人教A版（2019）高二數(shù)學選擇性必修第一冊基礎知識清單填空練

習題

1.1.1空間向量及其線性運算

1.空間向量的概念

（1）空間向量及其表示：空間中具有的量叫做空間向量，空間向量

的大小叫做空間向量的長度或—.空間向量用字母〃，b,c,…表示，或用有向

線段表示，有向線段的長度表示向量的模，”的起點是A,終點是8,則〃也可

記作而，其模記為或|A月|.

（2）零向量：規(guī)定_________的向量叫零向量，記為0.

（3）單位向量：模為—的向量叫單位向量.

（4）相反向量：與向量〃長度相等而的向量，稱為Q的相反向量，記

為.

（5）共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相,

那么這些向量叫做或平行向量.規(guī)定零向量與任意向量平行，即對于任意

向量〃，都有.

（6）相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量，的有向線

段表示同一向量或相等向量.

2.空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算：

⑴a+b=OA^AB=OB^

⑵a-b=OA-OC=CA^

(3)當4〉()時，Xa-AOA=PQ;當a<0時，2xi=AOA=MN;當2=()

時,

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3.空間向量線性運算的運算律：

(1)交換律：a+b=；

⑵結合律：〃+g+c)=,=(2//)a;

(3)分配律：=2。+4°,+b)=.(其中幾，//eR)

4.共線向量：對任意兩個空間向量〃，b"0)，W/b的充要條件是存在實數(shù)2，

使.

5.直線的方向向量：如圖，O是直線/上一點，在直線/上取非零向量m則對于

直線/上任意一點P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)

4,使得加把與向量〃平行的稱為直線/的方向向量.

6.共面向量：如圖，如果表示向量。的有向線段方所在的直線。A與直線/平行

或重合，那么稱向量〃平行于直線/.如果直線0A平行于平面a或在平面Q內(nèi),

那么稱向量a平行于平面a.平行于的向量，叫做共面向量.

如果兩個向量”，。不共線，那么向量〃與向量小小共面的充耍條件是存在

唯一的,使p=xa+)力.

11.2空間向量的數(shù)量積運算

1.空間向量的夾角：已知兩個非零向量。，。，在空間任取一點。，令方=〃，

OB=b＞則408叫做向量。，b的夾角,記作.

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若〈〃,》〉二],則向量a,b,記作Q_Lb.

2.空間向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量mb,則叫做匹力的數(shù)

量積，記作,即a?萬=|〃||A|cos〈a,力）.特別地，零向量與任意向量

的數(shù)量積為.

由向量的數(shù)量積定義得到：a±b^;

a-a=\a^a\cos（a,d）=?

3.向量的投影：向量。向向量〃投影，得到與向置〃的向量c,

c=，則向量。稱為向量〃在向量力上的投影向量.

4.空間向量數(shù)量積的運算律：

⑴（Aa）b=，/IGR；

（2）ab-ba（交換律）；

（3）a（b+c）=（分配律）.

1.2空間向量基本定理

1.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,C,那么對任意一個空間

向量小存在唯一的有序實數(shù)組,使得尸=xa+）辦+zc.

2.基底和基向量：如果三個向量〃，b,。不共面，那么所有空間向量組成的集合

就是{p|p=m+.yb+zc,_r,y,zwR},這個集合可看作由向量a,b,。生成的，

把_________叫做空間的一個基底，a,b,。都叫做,空間任意三個

的向量都可以構成空間的一個基底.

3.空間向量的正交分解：特別地，如果空間的一人基底中的三個基向

量__________,且長度都為1,那么這個基底叫做,常用{i,j,A}

表示，由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量。，均可以分解為三個向

量力zk,使〃=.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂

直的向量，叫做把空間向量進行.

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1.3.1空間直角坐標系

1.空間直角坐標系：在空間選定一點o和一個單位正交基底,以點

O為原點，分別以i,j,A的方向為、以它們的長為單位長度建立三

條數(shù)軸：大軸、y軸、z軸，它們都叫做,這時就建立了一個空間直角

坐標系Qxyz,。叫做,i,j,4都叫做,通過每兩個坐標軸

的平面叫做,分別稱為Oxy平面，平面，?？谄矫妫鼈儼?/p>

空間分成八個部分.

2.空間直角坐標系中點的坐標表示：在空間直角名標系。xyz中，i,j,A為坐標

向量,對空間任意一點A,對應一個向量礪，且點A的位置由向量函，

由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組,使函=,在

單位正交基底下與向量方對應的有序實數(shù)組(x,y,z),叫做點A在空

間直角坐標系中的坐標，記作,其中'叫做點A的橫坐標，叫做點

A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.

3.空間直角坐標系中向量的坐標表示：在空間直角坐標系。盯z中，給定向量〃，

作方二〃?由空間向量基本定理，存在的有序實數(shù)組(x,y,z),使

〃=+9+有序實數(shù)組叫做。在空間直角坐標系。町z中的坐標，

上式可簡記作.

1.3.2空間向量運算的坐標表示

1.空間向量的運算的坐標表示：設a=(%,%,%)，1=(4，司2屹)，則

a+b=;a—b=％—b?,CI3—b?);

Aa=?2eR；ab=?

2.空間向量的平行、垂直、長度和夾角余弦的坐標表示：

當bwO時，a//b<=><=>q=g,a2=Ab2,a3=4仄(4GR)；

aLb=<=>。占+a2b2+%仇=0；

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Ia|=\jaa=-----------------------；cos〈Q，b)=j~=----------------------?

3.空間兩點間的距離公式：在空間直角坐標系。移z中，設4(%,y,zJ,

P2(x2,%，z?)是空間中任意兩點，則46=1質(zhì)1=，

這就是空間兩點間的距離公式.

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系

1.空間中點的向量表示：在空間中，取一定點。作為基點，那么空間中任意一點

P就可以用向量_________來表示，把向量而稱為點。的.

2.空間中直線的向量表示：設Q是直線/的方向向量，在直線/上取,

設P是直線/上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線/上的充要條

件是存在實數(shù)f,使得衣=柩，即.

3.空間中平面的向量表示：平面?可以由a內(nèi)兩釜相交直線確定.設兩條直線相

交于點。，它們的方向向量分別為。和兒夕為平面a內(nèi)任意一點，由平面向量

基本定理可知存在唯一的有序實數(shù)對，使得爐=____________.

4.平面的法向量：若直線/J_a，取直線/的方向向量防稱為平面。的

法向量.

5.空間中直線、平面的平行：

(1)設％,“，分別是直線4的方向向量，則4"/,=O3AGR，使

得%=.

(2)設〃是直線/的方向向量，〃是平面a的法向量，5a，則

IHaouIno.

(3)設〃],/I?分別是平面a,用的法向量，則?！?〃勺o三%￡R,使

得.

6.空間中直線、平面的垂直：

(1)設直線/],，2的方向向量分別為q，〃2，則L上4OU\-L“2=-

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(2)設直線/的方向向量為小平面a的法向量為〃，則/_LaoowR,

使得.

(3)設平面a,夕的法向量分別為〃],叫，則a_1_尸=<=>n[-?2=0.

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

1.異面直線所成的角：一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉化為兩條異面直

線的的夾角來求得.若異面直線4所成的角為°,其方向向量分

別是〃，V,貝COS0=|cos(w…〉1=

2.直線與平面所成的角：直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平

面的的夾角.直線AB與平面a相交于點B,設直線AB與平面a所成

的角為火直線A8的方向向量為小平面。的法向量為〃，貝ijsin〃=

3.二面角：平面a與平面夕相交，形成四個二面角，這四個二面角中不大于

的二面角稱為平面a與平面的夾角.若平面a,P的法向量分別

是叫和陰，則平面a與平面p的夾角即為向量/和%的夾角或其.

設平面a與平面力的夾角為。，則cos9=|cos〈〃1,小〉|=—2-=___________.

I?)IIn21

2.1.1傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角：當直線/與X軸相交時，以工軸為基準，工軸與直線

/的方向之間所成的角a叫做直線/的傾斜角.當直線/與x軸平行或重

合時，規(guī)定傾斜角為0).因此，直線的傾斜角a的取值范圍為.

2.直線的斜率：一條直線的傾斜角a的叫做這條直線的斜率.斜率常

用小寫字母女表示，即女=.傾斜角是的直線沒有斜率.

3.斜率公式：如果直線經(jīng)過兩點《8,y),6*2，%)，玉工々，那么斜率公式

為k=.

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4.斜率與方向向量：若直線/的斜率為上它的一個方向向量的坐標為*,），），則

.

2.1.2兩條直線平行和垂直的判定

1.兩條直線平行的判定：對于斜率分別為％,包的兩條直線（，《，有

川。---------.

當兩條直線的傾斜角均為90。時，直線的斜率不存在，此時.若直線4,

〃重合，此時仍然有.

2.兩條直線垂直的判定：如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的

斜率之積等于；反之，如果兩條直線的斜率之積等于“，那么它

彳門.即/）1/-,<=>.

2.2.1直線的點斜式方程

1.直線的點斜式方程：方程），-%=女。-%）稱為過點6（%,%）,斜率為人的直

線/的方程，由直線上一個定點及該直線的確定，叫做

直線的點斜式方程，簡稱.

2.直線的斜截式方程：直線/與），軸的交點（0,/?）的叫做直線/在），軸

上的截距.方程），=丘+。由直線的斜率Z與它在y軸上的截距〃確定，則方程_

叫做直線的斜截式方程，簡稱.其中，Z是直線的斜率，方是直線在y

軸上的截距.

2.2.2直線的兩點式方程

1.直線的兩點式方程：經(jīng)過兩點《（不，乂），《（%，為）（其中用工為，）'尸為）

的直線/的方程為,這就是直線的兩點式方程，簡

稱.

2.直線的截距式方程：直線I與x軸的交點的橫坐標a叫做直線在九軸

上的截距，此時直線在），軸上的截距是A方程二+上=1由直線/在兩條坐標軸

ab

k的確定，則方程叫做直線的截距式方程，

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簡稱截距式.

2.2.3直線的一般式方程

直線的一般式方程：把關于-y的二元一次方程（其中A,

B不同時為（））叫做直線的一般式方程，簡稱.

2.3.1兩條直線的交點坐標+232兩點間的距離公式

1.兩條直線的交點坐標：設這兩條直線的交點為戶，則點尸既在直線4上，也在

直線〃上，所以點P的坐標既滿足直線4的方程4x+Bj，+C=0,也滿足直線

的方程4戈+用y+G=0,即點P的坐標是方程組的解.解這

個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.

2.兩點間的距離公式：已知平面內(nèi)兩點6（x，y）,鳥（電，為），兩點間的距離公式

為由周=.

3.利用“坐標法”解決平面兒何問題的基本步驟為：

第一步：建立坐標系，用表示有關的量；

第二步：進行有關代數(shù)運算；

第三步：把代數(shù)運算的結果“翻譯”成.

2.3.3點到直線的距離公式+2.3?4兩條平行直線間的距離

1.點到直線的距離公式：點P（x。,y（））到直線/:Ax+3），+C=0的距離

d=.

2.兩條平行直線間的距離：兩條平行直線，：Ax+B），+G=0與

4：Ar+By+C2=0（。產(chǎn)C2）之間的距離為d=.

2.4圓的方程

1.圓的兒何要素：圓是平面上到定點的距離等于定長的點的.在平面直

角坐標系中，如果一個圓的和確定了，圓就唯一確定了.

2.圓的標準方程：方程［X-〃）2+（），-?2=，稱為圓心為,半徑為的

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圓的標準方程.

3.圓的一般方程：方程寸+y2+Dr+/），+/=0表示以為圓心，

/。2十萬_4產(chǎn)為半徑的圓.當加+爐一切時，方程表示一個圓.

2.5.1直線與圓的位置關系

1.直線與圓的位置關系：

（1）直線與圓相交，有個公共點0d＜廣

（2）直線與圓相切，只有一個公共點o；

（3）直線與圓相離，沒有公共點o.

2.直線與圓的位置關系的判斷：要判斷直線/:4r+3），+C=0與圓

。:（1-〃）2+（），-。）2二/的位置關系，可以聯(lián)立它們的方程，通過判定方程組

Ar+By+C=0________,得出直線與圓的公共點的個數(shù)，進而判

*一4尸+（），一/?）-=r

斷直線與圓的位置關系.若相交，可以由方程組解得兩交點坐標，利用兩點間的

距離公式求得.

2.5.2圓與圓的位置關系

1.圓與圓的位置關系：

（1）兩圓相交，有個公共點；

（2）兩圓相切，包括外切與,只有一個公共點；

（3）兩圓相離，包括與,沒有公共點.

2.兩圓方程的公共解的個數(shù)判斷它們之間的關系：

（1）兩圓=有兩組公共解；

（2）兩圓相切o有組公共解；

（3）兩圓o沒有公共解.

3.1.1橢圓及其標準方程

1.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點用的距離的和等于（大于

I耳gI）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的，兩焦點間的

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距離I6gI叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為.

2.橢圓的標準方程：

（1）焦點在x軸上的橢圓的標準方程是二十=焦點坐

a~b~

標，6（c,0）,其中/=.

（2）焦點在y軸上的橢圓的標準方程是焦點坐標

4（0,-C）,，其中一

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)

22v2x2

標準方程2+3=1(以>〃>。)丁臺=l(a>〃>0)

ab“a2”

焦點位置焦點在X軸上焦點在），軸上

及坐標6---------，E----------6----------，巴------------

yy

J5

B2

圖形

CXX

至L..

B\A1

范圍-a<x<a>-b<y<b-a<y<a,-b<x<b

對稱性關于x軸、），軸對稱，關于原點對稱

A[_______,&(a,0),A(0,-a),4________,

頂點坐標

(0,—Z?),B2------___________，B2s,0)

長、短軸長長軸長|AA?|=_______，短軸長Ig層1=_________

離心率e=___________(0<e<1)

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3.2.1雙曲線及其標準方程

1.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點巴，用的距離的等于非零常數(shù)

（小于gI）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點

間的距離叫做雙曲線的.

2.雙曲線的標準方程：

（1）焦點在x軸上的雙曲線的標準方程：焦點坐標

￡（—c,0）,鳥（c,0）,其中。2=.

（2）焦點在），軸上的雙曲線的標準方程：二-三=1（〃>0/〉0）,焦點坐標

crb~

F,,F2,其中《2=/+力2

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

雙曲線1-與=1（。>0">0）的簡單幾何性質(zhì)：

a-

1.范圍：雙曲線上點的橫坐標的范圍是或,縱坐標的

范圍是.

2.對稱性：關于x軸、y軸和都對稱.

3.頂點：線段4人叫做雙曲線的,它的長等于2小。叫做雙曲線

的實半軸長；線段片為叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2兒b叫做雙曲線

的.

4.漸近線：.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線.

5.離心率：e=>1.

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331拋物線及其標準方程

1.拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點”和一條I（/不經(jīng)過點產(chǎn)）

的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線/叫做拋物線

的.

2.拋物線的標準方程：

圖形標準方程交點坐標準線方程

2

y=2px[p>0)x=-￡-

12

y

4y2=-2〃x(p>0)1-f-°)

一

4軍1節(jié)2

f=-2〃)，(p>0)y/

2

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3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的簡單幾何性質(zhì)

標準方

y2=2px[p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

程

w*

圖形目一T%

Tyv

隹占(-§,0)

J?八八?、吟,0)(0，學。-9

準線TX=y=~—y=

222

頂點—

開口方

右左上下

向

對稱軸

X的取值

x<0

范圍

y的取值

Ry>0—

范圍

離心率e-=1

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【答案】

1.1.1空間向量及其線性運算

1.大小和方向模⑺長度為01方向相反「

平行或重合共線向量Olla同向且等長

2.%=0

3.力+。(。+方)+。+Aa+Ab

^-a=Ab

5.非零向量

6.同一個平面有序實數(shù)對（乂力

LL2空間向量的數(shù)量積運算

1.〈〃溥〉互相垂直

2.|a||〃|cos〈a,〃〉ab。ab=0

3.共線|a|cos〈a,5〉高

4.〃a〃)ab+ac

1.2空間向量基本定理

1.不共面(x,y,z)

l.[a,b,c}基向量不共面

3.兩兩垂直單位正交基底xi+yj+zk正交分解

1.3.1空間直角坐標系

L{i，/，眉正方向坐標軸原點坐標向量坐標平面

2.唯一確定(x,y,z)xi+yj+zkA(x,y,z)

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3.唯一(x，y，z)a=(x,y,z)

1.3.2空間向量運算的坐標表示

1.(q+A>a2+b2,%+4)(血，Aa2，1%)01bl+a2b2+a仇

2,a=Abab=O8+短+a；岫+油+岫_：

3.7])~+(%-乂了+仁一4)2

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系

i-OP位置向量

AB=aAP=tAB

3.(x,y)xa+yb

4.向量a

5.z/]Hu2un=O%=/l〃2

6.%w2=0u=AnM,1n2

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

1.方向向量?〃.”

l?llv|

2.法向量|cos〈〃，〃〉|

3.90°補角

I%II%?

2.1.1傾斜角與斜率

1.正向向上0°?cr<180°

2.正切值tana90°

3.2^21

x2-x(

第