尸.

由已知力Q=20C得。尸〃力。，且0「二；4。，

所以PE=0F,且PE//QF,因此四邊形?勿'。為平行四邊形，

所以PQ〃EF,又產(chǎn)。(2平面4CQ,平面6CQ,所以P?！捌矫?CQ.

法二：如圖，連接/P并延長(zhǎng)交4D于點(diǎn)N,連接NC.

因?yàn)镸是4。的中點(diǎn)，且麗=2而，所以「是△力8。的重心，

所以N是8。的中點(diǎn)，AP=2PN,

又因?yàn)?Q=20C,所以PQ//NC,

又NCu平面8CQ,尸平面5c。，所以尸?！ㄆ矫?。。.

(2)法一：由8C_LCZ),N8Z)C=60。，不妨設(shè)CD=f,則M=2.

延長(zhǎng)EF,BC交于點(diǎn)、H,由(1)知，PQHEF,

如圖，則/月即為異而百線8C與尸。所成的角.

所以SE/7為等邊三角形，即NEF0=NCP〃=6O。，從而NBHE=30。,

即異面直線8c與PQ所成角的大小為30。.

法二：由(1)知N是80的中點(diǎn)，目PQHNC.

則28CN即為異面直線與P。所成的角.

因?yàn)?C_LCANAOC=60。，N是的中點(diǎn)，所以△CZW為等邊?.角形，

從而4CV=30。，

即異面直線8C與P0所成角的大小為30。.

3.如圖，48為圓錐尸。的底面直徑，點(diǎn)C,。為底面上前的三等分點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別為產(chǎn)力，心的中

點(diǎn).

(1)證明：MV//平面尸CO；

(2)若48=4,PA=2五,求直線4C與8W所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵亞

20

【分析】(1)證法一：連結(jié)OC,OD,由已知可證得△OC。為等邊三角形，則可得CD///8//MV,利用

線面平行的判定，即可得證；

證法二：連結(jié)OC,OD,取CZ＞中點(diǎn)Q,連結(jié)。。，OP,以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)08=2,

PB=2五，可得加=(0,2,0),求得平面PCZ)的一個(gè)法向量訪=(2,0,-6),可得言.赤=0，即而1加,

即可得證；

證法三:同證法二建立空間直角坐標(biāo)系,可得而=(0,2,0),荻=(0,2,0),則得詼〃麗，進(jìn)而得CD//MN,

利用線面平行的判定，即可得證；

(2)解法?：同(1)中證法二建立空間直角坐標(biāo)系，可■求得蕉=卜百,1,0),麗=(0,-3,1),利用坐標(biāo)

運(yùn)算即可求得直線AC與BM所成角的余弦值；

解法二：連結(jié)C8,由余弦定理可得4c2=12，則8c2+/。2=力4，由勾股定理的逆定理可知8CJ.4。,

__,(3)

以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，可得衣=(2,0,0),=再利用坐標(biāo)運(yùn)算即可求得直

線4c與創(chuàng)/所成角的余弦值；

解法三：連結(jié)。c,連結(jié)OP,可取｛6i,反，而｝為空間中的一個(gè)基底，利用向量線性運(yùn)算可得

I——I)——IL,.AC,BM

ACBM=-3^/。=2.BM=W,設(shè)異面直線與a，W所成角為6,由cos。=』」計(jì)算即可

111AC^BM

得到直線AC與BM所成角的余弦值；

解法四：連結(jié)OC，OQ,可得ACHOD,取4Vp打點(diǎn)E,連結(jié)OE,則OEI/BM,則直線力C與8W所

成角即為/￡0?；蚱溲a(bǔ)角，在A/O石中，由余弦定理可求得OE,過點(diǎn)、E作EF//OP,交,連結(jié)

FD,ED,可求得ED在近OE中,由余弦定理即可求得直線力C與剛/所成角的余弦值.

【詳解】⑴證法?：因?yàn)镸,N分別為尸力，尸3的中點(diǎn)，所以MN"AB,

連結(jié)OC,OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為力的三等分點(diǎn)，

所以Z.A0C=Z.COD=60,^OCD為等邊二角形，

所以NOCO=60=//。。，而以CDUAB/IMN,

又MNa平面PC。，CZ)u平面PC。，所以MN//平面PCQ,

所以N/OC=NCOZ)=60,，AOCD為等邊三角形，

所以NDCO=6(T=N/OC,所以CO//48,

取CO中點(diǎn)。，連結(jié)。。，。尸，則。01cO,OQLAB,OPl'Y^ABDC,

又,45u平面力8。。，所以。尸1,48,

設(shè)。8=2,PB=2C，則00=2,

以。為原點(diǎn)，。。，OB,。尸所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則￡>(-73,1,0),P(0,0,2),

所以定二卜右,-1,-2),CD=(0.2,0),

又點(diǎn)M,N分別為尸力，用的中點(diǎn)，則”(O,T,l),N(0,1,1),

A/iV=(0,2,0),

設(shè)平面PCO的一個(gè)法向量為折=(.q,%zj,

所以而.麗=(石，乂,zJ(0,2,0)=2乂=0,則必=0,

?

w/C=(x1,jrzl)-(->/3,-l,-2)=-V3x1-yl-2zl=0,

取』=2,z]=-75,可得玩=(2,0,一6)，

所以而?礪二0，即前上而，

又MN<z平面P。，CZ）u平面P8,所以MN//平面PCD,

證法三：連結(jié)OC,0D,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為余的三等分點(diǎn)，

所以N4OC=NCOQ=6（r,△OCD為等邊三角形，

所以ZDCO=60=N/OC，所以CD//AB,

取CO中點(diǎn)。，連結(jié)。。，OP,則O0_LC。，OQLAB,。尸J.平面力〃。。，

所以O(shè)P_L48,又04=2,PB=26，則0尸=2,

以。為原點(diǎn)，。0，05,OP所在的直線為人，V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則6,一1,0）,D（-V3,l,0）,M（0,-l,l）,D（0,l,l）,

所以麗二（0,2,0）,MV=（0,2,0）,

則麗=加，所以加//礪，由四點(diǎn)不共線，易得CD//MN,

乂A/N<z平面PC。，CDu平面尸S,所以MN//平面PCQ.

（2）解法一：取CO中點(diǎn)。，連結(jié)OP,則。。_LC。，00A.AB,

。尸_L平面月HOC,又月3u平面力C,所以。尸"L//8,

乂。8=2,PB=2g,則O0二2

以。為原點(diǎn)，。。，OB,O尸所在的直線分別為X,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。卜6,7,0）,4（0,—2,0）8（0,2,0）,M（0,-1,1）,

所以就=卜石,1,0）,B；W=（0,-3,l）,

|力。則33M

設(shè)異面直線力C與AW所成角為/則cos〃=

|jC||BA7|-2xVw_20

即直線力C與BM所成角的余弦值為題.

20

解法二：連結(jié)CB,^AOC=60\△。力。為等邊三角形，所以NCO=6（T，

在小川?。中，由余弦定理可得

BC2=AC2+AB2-2ACAB-COS60°=22+42-2x2x4xl=12,

2

則8c2+402=48，由勾股定理得逆定理“J知1AC,

過點(diǎn)C作直線因?yàn)?。尸，平?8。。，所以/J.平面43OC,

以C為原點(diǎn)，CA,C8所在的直線為*,V軸，/為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

C(0,0,0),力(2,0,0),8(0,2jJ,0),

所以衣一（2,0,0）,西=

TCBM33后

設(shè)異面直線4C與3M所成角為4則cosO=

兩網(wǎng)-2x710-20

即直線AC與BM所成角的余弦值為處.

20

解法三：連結(jié)。C,因?yàn)辄c(diǎn)c,D為；B的三等分點(diǎn)，所以//oc=6（r,

連結(jié)O尸，貝IJO/JL平面48OC,所以。尸Oh04,OP±OC,

乂。8=2,PB=2歷'則O尸=2,

?。f，瓦，而｝為空間中的一個(gè)基底，可得：Op.O4=0,OPOC=0,

OAOC=2x2xcos60=2，

又就=灰-8,BM=OM-OB=^OA+^OP+OA=^OA+^OP.

JC-5A7=（0C-O4）^|a5+1<7P^=|x2+O-|x22-O=-3,

所以|可=^oc-OA^=22+22-2x2=4,

甌2=（：5+；麗）=1X22+-JX22+0=10,

所以|阿二2,|麗卜布，

ACBM3_3如

設(shè)異面直線AC與8H所成角為，.則|cs0|=

同的一2x加一20

即直線4c與BM所成角的余弦值為巫,

20

解法四：連結(jié)。。，OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為力的三等分點(diǎn)，所以N/OC=NCOQ=6（r,

△JOC為等邊三角形，所以N4CO=6（T=NC。。，所以力C//OZ）,

取,4歷中點(diǎn)E,連結(jié)OE,所以0E為zUZM/的中位線，OENBM,

所以直線力C與BM所成角即為NEOD或其補(bǔ)角，

乂OPJ.平面48OC,所以O(shè)P_L/I8,

又。8=2,PB=2五，

則0P=2=",ZPAO=45°，

在△4OE中，由余弦定理可得

V2=5

OE2=AE2-^A02-2AEAO-cos45°+22-2X

~T~2

過且E悍EFUOP,交力8于尸，連結(jié)E0,ED、則"'_L平面4BOC,

在DOE中，由余弦定理可得

OErOD'-ED?

cosZEOD=

20E0D

所以直線—所成角的余弦值為嚼

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在以44,C,"瓦尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形48C。與四邊形COM

均為等腰襟形，ABHCD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4、AD=BC=M、AE=2不，M為CD

的中點(diǎn).

AB

EF

（1）證明：平面4BCD上平面CDEF；

（2）沒點(diǎn)N是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，而.麗=0,當(dāng)線段4V的長(zhǎng)最小時(shí)，求直線EN與直線8廠所成角的余弦

值.

【答案】（1）證明見解析

喈

【分析】（1）取。"的中點(diǎn)為O,連接O4OE,即證4O_LOE,4O_LDH,EO_LQM,利用面面垂直的判

斷定理即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量的數(shù)量積為0,確定N的軌跡，再由最小值確定其位置，得其坐標(biāo)，最

后由利用夾角公式即可求解.

【詳解】（1）取的中點(diǎn)為O,連接。4。后，

由AEMD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，/\ADM是以4。=4M=8。=J記的等腰三角形，

所以,OD=-DM=l,DE=2,

所以C4=，力0]-。。：=3,OE=dDE2-OD2=G，所以《。2+?！?=月〃2,

所以041OEQEcDM=O,OEu平面CDEF,DMu平面CDEF,

所以。4_1_平面。?！?"又04u平面力BCD,所以平面/14CQ二平面COM；

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。瓦。。,。力為工，乂z釉建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以4（0,0,3）,七（石,0,0）,"（0』,0）,8（0,2,3）,尸（6,2,0）,

當(dāng)點(diǎn)N是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且而?麗7=0，則點(diǎn)N在以DW為直徑的圓上,

當(dāng)線段4V的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)N在/（O與圓的交點(diǎn)處，所以N（0,0,l）,

所以麗=（々5,0,1）,而=（行,0,-3）,

設(shè)直線可與直線所成角為，，

所以8s啊8S例麗〉|=1貓邛,

所以直線EN與直線BF所成角的余弦值為正.

?題型二求直線與平面的夾角?

【技巧通法?提分快招】

□丁靠殘法錄-紙而扁一（相禰直接族一）二j

|（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A,過點(diǎn)A向平面。做垂線，確，

II

，定垂足o；i

,i（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影B0與斜線AB之間的夾角為線面角；j

1（3）把投影B0與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

口、公式法求線面角（也稱等體積法）：

：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解.

II

I公式為：$加2,其中。是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長(zhǎng)，/是斜線段的長(zhǎng).

II

1方法：已知平面夕內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S,它在平面。內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，!

Ii

!平面a和平面廣所成的二面角的大小為。，則COS吟與這個(gè)方法對(duì)于無棱二面角的求解很簡(jiǎn)便.J

Ii

：3、直線與平面所成角：設(shè)E是直線/的方向向量，值是平田。的法向量，直線與平面的夾角為依則:

Isin。=cos<

I.如圖I,有一邊長(zhǎng)為2的正方形紙片力BCQ,正是4。邊中點(diǎn)，將沿直線8E折起至/8E位置.，此

時(shí)恰好4EJ.HC,點(diǎn)H在底面上的射影為。（如圖2）.

（1）求證：EO1BC；

（2）求直線4C與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵4

2

【分析】（1）由題證明8cL平面HOE即可；

（2）延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)尸，則廣為8c中點(diǎn)，連接QT,可得△尸才后為直角三角形，△4BC為正三角形,

然后由等體積法可得答案.

【詳解】（1）由題有乂/fE_L4C,A'E^A'B=A',A'E,ABu

平面HAC,則/'E_L平面,AC,又8Cu平面4BC,則/'E_LBC.

因4在底面上的射影為O,則/。1平面8CDE,又8Cu平面BCQE,則/O_L〃C.

因4E,HOu平面HOE,/f￡n/l'O=H,可得8c_L平面HOE,又EOu平面4OE,則E0J,8C；

（2）延長(zhǎng)EO交8C于點(diǎn)尸，則尸為8c中點(diǎn)，連接4',由HE_LH8，

AELBC,易得△4'￡為直角三角形，/FAE=g

由對(duì)稱性知A/fBC為正三角形，所以4/=百，乂律=2

所以」HO.ERJ/NJE尸-］尸=>4。=且,NFEAJ.

2223

設(shè)點(diǎn)C到平面/8E的距離為力,4'C與平面/8E的所成角為尸,

11_.VJ11_,,

Krc^=-x-x2x2x—^.=-X-X2X1X/,

4cfflfJ47

因?yàn)閊C-A,BE=匕JC8E,所以力=V3,sin/?=—y—=?

圖7

2.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐尸-力〃。。中，底面48cz＞是邊長(zhǎng)為4的菱形,

C1

NBAD=T，4_L平面48CO,點(diǎn)、E為PC中點(diǎn)、，點(diǎn)F,G分別在棱PQ,力。上，且PFqFD,

JJ

AC=-GD.

（1）證明：AD1EF；

（2）汜三棱錐E-PEG與四楂錐尸-/8C。的體積分別為匕，匕，求?；

2

（3）若尸力=2,求直線E?產(chǎn)與平面P8C所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

哈裔

⑶嚕

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得/G_LM,利用余弦定理以及勾股定理可得G〃_L4D,進(jìn)而由線

面垂直求證得解，

（2）利用等體積法以及相似，即可由錐體的體積公式求解，

（3）建立空間直角空標(biāo)系，求解平面法向量，進(jìn)而利用向量的夾角公式求解.

【詳解】（1）因?yàn)橄?；尸。，.4G=gG。，所以尸G〃尸力，

因?yàn)楫a(chǎn)力_1_平面/4C力，所以尸G_L平面力AC力，

因?yàn)榱u平面力4CO,所以尸G_L/1。，

取力。中點(diǎn)〃，因?yàn)槠邽槭珻中點(diǎn)，所以E//〃PA,因此即〃FG,

則E,F,G,，共面，

因?yàn)樗倪呅瘟?CZ＞是邊長(zhǎng)為4的菱形，NBAD=?27,1

所以在△4G”中4G=I,47=2,/GAH.,

所以GH=，國(guó)+心-2/GX/Hxcos^=5故AG2+GH2=HH"

所以G〃J_/Q,

因?yàn)槭珿DG"=G,FG,GHu平面EFGH,所以力OL平面EFG”

因?yàn)镸u平面E尸G”,所以力Ol"\

113

(2)由PE=-PC,PF=—PD,GD=—AD,可得

244

匕=^F-PGE=—E-PGF=^C-PGF=］“彳^C-PGD

1133313

=8^=iX4^=5i^=^XIK2=Mr-

V.3

所以K

(3)取8C中點(diǎn)“，連接力M,由題意可得4W,AD,兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AM,AD,AP

所在直線分別為x軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則,4(0,0,0),5(2^,-2,0),C(2屈2,0),P(0,0,2),網(wǎng)魚1,1),尸［0，［'

\乙)

￡?=f-V3,0,ij,尤=(0,4,0),PC=(2>/3,2,-2).

HBC=O4y=0

設(shè)平面尸8。的法向量為萬=（x,y,z）,則有，_,得

iiPC=026工+2y-2z=0

取“百，得萬二（1,0,石），

設(shè)直線EF與平面PBC所成角為。,

1X(-V3)-FOXO+V3X1

\n-EF\屈

則"n°=同研=~^6~,

I2+02+

所以直線E戶與平面尸8c所成角的正弦值為返.

26

3.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱48。-44G中，底面48C是正三角形，A.AVBC,4c148.

4G

力?

B

（1）求證:AtA=AlB=AiC；

（2）若乙4/6=/44C=45°,且月3=2,求直線4a與平面力/田君所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵竽

【分析】⑴先證得點(diǎn)4在平面48。內(nèi)的射影。是△MC的中心，進(jìn)而證得44=48=4。；

（2）法一先作出直線"G與平面.44瓦8所成角，再解三角形即可求得該角的余弦值；法二建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量即可求得直線/G與平面/所成角的余弦值.

【詳解】（1）過點(diǎn)4作40,平面力8c于點(diǎn)。,8Cu平面48C,所以4OJ_8C,

又AA,1BC,AA,c4。=4,，40u平面A.AO,

5CJL平面44。,力。U平面444C1/。，

同理可證46_LCO，又△44C是正三角形，則。是A/IA。的中心，

連接40,CO并延長(zhǎng)交8C,AB于E,F,則E,產(chǎn)分別為8C,48的中點(diǎn),

又BC1平面AAO,AXEu平面440，：.BCLA}E,故A】B=Afi,

同理可證48=44，

綜上，4/=4B=/。.

（2）法一：由（1）知，三棱錐4-力8c是正三棱錐，

且4在底面ABC內(nèi)的投影為等邊△/4C的中心。，

乂jB=ZJ.JC=45°,故三棱錐4-44C的三個(gè)側(cè)面

均為直角三角形，

且//48=/84。=/力4。=90"則4七=444，又48=2,

222

可知40=氈,￡0=4，plijAfi=y]A]A-AO=yjA^-EO,

解得44=近，在平面4/CG中過G作GM"4C,

交,⑼延長(zhǎng)線「點(diǎn)M,則G"_L平面

則NC/M即為直線4G與平面力4q8所成角，其中

AG=M,A、A=HAM=2血,

“AM2J22J5

故cos/GAM=---=—==----

Vio5

AC}

即直線力G與平面力/￡8所成角的余弦值拽.

法二：以AC的中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以E/,E8為x,y的正方向,

過E且與平行的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面AA.B}B的法向量為萬=(x,y,z),

因?yàn)榉?(-6,1,0),刀;=

ABn=-y/3x+y=0

則一2辨V6“，取z=l，則萬

AA?〃=-----xH---z=0停當(dāng)

?}I

133

又JC]=AC+CCj=AAl+AC-

設(shè)直線4G與平面44與8所成角為。，Oe0,；,

所以sin/="|g|=16=。,故COS8=2^￡,

同卜G|55

即直線4G與平面AA.B.B所成角的余弦值半.

4.如圖所示，在菱形14。。中，48=4,/4/。=60。，瓦廠分別為力。,48的中點(diǎn)，EFC\AC=O,BDryAC=G,

將△/!"'沿E/翻折，使A到/處，VC=2瓜.

（1）證明：PCJ_平面小/；

（2）求形與平面ACDE/所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析

⑵手

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定，結(jié)合勾股定理逆定理推理得證.

（2）結(jié)合（1）的信息可得平面即CJ_平面法1,利用幾何法求出線面角的正弦；法2,建立空

間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線面角的正弦.

【詳解】（1）在菱形4?。。中，力8=4,/8%。=60。，則△歷為等邊三角形，VO=AO=5OF=\,

CO=3G，VF=AF=2,EF1AC,CF1=OF2+OC2=I2+（373）2=28,

于是P尸+/。2=22+（2布）2=28=。產(chǎn)，即少_LPC,

乂州+KC2=（V3）2+（2病2=27=CO2，則9_L仁，

而J午nJ/O=P,WJ￡u平面陽L所以PC_L平面陽L

(2)方法1：由/為等邊三角形，得POLEF,又七尸JL4C"CnPO=CWaCu'『|IiiPOC,

則EF±平面TOC,又EFu平面BCDEF,「是平面VOC±平面BCDEF,

在平面POC內(nèi)過/作陽J_/1C于〃，連接8”,又平面POCCI平面8CDE尸=4C,

因此J/"_L平面BCQE/7,NP8H為P8與平面BCDE/7所成先，

在RtA-OC中，由=得.」0,“?二乒》=2",

OC3V33

在中，OH=^VO2-VH

~T'

則GH=OG-OH=幣-@=Z氏,

33

在RL^BG〃中，BHnJm+BG?=五+（半）2=半,

在Rt△煙/中，VB=/*+BH?=J（乎廣+（乎＞=2&，

則sinZP8"=組=M=逅，所以“與平面BCDEF所成角的正弦值為由.

'VB27233

方法2：由△1//'為等邊三角形，得9_L￡F,乂即_14。,4。0r。=。,“),。。匚平面9。,

則E/_L平面POC,又EFu平面BCDEF,于是平面POC_L平面8COE/"

在平面VOC內(nèi)過P作陽J.4c于H,因此VH1平面BCDEF,

在RSPOC中，由心?■C=F7/?比，得1^=丫0"°=由乂乎=乙網(wǎng),

OC3V33

在Rt△丸歸中，OH=WO2-VH2=J(百/一(鳴2=6,

V33

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，宜線?！辍?。分別為'J軸，垂直于底面BCDEF\MmOz為z軸建立空間坐標(biāo)系,

V

D

—

B

則平面4coM的法向量為方=(OQ1),點(diǎn)8(2,6O),P(O，￥，理)，麗=(2("一半)，

一一|迎

設(shè)出與平面BCDEE所成角為。，則sin6=cos?的萬同二"[=二L_=走，

51網(wǎng)同2>/2xl3

所明與平面BCDEF所成角的正弦值為今

5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將圖中幾何體稱為芻憑.現(xiàn)有一個(gè)芻愛如圖所示，四邊形/〃C。為矩

形，四邊形為兩個(gè)全等的等腰梯形，EF//AR,AR=4,EF=AD=7,尸是線段力。上一點(diǎn).

—2—

(1)若點(diǎn)夕是線段力。上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，。為線段C/上一點(diǎn)，且打？=]打?，證明：PW平面BDQ；

(2)若E到平面力4c力的距離為，小與平面ACT所成角的正弦值為誓，求"的長(zhǎng).

【答案】(I)證明見解析

(2)AP=\-—^(.AP=\+—

22

【分析】(1)連接CP交BD于點(diǎn)H,連接“。，通過比例線段證明丹V/“。，可得反7/平面笈。。；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知線面角的正弦值，求出點(diǎn)的位置即可.

2

【詳解】(I)連接CP交BD于點(diǎn)H,連接因?yàn)?O//8C,且PD=]AD,

所以生二生二歿二.

HCBCAD3

—2—FQ2FQPH

因?yàn)槭?2/C，所以/=￡，.聽以掠=標(biāo)，所以PFHH。.

因?yàn)椤癚u平面A。。，PFz平面BQQ,所以尸尸〃平面〃。。.

（2）分別取4）,4C的中點(diǎn)/J,連接￡7,IJ,FJ,

則〃〃48,g.U=AB,

因?yàn)樗倪呅蜛BFE與四邊形CDEF為全等的等腰梯形，

所以E4=ED=FE=FC,

所以四邊形以不為等腰梯豚且所〃"，EF'AB'U,EIYAD,FJ工BC,

又因?yàn)?0〃8C,所以E/_L4Q,

因?yàn)椤?,用u平面EA7產(chǎn)，且以，R7為兩條相交直線，所以_L平面石〃尸，

因?yàn)榱α面力88,所以48CQ/平面￡7".

因?yàn)榱?COD、『面比"二〃，

所以過K在平面上〃產(chǎn)內(nèi)作〃的垂線，垂足為M,

31,

則EM_L平面力BCD,EM=Q,IM=5（U-EF）=l.

過M作〃力。，易得MK,M7,ME兩兩垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，"K,M/,ME所在直線分別為x軸，y軸：z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），