重慶市名校聯(lián)盟學(xué)年度第一期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（高屆）本試卷共4頁(yè)，滿分分考試用時(shí)分鐘.注意事項(xiàng)：作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷的規(guī)定位置上.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷及草稿紙上無(wú)效.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可直接得到結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B2.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由直線方程可得直線的斜率為，進(jìn)而得到傾斜角.【詳解】直線的斜率為，則直線的傾斜角為.故選：C3.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角等于（）第1頁(yè)/共22頁(yè)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】連接，易得，則是直線與所成角，進(jìn)而求解即可.【詳解】連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以是直線與所成的角，由于三角形是等邊三角形，所以，即直線與所成的角的大小為.故選：C4.如圖，在三棱錐中，為中點(diǎn)，，，，則等于（）第2頁(yè)/共22頁(yè)C.D.【答案】A【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】連接，由題意，為中點(diǎn)，則.故選：A5.已知圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心和半徑可直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B6.已知點(diǎn)為橢圓過(guò)：的圓心且與交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A第3頁(yè)/共22頁(yè)【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可得，再由橢圓可知，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，圓心，半徑為1，則，可得，由橢圓方程可知：，即恰為橢圓的右焦點(diǎn)，則，所以.故選：A.7.點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A.B.C.D.4【答案】C【解析】時(shí)，結(jié)論.【詳解】由圓方程知圓心為，半徑為1，因?yàn)闉閳A的切線，所以，，，，要使得最小，只要最小，由切線長(zhǎng)公式知，只要最小.當(dāng)時(shí)，，此時(shí),所以的最小值是，故選：C.第4頁(yè)/共22頁(yè)8.已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)，滿足，當(dāng)（）時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值最大．A.－2B.4C.－3D.5【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，先根據(jù)條件得到A，B坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值即可解出.詳解】設(shè)，，由可知：，因?yàn)?，則，整理得，因?yàn)锳,B在橢圓上，所以，則，即，與相減，整理得：，所以，第5頁(yè)/共22頁(yè)即當(dāng)時(shí)，的最大值為4，即的最大值為2．所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．故選：D36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則直線過(guò)圓心．B.若，，則直線與圓相交．C.若直線與圓相離，則．D.圓心到直線的距離為3，則直線與圓相切．【答案】ABD【解析】【分析】求得圓心和圓半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】由圓，可知圓心，半徑，對(duì)于A，若，則直線，又，所以直線過(guò)圓心，故A正確．對(duì)于B，若若，，則直線，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，故B正確．對(duì)于C，若直線與圓相離，則，所以，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，圓心到直線的距離為3，又，則直線與圓相切，故D正確．故選：ABD.10.已知橢圓的離心率為，是的焦點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.的焦距為第6頁(yè)/共22頁(yè)【答案】AC【解析】A的焦距為，可判定B不正確；由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為CD不正確.【詳解】由橢圓：的離心率為，可得，解得，所以，則，對(duì)于A中，由橢圓的定義，可得，所以A正確；對(duì)于B中，橢圓的焦距為，所以B不正確；對(duì)于C中，如圖所示，圓，則圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)，其中，則滿足，可得，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，此時(shí)，所以C正確；當(dāng)時(shí)，取得最大值，D不正確.故選：AC.第7頁(yè)/共22頁(yè)如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，且，則三棱錐體積為定值B.若，則動(dòng)點(diǎn)所圍成的圖形的面積為C.若，則的最小值為3D.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用向量運(yùn)算、線面垂直性質(zhì)、正弦定理、空間直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)，通過(guò)對(duì)向量關(guān)系判斷點(diǎn)的軌跡，利用線面垂直確定點(diǎn)的軌跡圖形，由正弦定理和坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的軌跡方程及軌跡長(zhǎng)度.【詳解】對(duì)于A，因動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段.由于，平面，所以平面.故三棱錐的體積為定值，A正確.對(duì)于B，在正方形中，.第8頁(yè)/共22頁(yè)在正方體中，因?yàn)槠矫?，又平面，所?因?yàn)?，，，且，平面，所以平?動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，所以動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形是矩形，其面積為，故B正確.對(duì)于C，設(shè)邊上的高為，則.由正弦定理可得，所以，故.以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.設(shè)，，，，則，.又，則有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑且位于正方體內(nèi)的部分球面.又，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由，設(shè)，，，則，即，化簡(jiǎn)得，表示以為球心，半徑為的球.又，，則，即，第9頁(yè)/共22頁(yè)化簡(jiǎn)得，表示以為球心，半徑為的球.兩個(gè)球的交線軌跡是一段圓弧，計(jì)算其長(zhǎng)度，兩球心距離為，半徑均為，則交線圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知直線，直線，當(dāng)時(shí)，______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.13.已知，，，若，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，又，所以，解?故答案為：.14.設(shè)點(diǎn)、為橢圓，是橢圓上與、不共線的任一點(diǎn)，是的內(nèi)切圓圓心，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則比值為_(kāi)_____．【答案】【解析】第10頁(yè)/共22頁(yè)【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合三角形角平分線的性質(zhì)與比例的性質(zhì)，可求的值.【詳解】如圖：連接因?yàn)闉榈膬?nèi)切圓圓心，所以平分，根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)，可得.又平分，所以.所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓，直線．（1）求過(guò)圓心且與直線垂直的直線方程．（2）直線與圓交于，兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】1）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心為，半徑為，根據(jù)所求直線與直線垂直可得所求直線的斜率為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)斜式求解即可；（2）先求得圓心到直線的距離為，再利用幾何法求得弦長(zhǎng)，進(jìn)而求解的面積.【小問(wèn)1詳解】第11頁(yè)/共22頁(yè)由圓，即，則圓心為，半徑為，直線的斜率為1，則所求直線的斜率為，所求直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】圓心到直線的距離為，則，所以的面積為.16.如圖，長(zhǎng)方體中，，，．（1）求證：平面平面．（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）10【解析】【分析】（1）由是長(zhǎng)方體，得到，從而得到平面；由平面定理得到平面平面第12頁(yè)/共22頁(yè)（2）轉(zhuǎn)換三棱錐的頂點(diǎn)和底面，等體積法求解.【小問(wèn)1詳解】是長(zhǎng)方體，，，，，，為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，，，，，，為平行四邊形，，平面，平面，平面；，平面，平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】，，.17.已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且離心率．（1）橢圓的方程；（2的直線交橢圓于兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為OM交橢圓于點(diǎn)，已知四邊形AOBD為平行四邊形，求直線的方程．【答案】（1）第13頁(yè)/共22頁(yè)（2）或【解析】1）根據(jù)離心率以及焦距即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)勻速即可代入坐標(biāo)求解.【小問(wèn)1詳解】橢圓過(guò)點(diǎn)，，又，，解得：，橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則.，四邊形為平行四邊形.設(shè)，則，第14頁(yè)/共22頁(yè)所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以得，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不成立所以，直線的方程為或18.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（12）.【解析】1PO垂直ACPO垂直O(jiān)B面垂直判定定理得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，由知．?5頁(yè)/共22頁(yè)由知，平面．（2如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．第16頁(yè)/共22頁(yè)1平面平面5內(nèi)作N平面內(nèi)作F為二面角的平面角，即．設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由與平面所成角的正弦值為．1平面平面6內(nèi)作N平面內(nèi)作F為二面角的平面角，即．同解法1可得．在中，過(guò)N作，在中，過(guò)N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)椋裕?7頁(yè)/共22頁(yè)由平面，可得平面平面，交線為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角．設(shè)與平面所成角的正弦值為．如圖7的中點(diǎn)HC作平面（垂足T在平面，則即為二面角的平面角，即，得．聯(lián)結(jié)，則為直線與平面所成的角．在中，，所以．2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角的向量公式以及線面角的向量公式硬算即可求出，是該類型題的通性通法；方法二：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點(diǎn)到面的距離，由定義求出線面角，是幾何法解決空間角的基本手段；方法三：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再利用線面角的等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線面角解出，是幾何法解決線面角的基本思想，對(duì)于該題，略顯麻煩；方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線面角的定義解決，原理簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)單，是該題的最優(yōu)解．19.設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，向量，且動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求軌跡的方程，并說(shuō)明該方程表示的曲線形狀．第18頁(yè)/共22頁(yè)（2）已知，證明：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡恒有兩個(gè)交點(diǎn)，，且（（3）已知，設(shè)直線與圓相切于，且與軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求最大值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析，（3）當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1【解析】1的方程為，，且三種情況討論求解即可；（2的方程為方程，結(jié)合題意及韋達(dá)定理可得，即可驗(yàn)證，再結(jié)合直線與圓相切求得直線方程；（3方程為的方程為意及韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而得到，可得，再結(jié)合基本不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，所以，?當(dāng)時(shí)，方程表示兩直線，方程為；當(dāng)時(shí)，方程表示的是圓；當(dāng)且時(shí)，方程表示的是橢圓.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，軌跡的方程為，第19頁(yè)/共22頁(yè)由，得，要使切線與軌跡恒有兩個(gè)交點(diǎn)，，設(shè)，，則，即，即，且，，則，由，則，即，所以，即且，即恒成立.又因?yàn)橹本€為圓心在