解題策略06：橢同的標(biāo)準(zhǔn)方程

?------本節(jié)導(dǎo)航

題型01判斷方程是否表示橢圓題型07橢圓中距離和差最值問題

題型02方程表示橢圓求參數(shù)范圍題型08橢圓中焦點三角形周長問題

題型03橢圓方程求基本量題型09橢圓中焦點三角形面積問題

題型04由基本量求橢圓方程題型10橢圓中焦點三角形內(nèi)切圓問題

題型05由幾何關(guān)系求桶圓方程題型11橢圓中參數(shù)方程的應(yīng)用

題型06桶圓上的點到焦點的距離問題題型12橢圓的軌跡方程求法

，/〃〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/'〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

題型01判斷方程是否表示橢圓

）假典例兼（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）（多選）已知曲線「.證:證則（）

A.若小〃>o,則曲線。表示圓，其半徑為六

B.若機(jī)>〃>（）,則曲線。是橢圓，其焦點在x軸上

C.若曲線0過點（一五j）,（b.?），則c是橢圓

D.若制尸o,則曲線C不表示任何圖形

四步內(nèi)容

22

題意本題給出曲線方程%匚+生二=1（BPinx2+ny2=4）,需根據(jù)“、〃的不同取值，

拆解44

分析曲線是圓、橢圓還是其他圖形，對四個選項逐一判斷.

考點

本題考查圓的方程、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及圓錐曲線類型的判定，屬「圓錐

定位曲線基礎(chǔ)概念應(yīng)用題型.

思路

對每個選項，結(jié)合用、〃的條件將方程轉(zhuǎn)化為圓或橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用定義判斷；

構(gòu)建對于過點的選項，代入點坐標(biāo)求解〃?、〃后再分析?.

若小心（），曲線c可化為f+jq,其表示半徑為元的圓，A正確；

解法

當(dāng)心心0時，曲線?？苫癁?+4=1，表示橢圓，因為0<4<4,所以其焦點在軸上，

優(yōu)化M”mnJ

B錯誤；

對于C,依題意得:4'解得W=L則曲線0為橢圓，C正確：

說+"=1（〃=2,C

48L

取小=4,〃=0,此時曲線c7=i，其表示兩條直線，D錯誤.

故選：AC.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：/+）,2=/（->0）,需/與y2系數(shù)相等且為正.

知識2222

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x軸時烏+與二1焦點在），軸時與十二=1

總結(jié)a2b2a2b2

（a>b>0）,焦點在分母大的軸上.

判定曲線類型需分類討論系數(shù)的符號、是否相等，注意系數(shù)為零的特殊情況.

考點i：圓的方程判定（丁、v系數(shù)相等且正）.

考點2：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點位置判定（分母為正且不等，焦點在分母大的軸上）.

考點3：曲線過點的應(yīng)用（代入點坐標(biāo)求系數(shù)）.

考點4：系數(shù)為零（"〃7=0）時的曲線類型分析（直線情況）.

S?鍬牛萬/（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）以下方程表示橢圓的是（）

A.上B?2x2-3y2=2

25

C--2X2-37=-1

7?鍬牛力2（多選題】（22-23高二上?安徽蕪湖?期口）已知關(guān)于.可的方程4/+旅+6+價”=0

表示的曲線為C，以下說法正確的有（）

A.若力=8=0，0=61，尸=］，則d1旦過定點（1,-1）

B.若力=8=］,D=E=-2,F=2'則C表不圓

C,若力>0，8>0，D=E=0fF=-P則C表示橢圓

D.若.=］,8=-］，0=0，E=-2'F=-\i則C表本兩條直線

小祺牛力M（21-22高二?全國?課后作業(yè)）設(shè)方程①1G_3）2+/+J（X+3）2+"=8；

②、庫證7+{+1）2+丁=2?其中表示橢圓的方程是一

題型02方程表示橢圓求參數(shù)范圍

經(jīng)其的做（25-26高二上?重慶?階段練習(xí)）方程上心=］表示橢圓，則〃的取值范圍是（）

2w-39-M

A?j<w<9：</?<4或4V〃<9

C；v〃<4D?4<n<9

四步內(nèi)容

題意題目給出橢圓方程」一+工=1,要求根據(jù)橢圓的定義，確定參數(shù)〃的取值范

拆解2n-39-n

圍.

考點

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，核心考點是橢圓定義中“分母為正且不相等”的條件，屬

定位于圓錐曲線基礎(chǔ)概念的應(yīng)用題型.

V-2V2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二+2T=1（。>0力>0,。工人）要求：

思路a2b2

構(gòu)建兩個分母均為正數(shù)；

兩個分母不用等（否則為圓）.

因此需列出關(guān)于〃的不等式組，求解其取值范圍.

,,—2/?-3>0

由于方程=+二=］表不橢圓，所以9-〃>0，

2w-39?〃-5

解法，2〃-3#9-〃

優(yōu)化解得;<4或4V,

故選:B.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：

22

焦點在軸上：=+與（〃）；

知識x=1a>>0

a2b2

總結(jié)22

焦點在y軸上：與+==1（?>/?>o）.

a~b~

兩者的共同核心條件是分母均為正數(shù)且不相等（若相等則為圓，不屬于橢圓）.

考點1：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式（含/,V的分式和為］）.

考點2：橢圓的判定條件（分母為正且不相等）.

考點3：根據(jù)橢圓方程求參數(shù)范圍的不等式組構(gòu)建方法.

（25-26高二上?安徽?期中）若曲線2+1=］表示焦點在），軸上的橢圓，則Q的取值范圍

是_________.

（高二上?江蘇南京?期中）已知方程上

I25-26+￡=］（/〃門R）表示焦點在X軸上的橢圓，

2+nt

則用的取值范圍為（）

A.（-2,1）B.Q4）C.（2,4）D-（-8,-2）

（25-26高二上?重慶?期中）若方程上.上=］|表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)〃［的取

值范圍為（）

A?0cm<2B-0v〃i<2且

c.0<m<\D.\<m<2

題型03橢圓方程求基本量

經(jīng)典刎做］（24-25高二下?浙江?期中）已知橢圓C：》、的左、右焦點分別為產(chǎn)陋.尸是C上在第

i

-I0尸］1=2，則直線尸尸，的斜率為（）

B.3c.3D.&

443

四步內(nèi)容

22

題意已知橢圓c：上+X=i,左、右焦點分別為環(huán)，鳥，點P在c的第二象限內(nèi)，且

1612

拆解

滿足1戶81-12￡1=2,需求直線戶死的斜率.

考點

本題考查橢圓的定義、橢圓的基本性質(zhì)的美系及焦點坐標(biāo)）、直線斜率的

定位計算，屬于橢圓定義與直線斜率的綜合應(yīng)用題型.

先根據(jù)橢圓方程求出確定焦點耳，鳥的坐標(biāo)；

思路利用橢圓定義IP^I+IP鳥1=2%結(jié)合已知條件|2居|-|丹"二2,聯(lián)立求解

1「用和1。加；

構(gòu)建

分析點P的位置，結(jié)合焦點坐標(biāo)，通過幾何關(guān)系（如勾股定理）確定點P的坐標(biāo)，

進(jìn)而計算直線PF2的斜率.

由條件可知,｛悔郎盟,得"1=5,"川=3,且啟目=4

所以。尸［口內(nèi)尸2，旦tanDP/%Q=j

解法

設(shè)直線的傾斜角為少則tan%［，

優(yōu)化

所以直線產(chǎn)后的斜率為-Z

故選：B

橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點”，入的距離和為常數(shù)（＞1耳61）的點的軌跡，滿

足|PGI+|PB|=2a.

知識橢圓的參數(shù)關(guān)系：a2=b2+c2^焦點在x軸上時，焦點坐標(biāo)為（土。,0）.

總結(jié)直線斜率公式：若兩點為（M，y）、。2，、2）（王工工2），則斜率左一

X2~X\

解題技巧：可結(jié)合橢圓定義與三角形幾何性質(zhì)（如勾股定理），快速確定點的坐標(biāo)，

簡化斜率計算.

考點1：橢圓基本參數(shù)3b,c）及焦點坐標(biāo)的求解.

考點2：橢圓定義（|尸耳|十|Pg|=2。）的應(yīng)用.

考點3：直線斜率的計算（兩點IX斜率公式）.

考點4：橢圓中三角形的幾何性質(zhì)（勾股定理判斷直角三角形）.

小祺牛力1（24-25高二上?山東煙臺?階段練習(xí)）已知橢圓《：￡+耳=1仇＞”的左、右焦點分別為

16b

q、a，點o為坐標(biāo)原點，點尸為橢員I。上一點，點Q為p/7、中點，若OOE?的周長為6，則橢圓c的焦距為（）

A.2B.4C.6D.|2

H?錢牛丸2（24-25高二上?山東臨沂?期中）設(shè)°為坐標(biāo)原點，F(xiàn)[,行為橢圓0=+上=]的兩個焦

點，點尸在C上，cos7）QP&=%則QP|=（)

A.歷B.右C.△D.壓

222

）小就牛乃M（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）已知點〃在橢圓0：/+?=]上，是該橢圓的兩個焦

點，則IMQR+IMBR的最小值為（）

A.9B.]2C.]6D.[g

題型04由基本量求橢圓方程

經(jīng)聘刎題（25-26高二上?江蘇無錫?期中）過點（依「五），且與橢圓總+心=1有相同的焦點的橢圓

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A，本、B-?3C'La

四步內(nèi)容

22

題意題目要求求過點（、污，-百），且與橢圓會+/=1有相同焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，需

拆解

結(jié)合“相同焦點”和“過定點'’兩個條件求解.

考點

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的焦點性質(zhì)（。的計算）及待定系數(shù)法求橢圓方程，

定位屬于橢圓性質(zhì)與方程求解的綜合題型.

思路先求已知橢圓的焦點，確定新橢圓的C?和焦點位置；

設(shè)新橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用“過點''的條件代入方程；

構(gòu)建聯(lián)立c2=/一從和代點后的方程，求解/和〃.

設(shè)所求橢圓方程為上+及7<9）,

25-戶9「1（a”刃

解法將點（W-五）代入，可得組+包式=1,解得45（Q21舍去），

'25-A-9/1

優(yōu)化

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+亡=1.

204

故選：D.

橢圓焦點性質(zhì)：對于橢圓三+三=1（a>b>0）,焦點為（土c,（））；

a~b~

知識22

若焦點在y軸上，方程為與十二=i,焦點為（0,土。）.

總結(jié)a2h2

待定系數(shù)法求橢圓方程：當(dāng)已知焦點位置和焦點相關(guān)條件時，設(shè)出對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程，

結(jié)合過點等條件列方程求解/和/.

考點1：橢圓焦點的計算（C。=/一/及焦點坐標(biāo)）.

考點2：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的待定系數(shù)法求解（結(jié)合過點條件）.

考點3：橢圓方程中參數(shù)的取值范圍（a>b>0,a2>?）.

）小被牛力1（25-26高二上?湖南長沙?月考）過點4（.￡3）且與橢圓?+?=1有相同焦點的橢圓的

標(biāo)注方程為___________

小錢牛丸2（25-26高二上?黑龍江?期中）若橢圓。的兩個焦點分別是Q（20），乃（20），橢圓C上

一點p到兩焦點距離之和等于8,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

小祺牛力5（25-26高二上.上海?期中）已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是G2“.o）,（2丘0），且該

橢圓經(jīng)過點（26「2），則橢圓的標(biāo)掛方程為

題型05由幾何關(guān)系求橢圓方程

（25-26高二上?浙江?期中）已知橢圓1+/=］（〃乂>（））的左右焦點分別為a尸2,過死的

直線交橢圓于4“兩點，若人力口戶?力=0，且1/尸2L3I8&L3，則橢圓的方程為（）

C.上=1D

49+6-。骨

四步內(nèi)容

題意已知橢圓￡+工=1（。>〃>0）,左右焦點過居的直線交橢限于A3兩

a-b~

拆解

點，滿足耳A?凡4=0且1461=3|8巴|=3,求橢圓方程.

考點

本題考查橢圓的定義、向量垂直的性質(zhì)（數(shù)量枳為0）、橢圓的基本參數(shù)關(guān)系（。,4c）

定位及方程求解，屬于橢圓定義與向量、線段長度的綜合題型.

利用線段比例關(guān)系確定|A8|,結(jié)合橢圓定義得到|人再1,18￡|：

思路

由向量垂直（EA?巴A=0）知A1A鳥為直角三角形，結(jié)合勾股定理：

構(gòu)建聯(lián)立橢圓定義和勾股定理的方程，求解。了，再由從=/_/得從，確定橢圓方

程.

連接8”由橢圓的定義有棺尸J=2a」8尸zS-l，U丹1=2°」/出1=2心

解法因為用口羨=0,所以產(chǎn)“口尸2小

優(yōu)化在Rt尸MB中，145|2+1班|2」5尸1|2，即42+（2牛3）2=（2〃-1）2,解得〃=3，

在Rt昌力尸2中，UBR+I/Q|2=|尸|B|2,即3，（2a-3）2=（2c）2，

方法

考點1：橢圓定義的應(yīng)用（\AFt\+\AF2|=2a）.

考點2：向量垂直的數(shù)量積性質(zhì)（￡A?耳A=0表示直角）.

考點3：橢圓基本參數(shù)Ac的關(guān)系及方程求解.

小鐵I牛乃1（25-26高三上?黑龍江?開學(xué)考試）已知橢圓。上+且曰給^”的左、右焦點分別為

F1F2'左右頂點分別為MN，過B的直線/交C于力,8兩點（異于點A/,N），的周長為4石，旦直線4M與

小V的斜率之積為-；，則橢圓C的標(biāo)掂方程為（)

A-B.

?Z/，+工

c.3=1D.

128,Ci

小被牛力2（24-25高二下?湖南湘西?期末）已知橢圓c：5+?=i6>加的左、右焦點分別為"尸2,

過右焦點的直線/交。于48兩點，且4+3嬴工，Q4彳8=0,則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為——'

小祺牛力8（24-25高三下?安徽阜陽?階段練習(xí)）已知橢圓C：5+《=］（曲4>0）的左、右焦點分

別為為（-備,0）產(chǎn)2（6,0），直線/與X軸的交點為例6或0》過點尸/作點M|QN|=4，且q/勺中點

P在橢圓C上，則橢圓C的方程為.

題型06橢圓上的點到焦點的距離問題

（25-26高二上?河北衡水?期中）已知.，閂分別是橢圓：+E=l的左'右焦點，點尸在橢

圓上運動，則戰(zhàn)+點的最小值為.

四步內(nèi)容

v2214

題意己知橢圓匕+2v_=1,耳，8為左右焦點，點P在橢圓上運動，求2口產(chǎn)2口1

拆解95|PF；||1

的最小值.

考點

本題考查橢圓的定義（IPGI+IP51=2。）、均值不等式（基本不等式）的應(yīng)用，

定位屬于橢圓與不等式的綜合題型.

思路先根據(jù)橢圓方程求出a，J利用橢圓定義得到|PG|+1P八|=2。；

構(gòu)建設(shè)|PKI=/n,則|「鳥|=2〃一加,將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù);

結(jié)合均值不等式求該函數(shù)的最小值，注意驗證等號成立條件及，”的取值范圍.

因為月后是橢圓金+￡=］的左、右焦點，P在橢圓上運動，

'95

所以，由橢圓定義可得|p~l+lp&|=6?

解法所以點+點EMWP&D（啟+篇）=出+需+需）《（5+2/）4

優(yōu)化

當(dāng)且僅當(dāng)2"QLip尸2^4時，等號成立.

即r、+告的最小值為工

Ip八1\PF2\2

故答案為:工

2

橢圓定義：橢圓上任意一點到兩焦點的距離和為2。,即|尸耳|+|尸Bl=2a.

知識均值不等式（基本不等式）：若x>0,y>0,則x+），22向，當(dāng)且僅當(dāng)人=），時

總結(jié)取等號；對于分式型最值，常通過"乘1法''構(gòu)造均值不等式的應(yīng)用條件.

橢圓上點到焦點的距離范圍：IPPIeRz-CM+c］,需注意變量的取值范圍對最值

的限制.

考點1：橢圓的定義（|「耳|+|尸鳥|=2〃）.

考點2：均值不等式（基本不等式）的應(yīng)用（“乘1法”構(gòu)造不等式）.

考點3橢圓上點到焦點距離的取值范圍（［a-CM+c］）.

?小淡牛乃7（25-26高一上?湖北?期中）設(shè)橢映+5=］的左焦點為「若⑷8是橢圓上的兩個動

點，則口力打尸周長的最大值為（）

A.14B.16C.18D.20

?小鍬牛刃2（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）已知夕為橢圓:+2=］上一點，下是橢圓的一個焦點，則|尸產(chǎn)|

的取值范圍為（）

A?（0,3）b,3］C.【2,41D.6,4)

小祺牛乃m（25-26高二上?吉林長春?期中）己知橢圓c，+；i的左、右焦點分別為為尸2?彳為

橢圓。上的動點則螞的取值范圍是________.

。U乃I

題型07:橢圓中距離和差最值問題

經(jīng)典的做（25-26高二上?重慶?階段練習(xí)）設(shè)?是橢圓金+式=］的左焦點，P是橢圓上的動點，A

95

是直線3什4產(chǎn)25=0上的動點，則L%Llp/d的最小值為（

A.J-B.3c.2D.3

555

四步內(nèi)容

22

題意已知橢圓上+上?=1,左焦點尸，橢圓上動點尸，直線3x+4），+25=0上動點A，

拆解95

求|尸A|-|P用的最小值.

考點

本題考查橢圓的定義（焦點距離和為2以）、點到直線的距離公式，屬了橢圓定義

定位與最值問題的綜合應(yīng)用題型.

利用橢圓定義將1尸尸1轉(zhuǎn)化為與右焦點F'相關(guān)的距離；

思路

將|"|一|產(chǎn)可轉(zhuǎn)化為含1pAi+IP9|的式子；

構(gòu)建結(jié)合幾何性質(zhì)，1尸41+1291的最小值為右焦點U到直線的距離，進(jìn)而求解原式

的最小值.

由：+；=1口內(nèi)6=%口.專"2，

設(shè)「為該橢圓的右焦點，則尸（2,0），所以IPH+IP司=2所6，

「是1尸力1」月。1=1產(chǎn)力1+1。/6

顯然當(dāng),，P,A三點共線，

且PA與直線3升4尸③力垂直時，有最小值，

解法最小值為普1.6」.

“+4?5

優(yōu)化

故選：A.

知識橢圓定義：橢圓上任意一點到兩焦點的距離和為2〃，即+（F,尸

為橢圓的兩個焦點）.

總結(jié)

點到直線的距離公式：若點（兩,%）到直線4r+gy+C=0的距離為d,則

；_1+By。+C\

Q+l?

最值轉(zhuǎn)化技巧：對于形如|必|一|尸產(chǎn)1的最值問題，可利用橢圓定義將其轉(zhuǎn)化為含

|尸川+1P尸|的形式，再結(jié)合點到直線的距離求解最小值.

考點I：橢圓的定義（|丹"+|尸尸|=2。的應(yīng)用）.

考點2：點到直線的距離公式的應(yīng)用.

考點3：最值問題的轉(zhuǎn)化策略（利用橢圓定義將距離差轉(zhuǎn)化為距離和）.

小祺牛力1（25-26高二上?陜西榆林?期中）已知乃為橢圓上+上=1的右焦點，河為橢圓上的動點，

設(shè)點力&三）'則IM41+1A/BI的最小值為-----

7?錢牛乃2（25-26高二上?遼寧朝陽?期中）已知橢圓c:+?=］的左、右焦點分別為乃,乃，加為

橢圓0上任意一點,N為圓￡（x-3）2+（y-5）2=l上任意一點，則IA/NLIA/QI的最小值為（）

A.傷$B.在.7C.6+5D.5訃7

（25-26高二上?湖北襄陽?期中）已知.是橢圓c：、+；i的左焦點，尸為橢圓。上任

意一點，點M的坐標(biāo)為（5,4），則IPA/I+1尸尸］I的最大值為-

題型08橢圓中焦點三角形周長問題

經(jīng)翼州題（25-26高二上.湖南長沙?階段練習(xí)）已知橢圓月：上+上=1的左右焦點分別為盾尸2,上頂

點為A，過巧且垂直于力出的直線與E交于8、C兩點，則口力8c的周長為

四步內(nèi)容

題意已知橢圓石:看+（=1,左右焦點耳，鳥，上頂點A，過人且垂直于入鳥的直線

拆解

交E于B、。兩點，求AA8C的周長.

考點

本題考杳橢圓的定義（橢圓上點到兩焦點距離和為2。）、橢圓的基本性質(zhì)S,c

定位的計算、頂點與焦點坐標(biāo)），屬于橢圓定義與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型.

思路先求橢圓基本參數(shù)確定斗，鳥,A的坐標(biāo)；

構(gòu)建利用橢圓定義，將小鈕?。的周長轉(zhuǎn)化為與4。相關(guān)的量；

結(jié)合橢圓上點的距離性質(zhì)，推導(dǎo)周長的定值.

由橢圓威+$1，得J=16力2=］2,/=16-12=4，

解法則a=4,c=2，所以14尸J=l仍l=^/?2+c2=4=2c=lFi尸2卜

優(yōu)化

過尸?且垂直于力出的直線與橢圓上交于4c兩點，

所以5c為線段,4用的垂直平分線，

所以加1=1班蟲，d」CF2k

則48c的周氏為

I力川+Lld+l8d=格尸ZMCBMB尸J+ICF|l=2a+2=4a=4x4=16?

故答案為：16

橢圓定義:橢圓上任意一點到兩焦點的距離和為2。,即IPKI+IP5|=2a（尸為

知識

橢圓上一點）.

總結(jié)橢圓頂點性質(zhì)：上（下）頂點到兩焦點的電離相等，當(dāng)。=|AK|=|4居|時，可結(jié)

合橢圓定義簡化周長計算.

方位

考點1:橢圓的定義（I尸6I+1尸居|=2a的應(yīng)用）.

考點2：橢圓基本參數(shù)。為，。的計算及頂點、焦點坐標(biāo)的確定.

考點3：利用橢圓定義解決三角形周長問題的轉(zhuǎn)化策略.

小裁牛力1（25-26高二上?浙江嘉興?期中）已知橢圓^+上=［（a＞五）的左、右焦點分別為q、

若橢圓上的點P滿足pp2x軸，|pQ1=21pp-,\,則"F1尸,的周長為.

7?鍬牛7)2（24-25高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，己知橢圓三十：心2）的左、右焦點分別

為Q,冉，過萬］的直線交橢圓于M,N兩點，交y軸于點若臼，〃是線段MN的三等分點，則R/WN的周長為

C.2西D."

.小鍬牛力5（24-25高二上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）已知兒出為橢圓的焦點且匕&匕%、M,N是橢

圓上兩點，且A/QDV/B=O'則匚Mg的周長為（）

A.26B.28C.30D.32

題型09橢圓中焦點三角形面積問題

（25-26局二上?河南?月考）已知橢圓。.上+工川的左、右焦點分別是用，F(xiàn)〉'點尸是C上

167

一點，口夕尸]出是等腰三角形，則匚尸尸[尸,的面積可能是（）

A.V25B.V^2C.7D.35

四步內(nèi)容

題意己知橢圓C：工+工=1,左右焦點打，鳥，點P在橢圓上，耳K為等腰三角形，

拆解167

需分情況討論等腰的邊，求其可能的面積.

考占本題考查橢圓的基本性質(zhì)（。/，。的計算、焦點坐標(biāo)）、橢圓定義

（|尸石|+|。5|=2〃）、等腰三角形的分類討論、三角形面積公式,屬于橢圓焦點

定位

三角形與等腰三角形的綜合應(yīng)用題型.

思路先計算橢圓的。，J確定1Kgi=2c；

分三種等腰情況討論：耳亮尸耳、

構(gòu)建11=11\F}F2\=\PF2\.\PF]\=\PF2\；

結(jié)合橢圓定義求邊長，再用勾股定理求高，進(jìn)而計應(yīng)面積.

設(shè)0為坐標(biāo)原點,則I尸QM尸乃1=8,后出品,

當(dāng)10入1=1尸產(chǎn)2時，0P口產(chǎn)尸2，1。01=百，

所以口的面積為:xlF]F2Llopl=：x6x百=3百；

解法

當(dāng)即1=1尸同時，IPF2I=8-IPF1I=2*

優(yōu)化

所以口PFi片的面積為:x2x〃2.]2=行.

同理，當(dāng)Ip/2■尸1尸時，口PFi尸2的面積為：x2x〃乙1

故選：AD.

橢圓基本性質(zhì)：/=從+。2,焦點距離|1外匕2c,橢圓上點到兩焦點距離和為24.

知識等腰三角形分類：需分“兩腰為焦點與橢圓上點的距離”“兩腰為兩焦點距離與橢圓上

總結(jié)點的距離”三類討論，結(jié)合橢1員1定義和幾何性質(zhì)求解?.

三角形面枳公式：等腰三角形面積可通過“底X高+2”計算，高可由勾股定理結(jié)合邊長

求得.

考點1:橢圓基本參數(shù)A。的計算及焦點坐標(biāo)確定.

考點2：橢圓定義（|尸61+|。?|=2a）的應(yīng)用.

考點3：等腰三角形的分類討論及面積計算.

小我牛力7（25-26高二上?遼寧葫蘆島?月考）己知橢圓《：分的的左、右焦點分別是為，立

點戶在橢圓。上，且口戶人乃的面積為6，則IIPQHPPMF（）

A.1B.2

C.3D.4

（25-26高二上?云南玉溪?期中）已知橢圓°5+?=1的左右焦點分別為為，尸2i*i

7?錢牛7)2/?、、

/>在橢圓C上且色>=60。，則二角形尸尸內(nèi)的面積為（）

A.V；B.工C.1D.2

D3

小被牛力m（2025?陜西咸陽?三模）已知橢圓c：5+、（a>b>0）的左、右焦點分別為乃尸2，上

頂點為加，苦口為知乃二個,且口為河尸）的面積為則c的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

題型10：橢圓中焦於角形內(nèi)切圓問題

經(jīng)典例發(fā)（2024高三下.全國.專題練習(xí)）已知.，乃分別是橢圓°?+?=［的左、右焦點，p為

第一象限內(nèi)橢圓c上一點，口產(chǎn)人行的內(nèi)心為點〃則直線/人與/用的斜率之積為（）

A.立B.立C.&D.國

-5-842

四步內(nèi)容

題意已知橢圓c：g+；=1,左、右焦點6（-1,0）、8（1,0）,第一象限內(nèi)橢圓上點P,

拆解

△P”鳥的內(nèi)心為/,求直線/"與";的斜率之積.

考點本題考查橢圓的基本性質(zhì)（凡b,c計算、焦點坐標(biāo)）、內(nèi)心的坐標(biāo)性質(zhì)（角平分線

交點的坐標(biāo)公式）、斜率公式、代數(shù)運算與有理化，屬于橢圓與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)

定位

用題型.

先求橢圓的a,〃,c,確定耳，耳的坐標(biāo)；

利用內(nèi)心的坐標(biāo)公式（加權(quán)平向，權(quán)重為對邊長度），結(jié)合橢圓定義表示出內(nèi)心/的

思路

坐標(biāo)（利九）；

構(gòu)建

計算直線陰和外的斜率，求其乘積，通逆代數(shù)變形（有理化、橢圓方程代換）得

出結(jié)果.

設(shè)P4O,%%O>OJo>O》I（x\必及i>0,j'i>o/

則F+?=i，易知aJ,o），

故1PFJ=JGo+1）2+）i=y/xo+2x（）+1+4-，=+2xo+5=J（胃+H）=翼+R'

則由橢圓的定義可得lp&l=G患

解法

優(yōu)化設(shè)A，8，別為PQ/^/Kj內(nèi)切圓與邊產(chǎn)E，PF-<1尸|尸）的切點，

則根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)知IpxLIpW，UQLIMQI，

因此MLip"2l」S口8尸2",LIM&L

得力+4（直㈤=。+1）?（1為），解得所方

在尸四尸2中，立3尸2葉（加尸1用尸尸2用尸】尸解得乃=裔，

因此/像刀

故/.._肅。揣。_____515_______ZMIQ__邑

如%=加X曲=（4］）2儂）=（年乃除5）=2'

故選：D.

橢圓基本性質(zhì)：a*I2=*4b2+c2^焦點坐標(biāo)仁c,0）,橢圓上點到兩焦點距離和為2a.

內(nèi)心坐標(biāo)公式：對于三角形MBC,內(nèi)心/的坐標(biāo)為

知識

-~~~（其中a=|8C|,〃二|AC|,c=|A8）.

總結(jié)Ia+b-\-ca+b+c>

斜率運算與有理化：處理分式型斜率積時，需結(jié)合代數(shù)變形（如有理化分母）和橢

圓方程代換，化簡得出定值.

考點I：橢圓基本參數(shù)。力,c的計算及焦點坐標(biāo)確定.

考點2：內(nèi)心的坐標(biāo)公式及應(yīng)用.

考點3：斜率公式與代數(shù)運算（有理化、方程代換）在橢圓綜合題中的應(yīng)用.

）小就牛乃7（25-26高二上?全國?單元測試）已知巳是橢圓C：3+?=l的兩個焦點，P為C

上一點，且口"|乃的內(nèi)切圓半徑為1,若尸在第一象限，則尸點的縱坐標(biāo)為（）.

A.2B.工C.iD.2

234

小鍬牛丸2（2024高三.全國?專題練習(xí)）已知橢圓虜+,1的左、右焦點分別是尸］，F(xiàn)）點P

為c上一點,若匚尸產(chǎn)1a的內(nèi)切圓的直徑為2,則||尸aLipa"=

7,魚牛力5（22-23高二下?山東濟(jì)南?期末）設(shè).、后是橢圓3f+4產(chǎn)=9>0）的兩個焦點，若橢圓

上點p滿足記.尸&的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R、產(chǎn)貝心的值為.

題型11橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用

（23-24高二上.吉林長春.期末）已知8是橢圓2+/=［的上頂點，點”是橢圓上的任意一

點，則|“川的最大值為（）

A.2B.2"C.西D.2

22

四步內(nèi)容

2

題意已知橢圓￡+),2=1,上頂點3(0,1)，點“是橢圓上任意一點，用參數(shù)方程求

拆解3

IM臼的最大值.

考點

本題考查橢圓的參數(shù)方程、兩點間距離公式、二次函數(shù)的最值求解,屬于橢圓參數(shù)

定位方程與函數(shù)最值的綜合應(yīng)用題型.

思路寫出橢圓的參數(shù)方程，設(shè)點M的參數(shù)坐標(biāo)；

利用兩點間距離公式表示1M31的平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；

構(gòu)建

結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍，通過二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.

步驟1：確定橢圓參數(shù)方程

橢圓上+y=l的參數(shù)方程為=(6為參數(shù))，上頂點僅0,1).

31y=sind

步驟2：設(shè)點M的參數(shù)坐標(biāo)

設(shè)M(Gcos6,sin。)，根據(jù)兩點間距離公式，

|MB|=cos<9-0)2+(sin-1)2.

步驟3：化簡距離平方的表達(dá)式

解法=3cos2^+(sin<9